04 chapter4 Signal and System.pptx

第1页：第04章信号与系统封面

信号与系统：章节封面，标示本章主题与内容范围。

第2页：4.1 Continuous-time

• 4.1 Continuous-time Fourier Transform 1
• Wed eve lope dare presentation of periodic signal sas linear combination sofcomplexexponentials 2. We also saw how this represent ationcanbeusedindes crib ing the effect of LTI system sonsignals
• We extend these concept stoa pplytosignalstha tare not periodic 3. As we will see, arather large class ofsignals, incl udingallsignals with finite energy, can also be represented through ali near combination of complex expo nentials. Whereas for periodic signalsthe complex exponential building block sareharmonicallyr elated, fora periodic signal stheyare infinite sim ally close in frequency, and there presentation in term sofa linear combination take stheformofan integral rather thana sum

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第3页：4.1 傅里叶变换

• The result ing spectrum of coefficient sin this represent ationis called the Fourier transform, and the synthesis integral itself, which usesthese coefficient store present the signal asa linear combination of complex expo nentials, is called the inverse Fourier transform
• The development of this represent at ion fora periodic signal sin continuous time isoneof Fourier'smost important contrib utions, and our develop men toft he Fourier transform follow sverycloselythe approach heusedinhis original work 4. In particular, Fourier reason edt hat ana periodic signal can be vie wed asa periodic signal wit han infinite period. More precis ely, inthe Fourier series represent ationofa periodic signal

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第4页：4.1 傅里叶变换

• As the period become sin finite, the frequency component sforma continuum and the Fourier series sum become san integral. Int hen ext section, we develop the Fourier series represent at ion for continuous-time periodic sign als, andinthesections that follow we built on this foundation as we explore many of the important proper tie soft he continuous-time Fourier transform that form the foundation of frequency-domain methodsfor continuous-time signal sand syst ems
• Tog ain some insight int othenatureofthe Fourier transform represent at ion, we begin byre visit ing the Fourier series represent at ion for the continuous-time periodic square wave. Specifically, over one period

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第5页：4.1 傅里叶变换：Fourier

• And periodic ally repeats with period T
• The Fourier series coefficients for this square wave are

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

第6页：4.1 傅里叶变换

• where
• An alter native way ofinterpretingeq 5.(4-1) is ass ample so fan envelope function, specifically
• Thatis, with thought of asa continuous variable, the function()/represent stheenvelopeof, and the coefficient saresimplyequ ally space dsamplesof this envelope 6. Also, for fixed, the envelope of is independent of. In Figure 4.1, we again show the Fourier series coefficient sforthe periodic square wave, but this time ass ample soft he envelope of, asspecifiedineq.(4-2)

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第7页：图4.1 Fourier series

图4.1 Fourier series

本页为图示页，图中给出4.1 傅里叶变换的结构或流程，具体图形见课件原图。

第8页：4.1 傅里叶变换

From Figure 4.1, we see that as Tincreases, orequivalently, as the fundamental frequency decreases, the envelope iss ample dwithacloserandc loser spacing. As Tbecomes arbitrarily large, the original periodic square wave approach esa rect angular pulse(i. e., all that remain sin the tim edo mai nisan aperiodic signal corresponding to one period of the square wave). Also, the Fourier series coefficients, multi pliedby T, become more and more close lyspaced sample soft he envelope, sot hat in some sense(which we will specif ysboity) the set of Fourier series coefficient sap proa chest he envelope function as

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第9页：4.1 傅里叶变换

This example illust rat est he basic idea behind Fourier'sdevelopmento fare presentation fora periodic sign als. Specifically, we think of ana periodic signal as the limit of aperiodic signal astheperiodbecomes arbitrarily large, and we examine the limiting behavior of the Fourier series represent at ion for this signal. In particular, consider asignalx(t) that is of finite duration. Thatis, for some number, x(t)=0 if|t|>. From this aperiodic signal, we can construct aperiodic signal sforwhichx(t) is one period. As we choose the period tobelarger, is identic alto 7 x(t) overa longer interval, andas, is equal tox(t) for any finite value oft

