03 第三章　随机变量的数字特征.ppt

第1页：第三章 随机变量的数字特征

第三章 随机变量的数字特征

• 随机变量的数学期望
• 随机变量的方差
• 随机变量的协方差和相关系数
• 大数定律
• 中心极限定理

第2页：数学期望的引入：平均成绩

3.1 数学期望：一、数学期望的定义

例1：设某班 40 名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示，则学生的平均成绩是总分÷总人数。即数学期望——描述随机变量取值的平均特征。

第3页：数学期望的定义

定义1：若 X~P{X=x_k}=p_k，k=1,2,…,n，则称 Σx_kp_k 为 X 的数学期望。

定义2（p73）：若 X~P{X=x_k}=p_k，k=1,2,…，且 Σ|x_k|p_k 收敛，则称 Σx_kp_k 为 r.v. X 的数学期望，简称期望或均值。

第4页：例2：掷骰子的期望

例2：掷一颗均匀的骰子，以 X 表示掷得的点数，求 X 的数学期望。

定义3（p74）：若 X~f(x)（-∞<x<∞），且 ∫|x|f(x)dx 收敛，则称 ∫xf(x)dx 为 X 的数学期望。

第5页：例3：拉普拉斯分布的期望

例3：若随机变量 X 服从拉普拉斯分布，其密度函数为 f(x)＝(1/2)e^-|x|，试求 E(X)。

第6页：0-1分布与二项分布的期望

二、几个重要 r.v. 的期望

1. 0-1 分布：E(X)=p

2. 二项分布 B(n, p)：E(X)=np

第7页：

第8页：泊松分布与均匀分布的期望

3. 泊松分布：E(X)=λ

4. 均匀分布 U(a, b)：E(X)=(a+b)/2

第9页：指数分布的期望

5. 指数分布：E(X)=1/λ

第10页：正态分布的期望

6. 正态分布 N(μ, σ²)：E(X)=μ

第11页：随机变量函数的期望

三、随机变量函数的期望

EX1：设随机变量 X 的分布律为 X：-1 0 1，P_k：…，求随机变量 Y=X² 的数学期望。

第12页：随机变量函数期望的定理

定理1（p77）：若 X~P{X=x_k}=p_k，k=1,2,…，则 Y=g(X) 的期望 E(g(X))＝Σ g(x_k)p_k。

推论：若 (X, Y)~P{X=x_i, Y=y_j}=p_ij，则 Z=g(X, Y) 的期望 E(Z)＝Σ Σ g(x_i, y_j)p_ij。

第13页：例4：求E(XY)

例4：设随机变量 (X,Y) 的分布律如下，求 E(XY)。

第14页：正态线性变换的期望

EX2：设随机变量 X 服从标准正态分布，求随机变量 Y=aX+b 的数学期望（其中 a>0）。

解：Y=ax+b 关于 x 严格单调，反函数为 x=(y-b)/a，由此求 Y 的概率密度，再求 E(Y)。

第15页：连续型函数期望的定理

定理2（p77）：若 X~f(x)（-∞<x<∞），则 Y=g(X) 的期望 E(g(X))＝∫g(x)f(x)dx。

推论：若 (X, Y)~f(x, y)，则 Z=g(X, Y) 的期望 E(Z)＝∫∫g(x,y)f(x,y)dxdy。

第16页：例：平均候车时间

例2：长途汽车起点站于每时的 10 分、30 分、55 分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间。

解：设乘客于某时 X 分到达车站，候车时间为 Y，则 E(Y)＝10 分 25 秒。

第17页：标准正态的高阶矩

EX：设 X 服从 N(0, 1) 分布，求 E(X²)、E(X³)、E(X⁴)。

第18页：

第19页：数学期望的性质一

四、数学期望的性质（P78）

1. E(c)=c，c 为常数
2. E(cX)=cE(X)，c 为常数

证明：设 X~f(x)，则…

第20页：数学期望的性质：可加性

3. E(X+Y)=E(X)+E(Y)

证明：设 (X,Y)~f(x,y)，由二重积分展开即得。该性质不要求 X 与 Y 独立。

第21页：独立变量乘积的期望

4. 若 X 与 Y 独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)

