10 第六章 优化设计方法 6-1 优化设计概述.pptx

第1页：第六章 优化设计概述课件封面

现代机械设计方法：本册内容为第六章 优化设计概述，主讲教师白清顺。

第2页：第六章优化设计方法章节标题页

第六章优化设计方法：本课件讲解优化设计概述，对比传统设计与优化设计的流程差异，通过四连杆机构、齿轮减速器、机床主轴与单件生产率四个示例建立优化模型，并系统推导多元函数梯度、泰勒展开与极值条件。

第3页：产品的设计工作对其质量有十分重要

产品的设计工作对其质量有十分重要：的影响，这是因为产品的设计可赋予产品“先天性优劣”这种至关重要的本质特性。----《产品的结构性能及动态优化设计》作者：闻邦椿产品设计是一个创造性的思维、推理和决策的过程。

现代化的设计工作是借助计算机，应用精确度较高的力学数值分析方法（如有限元法等）进行分析计算，并从大量的可行设计方案中寻找出一种最优的设计方案，从而实现用理论设计代替经验设计，用精确计算代替近似计算，用优化设计代替一般的安全寿命的可行性设计。

第4页：传统设计过程示意图

传统设计过程示意图：在调查分析的基础上参照同类产品，通过估算、经验、类比或实验来确定初始设计方案查阅相关资料、分析国内外研究现状强度、刚度、稳定性分析计算，校核是否满足要求，根据经验或直观判断对参数进行修正零件设计零件具体的加工尺寸设计、完成零件工作作图一、传统设计和优化设计传统设计过程调查分析方案拟定技术设计

第5页：最优化设计方法-现代设计方法

最优化设计方法-现代设计方法：5、传统设计和优化设计优化设计过程强调主动、认为设计过程本身就包含“优化”的概念。作为一项设计不仅仅要求方案可行、合理，而且应该是某些指标达到最优的理想方案。

第6页：古希腊学者欧几里德

古希腊学者欧几里德：1. （Euclid）在公元前300年左右就曾指出：在周长相同的一切矩形中，以正方形的面积为最大。2.在中国古代这种优化的思想亦有所体现。

宋代建筑师李诫《营造法式》中指出：圆木做成矩形截面梁的高宽之比应为三比二。3.包装箱的尺寸参数优化问题。体积为5m3的包装箱，其中某一边长不小于4m，要求使耗材最少，如何确定包装箱的尺寸参数:长、宽和高。

6、传统设计和优化设计优化设计过程历史渊源

第7页：现代化的设计方法

现代化的设计方法：理论设计代替经验设计精确计算代替近似计算优化设计代替一般的安全寿命可行性设计7、传统设计和优化设计简单的优化问题-古典的微分方法一般的工程优化问题-数学规划理论和计算技术

第8页：机械优化设计问题示例

机械优化设计问题示例：输入输出0例平面四连杆机构的优化已知条件：ABx1CDx3BCx2ADx40—输入角—曲柄输入起始角—输出角0—遥杆输出起始角x11.0x4x2x3设计变量设计变量8、机械优化设计问题示例

第9页：遥杆输出满足给定的运动规律

遥杆输出满足给定的运动规律：（关于的函数），即f0()200()23090f()2(j)dmin2取S个点进行数值计算：si134iji)2minf(x)f(x,x)(约束条件：极限传动角；曲柄存在的条件；尺寸约束等目标函数：取机构期望输出角f0()与实际输出角j的平方误差积分准则作为目标函数：例平面四连杆机构的优化、机械优化设计问题示例

第10页：机械优化设计问题示例（续）

机械优化设计问题示例（续）：要求齿轮减速器在满足强度的条件下，使其体积最小，以达到结构紧凑、质量最小的目的。设计参数齿轮齿数：Z1，Z2，Z3，Z4，齿数比齿轮模数螺旋角2IiZ1Z3iIIZZ4mnI，mnII，例齿轮减速器的优化设计10、机械优化设计问题示例

第11页：齿轮减速器优化的设计条件

齿轮减速器优化的设计条件：在给定传递功率P、总传动比i和输出转速n的条件下，要求齿轮减速器在满足强度的条件下，使其体积最小，以达到结构紧凑、质量最小的目的。

设计参数齿轮齿数：Z1，Z2，Z3，Z4，齿数比齿轮模数螺旋角2IiZ1Z311iIIZZ4mnI，mnII，例齿轮减速器的优化设计、机械优化设计问题示例

第12页：传统设计

传统设计：设计变量设计参数（9个）Z2Z1，Z2，Z3，Z4，iIZ1ZiII4Z312mnI，mnII，Z1，Z3，mnI，mnII，，iI给定了总的传动比iiIiII设计变量相对独立原则设计变量（6个）例齿轮减速器的优化设计、机械优化设计问题示例