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第10页：4.1 傅里叶变换

• Let us now examine the effect of this on the Fourier series represent ationof. Over the interval, wehave
• where. Since=for, andalso, since=0 outside this interval, eq.(4-4) canbere written as

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第11页：4.1 傅里叶变换：Therefore

• Therefore, def in ing the envelope of as
• We have, for the coefficient
• Com bin ing eqs.(4-6) and (4-3), we can express in terms ofas

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

第12页：4.1 傅里叶变换

• Or equiv alently, since
• As, approach esx(t), and cons equently, inthelimiteq.(4-7) become sarepresentationofx(t). Furthermore, as, and the right-hand sideofeq.(4-7) passe stoan integral. This canbeseenbyc onside ring the graphical interpretation of the equation. Each term int he summation on the right-hand side istheareaofa rectangle of height and width(Here, tis regarded as fixed). As, the summation con verge stotheintegralof. Therefore, us ing the fact that as, weseethateqs.(4-7) and(4-5) respective lybecomes

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第13页：4.1 傅里叶变换

• and
• Equations(4-8) and(4-9) are referred toast he Fourier transform pair, with the function referred toast he Fourier Transform or Fourier integral ofx(t) andeq.(4-8) as the inverse Fourier transform equation. The synthesis equation(4-8) play sarolefo raper iodic signal sin represent ingasignalasa linear combination of complex expo nentials

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第14页：4.1 傅里叶变换

For periodic sign als, these complex exponential shave amplitudes{}, and occur ata discrete set ofharmonicallyr elated frequencies, k=0,±1,±2,…Fora periodic sign als, the complex exponential so ccu rata continuum of frequencies and, according to the synthesis equation(4-8), have"amplitude“. In analogy with the terminology used for the Fourier series coefficient sofa periodic signal, the transform of ana periodic signal sis common lyre ferredtoasthe spectrum of, asitprovidesus with the information needed ford escribingasa linear combination(specifically, an integral) of sinusoidal signal sat different frequencies

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第15页：4.1 傅里叶变换

• Base don the above development, or equivalent lyoneq.(4-9), we also note that the Fourier coefficient sofa periodic signal can be expressed inter msofequallyspaced sample soft he Fourier transform of one period of. Specifically, suppose that is aperiodic signal with period Tand Fourier coefficients. Letbe
• afinite-duration signal that is equal tooverexactlyone period—say, for for some value ofs—and that is zero otherwise. Then, compute the Fourier coefficient sofbyinte grating over any period, we can write

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第16页：4.1 傅里叶变换：Com

• Sincex(t) is zero outside the range we cane quivalently write
• Com paring with eq. (4-9) we conclude that
• whereis the Fourier transform of. Equation(4-10) states that the Fourier coefficients of are proportional to samples ofthe Fourier transform of one period of

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

第17页：生词与短语：ion、periodic

本页为生词与短语（New words and phrases）列表，收录本节出现的专业词汇。

词条按原文「中文释义—音标—英文词条」的顺序识别，如与原件排版不符以课件原图为准。

第18页：生词与短语：continuous

本页为生词与短语（New words and phrases）列表，收录本节出现的专业词汇。

词条按原文「中文释义—音标—英文词条」的顺序识别，如与原件排版不符以课件原图为准。

第19页：生词与短语：interpretation

本页为生词与短语（New words and phrases）列表，收录本节出现的专业词汇。

词条按原文「中文释义—音标—英文词条」的顺序识别，如与原件排版不符以课件原图为准。

第20页：课文注释（4.1 傅里叶变换）

本页为课文注释（Notes），讲解本节难句的句式与翻译处理。

• Notes
• 1.本节涉及信号与系统理论中的傅里叶变换，标题可译为：连续时间傅里叶变换
• 2. periodic signal，周期信号；complex exponential，复指数。此句译为：我们提出了一种将周期信号表示为复指数信号线性组合的方法
• 3. extend…to…,扩展到……；apply…to…应用到……。此句译为：我们将把这些概念推广应用到非周期信号中去
• 4.此句为并列语句。两主语分别为The development of this represent at ion for aperiodic signals in continuous time和development of the Fourier transform，前一句为主系表结构，后一句为主谓宾结构。此句译为：提出连续时间非周期信号的表示方法是傅里叶最重要的贡献之一，这里讨论的傅里叶变换也是按照他最初研究时所采用的方法给出的
• 5. eq.= equation n.【数】方程式，等式