证明：设 (X,Y)~f(x,y)，由独立性 f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) 展开即得。

第22页：分组化验的平均化验次数

例2：设某种疾病的发病率为 1%，在 1000 个人中普查这种疾病，为此要化验每个人的血。方法是：每 100 个人一组，把从 100 个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性则通过，如果呈阳性则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验次数。

解：设 X_j 为第 j 组的化验次数，X 为 1000 人的化验次数。

第23页：

第24页：二项分布期望的求解

例3：若 X~B(n,p)，求 E(X)。

解：设第 i 次试验事件 A 发生记为指示变量，不发生记为 0，则 X＝ΣX_i，由期望的可加性得 E(X)=np。

第25页：期望性质的综合练习

EX1：设随机变量 X～N(0,1)，Y～U(0,1)，Z～B(5, 0.5)，且 X、Y、Z 独立，求随机变量 U=（2X+3Y)(4Z-1) 的数学期望。

EX2：设随机变量相互独立且均服从同一分布，求其组合的数学期望。

第26页：方差的定义与性质

3.2 方差：一、定义与性质

方差是衡量随机变量取值波动程度的一个数字特征。如何定义？

第27页：方差与标准差的定义

1. 定义（p82）：若 E(X)、E(X²) 存在，则称 E[X-E(X)]² 为 r.v. X 的方差，记为 D(X) 或 Var(X)，称 √D(X) 为 r.v. X 的标准差。

第28页：方差的计算公式

2. 推论：D(X)=E(X²)－[E(X)]²。

证明：由 D(X)=E[X-E(X)]² 展开即得。

第29页：方差计算例题

例1：设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，求：1）D(X)；2）相关概率。

第30页：

第31页：方差的性质一

3. 方差的性质

1. D(c)=0；反之，若 D(X)=0，则存在常数 C 使 P{X=C}=1，且 C=E(X)
2. D(aX)=a²D(X)，a 为常数

第32页：独立变量和的方差

（3）若 X，Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)

证明：由 X 与 Y 独立，E(XY)=E(X)E(Y)，代入展开即得。

第33页：二项分布的方差

二、几个重要 r.v. 的方差（P86）

1. 二项分布 B(n, p)：D(X)=np(1-p)

第34页：

第35页：

第36页：二项分布方差的第二种解法

解法二：设第 i 次试验事件 A 发生记为指示变量，不发生记为 0，则 X＝ΣX_i，由独立性下方差可加，得 D(X)=np(1-p)。

第37页：泊松分布的方差

2. 泊松分布 P(λ)：由 Σλ^k/k!＝e^λ 两边对 λ 求导，得 D(X)=λ。

第38页：其余常用分布的方差

3. 均匀分布 U(a, b)：D(X)=(b-a)²/12

4. 指数分布：D(X)=1/λ²

5. 正态分布 N(μ, σ²)：D(X)=σ²

思考：1. 请给出一个离散型随机变量 X 和一个连续型随机变量 Y，使它们的期望都是 2、方差都是 1；2. 已知随机变量 X₁,…,X_n 相互独立，且每个 X_i 的期望都是 0、方差都是 1，令 Y=X₁+…+X_n，求 E(Y²)。

第39页：切比雪夫不等式

三、切比雪夫不等式（P107）：若 r.v. X 的期望和方差存在，则对任意 ε>0，有 P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε²，这就是著名的切比雪夫（Chebyshev）不等式，它有以下等价的形式：P{|X-E(X)|<ε}≥1－D(X)/ε²。

