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本课件以四分量模型为基础，把森林象元的反射率分解为光照树冠、阴影树冠、光照背景与阴影背景四个部分；随后在稀疏分布假设下，借助椭球到球型的坐标转换推导垂直下视与任意视角下的四分量面积比例，并引入树木平均个数 λ 与平均冠幅 R 两个统计参数；最后在浓密分布条件下引入布尔模型与间隙概率，说明重叠面积 O 与热点现象的关系。
冠层反射率模型——几何光学模型
本章讲解以树冠几何形状为基础的冠层反射率建模方法，包括四分量模型、稀疏分布椭球树冠模型与浓密分布条件下的布尔模型。
几何光学模型的四分量（four components）：对森林成像时，遥感象元反射率由四部分组成，即光直接照射的树冠、树冠阴影面、直接照射的地面（背景）、阴影遮蔽的地面。森林中的地面通常不是裸土，而是草类等低矮植被。
类似上节讲过的混合象元，象元（冠层）的反射率为：
R = KCRC + KTRT + KGRG + KZRZ
几何光学模型的基础就是四分量模型，上式是其基本模型。其关键在于根据假设条件，求取 KC、KT、KG、KZ 的表达式，条件不同，面积比例 K 的表达式也不同。
冠层反射率模型——几何光学模型 · 稀疏分布林冠椭球模型
本节在稀疏分布与椭球树冠两个假设下推导四分量面积比例，先把椭球经坐标拉伸转换为球型，再分别给出垂直下视与任意视角下的结果。
模型假设条件描述：本模型用于对森林地区冠层反射率的求算。所谓冠层反射率，指植被上界出射辐射与入射辐射的比值。模型有 2 个主要假设：
椭球向球型的坐标转换：利用坐标转换可以进一步将椭球转换为球型，使数学表达更为简单。坡面方向以法线为准，所有方位以 x 轴为准。
假设树冠是一个垂直半径为 b、水平半径为 r 的椭球，球心位于一个坡度为 θs、方位为 φs 的坡面上方 h 处。
首先我们定义一个新的高度坐标：在新的坐标空间里，原来的直线仍为直线，椭球变成了球，而几个变量分别变为：入射方向天顶角、观察方向天顶角、坡度角、球心高度。
然后再旋转坐标系，使坡面的法向成为新坐标系的 z″ 轴，即 x 轴旋转 φs′，z′ 轴旋转 θs′。在新的坐标空间里，入射方向与观测方向的天顶角和方位角、球心高度等都会发生变化。
经过这样 z 方向的线形拉伸和坐标系向坡面方向旋转，斜坡上的椭球植株（林木）的几何光学问题就完全等效于水平地面上的球型植株问题。因此，在下述推导中，我们均会采用水平球型的几何分布假设，而不失各种椭球假设的一般性。
垂直下视条件下的 1 棵树的光照树冠面积 aC：许多传感器，如 Landsat、SPOT 均可以近似看作垂直下视（nadir view）。
如左图，假设太阳以 θi 角入射半径为 r 的球型树冠，则图中以粗线表示的光照树冠面积即为 aC。
垂直下视条件下的 1 棵树的阴影树冠面积 aT 和阴影背景面积 aZ：注意假设是无遮挡的，地面投影形状是椭球。
如左图，假设太阳以 θi 角入射半径为 r 的球型树冠，则阴影背景面积即是以粗线表示的面积在水平面上的投影：
aZ = πr²/cosθi = πr²secθi
阴影树冠面积为球冠上未被照亮的部分。
垂直下视条件下 1 个象元中四分量的面积：假设 1 个象元内有 n 棵树，则四分量的面积分别为各树对应面积之和，其中第 j 棵树的树冠半径为 rj。
若象元面积为 A，则光照背景面积为象元面积减去光照树冠、阴影树冠与阴影背景所占面积。
为了反演方便，将遥感成像的森林进行参数化，引入统计数据，即林区单位面积内树木的平均个数 λ，以及树冠平均半径 R。
因而存在：1 个象元中四分量的面积可由 λ、R 表示。
m = λπR² 为林木平均郁密度，或称覆盖指数。
垂直下视条件下象元中四分量的面积比例：将上述 AC、AT、AZ、AG 四个表达式分别除以象元面积 A，则光照树冠、阴影树冠、阴影背景、光照背景在象元中所占面积比例可依次得到。
任意视角方向下象元中四分量的面积比例：将前面推出的垂直条件下的四分量面积比例公式推广到任意视角，使其具有更加普遍的意义。
