页数：110页文件大小：945.0 KB来源： 概率与统计ppt课件
本课件系统讲解随机变量这一概率论的核心概念，从离散型随机变量的分布律入手，引入分布函数与概率密度两类描述工具，详细推导均匀分布、指数分布与正态分布，并进一步展开多维随机变量的联合分布、边缘分布、独立性与条件分布。
第二章 随机变量
关于随机变量（及向量）的研究，是概率论的中心内容。对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量。
也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样。概率论能从计算一些孤立事件的概率发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量。
2.1 随机变量的概念（p24）
定义：设 S={e} 是试验的样本空间，如果量 X 是定义在 S 上的一个单值实值函数，即对于每一个 e∈S，有一实数 X=X(e) 与之对应，则称 X 为随机变量。随机变量常用 X、Y、Z 或 ξ、η、ζ 等表示。
随机变量的特点：
请举几个实际中随机变量的例子。
EX：引入适当的随机变量描述下列事件：
随机变量的分类：随机变量按其取值情况分为离散型随机变量与非离散型随机变量，非离散型中最重要的是连续型随机变量。
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2.2 离散型随机变量（P25）
定义：若随机变量 X 取值 x1, x2, …, xn, … 且取这些值的概率依次为 p1, p2, …, pn, …，则称 X 为离散型随机变量，而称 P{X=xk}=pk（k＝1,2,…）为 X 的分布律或概率分布。
可表为 X～P{X=xk}=pk，或用表格 X：x1 x2 … xk …；P：p1 p2 … pk … 表示。
2. 分布律的性质
例1：设袋中有 5 只球，其中有 2 只白球、3 只黑球。现从中任取 3 只球（不放回），求抽得的白球数 X 为 k 的概率。k 可取值 0，1，2。
例2：某射手对目标独立射击 5 次，每次命中目标的概率为 p，以 X 表示命中目标的次数，求 X 的分布律。
设 Ai——第 i 次射击时命中目标，i＝1,2,3,4,5，则 A1,…,A5 相互独立且 P(Ai)=p。SX={0,1,2,3,4,5}，其中 P{X=0}＝(1-p)5。
几个常用的离散型分布
（一）贝努里（Bernoulli）概型与二项分布
1. (0-1)分布（p26）：若以 X 表示进行一次试验事件 A 发生的次数，则称 X 服从 (0-1) 分布（两点分布）。
X～P{X＝k}＝pk(1-p)1-k，（0<p<1），k＝0，1。
2. 定义（p27）：设将试验独立重复进行 n 次，每次试验中事件 A 发生的概率均为 p，则称这 n 次试验为 n 重贝努里试验。
若以 X 表示 n 重贝努里试验事件 A 发生的次数，则称 X 服从参数为 n、p 的二项分布，记作 X~B(n,p)，其分布律为 P{X＝k}＝Cnkpk(1-p)n-k。
例3：从某大学到火车站途中有 6 个交通岗，假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立，并且遇到红灯的概率都是 1/3。
（1）设 X 为汽车行驶途中遇到的红灯数，求 X 的分布律；（2）求汽车行驶途中至少遇到 5 次红灯的概率。
解：（1）由题意 X~B(6, 1/3)。
例4：某人射击的命中率为 0.02，他独立射击 400 次，试求其命中次数不少于 2 的概率。
泊松定理（p28）：设随机变量 Xn~B(n,p)，且 n 很大、p 很小，记 λ=np，则 P{Xn＝k}≈λke-λ/k!。
设 X 表示 400 次独立射击中命中的次数，则 X～B(400, 0.02)，故 P{X≥2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－0.98400－400×0.02×0.98399。
上题用泊松定理取 λ=np＝400×0.02＝8，故近似地有 P{X≥2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－(1＋8)e-8＝0.996981。
（二）泊松（Poisson）分布 P(λ)（p28）：X～P{X＝k}＝λke-λ/k!，k＝0,1,2,…（λ>0）。
泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当 n 很大、p 很小时，二项分布就可近似地看成是参数 λ=np 的泊松分布。
例5：设某国每对夫妇的子女数 X 服从参数为 λ 的泊松分布，且知一对夫妇有不超过 1 个孩子的概率为 3e-2。求任选一对夫妇至少有 3 个孩子的概率。
