01 第一章　随机事件及其概率.ppt

第1页：概率与统计课程封面

《概率与统计》课程封面。

第2页：教材与参考书

教材

《概率与统计》陈萍等编，科学出版社，2002

参考书一

《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等编，高等教育出版社

参考书二

《概率论与数理统计三十三讲》魏振军编，中国统计出版社

第3页：序言：概率论研究什么

序言：概率论是研究什么的？

随机现象

不确定性与统计规律性

概率论

研究和揭示随机现象的统计规律性的科学

第4页：第一章 随机事件及其概率

第一章 随机事件及其概率

• 随机事件及其运算
• 概率的定义及其运算
• 条件概率
• 事件的独立性

第5页：随机试验及其特点

1.1 随机事件及其概率：一、随机试验（简称“试验”）。

随机试验的特点（p2）：

1. 可在相同条件下重复进行；
2. 试验可能结果不止一个，但能确定所有的可能结果；
3. 一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。

随机试验可表为 E。

第6页：随机试验举例E1-E7

随机试验的例：

• E1：抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面
• E2：将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况
• E3：将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数
• E4：掷一颗骰子，考虑可能出现的点数
• E5：记录某网站一分钟内受到的点击次数
• E6：在一批灯泡中任取一只，测其寿命
• E7：任选一人，记录他的身高和体重

第7页：样本空间与样本点

二、样本空间（p2）

样本空间

实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为 S={e}

样本点

试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点，记为 e

基本事件

由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件，也记为 e

EX：给出 E1—E7 的样本空间。

第8页：随机事件的定义

随机事件

定义（p3 定义1.1.2）

试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”，简称“事件”，记作 A、B、C 等。任何事件均可表示为样本空间的某个子集。称事件 A 发生当且仅当试验的结果是子集 A 中的元素。

两个特殊事件

必然事件 S、不可能事件 ∅

例如对于试验 E2：A＝“至少出一个正面”＝{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH}；B＝“两次出现同一面”＝{HHH, TTT}；C＝“恰好出现一次正面”＝{HTT, THT, TTH}。试验 E6 中 D＝“灯泡寿命超过 1000 小时”。

第9页：事件之间的关系

三、事件之间的关系

可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率。

同一样本空间中不同的事件之间有一定的关系，如试验 E2 中当结果为 HHH 时，事件 A 和 B 同时发生；但事件 B 和 C 在任何情况下均不可能同时发生。事件之间的关系由它们所包含的样本点决定，可用集合之间的关系来描述。

第10页：事件的包含关系

1. 包含关系（p4）：“A 发生必导致 B 发生”记为 A⊂B。

A＝B ⟺ A⊂B 且 B⊂A。

第11页：和事件

2. 和事件（p4）：“事件 A 与 B 至少有一个发生”，记作 A∪B。

n 个事件 A1, A2, …, An 至少有一个发生，记作 A1∪A2∪…∪An。

第12页：积事件

3. 积事件（p4）：A 与 B 同时发生，记作 A∩B＝AB。

n 个事件 A1, A2, …, An 同时发生，记作 A1A2…An。

第13页：差事件

4. 差事件（p5）：A－B 称为 A 与 B 的差事件，表示事件 A 发生而 B 不发生。

思考：何时 A-B＝∅？何时 A-B＝A？

第14页：互斥事件

5. 互斥的事件（p5）：AB＝∅。

第15页：互逆事件

6. 互逆的事件（p5）：A∪B＝Ω，且 AB＝∅。

第16页：事件的运算律

五、事件的运算（p5）

1. 交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA
2. 结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，(AB)C＝A(BC)
3. 分配律：(A∪B)C＝(AC)∪(BC)，(AB)∪C＝(A∪C)(B∪C)
4. 对偶（De Morgan）律

第17页：三人射击事件的运算表示

例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以 A、B、C 分别表示甲、乙、丙命中目标，试用 A、B、C 的运算关系表示下列事件。

本页所列具体事件在源文件中为图片，未提取到文字，建议对照原图补充。

第18页：概率的直观定义

1.2 概率的定义及其运算：从直观上来看，事件 A 的概率是指事件 A 发生的可能性。

P(A) 应具有何种性质？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？掷一颗骰子，出现 6 点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？向目标射击，命中目标的概率有多大？

第19页：古典概型的定义

1.2.1 古典概型与概率（p6）：若某实验 E 满足

1. 有限性：样本空间 S＝{e1, e2, …, en}
2. 等可能性：（公认）P(e1)＝P(e2)＝…＝P(en)