第21页：4.1 傅里叶变换

• 6. thought of，看作；represent代表；be simply equally就是。这些词汇可作为公式的解释动词。此句可译为：也就是，若将看作一个连续变量，则函数()/就代表的包络，这些系数就是在此包络上等间隔取得的样本
• 7. identical to与……相一致；此句可译为：从这个非周期信号出发，可以构成一个周期信号，使成为的一个周期，当把选得比较大时，就在一个更长的时段上与相一致，并且随着，对任意有限时间t值而言，就等于

第22页：4.2 Laplace

• 4.2 Laplace Transform 1
• We have seen that thetoolsof Fourier analysis are ext rem ely useful in the study of many problem sof practical importance involving signal sand LTI syst ems. This isduein large part to 2 the fact that broad class esofsignalscanbe represented as linear combination sof periodic complex exponential sand that complex exponential sareeigenfunctionsof LTI syst ems

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第23页：4.2 拉普拉斯变换

• In the next section we develop the corresponding discrete-time generalization known as the z-transform
• As we will see, the Laplace andz-transform shave many oftheproperties that make Fourier analysis so useful. Moreover, not onlydothesetransforms provide additional tool san din sig hts for signal sand system sthatcanbeanalyzedu sing the Fourier transform

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第24页：4.2 拉普拉斯变换

• We saw that the response of a linear time-in variant system with impulse response 4 h(t) to a complex exponential input of the formis
• where
• Fors imaginary(i. e.,), the integral ineq.(4-12) correspond sto the Fourier transform ofh(t). Forge neral value soft he complex variables, it is referred toast he Laplace transform of the impulse responseh(t)

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第25页：4.2 拉普拉斯变换

• The Laplace transform of a general signal x(t) is defined as
• and we note in particular that itisafunctionof the independent variable corresponding to the complex variable in the exponent of. The complex variable scan be written as, wit hand there alan dimaginaryparts, respect ively. For convenience, we will sometime sdenotethe Laplace trans for min operator for masan ddenotethe transform relation ship between and X(s) as

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第26页：4.2 拉普拉斯变换：Fourier

• When , eq. (4-13) becomes
• which corr esponds to the Fourier transform of ; that is
• The Laplace transform also bears a straightforward relationship tothe Fourier transform when the complex variable s is not pur ely imaginary. To see this relationship, consider X(s) as specified in eq.(4-13) with s expressed as , so that

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

第27页：4.2 拉普拉斯变换

• The Laplace transform is rational, i. e.5, itisarationof polynomial sin the complex variables, sothat
• where N(s) and D(s) are the numerator polynomial and denom ina tor polynomial, respect ively. X(s) will be rational wheneverx(t) is ali near combination of real or complex expo nentials

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第28页：4.2 拉普拉斯变换

Rational transform sal so arise when we consider LT 1 system sspecifiedintermsof linear constant-coefficient differentia lequations. Except fora scale factor, the numerator and denominate poly nomialsina rational Laplace transform can be specified bytheirroots;thus, marking the location soft herootsof N(s) and D(s) inthes-plane and indic at ing the ROC provide sa convenient pictorial wayofdes crib ing the Laplace transform