例6：进行独立重复试验，每次成功的概率为 p，令 X 表示直到出现第 m 次成功为止所进行的试验次数，求 X 的分布律。
m＝1 时，X 服从几何分布；m>1 时，X 的全部取值为 m, m+1, m+2, …，P{X=m+1}＝P{第 m+1 次试验时成功并且在前 m 次试验中成功了 m-1 次}。
想一想：离散型随机变量的统计特征可以用分布律描述，非离散型的该如何描述？
如：熊猫彩电的寿命 X 是一个随机变量，对消费者来说，你是否在意 {X>5年} 还是 {X>5年零1分钟}？
2.3 随机变量的分布函数：一、分布函数的概念
定义（P29）：设 X 是随机变量，对任意实数 x，事件 {X≤x} 的概率 P{X≤x} 称为随机变量 X 的分布函数，记为 F(x)，即 F(x)＝P{X≤x}。
对任意实数 a, b（a<b），P{a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝F(b)－F(a)。
二、分布函数的性质（P29）
反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。
一般地，对离散型随机变量 X～P{X=xk}＝pk，其分布函数为 F(x)＝Σxk≤x pk。
例1：设随机变量 X 的分布律为 X：0 1 2，P：0.1 0.6 0.3，试求出 X 的分布函数。
例2：向 [0,1] 区间随机抛一质点，以 X 表示质点坐标。假定质点落在 [0,1] 区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求 X 的分布函数。
解：F(x)=P{X≤x}。当 x<0 时，F(x)=0；当 x>1 时，F(x)=1；当 0≤x≤1 时，F(x)=kx。特别地，F(1)=P{0≤X≤1}=k=1。
用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？
2.4 连续型随机变量：一、概率密度
定义（p33）：对于随机变量 X，若存在非负函数 f(x)（-∞<x<+∞），使对任意实数 x，都有 F(x)＝∫-∞x f(t)dt，则称 X 为连续型随机变量，f(x) 为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数，常记为 X～f(x)。
密度函数的几何意义：密度曲线 f(x) 与 x 轴之间在区间上的面积，即为随机变量落在该区间的概率。
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2. 密度函数的性质（p34）
性质（1）、（2）是密度函数的充要性质。
EX：设随机变量 X 的概率密度为 f(x)=a·φ(x)，求常数 a。
（3）若 x 是 f(x) 的连续点，则 F'(x)＝f(x)。
EX：设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，求 f(x)。
（4）对任意实数 b，若 X～f(x)（-∞<x<∞），则 P{X=b}＝0。于是 P{a<X<b}＝P{a≤X<b}＝P{a<X≤b}＝P{a≤X≤b}。
例2.3.2（p35）：已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)，求：1）X 的分布函数 F(x)；2）P{X∈(0.5, 1.5)}。
二、几个常用的连续型分布
1. 均匀分布（p36）：若 X～f(x)＝1/(b-a)（a<x<b），则称 X 在 (a, b) 内服从均匀分布，记作 X~U(a, b)。
对任意实数 c, d（a<c<d<b），都有 P{c<X<d}＝(d-c)/(b-a)。
例：长途汽车起点站于每时的 10 分、25 分、55 分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过 10 分钟的概率。
解：设 A——乘客候车时间超过 10 分钟；X——乘客于某时 X 分钟到达，则 X～U(0,60)。
2. 指数分布（p36）：若 X～f(x)＝λe-λx（x>0），则称 X 服从参数为 λ>0 的指数分布，其分布函数为 F(x)＝1－e-λx（x>0）。
例：电子元件的寿命 X（年）服从参数为 3 的指数分布。（1）求该电子元件寿命超过 2 年的概率；（2）已知该电子元件已使用了 1.5 年，求它还能使用两年的概率为多少？
例：某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为 T，设 [0, t] 时段内过桥的汽车数 Xt 服从参数为 λt 的泊松分布，求 T 的概率密度。