则称 E 为古典概型，也叫等可能概型。

第20页：古典概型的概率计算

设事件 A 中所含样本点个数为 N(A)，以 N(S) 记样本空间 S 中样本点总数，则 P(A)＝N(A)/N(S)。

P(A) 具有如下性质（P7）：

1. 0≤P(A)≤1
2. P(Ω)＝1，P(∅)＝0
3. AB＝∅，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)

第21页：三个子女家庭至少一男孩

例：有三个子女的家庭，设每个孩子是男是女的概率相等，则至少有一个男孩的概率是多少？

设 A——至少有一个男孩，以 H 表示某个孩子是男孩。

N(S)＝{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, TTH, THT, TTT}；N(A)＝{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, TTH, THT}。

第22页：乘法公式与排列组合复习

二、古典概型的几类基本问题

复习：排列与组合的基本概念。

乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有 n₁ 种方法，第二步有 n₂ 种方法，则完成这件事共有 n₁n₂ 种方法。

第23页：加法公式

加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有 n₁ 种方法，第二种途径有 n₂ 种方法，则完成这件事共有 n₁+n₂ 种方法。

第24页：有重复排列

有重复排列：从含有 n 个元素的集合中随机抽取 k 次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，共有 n^k 种排列方式。

第25页：无重复排列

无重复排列：从含有 n 个元素的集合中随机抽取 k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，共有 P_n^k＝n(n-1)…(n-k+1) 种排列方式。

第26页：组合

组合：从含有 n 个元素的集合中随机抽取 k 个，共有 C_n^k＝n!/[k!(n-k)!] 种取法。

第27页：抽球问题例1

1、抽球问题

例1：设盒中有 3 个白球，2 个红球，现从盒中任抽 2 个球，求取到一红一白的概率。

设 A——取到一红一白。答：取到一红一白的概率为 3/5。

第28页：抽球问题的一般公式

一般地，设盒中有 N 个球，其中有 M 个白球，现从中任抽 n 个球，则这 n 个球中恰有 k 个白球的概率是 C_M^kC_N-M^n-k/C_Nⁿ。

第29页：抽球模型的实际意义

在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。

选择抽球模型的目的在于使问题的数学意义更加突出，而不必过多地交代实际背景。

第30页：分球入盒问题例2

2、分球入盒问题

例2：将 3 个球随机地放入 3 个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？

设 A：每盒恰有一球，B：空一盒。

第31页：分球入盒一般公式与生日问题

一般地，把 n 个球随机地分配到 m 个盒子中去（n≤m），则每盒至多有一球的概率是 P_mⁿ/mⁿ。

思考：某班级有 n 个人（n≤365），问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？

第32页：分组问题例3

3. 分组问题

例3：30 名学生中有 3 名运动员，将这 30 名学生平均分成 3 组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3 名运动员集中在一个组的概率。

设 A：每组有一名运动员；B：3 名运动员集中在一个组。

第33页：分组问题的一般分法

一般地，把 n 个球随机地分成 m 组（n>m），要求第 i 组恰有 n_i 个球（i＝1,…,m），共有分法 n!/(n₁!n₂!…n_m!)。

第34页：随机取数问题例4

4. 随机取数问题

例4：从 1 到 200 这 200 个自然数中任取一个，（1）求取到的数能被 6 整除的概率；（2）求取到的数能被 8 整除的概率；（3）求取到的数既能被 6 整除也能被 8 整除的概率。

N(S)＝200，N(1)＝[200/6]＝33，N(2)＝[200/8]＝25，N(3)＝[200/24]＝8。（1）（2）（3）的概率分别为 33/200、1/8、1/25。

第35页：频率的定义

某人向目标射击，以 A 表示事件“命中目标”，P(A)＝？

定义（p9）：事件 A 在 n 次重复试验中出现 n_A 次，则比值 n_A/n 称为事件 A 在 n 次重复试验中出现的频率，记为 f_n(A)，即 f_n(A)＝n_A/n。

1.3 频率与概率

第36页：抛硬币试验历史数据表

历史上曾有人做过试验，试图证明抛掷匀质硬币时出现正反面的机会均等。

第37页：频率的性质

频率的性质

1. 0≤f_n(A)≤1
2. f_n(S)＝1，f_n(∅)＝0
3. 可加性：若 AB＝∅，则 f_n(A∪B)＝f_n(A)＋f_n(B)

实践证明：当试验次数 n 增大时，f_n(A) 逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作 P(A)，作为事件 A 的概率。

第38页：概率的公理化定义引入

1.3.2 概率的公理化定义

注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率都应具有前述三条基本性质，在数学上就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义。