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第29页：4.2 拉普拉斯变换

For rational Laplace trans forms, the root soft he numerator polynomial are common lyre ferredtoasthezerosof X(s), since, forth osevaluesofs, X(s)=0. The root soft he denom ina tor polynomial are referred toast hepolesof X(s), and forth osevaluesofs, X(s) is infinite. The pole sand zero sof X(s) inthefinites-plane comp let ely characterize the algebraic expression for X(s) to with ina scale factor. There presentation of X(s) through itspolesandzerosinthes-plane is referred toast hep ole-zero plot of X(s)

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第30页：生词与短语：ely、involve

本页为生词与短语（New words and phrases）列表，收录本节出现的专业词汇。

词条按原文「中文释义—音标—英文词条」的顺序识别，如与原件排版不符以课件原图为准。

第31页：生词与短语：variant

本页为生词与短语（New words and phrases）列表，收录本节出现的专业词汇。

词条按原文「中文释义—音标—英文词条」的顺序识别，如与原件排版不符以课件原图为准。

第32页：课文注释（4.2 拉普拉斯变换）

本页为课文注释（Notes），讲解本节难句的句式与翻译处理。

• Notes
• 1.本节涉及信号与系统领域，标题可译为：拉普拉斯变换
• 2. due in large part to在很大程度上归功于……。此句可译为：这在很大程度上是由于一大类信号都能用周期复指数信号的线性组合来表示，而复指数信号又是LTI系统的特征函数的缘故。例句：The success of the modern approach is due in large part to realism。现代研究的成功主要归功于其更接近真实性
• 3. apply as well都适用，后一句not only those values是一个省略句，应为not only those values of s。此句可译为：然而，特征函数性质及其他的很多结果对任意s值都是适用的，而并不是仅限于纯虚数的情况
• 4. a linear time-in variant system，线性时不变系统；impulse response，单位冲激响应；a complex exponential input of the form，复指数输入信号。此句可译为：一个单位冲激响应为h(t)的线性时不变系统，对复指数输入信号的响应是
• 5. i. e. =id est也就是。同义词组：namely即，也就是；that is就是说，即；that is to say也就是，即

第33页：4.3 z-transform

• 4.3 z-transform 1
• We developed the Laplace trans for masan extension of the continuous-time Fourier transform. This extension was motivate din part by the fact that itcanbeappliedto abroad erclassofsignals than the Fourier transform can, since there are many signal sforwhichthe Fourier transform doe snot con verge but the Laplace transform does. The Laplace transform allowed us, for example, to perform transform analysis of unstable system sand to develop additional insight sand toolsfor LTI system analysis 2

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第34页：4.3 z变换

In this section, we use the same approach for discrete time aswedevelopthez-transform, which is the discrete-time counter part of the Laplace transform. Just as with the relation ship between continuous-time and discrete-time 3 Fourier trans forms, however, we will encounter some important distinction sbetweenthez-transform and the Laplace transform that arise from the fundamental difference sbe tween continuous-time and discrete-time signal sand syst ems

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第35页：4.3 z变换

• Fora discrete-time linear time-in variant system with impulse response, there sponsey[n]ofthesystemtoa complex exponential inputoftheformznis
• where
• For with real(i. e., with|z|=1), the summat ionineq.(4-20) correspond sto the discrete-time Fourier transform ofh[n]. More gene rally, when|z|is not restricted to 4 unity, the summation is referred toast hez-transform ofh[n]

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第36页：4.3 z变换

• The z-transform of a general discrete-time signal x[n] is defined as
• wherezisa complex variable. For convenience, thez-transform ofx[n]will sometime sbedenoteda sand the relation ship betweenx[n]anditsz-transform indicate das
• We con side redan umber of important relation ship sbe tween the Laplace transform and the Fourier transform for continuous-time sign als. Ina similar, but not identical, way, there area number of important relation ship sbetweenthez-transform and the discrete-time Fourier transform. To explore these relation ships, we express the complex variable zinpolarformas

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第37页：4.3 z变换

• withrasthe magnitude ofzandastheangleofz. Intermsof 5 rand, eq.(4-21) becomes
• or equiv alently

