06 5-2 有限元法中单元特性的导出方法.pptx

第1页：第五章 有限元单元特性导出课件封面

现代机械设计方法：本册内容为第五章 有限元单元特性导出，主讲教师白清顺。

第2页：有限元法中单元特性的导出方法单元特性

有限元法中单元特性的导出方法单元特性：单元的刚度矩阵、质量矩阵、热刚阵等。建立刚阵的方法：一直接方法二虚功原理方法三能量变分原理方法四加权参数法{F}[K]{q}

第3页：一直接方法直接

一直接方法直接：应用物理概念来建立单元的有限元方程和分析单元特性（单元刚度矩阵）；用于推导杆、梁单元的刚度矩阵。易于理解、物理概念清楚，对复杂问题应用困难。

有限元法中单元特性的导出方法

第4页：单元的节点位移列阵

单元的节点位移列阵：单元的节点力列阵有限元法中单元特性的导出方法ziqjqiq4zj3vj21viziMFjFiF4Mzj3Fyj21Fyi4

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第5页：直接方法推导梁单元刚度矩

直接方法推导梁单元刚度矩：F[K]q55.2有限元法中单元特性的导出方法kij表示j号节点的单位位移对i号节点力的贡献。由功的互等定理有kij=kji，所以单元刚度矩阵是对称的。

第6页：有限元法中单元特性的导出方法

有限元法中单元特性的导出方法：EIyiFl3viyiFl2i2EIi2EIMl2vziMlziEIi梁的变形公式：剪力作用：6弯矩作用

第7页：梁单元刚度系数的直接推导

梁单元刚度系数的直接推导：vi1假设由梁的变形公式得：挠度：倾角：解得：zivjzj01Ml2EI2EIFl3vziyii0Ml2EIEIFl2ziyii11l3Fyi12EIk21l2Mzi6EIk有限元法中单元特性的导出方法

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第8页：由静力平衡求节点力

由静力平衡求节点力：根据静力平衡条件可以求得：41l2Mzi6EIk31l3Fyj12EIk11l3Fyi12EIk218l2Mzi6EIkMzjFyilMziFyjFyi有限元法中单元特性的导出方法

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第9页：梁单元刚度系数矩阵

梁单元刚度系数矩阵：由梁的变形公式得：vivjzj05.2有限元法中单元特性的导出方法12l2k6EI同理1zi32l2k6EIlk224EIl2EIk42类似的13l3k12EI33l3k12EIlk236EIk436EI14l2k6EI34l2k6EIlk242EIll24EIk449

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第10页：平面弯曲梁单元的单元特性矩阵

平面弯曲梁单元的单元特性矩阵：（刚度矩阵）22126l2l6l2l2126l126l6l4l26l6l126l4ll3EIKz10zizzjziEIMFyjMFyizj222l34l6l2l6lvj126lvi126l126l4l26l2l6l126l有限元法中单元特性的导出方法平面弯曲梁单元的有限元方程

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第11页：有限元法中单元特性的导出方法二虚

有限元法中单元特性的导出方法二虚

• 虚功原理是力学中的一个普遍原理，适用于弹性连续体。
• 虚功原理：设弹性体在外力作用下处于平衡状态，当弹性体产生微小的虚位移并同时在弹性体内产生虚应变时，外力在虚位移上所做的虚功等于弹性体内各点的应力在虚应变上所做的虚功的总和。虚功原理是能量守恒原理的具体应用。
• 虚位移：弹性体产生的一组约束（支撑）条件所许可的、数值不确定的微小位移。

第12页：微元应力与虚应变

微元应力与虚应变：有限元法中单元特性的导出方法xyyx**xyyx**jjkkii·T**v*u*v*u*v*qu微元应力FyiFxjFyjFxkFyk·TFFxi微元虚应变微元外力微元虚位移

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第13页：有限元法中单元特性的导出方法虚功方程

有限元法中单元特性的导出方法虚功方程：二维问题q*TFS*Tdxdyt•三维问题q*TF*Tdxdydz13

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第14页：虚功原理法：有限元法中单元特

虚功原理法：有限元法中单元特：14d4vEIz40dxxv'x有限元法中单元特性的导出方法设定位移函数梁的基本微分方程式：v'0ziv0vivlvjv'lzj在x=0处：在x=l处