如左图，假设太阳入射方向为 Ωi(θi, φi)，传感器观测方向为 Ωv(θv, φv)。通过旋转坐标系，使传感器方向变为垂直，即可直接采用树冠直视时的公式。
旋转坐标系后，太阳的入射角即变为太阳入射方向 Ωi 与传感器观测方向 Ωv 的夹角 Θ。
参考直视时树冠比例，我们进而得到任意视角下光照树冠和阴影树冠的比例表达式。
总结
冠层反射率模型——几何光学模型 · 浓密分布条件下的模型
本节考虑树木之间相互遮挡、阴影可能重叠的浓密林冠情形，用概率方法处理阴影重叠问题。
模型条件描述：密的林地，树木之间在太阳方向和视线方向出现相互遮挡，阴影也可能重叠。模型中仍存在四分量，即光照树冠、阴影树冠、光照背景、阴影背景。
只考虑地面。假设每个树冠在地面产生的阴影面积为 a，在面积为 S 的地面上当存在 1 棵树时：
当存在 2 棵树时，光照比例是多少？若两棵树的阴影互不重叠，则阴影比例为 2a/S，光照比例为 1 − 2a/S；但实际上阴影可能重叠，需要用概率方法处理。
这是一个概率问题：满足前后 2 次投射后同时为光照点的概率即为 (1 − a/S)²。
由此可算出此时阴影点概率为 1 − (1 − a/S)²。
在面积为 S 的地面上一共有 n 棵树，则没有阴影（即光照）的地面的比例是多少？
n 棵树时，光照点概率为 (1 − a/S)n。因此浓密条件下，光照点概率可以写为该式的极限形式。
引入单位面积内树木的平均个数 λ，存在 λ = n/S，带入上式，即得到光照点概率与阴影点概率。
a 是树冠在水平地面的投影面积，它与投射方向 Ω(θ, φ) 有关，即太阳方向不同，a 也不同，应写为 a(θ, φ)。
布尔模型描述了一个间隙概率（gap probability）问题，即在一个物体离散分布的区域中，要么照射（看到）物体（object），要么照射（看到）间隙（gap），照射（看到）间隙的概率等于指数形式。
其中 a(θ, φ) 为沿照射（视角）方向 Ω(θ, φ)、单个物体水平投影的平均面积，λa(θ, φ) 即为所有物体沿方向 Ω(θ, φ) 水平投影面积比例的总和。
布尔模型在浓密分布林冠中的应用：当从（传感器）方向 Ω(θv, φv) 看浓密森林时，若每棵树木在水平背景的平均投影面积为 a(θv, φv)，则看到背景的概率与看到林冠的概率可由间隙概率给出。
我们前面对布尔模型推导过程中例举的是照射，但间隙对视角方向同样存在。
将树冠分为光照树冠、阴影树冠，将背景分为光照背景、阴影背景，由此可得四分量面积比例间的关系。
对于照射过程中的间隙概率问题，如果太阳方向为 Ω(θi, φi)，类似地，我们可以得到背景受到光照的概率，而背景处于阴影的概率为其补。
光照背景面积比例 KG 与阴影背景面积比例 KZ：背景既被阳光照射，又被传感器看到的概率即为光照背景面积比例。
由于背景被照射与被看到是两个方向上的事件，二者是否独立决定了能否直接相乘。
如果背景被阳光照射的概率事件与背景被传感器看到的概率事件不相关（相互独立），则联合事件的概率就等于两个独立事件概率的乘积。
但是事实上，上述两个概率事件不是相互独立的，同一树冠在照射和视角两个方向上的投影可能有相互重叠。
设 O(θi, θv, φ) 为相互重叠的面积，则光照背景的比例可由间隙概率与重叠面积 O 表示。
O(θi, θv, φ) 与两个方向的天顶角、相对方位角（φ = φi − φv）有关。思考：光照背景什么时候面积最大？由此也可写出阴影背景的比例。
热点（hot spot）现象：所谓热点现象，即当传感器与太阳位于同一方向时，传感器所接收的地面辐射最强（地面反射率最大、地面光强最强、最热）。几何光学模型可以较好地解释热点现象。
图中 a(θv, φv) 与 a(θi, φi) 完全重合，O(θi, θv, φ) 达到最大。
光照树冠面积比例 KC 与阴影树冠面积比例 KT：回忆上一小节，对于球型树冠，在稀疏分布下存在相应表达式。
对于浓密分布，如果不考虑相邻树冠在对方上产生的阴影或遮挡（由于太阳或传感器天顶角过大，或树冠存在不同高度），KC 与 KT 的具体表达式虽然有变化，它们之间的关系是一样的。
总结
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