第40页：股价波动的概率估计

例：已知某种股票每股价格 X 的平均值为 1 元，标准差为 0.1 元，求 a，使股价超过 1+a 元或低于 1-a 元的概率小于 10%。

解：由切比雪夫不等式列式并求解。

第41页：协方差的定义与性质

3.3 协方差、相关系数：一、协方差定义与性质

1. 协方差定义（P88）：若 r.v. X 的期望 E(X) 和 Y 的期望 E(Y) 存在，则称 COV(X, Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 为 X 与 Y 的协方差。易见 COV(X, Y)=E(XY)－E(X)E(Y)。当 COV(X,Y)=0 时，称 X 与 Y 不相关。

思考：“X 与 Y 独立”和“X 与 Y 不相关”有何关系？

第42页：不相关但不独立的例子

例2：设 (X, Y) 在 D={(x, y)：x²+y²≤1} 上服从均匀分布，求证：X 与 Y 不相关，但不是相互独立的。

2. 协方差性质：

1. COV(X, Y)=COV(Y, X)
2. COV(X,X)=D(X)，COV(X,c)=0
3. COV(aX, bY)=abCOV(X, Y)，a、b 为常数
4. COV(X+Y, Z)=COV(X, Z)+COV(Y, Z)
5. D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2COV(X, Y)

第43页：方差与协方差的计算练习

EX：设随机变量 X～B(12, 0.5)，Y～N(0,1)，COV(X,Y)=-1，求 V=4X+3Y+1 与 W=-2X+4Y 的方差与协方差。

第44页：相关系数的定义

二、相关系数

1. 定义：若 r.v. X、Y 的方差和协方差均存在，且 DX>0、DY>0，则称 ρ_XY＝COV(X,Y)/√(D(X)D(Y)) 为 X 与 Y 的相关系数。

注：若记 X*＝(X-E(X))/√D(X)，称为 X 的标准化，易知 E(X*)=0，D(X*)=1。

第45页：相关系数的性质

2. 相关系数的性质

1. |ρ_XY|≤1
2. |ρ_XY|=1 ⟺ 存在常数 a、b 使 P{Y=aX+b}=1
3. X 与 Y 不相关 ⟺ ρ_XY=0

EX：设 (X,Y) 服从区域 D：0<x<1, 0<y<x 上的均匀分布，求 X 与 Y 的相关系数。

第46页：

第47页：相关系数例题的结论与练习

以上 EX 的结果说明了什么？

EX2：解：1）…；2）…

第48页：二维正态的独立与不相关

可见，若 (X, Y) 服从二维正态分布，则 X 与 Y 独立的充分必要条件是 X 与 Y 不相关。

第49页：矩的定义

三、矩（p98）

1. K 阶原点矩 A_k=E(X^k)，k=1,2,…；而 E(|X|^k) 称为 X 的 K 阶绝对原点矩
2. K 阶中心矩 B_k=E[X-E(X)]^k，k=1,2,…；而 E|X-E(X)|^k 称为 X 的 K 阶绝对中心矩
3. K+l 阶混合原点矩 E(X^kY^l)，k, l=0,1,2,…
4. K+l 阶混合中心矩 E{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l}，k, l=0,1,2,…

第50页：协方差矩阵

四、协方差矩阵（p98）

定义：设 X₁, …, X_n 为 n 个 r.v.，记 c_ij=cov(X_i, X_j)，i, j=1,2,…,n，则称由 c_ij 组成的矩阵为随机变量 X₁, …, X_n 的协方差矩阵 C。

二维正态分布的协方差矩阵见 P101。

第51页：二维正态线性组合例题

例4：设 (X,Y) 服从 N(1, 0, 3², 4², -0.5) 分布，Z=X/3+Y/2。求：1）Z 的概率密度；2）X 与 Z 的相关系数；3）问 X 与 Z 是否相互独立？为什么？

第52页：期望与方差小结表

六种常用随机变量的期望与方差小结：0-1 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的期望与方差汇总。