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第38页：4.3 z变换

• From eq. (4-24), we see that is the Fourier transform of the sequence multi plied by a real exponential that is
• The exponential weigh ting maybe decay ing org rowing within creasingn, dep ending on whether is greater than orle sst han unity. We note in particular that, for=1, orequivalently,, eq.(4-21) reduce sto the Fourier transform;thatis

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第39页：4.3 z变换

The relation ship between thez-transform and Fourier transform for discrete-time signal spar allelscloselythe corresponding continuous-time sign als, but with some important differ ences. In the continuous-time case, the Laplace transform reduce sto the Fourier transform when the real part of the transform variable is zero. Interpreted inter msofs-plane, this mean sthatthe Laplace transform reduce sto the Fourier trans for mon the imaginary axis(i. e., for). Inconstrast, thez-transform reduce sto the Fourier transform when the magnitude of the transform variable zis unity(i. e., for). Thus, thez-transform reduce sto the Fourier trans for month econ tour inthecomplexz-plane corresponding toacirclewitha radius of unity. This circle int hez-plane is referred toast he unit circle andplaysar olein the discuss ionofthez-transform similar tother ole of the imaginary axisinthes-plane for the Laplace transform

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第40页：4.3 z变换

Fromeq.(4-25), we see that, for convergence oft hez-transform, were quire that the Fourier transform of con verge. For any specific sequencex[n], we would expect this convergence for some value sofrandnotfo roth ers. Inge neral, thez-transform ofasequencehas associated with itarangeofvaluesofz for which X(z) converges. As with the Laplace transform, this range of value sis referred toast he region of convergence(ROC). Ifthe ROC include stheunit circle, thenthe Fourier trans formal soconverges

本页为英文原文段落，中文译文见本章「参考译文」部分。

本页英文原文由图片提取，部分单词之间空格缺失，已按大小写与标点边界补回分隔，确切分词请以课件原图为准。

第41页：生词与短语：verge、insight

本页为生词与短语（New words and phrases）列表，收录本节出现的专业词汇。

词条按原文「中文释义—音标—英文词条」的顺序识别，如与原件排版不符以课件原图为准。

第42页：生词与短语：weight、axis

本页为生词与短语（New words and phrases）列表，收录本节出现的专业词汇。

词条按原文「中文释义—音标—英文词条」的顺序识别，如与原件排版不符以课件原图为准。

第43页：课文注释（4.3 z变换）

本页为课文注释（Notes），讲解本节难句的句式与翻译处理。

• Notes
• 1.本节涉及信号与系统领域，标题可译为：z变换
• 2.动词不定式作补语：to perform…，and to develop…。此句可译为：例如，可以用拉普拉斯变换对不稳定系统进行变换域分析，这就为进行LTI系统的分析提供了另一种视角和手段
• 3. continuous-time连续时间，discrete-time离散时间
• 4. be restricted to，局限于；be referred to，被称为。此句可译为：在更一般的情况下，当不限制|z|为1时，式(4-20)就称为的z变换
• 5. In terms of依……，据……。此句译为：利用r和，式(4-21)变成
• 例句：“Our goal is to be among the top three companies in termsof net works and terminals.”says Mr Avila.“我们的目标是在网络和终端方面，跻身行业前三甲。”阿维拉说

第44页：4.1 连续时间傅里叶变换

• 参考译文
• 4.1连续时间傅里叶变换
• 我们提出了一种将周期信号表示为复指数信号线性组合的方法，同时，我们还给出怎样才能将这一表示方法用在描述LTI系统对这些信号的作用效果上
• 我们将把这些概念推广应用到非周期信号中去。读者将会看到，有一大类信号，包括所有具有有限能量的信号，也能够通过复指数信号的线性组合来表示。对周期信号而言，这些复指数基本信号构造单元全是成谐波关系的；而对非周期信号，它们则是在频率上无限地接近的。因此，表示成线性组合时所采用的形式是积分，而不是求和。在这种表示中所得到的系数谱称为傅里叶变换；而利用这些系数将信号表示为复指数信号线性组合的综合积分式本身则称为傅里叶反变换

