03-1 第三章 图形变换1.pptx

第1页：二维图形几何变换

计算机图形学讲义 第3章 图形变换——二维图形几何变换

第2页：二维平移

1 二维图形几何变换

1.1 二维平移（Translation）

将图形对象从一个位置 (x, y) 移到另一个位置 (x′，y′) 的变换，平移量为 (Tx, Ty)。

第3页：二维旋转

1.2 二维旋转（Rotation）

以坐标原点为圆心，将对象上的各点 (x, y) 围绕圆心转动一个逆时针角度 θ，转动前后坐标分别为 (x, y) 与 (x′, y′)。

第4页：旋转变换计算实例

实例1

已知平面三角形的三个顶点坐标为 (2,2)、(2,5)、(4,5)。将此三角形绕原点旋转 90 度，计算得到的新三角形三个顶点的坐标。

第5页：绕任意点旋转

绕任意点 (x0, y0) 旋转 θ：

1. 平移物体使 (x0, y0) 位置被移到坐标原点：x′ = x − x0，y′ = y − y0；
2. 绕坐标原点旋转 θ：x″ = x′cosθ − y′sinθ，y″ = y′cosθ + x′sinθ；
3. 平移物体使基准点回到原始位置：x‴ = x″ + x0，y‴ = y″ + y0。

第6页：二维变比

1.3 二维变比（Scaling）

使对象按比例因子 (Sx, Sy) 放大或缩小的变换，变换前后坐标分别为 (x, y) 与 (x′, y′)。

第7页：固定点的比例变换

点 (xf, yf) 位置固定的比例变换：

1. 平移物体使固定点与坐标原点重合：x′ = x − xf，y′ = y − yf；
2. 相对于坐标原点的比例变换：x″ = x′*sx，y″ = y′*sy；
3. 平移物体使固定点回到原始位置：x‴ = x″ + xf，y‴ = y″ + yf。

第8页：二维对称变换

1.4 二维对称变换

当比例因子 Sx 或 Sy 小于 0 时，对象不仅变化大小，而且分别按 x 轴或 y 轴被反射。

第9页：变换矩阵

变换矩阵

第10页：齐次坐标下的3×3矩阵

采用 3*3 的矩阵和齐次坐标系来表示这三种变换，变换结果统一写为：

[x′, y′, 1] = [x, y, 1] * T

第11页：级联变换

级联变换（Composite Transformation）

例如绕任意点 (x0, y0) 旋转 θ，可分解为平移、旋转与反向平移三个基本变换的级联。

第12页：相对任意直线的对称变换

例如：对任意直线 Ax + By + C = 0 的对称变换，分解为：

• T1：平移使直线过原点
• T2：旋转 α 角使直线与坐标轴重合
• T3：关于坐标轴作对称变换
• T4：反向旋转 α 角
• T5：反向平移

最终变换为 [x′, y′, 1] = [x, y, 1] * T。

第13页：组合变换矩阵

组合变换矩阵为：

T = T1 × T2 × T3 × T4 × T5

先计算出 T，然后对每一个需要进行同样变换的物体都进行变换 [x′, y′, 1] = [x, y, 1] * T，而不必重复计算 T = T1 × T2 × T3 × T4 × T5，大大减少了计算量。

第14页：本章作业

作业

已知三角形 ABC 各顶点的坐标分别为 (1,2)、(5,2)、(3,5)，现要求把该三角形相对直线 L 做对称变换。已知直线上两点分别 (1,0)、(7,6)。给出变换 A 点的公式。