第13页：给定传递的功率

给定传递的功率：P,总传动比i和输出转速n总的中心距最小nI1InII3IIZ(1i)][mZ(1i)ma1cos约束条件约束条件齿面接触强度条件齿根弯曲强度条件尺寸约束条件g1(x)0g2(x)0不干涉条件g3(x)0xminxmaxxi(i1,2,......)目标函数目标函数例齿轮减速器的优化设计、机械优化设计问题示例

第14页：传统设计：例齿轮减速器的优

传统设计：例齿轮减速器的优：iI]mnImnIInI1InII3II14Z(1i)]min[mZ(1i)mf(x)a1cos求：x[x1x2x3......x6][Z1Z3使得：xminxmaxxigj(x)0(j1,2,......)(i1,2,......,6)S.t.例齿轮减速器的优化设计、机械优化设计问题示例

本页以公式推导为主，源文件提取的数学符号存在粘连，建议对照原课件图片核对公式。

第15页：机械优化设计问题示例例3机床主轴

机械优化设计问题示例例3机床主轴：设计变量：阶梯轴各段轴径（Di）、跨距（Li）及旋伸量（a）约束条件：2y[y]性能约束条件边界约束条件lminlmaxliaminaiamaxDminDiDmaxminmaxaNl1N目标函数：结构的重量最轻l1l2、机械优化设计问题示例例机床主轴的优化设计

第16页：传统设计：约束优化问题

传统设计：约束优化问题：l2l1222(Dd)l(Dd2)a]minikiiif(D,l,a)[Dk约束优化问题：16例机床主轴的优化设计、机械优化设计问题示例

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第17页：传统设计（续）

传统设计（续）：Ttmpmctttq11t单位时间内生产的工件数（生产率）ptmttc——准备时间——加工时间——刀具更换时间T——刀具耐用度qmaxtmin根据泰勒公式：vTnC，目标函数可以表示为：1117pcvn1Cntttv例单件生产率的优化、机械优化设计问题示例

第18页：约束条件切削速度约束条件

约束条件切削速度约束条件：约束条件 ：进给速度约束条件：表面粗糙度约束条件：功率约束条件：sminssmaxvminvvmaxamaxs8RRrP4500Fhsvsvminmaxassmin(s,s)切削速度v和进给速度s将目标函数转化成切削速度v和进给速度s的函数f(s,v)1asmvnmin设计变量设计变量目标函数目标函数例单件生产率的优化、机械优化设计问题示例

第19页：优化过程的三个基本要素

优化过程的三个基本要素：（1）设计变量：x[x1,x2,x3......xn]'19（2）约束条件：g(x)0jhk(x)0(k1,2,...,l)(j1,2,...,m)（3）目标函数：f(x)每一个基本要素具备基本内涵、优化问题的数学模型

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第20页：优化设计问题的数学模型描述

优化设计问题的数学模型描述：求设计变量向量x[x1,x2,x3......xn]'使f(x)min20且满足约束条件h(x)0kgj(x)0(k1,2,...,l)(j1,2,...,m)、优化问题的数学模型

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第21页：无约束优化问题

无约束优化问题：优化问题的几何解释无约束优化问题X(0)X(1)X*X(2)X(3)x2211xf(x)x*xkxk1dkf(xk)kkkminf(xd)

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第22页：优化问题的几何解释

优化问题的几何解释：约束优化问题22

第23页：优化设计方法思考题

优化设计方法思考题：第六章 ：1.试分析优化设计过程的特点强调主动、认为设计过程本身就包含“优化”的概念。作为一项设计不仅仅要求方案可行、合理，而且应该是某些指标达到最优的理想方案。

2.机械优化设计的基本要素及优化问题的数学模型基本要素：设计变量、约束条件、目标函数。f(x)min数学模型：求设计变量向量x[x1,x2,x3......xn]'使且满足约束条件hk(x)0gj(x)0(k1,2,...,l)(j1,2,...,m)

第24页：第六章 优化设计概述过渡页

本页为分册过渡页，标注课程名称现代机械设计方法与主讲教师白清顺，其后进入6.1 优化问题的数学模型与几何解释。

第25页：第六章优化设计方法章节分隔页2

第六章优化设计方法：本课件讲解优化设计概述，对比传统设计与优化设计的流程差异，通过四连杆机构、齿轮减速器、机床主轴与单件生产率四个示例建立优化模型，并系统推导多元函数梯度、泰勒展开与极值条件。