第45页：译文 4.1 傅里叶变换：一个非周期信号

• 提出连续时间非周期信号的表示方法是傅里叶最重要的贡献之一，这里讨论的傅里叶变换也是按他最初研究时所采用的方法给出的，特别是傅里叶所曾认为的，一个非周期信号能够看成是周期无限长的周期信号这一点
• 更加确切地说，在一个周期信号的傅里叶级数表示中，当周期增加时，基波频率就减小，成谐波关系的各分量在频率上愈趋近
• 当周期变成无穷大时，这些频率分量就形成了一个连续域，从而傅里叶级数的求和也就变成了求积分
• 在下一节将建立连续时间非周期信号的傅里叶变换表示，并且在之后的各节中将据此来讨论形成连续时间信号与系统频域法基础的连续时间傅里叶变换的很多重要性质

第46页：译文 4.1 傅里叶变换：该方波信号

• 为了对傅里叶变换表示的实质获得更深入的了解，下面先连续时间周期方波的傅里叶级数表示入手。即在一个周期内
• 以周期T重复
• 该方波信号的傅里叶级数系数是
• 式中
• 理解式(4-1)的另一种方式是把它当作一个包络函数的样本，即

第47页：译文 4.1 傅里叶变换

• 也就是，若将看作一个连续变量，则函数()/就代表的包，这些系数就是在此包络上等间隔取得的样本。而且，若固定，则的包络就与T无关。图4.1中再次显示了该周期方波的傅里叶级数系数，不过，这次是作为包络的样本给出的，如式(4-2)所示
• 从图4.1中可以看到，随着T增加(等效地，基波频率减小)，该包络就会被以愈来愈密集的间隔采样。随着T变得任意大，原来的周期方波就趋近于一个矩形脉冲(也就是说，在时域所保留的是一个非周期信号，它对应于原方波的一个周期)。与此同时，傅里叶级数系数(乘以T后)作为包络上的样本也变得愈来愈密集，这样从某种意义上说，随着，傅里叶级数系数就趋近于这个包络函数

第48页：译文 4.1 傅里叶变换

• 这个例子说明了傅里叶表示非周期信号的基本思想，即在建立非周期信号的傅里叶变换时，可以把非周期信号当作一个周期信号在周期任意大时的极限来看待，我们研究了这个周期信号傅里叶级数表示式的极限特性。现在来考虑一个信号，它具有有限持续期，即对某个，当|t|＞时，= 0。从这个非周期信号出发，可以构成一个周期信号，使是的一个周期，当把选得比较大时，就在一个更长的时段上与相一致，并且随着，对任意有限时间t值而言，就等于
• 现在来考察一下在这种情况下的傅里叶级数表示式的变化。将积分区间取为，则有

第49页：译文 4.1 傅里叶变换

• 式中。由于在时，=，而在其他取值区间=0，所以式(4-4)可以重新写成
• 因此，定义的包络为
• 这时，系数可以写成

第50页：译文 4.1 傅里叶变换：结果式

• 将式(4-6)和式(4-3)结合在一起，就可以用表示为
• 或者，因为，又可表示为
• 随着，趋近于，结果式(4-7)的极限就变成的表示式。再者，当时，有。式(4-7)的右边就过渡为一个积分。这里通过图形对等式进行解释式(4-7)右边的每一项都是髙度为(这里t被认为是固定的)、宽度为的矩形的面积。当时，求和收敛于的积分，因此利用时，这一事实，式(4-7)和式(4-5)就分别变成

第51页：译文 4.1 傅里叶变换：称为傅里叶变换

• 式(4-8)和式(4-9)称为傅里叶变换对
• 函数称为的傅里叶变换或傅里叶积分，而式(4-8)称为傅里叶反变换式
• 综合公式(4-8)对非周期信号所起的作用相当于把一个信号表示为一组复指数信号的线性组合
• 对周期信号来说，这些复指数信号的幅度为，在成谐波关系的一组离散点, k=0,±1,±2,…上出现
• 对非周期信号而言，这些复指数信号以连续频率出现，并且根据综合公式(4-8)，其“幅度”为
• 与周期信号的傅里叶级数系数所用的术语类似，一个非周期信号的变换通常称为的频谱，因为为人们提供了在不同频率将表示为正弦信号的线性组合(就是积分)所需要的信息

