页数：39页文件大小：939.5 KB来源： 机械优化设计ppt课件
本课件讲授优化设计的数学基础，从多元函数的方向导数与梯度出发，经泰勒展开给出无约束极值的必要与充分条件，进而讨论凸集、凸函数与凸规划，并推导出等式与不等式约束下的极值条件。
机械设计问题一般是非线性规划问题，实质上是多元非线性函数的极小化问题，因此机械优化设计是建立在多元函数的极值理论基础上的。
第一节 多元函数的方向导数与梯度
对于一个连续可微函数 f(x)，在某一点的一阶偏导数表示函数 f(x) 值在该点沿各坐标轴方向的变化率。本页以二维函数（图2-1）为例说明。
本页为函数的方向导数图示（图2-1），展示二维函数在某点沿 d 方向的方向导数。
函数 f(x) 在点沿 d 方向的方向导数，可用梯度与 d 方向单位向量的内积表示。
二、二元函数的梯度：对于二维函数，在点处的梯度与 d 方向的单位向量作内积，即得该方向的方向导数。
本页承接上页，给出二元函数方向导数与梯度内积关系式的最终形式。
三、多元函数的梯度：沿 d 方向的方向向量与梯度作内积即得方向导数，梯度方向是函数值上升最快的方向。
本页为梯度方向与等值面的关系图（图2-5），显示梯度方向垂直于过该点的等值面，并指向函数值增大的一侧。
若目标函数 f(x) 处处存在一阶导数，则极值点的必要条件是一阶偏导数等于零，即梯度为零。满足此条件仅表明该点为驻点，不能肯定为极值点；即使为极值点，也不能判断为极大点还是极小点，还须给出极值点的充分条件。
设目标函数在点至少有二阶连续的偏导数，则在该点的泰勒二次近似展开式为——引出第二节 多元函数的泰勒展开。
泰勒展开写成向量矩阵形式，即由函数值、梯度与 Hesse 矩阵构成的二次近似表达式。
以上即无约束优化问题的极值条件。
二元函数取得极值的充分必要条件可用 Hesse 矩阵的各阶主子式大于零来判定。本页并给出求函数极值的例题。
第四节 凸集、凸函数与凸规划：由函数极值条件确定的极小点为局部极小点，而优化问题一般是要求目标函数在某一区域内的全局极小点。本页提出问题：函数的局部极小点是不是一定是全局极小点呢？
本页为下凸的一元函数图示（图2-7），用以说明凸函数的几何特征。
凸集的性质见本页图示。
承接上页，满足该不等式的函数称为定义在凸集上的一个凸函数。
三、凸性条件
四、凸规划：对于约束优化问题，若目标函数与约束函数都为凸函数，则此问题为凸规划。
凸规划的性质：
第五节 等式约束优化问题的极值条件：约束优化分为等式约束与不等式约束两类，求解这一问题的方法有消元法与拉格朗日乘子法。
例2-4：用拉格朗日乘子法计算在给定约束条件下目标函数的极值点坐标。
第六节 不等式约束优化问题的极值条件：工程中大多数优化问题可表示为不等式约束条件的优化问题。库恩-塔克（Kuhn-Tucker）条件是不等式约束的多元函数极值的必要条件。
一元函数 f(x) 在给定区间 [a,b] 上的极值问题，可以写成下列具有不等式约束条件的优化问题。
拉格朗日乘子法除了可以应用于等式的极值问题，还可以用于不等式的极值问题，需引入松弛变量，将不等式约束变成等式约束。设 a₁ 和 b₁ 为两个松弛变量，则上述的不等式约束可写为等式形式。
该问题的拉格朗日函数由原目标函数与两个等式约束组合而成；根据拉格朗日乘子法，此问题的极值条件由各偏导数等于零给出。
由此可分别分析起作用约束与不起作用约束。因此，一元函数在给定区间的极值条件可以表示为：区间内部时乘子为零，端点处仅相应约束起作用。
多元库恩-塔克条件需分析极值点在区间的位置，共有三种情况：
当极值点位于区间内部时，两个约束均不起作用，此时极值条件为目标函数的梯度等于零。
当极值点位于区间左端时，左端约束起作用，极值条件为目标函数负梯度表示为该起作用约束梯度的非负线性组合。
当极值点位于区间右端时，右端约束起作用，极值条件同样表示为起作用约束梯度的非负线性组合。
从以上分析可以看出，对应于不起作用约束的拉格朗日乘子取零值，因此可以引入起作用约束的下标集合。一元函数在给定区间的极值条件可以改写为：极值条件中只考虑起作用的约束和相应的乘子。
二、库恩-塔克条件：仿照一元函数给定区间上极值条件的推导过程，可以得到具有不等式约束多元函数的极值条件，用起作用约束的下标集合表示。
用梯度形式表示库恩-塔克条件，可得相应表达式。几何意义：在约束极小点处，函数的负梯度一定能表示成所有起作用约束在该点梯度的非负线性组合。
下面以二维问题为例，说明 K-T 条件的几何意义。
从图中可以看出，负梯度处在由起作用约束梯度张成的角锥之内，即线性组合的系数为正，这是在约束极小点处取得极值的必要条件。
三、库恩-塔克条件应用举例：若给定优化问题的数学模型，则可写出相应的 K-T 条件并据此求解。
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