第39页：概率公理三条条件

定义（p10）：若对随机试验 E 所对应的样本空间 Ω 中的每一事件 A，均赋予一实数 P(A)，集合函数 P(A) 满足条件：

1. P(A)≥0；
2. P(S)＝1；
3. 可列可加性：设 A₁, A₂, … 是一列两两互不相容的事件，即 A_iA_j＝∅（i≠j），有 P(A₁∪A₂∪…)＝P(A₁)＋P(A₂)＋…

则称 P(A) 为事件 A 的概率。

第40页：概率的可加性与单调性

2. 概率的性质（P10-13）

1. 有限可加性：设 A₁, …, A_n 是 n 个两两互不相容的事件，则 P(A₁∪…∪A_n)＝P(A₁)＋…＋P(A_n)
2. 单调不减性：若事件 A⊃B，则 P(A)≥P(B)
3. 事件差：A、B 是两个事件，则 P(A-B)＝P(A)－P(AB)

第41页：概率的加法公式与可分性

4. 加法公式：对任意两事件 A、B，有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，该公式可推广到任意 n 个事件的情形
5. 互补性：P(Ā)＝1－P(A)
6. 可分性：对任意两事件 A、B，有 P(A)＝P(AB)＋P(AḂ)

第42页：三种报纸订阅概率例题

例：某市有甲、乙、丙三种报纸，订每种报纸的人数分别占全体市民人数的 30%，其中有 10% 的人同时订甲、乙两种报纸，没有人同时订甲丙或乙丙报纸。求从该市任选一人，他至少订有一种报纸的概率。

设 A、B、C 分别表示选到的人订了甲、乙、丙报。

第43页：能被2或3整除的概率

例1.3.2：在 1～10 这 10 个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被 2 或 3 整除的概率；（2）取到的数既不能被 2 也不能被 3 整除的概率；（3）取到的数能被 2 整除而不能被 3 整除的概率。

设 A——取到的数能被 2 整除；B——取到的数能被 3 整除。

第44页：抽签问题与条件概率引入

袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球（不放回），问第一个人取得红球的概率是多少？第二个人取得红球的概率是多少？

第45页：条件概率的定义

若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？

已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率称为 A 条件下 B 的条件概率，记作 P(B|A)。

若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？

第46页：不放回取球的条件概率

一、条件概率

例1：设袋中有 3 个白球，2 个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率；（2）求第二次取到红球的概率；（3）求两次均取到红球的概率。

设 A——第一次取到红球，B——第二次取到红球。

第47页：条件概率例1的样本空间划分

例1 图示：S＝A∪Ā，其中 A——第一次取到红球，B——第二次取到红球。

本页图示在源文件中为图片，未提取到文字，建议对照原图补充。

第48页：条件概率的计算公式

显然，若事件 A、B 是古典概型的样本空间 S 中的两个事件，其中 A 含有 n_A 个样本点，AB 含有 n_AB 个样本点，则称 n_AB/n_A 为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率（p14）。

一般地，设 A、B 是 S 中的两个事件，则 P(B|A)＝P(AB)/P(A)（P(A)>0）。

第49页：关于条件概率的思考

思考：“条件概率”是“概率”吗？何时 P(A|B)＝P(A)？何时 P(A|B)>P(A)？何时 P(A|B)<P(A)？

概率定义回顾：非负性 P(A)≥0、规范性 P(S)＝1、可列可加性三条公理。

第50页：新旧乒乓球分类表

例2（p14）：一盒中混有 100 只新、旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。

设 A——从盒中随机取到一只红球；B——从盒中随机取到一只新球。

第51页：概率的乘法公式

二、乘法公式（p15）：设 A、B∈S，P(A)>0，则 P(AB)＝P(A)P(B|A)。此式称为事件 A、B 的概率乘法公式。

还可推广到三个事件的情形：P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)。

一般地：P(A₁A₂…A_n)＝P(A₁)P(A₂|A₁)…P(A_n|A₁…A_n-1)。

第52页：例3：取球后同色放回

例3：盒中有 3 个红球，2 个白球，每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球 4 次，试求第 1、2 次取得白球、第 3、4 次取得红球的概率。

设 A_i 为第 i 次取球时取到白球。

第53页：例4：三家工厂的次品率

三、全概率公式与贝叶斯公式

例4（p16）：市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为 1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2%、1%、3%，试求市场上该品牌产品的次品率。

第54页：样本空间的划分

定义（p17）：事件组 A₁, A₂, …, A_n（n 可为∞）称为样本空间 S 的一个划分，若满足两两互不相容且其并为 S。

第55页：全概率公式

定理1（p17）：设 A₁, …, A_n 是 S 的一个划分，且 P(A_i)>0（i＝1,…,n），则对任何事件 B∈S 有 P(B)＝Σ P(A_i)P(B|A_i)。此式称为全概率公式。