第52页：译文 4.1 傅里叶变换：基于以上讨论

• 基于以上讨论，或者式(4-9)可以发现，一个周期信号傅里叶系数能够利用一个周期内的信号的傅里叶变换的等间隔样本来表示。也就是说，设是一个周期为T的周期信号，其傅里叶系数为。令是一个有限持续期信号，它等于一个周期的,例如在周期内，s为某一个任意值的，而在该周期外全为零。那么，求的傅里叶系数时就可以在任何周期内进行积分，因此
• 由于在以外为零，所以又可写成

第53页：译文 4.1 傅里叶变换：将上式与式

• 将上式与式(4-9)比较后可得
• 这里，就是的傅里叶变换。式(4-10)表示的是的傅里叶系数正比于一个周期的信号的傅里叶变换的样本

第54页：4.2 拉普拉斯变换

• 4.2拉普拉斯变换
• 傅里叶分析工具在研究涉及信号和系统的很多问题时是极为有用的，这在很大程度上是由于一大类信号都能用周期复指数信号的线性组合来表示，而复指数信号又是LTI系统的特征函数的缘故。连续时间傅里叶变换提供了用将信号表示成复指数信号的线性组合的方法，然而，特征函数性质及其他的很多结果对任意s值都是适用的，而并不是仅限于纯虚数的情况，这样就得到连续时间傅里叶变换的推广，称之为拉普拉斯变换，这就是本节要讨论的主要内容。下一节将给出对应的离散时间的推广，称之为z变换
• 拉普拉斯变换和z变换的很多性质使傅里叶变换变得特别有用。这些变换不仅为那些能用傅里叶变换进行分析的信号与系统提供了更多的分析工具和视角，而且在一些傅里叶变换不能应用的重要场合，它们也能够应用

第55页：译文 4.2 拉普拉斯变换：拉普拉斯变换

• 例如，拉普拉斯变换和z变换能用于许多不稳定系统的分析，这样就在系统的稳定性或不稳定性的研究中起了重要的作用。将这一事实与拉普拉斯变换和z变换与傅里叶变换共有的代数性质组合在一起，就形成了一整套重要的系统分析工具，在反馈系统分析中尤其如此
• 一个单位冲激响应为h(t)的线性时不变系统对复指数输入信号的响应是
• 这里

第56页：译文 4.2 拉普拉斯变换：的傅里叶变换

• 若s为虚数(即)，式(4-12)的积分就对应于h(t)的傅里叶变换。对一般的复变量s来说，式(4-12)就称为单位冲激响应h(t)的拉普拉斯变换。一个信号的拉普拉斯变换定义如下
• 应该特别注意，这是一个自变量为s的函数，而s是指数中的复变量。复变量s一般可写成，其中和分别是它的实部和虚部。为方便起见，常将拉普拉斯变换表示为的形式，而把和X(s)间的变换关系记为

第57页：译文 4.2 拉普拉斯变换：拉普拉斯变换

• 当时，式(4-13)就变成
• 当复变量s不为纯虚数时，拉普拉斯变换与傅里叶变换也有一个直接的关系。为了看出这一点，将式(4-13)的X(s)中的s表示成，则有
• 拉普拉斯变换式都是有理的，即是复变量s的两个多项式之比，形式如下