解：当 t≤0 时，F(t)=0；当 t>0 时，F(t)=1－P{在 t 时刻之前无汽车过桥}。
正态分布是实践中应用最为广泛、在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。
A、B 间真实距离为 μ，测量值为 X，X 的概率密度应该是什么形态？
若随机变量 X 的密度函数为 f(x)＝(1/(√2π σ))e-(x-μ)²/(2σ²)（-∞<x<∞），其中 μ 为实数、σ>0，则称 X 服从参数为 μ、σ² 的正态分布，记为 N(μ, σ²)，可表为 X～N(μ, σ²)。
正态分布有两个特性：
（1）单峰对称（p38）：密度曲线关于直线 x=μ 对称；f(μ)＝max f(x)＝1/(√2π σ)。
（2）σ 的大小直接影响概率的分布：σ 越大，曲线越平坦；σ 越小，曲线越陡峻。
正态分布也称为高斯（Gauss）分布。
4. 标准正态分布（p38）：参数 μ＝0、σ²＝1 的正态分布称为标准正态分布，记作 X~N(0, 1)。
标准正态分布的分布函数表示为 Φ(x)＝(1/√2π)∫-∞x e-t²/2dt，其密度函数表示为 φ(x)＝(1/√2π)e-x²/2。
一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅 Φ(x) 的值（P226 附表1）。
如，若 Z~N(0,1)，Φ(0.5)=0.6915，P{1.32<Z<2.43}＝Φ(2.43)－Φ(1.32)＝0.9925－0.9066。
注：（1）Φ(x)＝1－Φ(-x)；（2）若 X～N(μ, σ²)，则 (X-μ)/σ～N(0,1)。
例2.3.5（p39）：设 X～N(μ, σ²)，求 P{μ-3σ<X<μ+3σ}，本题结果称为 3σ 原则。
在工程应用中，通常认为 P{|X-μ|≤3σ}≈1，忽略 {|X-μ|>3σ} 的值。如在质量控制中，常用标准指标值 ±3σ 作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。
EX：设随机变量 X~N(-1, 2²)，求 P{-2.45<X<2.45}。
例14（p67）：一种电子元件的使用寿命 X（小时）服从正态分布 N(100, 15²)，某仪器上装有 3 个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的。求：使用的最初 90 小时内无一元件损坏的概率。
解：设 Y 为使用的最初 90 小时内损坏的元件数，则 Y~B(3, p)，其中 p 由正态分布查表求得。
2.5 一维随机变量函数的分布（p55）
一、离散型随机变量函数的分布律：设 X 一个随机变量，分布律为 X～P{X＝xk}＝pk，若 y＝g(x) 是一元单值实函数，则 Y＝g(X) 也是一个随机变量，求 Y 的分布律。
例：已知 X：-1 0 1，Pk：…，求 Y=X² 的分布律。
或 Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk，k＝1, 2, …（其中 g(xk) 有相同的，其对应概率合并）。
一般地：X：x1 x2 …；Pk：p1 p2 …；Y=g(X)：g(x1) g(x2) …
二、连续型随机变量函数的密度函数
1、一般方法（p56）：若 X~f(x)（-∞<x<+∞），Y=g(X) 为随机变量 X 的函数，则可先求 Y 的分布函数 FY(y)＝P{Y≤y}＝P{g(X)≤y}，然后再求 Y 的密度函数。此法也叫“分布函数法”。
例1：设 X～U(-1,1)，求 Y=X² 的分布函数与概率密度。
当 y<0 时，FY(y)=0；当 0≤y<1 时，FY(y)=√y；当 y≥1 时，FY(y)=1。
例2：设 X 的概率密度为 fX(x)，y=g(x) 关于 x 处处可导且是 x 的严格单减函数，求 Y=g(X) 的概率密度。
解：Y 的分布函数为 FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X≥g-1(y)}=1-FX(g-1(y))，故 Y 的概率密度为 fY(y)＝－fX(g-1(y))·(g-1)'(y)。
2、公式法：一般地若 X～fX(x)，y=g(x) 是单调可导函数，则 fY(y)＝fX(h(y))·|h'(y)|，其中 h(y) 为 y＝g(x) 的反函数。
注：1. 只有当 g(x) 是 x 的单调可导函数时，才可用以上公式推求 Y 的密度函数；2. 注意定义域的选择。
例3：已知 X～N(μ, σ²)，求 Y=aX+b 的概率密度。
解：g(x)=ax+b 关于 x 严格单调，反函数为 x=(y-b)/a，故 Y～N(aμ+b, a²σ²)。
例4：设 X~U(0,1)，求 Y=ax+b 的概率密度（a≠0）。