第56页：例5：两袋转球问题

例5（P17）：有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球、1 个红球，乙袋中有两个红球、一个白球，这六个球手感上不可区别。今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？

设 A₁——从甲袋放入乙袋的是白球；A₂——从甲袋放入乙袋的是红球；B——从乙袋中任取一球是红球。

第57页：贝叶斯公式

定理2（p18）：设 A₁, …, A_n 是 S 的一个划分，且 P(A_i)>0，则对任何事件 B∈S，有 P(A_i|B)＝P(A_i)P(B|A_i)/Σ P(A_j)P(B|A_j)。此式称为贝叶斯公式。

思考：上例中若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？

第58页：玻璃杯次品数的贝叶斯推断

商店论箱出售玻璃杯，每箱 20 只，其中每箱含 0、1、2 只次品的概率分别为 0.8、0.1、0.1。某顾客选中一箱，从中任选 4 只检查，结果都是好的，便买下了这一箱。问这一箱含有一个次品的概率是多少？

设 A：从一箱中任取 4 只检查，结果都是好的；B₀、B₁、B₂ 分别表示事件“每箱含 0、1、2 只次品”。已知 P(B₀)＝0.8，P(B₁)＝0.1，P(B₂)＝0.1，由 Bayes 公式求解。

第59页：例6：数字通讯的译码概率

例6（p18）：数字通讯过程中，信源发射 0、1 两种状态信号，其中发 0 的概率为 0.55，发 1 的概率为 0.45。由于信道中存在干扰，在发 0 的时候，接收端分别以概率 0.9、0.05 和 0.05 接收为 0、1 和“不清”；在发 1 的时候，接收端分别以概率 0.85、0.05 和 0.1 接收为 1、0 和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号，问发端发的是 0 的概率是多少？

设 A——发射端发射 0，B——接收端接收到一个“1”的信号。由贝叶斯公式得 P(A|B)＝0.067。

第60页：条件概率小结

条件概率小结

• 缩减样本空间
• 定义式
• 乘法公式
• 全概率公式
• 贝叶斯公式

第61页：两事件相互独立

1.5 事件的独立性：一、两事件独立（P19）

定义1：设 A、B 是两事件，P(A)≠0，若 P(B)＝P(B|A)，则称事件 A 与 B 相互独立。

式（1.5.1）等价于：P(AB)＝P(A)P(B)。

第62页：独立性的等价命题

从一副 52 张的扑克牌中任意抽取一张，以 A 表示抽出一张 A，以 B 表示抽出一张黑桃，问 A 与 B 是否独立？

定理：事件 A 与 B、A 与 B̄、Ā 与 B、Ā 与 B̄ 四组独立互为等价。

第63页：多个事件的独立性

二、多个事件的独立

定义2（p20）：若三个事件 A、B、C 满足 P(AB)＝P(A)P(B)、P(AC)＝P(A)P(C)、P(BC)＝P(B)P(C)，则称事件 A、B、C 两两相互独立；若在此基础上还满足 P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)，则称事件 A、B、C 相互独立。

第64页：n个事件的相互独立性

一般地，设 A₁, A₂, …, A_n 是 n 个事件，如果对任意 k（1<k≤n）、任意的 1≤i₁<i₂<…<i_k≤n，具有 P(A_i1A_i2…A_ik)＝P(A_i1)P(A_i2)…P(A_ik)，则称 n 个事件相互独立。

思考：一颗骰子掷 4 次至少得一个六点与两颗骰子掷 24 次至少得一个双六，哪一件事有更多机会遇到？答：0.518 与 0.496。

第65页：独立性在可靠性理论中的应用

三、事件独立性的应用

1. 加法公式的简化：若事件 A₁, A₂, …, A_n 相互独立，则 P(∪A_i)＝1－Π P(Ā_i)
2. 在可靠性理论上的应用

P23、24：如图，1、2、3、4、5 表示继电器触点，假设每个触点闭合的概率为 p，且各继电器接点闭合与否相互独立，求 L 至 R 是通路的概率。

第66页：继电器通路概率求解

设 A——L 至 R 为通路，A_i——第 i 个继电器通（i＝1,2,…,5），由全概率公式展开求解。

第67页：第一章小结

EX1：一个学生欲到三家图书馆借一本参考书。每家图书馆购进这种书的概率是 1/2，购进这种书的图书馆中该书被借完了的概率也是 1/2。各家图书馆是否购进该书相互独立。问该学生能够借到书的概率是多少？

第一章小结：本章由六个概念（随机试验、事件、概率、条件概率、独立性），四个公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）和一个概型（古典概型）组成。