第58页：译文 4.2 拉普拉斯变换

• 其中N(s)和D(s)分别是分子多项式和分母多项式。只要x(t)是实指数或复指数信号的线性组合，X(s)就一定是有理的。并且，当LTI系统用线性常系数微分方程表征时，也会产生有理变换。除去一个常数因子外，在一个有理拉普拉斯变换式中，分子与分母多项式都能够用它们的根来表示，据此，在s平面内标出N(s)和D(s)根的位置并指出收敛域ROC就提供了一种描述拉普拉斯变换的方便而形象的表示方法
• 对于有理拉普拉斯变换来说，因为在分子多项式的根上X(s)=0，故称为X(s)的零点；而在分母多项式的根上，X(s)无界，故称分母多项式的根为X(s)的极点。在有限s平面内，X(s)的零点和极点，除了一个常数因子外可以完全表征X(s)的代数表达式。使用s平面内的极点和零点表示X(s)图就称为X(s)的零极点图

第59页：4.3 z变换

• 4.3 z变换
• 拉普拉斯变换可作为连续时间傅里叶变换的一种推广。进行这种推广的部分原因是由于拉普拉斯变换比傅里叶变换有更广的应用范围。因为有不少信号，其傅里叶变换不存在，但却有拉普拉斯变换。例如，可以用拉普拉斯变换对不稳定系统进行变换域分析，这就为进行LTI系统的分析提供了另一种视角和手段
• 在这一节讨论z变换时，将针对离散时间的情况采用同样的方法给出z变换，这与离散时间的拉普拉斯变换是相对应的。正如连续时间和离散时间傅里叶变换之间的关系一样，在z变换和拉普拉斯变换之间也一定存在一些很重要的不同，而这些不同正是来自连续时间和离散时间信号与系统之间的基本差异
• 单位脉冲响应为的离散时间线性时不变系统对复指数输入的响应为

第60页：译文 4.3 z变换：的求和式

• 式中
• 若，这里为实数(即，|z|=1)，则式(4-20)的求和式就是的离散时间傅里叶变换。在更一般的情况下，当不限制|z|为1时，式(4-20)就称为的z变换
• 一个离散时间信号的z变换定义为
• 式中z是一个复变量。有时为了方便，也将的z变换写成，而将和它的z变换之间的关系记作

第61页：译文 4.3 z变换：前面讨论

• 对于连续时间信号，前面讨论了拉普拉斯变换和傅里叶变换之间的几个重要关系。与此相仿，但不完全一样，z变换和离散时间傅里叶变换之间也存在几个重要的关系。为了说明这些关系，现将复变量z表示成极坐标形式
• 用r表示z的模，而用表示它的相角。利用r和，式(4-21)变成
• 或等效为

第62页：译文 4.3 z变换

• 由式(4-24)可见，就是序列乘以实指数后的傅里叶变换，即
• 指数加权可能随n增加而减小，也可能随n增加而增长，这取决于是大于1还是小于1。特别注意到，若= 1，或等效为，则式(4-21)就变为傅里叶变换。这就是说

第63页：译文 4.3 z变换：离散时间信号

• 离散时间信号的z变换和傅里叶变换之间的关系与相应的持续时间信号几乎是并行的，但有一些不同
• 在持续时间情况下，当变换变量的实部为零时，拉普拉斯变换就演变为傅里叶变换
• 利用复平面s来解释，这就意味着，在虚轴上的拉普拉斯变换就是傅里叶变换
• 与此相对应的是，在z变换中当变换变量z的模为1时，即时，变换就演变为傅里叶变换
• 于是，傅里叶变换就成为在复数z平面中半径为1的圆上的z变换
• 在z平面上，这个圆称为单位圆
• 这个单位圆在z变换讨论中所起的作用类似于s平面上的虚轴在拉普拉斯变换讨论中所起的作用

第64页：译文 4.3 z变换

• 由式(4-25)可知，为了使z变换收敛，就要求的傅里叶变换收敛
• 对于任何一个具体的序列来说，可以想到对某些值，其傅里叶变换收敛，而对另一些值来说则不收敛
• 一般来说，对于某一序列的z变换，存在着某一个z值的范围，对该范围内的z，X(z)收敛
• 和拉氏变换一样，这样一些值的范围就称为收敛域(ROC)
• 如果ROC包括单位圆，则傅里叶变换也收敛