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第15页：梁单元位移函数的待定系数

梁单元位移函数的待定系数：155.2有限元法中单元特性的导出方法xvxa2ax3ax2z234v'0zi321234zj234jaalalalvvlv'la2al3al2vxa1a2xa3x2a4x3aa43a1ax32Sax2vx1x设在x=0处：v0vi在x=l处：写成矩阵aajzjzivq432Cal33l2010a00a1vi10010ll212l

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第16页：位移函数的矩阵表达

位移函数的矩阵表达：165.2有限元法中单元特性的导出方法jzivazjl00vi1200l3002l3ll212ll3l33laC1qa43a2a1jzivzj3l0vi2000l3002l3ll212ll31xx3lx21l3vxSC1qaa43a1ax32Sax2vx1x

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第17页：平面梁单元形状函数

平面梁单元形状函数：175.2有限元法中单元特性的导出方法jzivzj3l0vi2000l3002l3ll212ll31xx3lx21l3vxSC1ql3l3l3l3vNNNjzizjjziiNzj1l2x2lx3Nj13lx22x3Nzi1l3x2l2x2lx3Ni1l33lx22x3NqvivxNzj[N]称为平面梁单元的形状函数矩阵

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第18页：结构分析的有限元法真实的二次曲线

结构分析的有限元法真实的二次曲线：节点单元二次曲线的线性近(不理想结果).2节点单元DOF值二次分布...1节点单元线性近似(更理想的结果)真实的二次曲线.....3节点单元二次近似(接近于真实的二次近似拟合)(最理想结果).18.4单元形函数

第19页：有限元法中单元特性的导出方法由位

有限元法中单元特性的导出方法由位：移函数求应变由材料力学可知，直梁弯曲问题2dxd2vxyyv"(x)zjzjjjziiizijziiN"N"N"N"N"vN"N"vzjzizjvjviv"xN"qN"zijziixzjvjvizjN"N"N"yN"qyN"19

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第20页：有限元法中单元特性的导出方法（续）

有限元法中单元特性的导出方法（续）：有限元法中单元特性的导出方法"20Eyv(x)xxd2vEEydx23根据虎克定律通过应变求应力

第21页：有限元法中单元特性的导出方法由虚

有限元法中单元特性的导出方法由虚：功原理求刚度矩阵根据虚功原理，当结构受载荷作用处于平衡状态时，在任意给出的节点虚位移下，外力（节点力）{F}及内力{σ}所做的虚功之和等于零。

21AA0F设单元的两个节点产生了虚位移jzivviqzj单元内部也产生了与节点虚位移相协调的虚应变xyN"iN"ziN"jN"zjq

第22页：有限元法中单元特性的导出方法（续2）

有限元法中单元特性的导出方法（续2）：有限元法中单元特性的导出方法将应变和应力带入虚功方程AA0FqNNNqydxdyTlTTlTTVT"0""0"2EIzqqNdxdydzEqF"22Eyv(x)xxd2vEEydx2yN"iN"ziN"jN"zjqx

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第23页：平面梁单元刚度矩阵

平面梁单元刚度矩阵：有限元法中单元特性的导出方法zjziilzjllzizjlizjljzjljlzijlijlzizilzilzilizilizjlijlizilizjyivdxNNjNzjdxNNdxNNdxvdxjNNNdxNNdxNNdxNNjdxdxNNNdxdxNNNNdxNdxNNdxFyjMMziF0"20""0""0""0""0"20NN"dx"0""0""0""0"2EIz0""0""0""0""0"2lTTlTTT"0V0""2EIzEydxdyqN"TNqqNNqdxdydzqFzizziEIMzjFyjMFyizj222l34l6l2l6lvj126lvi6l126l4l26l2l6l126l12FKq23

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第24页：第五章 有限元单元特性导出结束页

本页为分册结束页，第五章 有限元单元特性导出（结束页）内容讲授完毕。