第26页：优化问题的极值条件

优化问题的极值条件

• 机械优化设计问题一般是非线性规划问题，实质上是多元非线性函数的极小化问题。
• 机械优化设计是建立在多元函数的极值理论基础上。
• 无约束优化问题就是数学上的无条件极值问题。
• 约束优化问题是数学上的条件极值问题。26、优化问题的极值条件

第27页：不等式约束优化的极值条件

不等式约束优化的极值条件

• 多元函数的方向导数与梯度
• 多元函数的泰勒展开
• 无约束优化问题的极值条件
• 等式约束优化问题的极值条件
• 不等式约束优化问题的极值条件

第28页：多元函数的方向导数与梯度

多元函数的方向导数与梯度：(1) 、优化问题的极值条件0Δx1Δx1,x20)f(x10,x20)x1xflimf(x10x10028xΔx2x2flimΔx20f(x10，x20Δx2)f(x10,x20)偏导数的概念f(x)f(x1,x2)

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第29页：多元函数的方向导数与梯度（续）

多元函数的方向导数与梯度（续）：(1)多元函数的方向导数与梯度、优化问题的极值条件0Δx1x1xflimf(x10Δx1,x20)f(x10,x20)x100Δx2x2xflimΔx20f(x10，x20Δx2)f(x10,x20)方向导数的概念f(x)f(x1,x2)xΔd0Δx2)f(x10,x20)limf(x10dfΔd0Δx1，x2029

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第30页：多元函数的方向导数与梯度（续2）

多元函数的方向导数与梯度（续2）：(1)多元函数的方向导数与梯度、优化问题的极值条件方向导数的概念f(x)f(x1,x2)030cosfcos1x2x02x0fx1Δx1ΔdΔx1ΔdΔddxΔd0Δd0Δd0limf(x10Δx1，x20Δx2)f(x10Δx1，x20)Δx2limf(x10Δx1，x20)f(x10,x20)Δx1flimf(x10Δx1，x20Δx2)f(x10,x20)

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第31页：优化问题的极值条件（续）

优化问题的极值条件（续）：31、优化问题的极值条件(1)多元函数的方向导数与梯度方向导数的概念221x0x0xcosfcosffdxx1033cosx0x0x02211x0xcosfxcosfffdxiinnfxxxxffni1221x0x0x01x0x0coscoscosfcosfd

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第32页：优化问题的极值条件（续2）

优化问题的极值条件（续2）：(1)多元函数的方向导数与梯度梯度的概念2xxxx2coscosfcosfcos112x21200x01xfffdx00x2xx1ffT12xxfxff(x0)cos2cos1dx00f(x)Tddfx032f(x)Tdf(x)cos(f,d)00fd

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第33页：优化问题的极值条件梯度方向与等值

优化问题的极值条件梯度方向与等值：线之间的关系x0f(x)Tdf(x)cos(f,d)00df(1)多元函数的方向导数与梯度梯度的概念注意负梯度作用！

第34页：优化问题的极值条件22x5f

优化问题的极值条件22x5f：34、优化问题的极值条件22x5f(x,x)x2x24x2400102x2x22x2x14xfx12121ff(x)120(4)2(2)225xxf(x)(f)2(f)251522524p0f(x0)f(x)(1)多元函数的方向导数与梯度梯度的概念（例题）

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第35页：多元函数的泰勒展开

多元函数的泰勒展开：(2) 、优化问题的极值条件200021f(x)xf(x)f(x)f(x)x00xxx,x2(xx)2其中一元函数的泰勒展开12221221211x2x22fxxxx2fx222x212fxxfxx)ff(x1,x2)f(x10,x20x0x0x0x01x0二元函数的泰勒展开x1x1x10,x2x2x20其中

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第36页：泰勒展开的矩阵表达

泰勒展开的矩阵表达：(2)多元函数的泰勒展开、优化问题的极值条件xG(x)x211200021212121010TT11xxx2fxxx222fxx2x22f2fxxxx1fxxf(x)f(x)ff(x)f(x)x212112001xxx22fxx2fxx2fx22f,xG(x)2x

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第37页：海塞矩阵

海塞矩阵：(2)多元函数的泰勒展开、优化问题的极值条件2211212f2fxxx2xx2fx22fG(x)海塞矩阵：2112......1nx2xx...2.........2f2f...xx2fxx2fx22f2fxx2fxx2fx22fn2n12n1nG(x)xx二元函数多元函数