本页汇总表在源文件中为图片，未提取到完整数据，建议对照原图补充。

第53页：依概率收敛

3.6 大数定律与中心极限定理：3.6.1 大数定律

一、依概率收敛：设 {X_n} 为随机变量序列，X 为随机变量，若任给 ε>0，使得 lim P{|X_n-X|≥ε}=0，则称 {X_n} 依概率收敛于 X。

第54页：依概率收敛的含义

意思是：当 n→∞ 时，X_n 落在 (a-ε, a+ε) 内的概率越来越大。

第55页：切比雪夫大数定律

二、几个常用的大数定律

1. 切比雪夫大数定律：设 {X_k, k=1,2,…} 为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望 μ 及方差 σ²>0，则 (1/n)ΣX_k 依概率收敛于 μ。

第56页：切比雪夫大数定律的证明

证明：由切比雪夫不等式，P{|(1/n)ΣX_k－μ|≥ε}≤D((1/n)ΣX_k)/ε²＝σ²/(nε²)，令 n→∞ 即得。

第57页：伯努里大数定律

2. 伯努里大数定律：设进行 n 次独立重复试验，每次试验中事件 A 发生的概率为 p，记 f_n 为 n 次试验中事件 A 发生的频率，则 f_n 依概率收敛于 p。

证明：设第 i 次试验事件 A 发生记为 1、不发生记为 0，则由切比雪夫大数定理得证。

第58页：辛钦大数定律

3. 辛钦大数定律：若 {X_k, k=1,2,…} 为独立同分布随机变量序列，E(X_k)=μ<∞，则 (1/n)ΣX_k 依概率收敛于 μ。

推论：若 {X_i} 为独立同分布随机变量序列，E(X₁^k)<∞，则样本 k 阶矩依概率收敛于总体 k 阶矩。

第59页：依分布收敛

3.6.3 中心极限定理：一、依分布收敛

设 {X_n} 为随机变量序列，X 为随机变量，其对应的分布函数分别为 F_n(x)、F(x)。若在 F(x) 的连续点，有 lim F_n(x)=F(x)，则称 {X_n} 依分布收敛于 X。

第60页：独立同分布中心极限定理

二、几个常用的中心极限定理

1. 独立同分布中心极限定理（Levy-Lindeberg）：设 {X_n} 为独立同分布随机变量序列，若 E(X_k)=μ<∞、D(X_k)=σ²<∞，则 {X_n} 满足中心极限定理。

根据上述定理，当 n 充分大时，ΣX_k 近似服从 N(nμ, nσ²)。

第61页：例1：骰子掷100次的点数和

例1：将一颗骰子连掷 100 次，则点数之和不少于 500 的概率是多少？

解：设 X_k 为第 k 次掷出的点数，k=1,…,100，则 X₁,…,X₁₀₀ 独立同分布，由中心极限定理近似计算。

第62页：德莫佛-拉普拉斯中心极限定理

2. 德莫佛-拉普拉斯中心极限定理（De Moivre-Laplace）：设随机变量 η_n（n=1,2,…）服从参数为 n、p（0<p<1）的二项分布，则 η_n 标准化后依分布收敛于标准正态分布。

证明：设第 i 次试验事件 A 发生记为 1、不发生记为 0，则由中心极限定理结论得证。

第63页：

第64页：保险公司亏本概率例题

例2：在一家保险公司里有 10000 个人参加寿命保险，每人每年付 12 元保险费。在一年内一个人死亡的概率为 0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得 1000 元。问：（1）保险公司亏本的概率有多大？（2）其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于 60000 元，赔偿金至多可设为多少？

第65页：保险公司亏本概率的求解

解：设 X 表示一年内死亡的人数，则 X~B(n, p)，其中 n=10000、p=0.6%；设 Y 表示保险公司一年的利润，Y=10000×12－1000X。

于是由中心极限定理，（1）P{Y<0}=P{10000×12－1000X<0}=1－P{X≤120}≈1－Φ(7.75)=0。

第66页：赔偿金上限的求解

（2）设赔偿金为 a 元，则 P{Y>60000}=P{10000×12－aX>60000}=P{X≤60000/a}≥0.9，令其成立，由中心极限定理转化为标准正态分布的分位点求解。