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第38页：优化问题的极值条件必要条件

优化问题的极值条件必要条件：38、 ：f(x0)02112......1nx2xx...2.........2f2f...xx2f2fx22f2fxx2fxx2fx22fn1n22n1n充分条件：G(x)xx(3)无约束优化问题的极值条件xx正定各阶主子式大于零

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第39页：充分条件

充分条件：在该点的海塞矩阵正定，即海塞矩阵的各阶主子式大于零(3)无约束优化问题的极值条件、优化问题的极值条件必要条件：在该点的梯度是零向量f(x0)0121221例题：f(x,x)x2x24x2x52x201x10x022x222x14xfxff(x)1002200121202x2fx2x1x2fxxx22f2fG(x)满足无约束优化问题的极值条件

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第40页：优化问题的极值条件降维的方法

优化问题的极值条件降维的方法：（消元法）升维的方法(4)等式约束优化问题的极值条件minf(x)lk1F(x,λ)f(x)khk(x)0(k1,2,,l)(i1,2,,n)F0xiFk（拉格朗日乘子法）2,x,,x)2l1l2nxll(xl1,xl2,,xn)x(xs.t.h(x)0(k1,2,,l)x11(xl1,xl2,,xn)F(xl1,xl2,,xn)

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第41页：优化问题的极值条件（续3）

优化问题的极值条件（续3）：(4)不等式约束优化问题的极值条件一元函数在给定区间上的极值条件121101g1(x)0,2g2(x)010,20dgdxdxdxdfdg41

第42页：不等式约束优化问题的极值条件库恩

不等式约束优化问题的极值条件库恩：(4) -塔克条件、优化问题的极值条件*mj1ij0jixg(x*)xf(x*)jgj(x)0j0(i1,2,,n)(j1,2,,m)

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第43页：优化设计问题的基本解法

优化设计问题的基本解法：（1）解析解法与数值解法解析解法：数学方程建模；微分、变分的方法求解数值解法：插值或拟合；探索性的计算

第44页：计算最佳步长

计算最佳步长：xxk1xkkkdxk1xk六、优化设计问题的基本解法（2）优化准则法与数学规划法（数值解法）xk1Cxkk核心问题：1.建立搜索方向；2.计算最佳步长

第45页：种类型的收敛条件

种类型的收敛条件：（迭代终止准则）xpxmn45iixmixpn(ximxip)2或i1或、优化设计问题的基本解法（3）迭代终止条件收敛性是指某种迭代程序产生的序列xk(k0,1,...)收敛于limxk1x*k序列{xk}收敛的充要条件是：对于任意指定的实数0，都存在一个只与有关而与x无关的自然数N,使得当两自然数m,p>N时，满足

第46页：思考题

思考题

1. 必要条件
2. 充分条件3.说明优化设计问题数值求解方法包含有哪两种方法？优化准则法与数学规划法

第47页：第六章 优化设计概述过渡页

本页为分册过渡页，标注课程名称现代机械设计方法与主讲教师白清顺，其后进入6.1 优化设计问题的基本解法与迭代终止。

第48页：第六章优化设计方法章节分隔页3

第六章优化设计方法：本课件讲解优化设计概述，对比传统设计与优化设计的流程差异，通过四连杆机构、齿轮减速器、机床主轴与单件生产率四个示例建立优化模型，并系统推导多元函数梯度、泰勒展开与极值条件。

第49页：一维搜索的定义

一维搜索的定义

• f(xkdk)()kk一维搜索方法的本质：关于k的一元函数极值问题、一维搜索方法1、一维搜索的定义在第k次迭代时，从已知点xk出发，沿给定方向dk求最优步长因子k，使f(xk
• 达到最小值的过程，称为一维搜索。k49kdxk1xk数学规划法

第50页：一维搜索方法2、一维搜索的目的意义

一维搜索方法2、一维搜索的目的意义

• 为约束优化方法的研究提供了策略思想、概念基础和基本方法
• 为约束优化问题的间接解法提供了有效而方便的方法
• 不可避免地还存在无约束优化的设计问题。

第51页：一维搜索的几何解释

一维搜索的几何解释：x2511xf(x)x*xkxk1dkf(xk)kkminf(xkd)给定方向dk、一维搜索方法一维搜索方法的几何解释

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第52页：一维搜索的求解方法

一维搜索的求解方法：步骤:2f(xad)f(x)dTf(x)1(d)TG(d)252f(x)dTf(x)12dTGdf(xd)的形式，并进行①将f(xkdk)简写成k泰勒展开；②取到二次项，即()、一维搜索方法3、一维搜索的求解方法:（1）解析法

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第53页：④求得最优步长因子

④求得最优步长因子：dTGd53*df(x)T③对α进行微分，令其为零。df(xd)0ddTf(x)*dTGd0梯度：f(xk)海塞矩阵：G(xk)缺点：需要进行求导计算上述解析法求解一维搜索问题需要计算在xxk点对于函数关系复杂、求导困难或无法求导情况，使用该方法将是非常不便的。

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第54页：一维搜索的求解方法（续）

一维搜索的求解方法（续）：一维搜索方法3、一维搜索的求解方法:（2）数值法利用计算机通过反复迭代计算求得最佳步长因子*的近似值。采用数值解法求解一维搜索问题的基本思想（基本步骤）：✓确定所在的搜索区间。

✓不断缩小搜索区间，从而获得数值近似解。

第55页：一维搜索的求解方法：应用序列消去原理

一维搜索的求解方法：应用序列消去原理：一维搜索方法3、一维搜索的求解方法:分类：试探法——应用序列消去原理：黄金分割法、斐波纳契方法、插值法——利用多项式函数逼近（曲线拟合）原理：牛顿法、二次插值法、三次插值法

第56页：搜索区间的确定与区间消去法原理

搜索区间的确定与区间消去法原理

• 外推法确定搜索区间
• 单谷（单峰）区间：在所考虑的区间[a，b]内部，函数f()有唯一的极小点*。

第57页：外推法确定搜索区间

外推法确定搜索区间

• 外推法确定搜索区间
• 外推法（进退法）对于性态比较明显的单变量函数，单峰区间可以根据实际情况人为地选定。对于性态复杂的单变量函数，一般需要利用数值计算的方法，确定单峰区间。

第58页：单峰区间的确定

单峰区间的确定

• 外推法（进退法）正向搜索的外推法、一维搜索方法4、搜索区间的确定与区间消去法原理
• 外推法确定搜索区间

第59页：正向搜索的外推法

正向搜索的外推法

• 外推法确定搜索区间
• 外推法（进退法）反向搜索的外推法

第60页：反向搜索的外推法

反向搜索的外推法

• 外推法确定搜索区间
• 外推法（进退法）

第61页：外推法的程序框图

外推法的程序框图

• 外推法确定搜索区间
• 外推法（进退法）

第62页：一维搜索方法

一维搜索方法：输出62、 4、搜索区间的确定与区间消去法原理（1）外推法确定搜索区间外推法的程序框图

第63页：搜索区间的确定与区间消去法原理（续）

搜索区间的确定与区间消去法原理（续）

• 区间消去法原理当含有极值点的单谷搜索区间[a,b]确定之后，应逐步缩短搜索区间，从而找到极小点的数值近似解。采用区间消去法来实现搜索区间的逐步缩短。实现步骤
• 在搜索区间[a,b]内取两点：a1，b1，保证a1<b1。
• 计算函数值f(a
• 和f(b
• ，并比较二者的大小。
• 函数值的大小可能存在以下三种情况

第64页：区间消去法的保留区间

区间消去法的保留区间：a)64f(a1)f(b1)b)f(a1)f(b1)c)f(a1)f(b1)、一维搜索方法4、搜索区间的确定与区间消去法原理（2）区间消去法原理

本页以公式推导为主，源文件提取的数学符号存在粘连，建议对照原课件图片核对公式。

第65页：一维搜索方法：根据函数值关系保

一维搜索方法：根据函数值关系保：*****•根据函数值关系保留区间。•在新的区间内重新确定一个插入点•重新判断函数值的大小，依此进行直到区间缩短到足够短为止。

65根据函数值的大小关系来判断可能的极值点位置f(a1)f(b1)f(a1)f(b1)f(a1)f(b1)a,b111a,ba1,ba,b1a1,b

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第66页：一维搜索方法的分类原则

一维搜索方法的分类原则

• 试探法
• 插值法（函数逼近法）

第67页：一维搜索方法的分类类别差异

一维搜索方法的分类类别差异：一维搜索方法5、 ：试探法：按照某种给定的规律来确定区间内插入点的位置。该方法只关心插入点的位置如何使区间加快，而不考虑函数值的分布关系。

插值法：这类方法是根据某些点处的某些信息，如函数值、一阶导数、二阶导数等，构造一个插值函数来逼近原来函数，用插值函数的极小点作为区间的插入点。

第68页：优化设计方法思考题：插值法

优化设计方法思考题：插值法

1. 试探法
2. 插值法（函数逼近法）