解：Y=ax+b 关于 x 严格单调，反函数为 x=(y-b)/a，故 Y 在区间 (b, b+a) 上服从均匀分布。
小结：求一维随机变量函数的分布，离散型用分布律合并法，连续型可用分布函数法（通用）或公式法（要求 g 单调可导）。
习题课：一、填空
1. 设随机变量 X 服从参数为（2, p）的二项分布，随机变量 Y 服从参数（3, p）的二项分布，若 P{X≥1}=5/9，则 P{Y≥1}＝？
2. 设随机变量 X 服从（0, 2）上的均匀分布，则随机变量 Y=X² 在（0, 4）内的密度函数为 fY(y)＝？
3. 设随机变量 X~N(2, σ²)，且 P(2<X<4)=0.3，则 P(X<0)＝？
二：从某大学到火车站途中有 6 个交通岗，假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立，并且遇到红灯的概率都是 1/3。以 Y 表示汽车在第一次停止之前所通过的交通岗数，求 Y 的分布律。（假定汽车只在遇到红灯或到达火车站时停止）
三：某射手对靶射击，单发命中概率都为 0.6，现他扔一个均匀的骰子，扔出几点就对靶独立射击几发，求他恰好命中两发的概率。
四：已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)，求：Y=1-X² 的概率密度。
2.6 二维随机变量的联合分布：一、多维随机变量
定义（p41）：将 n 个随机变量 X1, X2, …, Xn 构成一个 n 维向量 (X1, X2, …, Xn)，称为 n 维随机变量。
二、联合分布函数（p41）：设 (X, Y) 是二维随机变量，(x,y)∈R2，则称 F(x,y)=P{X≤x, Y≤y} 为 (X, Y) 的分布函数，或 X 与 Y 的联合分布函数。
几何意义：分布函数 F(x,y) 表示随机点 (X,Y) 落在以 (x,y) 为右上顶点区域内的概率。
对于 (x1, y1)、(x2, y2)∈R2（x1<x2，y1<y2），则
P{x1<X≤x2, y1<Y≤y2}＝F(x2, y2)－F(x1, y2)－F(x2, y1)＋F(x1, y1)。
分布函数 F(x, y) 具有如下性质（p41-42）：
（1）归一性：对任意 (x,y)∈R2，0≤F(x,y)≤1，且 F(+∞,+∞)＝1。
（2）单调不减：对任意 y∈R，当 x1<x2 时，F(x1, y)≤F(x2, y)；对任意 x∈R，当 y1<y2 时，F(x, y1)≤F(x, y2)。
（3）右连续：对任意 x∈R、y∈R，F(x+0, y)＝F(x, y)。
（4）矩形不等式：对于任意 (x1, y1)、(x2, y2)∈R2（x1<x2，y1<y2），
F(x2, y2)－F(x1, y2)－F(x2, y1)＋F(x1, y1)≥0。
反之，任一满足上述四个性质的二元函数 F(x, y) 都可以作为某个二维随机变量 (X, Y) 的分布函数。
例2：已知二维随机变量 (X,Y) 的分布函数为 F(x,y)=A(B+arctan x)(C+arctan y)，求：1）常数 A，B，C；2）P{0<X<2, 0<Y<3}。
三、联合分布律（P42）：若二维随机变量 (X, Y) 只能取至多可列个值 (xi, yj)（i, j＝1, 2, …），则称 (X, Y) 为二维离散型随机变量。
若取 (xi, yj) 的概率为 pij，则称 P{X＝xi, Y＝yj}＝pij 为二维离散型随机变量 (X, Y) 的分布律，或随机变量 X 与 Y 的联合分布律。
二维离散型随机变量的分布律也可列表表示：横行 x1 x2 … xi …，纵列 y1 y2 … yj …，交叉处为 pij。
联合分布律的性质：
例3（P43）：袋中有两只红球、三只白球，现不放回摸球二次，令 X、Y 分别表示两次是否摸到红球，求 (X,Y) 的分布律。
四、二维连续型随机变量及其密度函数
定义（p44）：对于二维随机变量 (X, Y)，若存在一个非负可积函数 f(x, y)，使对任意 (x,y)∈R2，其分布函数 F(x,y)＝∫-∞x∫-∞y f(u,v)dudv，则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量，f(x,y) 为 (X, Y) 的密度函数，或 X 与 Y 的联合密度函数。
2、联合密度 f(x, y) 的性质（p44）
反之，具有以上两个性质的二元函数 f(x, y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。
（3）若 f(x, y) 在 (x, y) 处连续，则有 ∂²F/∂x∂y＝f(x, y)。
（4）对于任意平面区域 G⊂R2，P{(X,Y)∈G}＝∫∫G f(x,y)dxdy。
EX：设 f(x,y) 已知，求 P{X>Y}。
例4：设 (X,Y) 的联合密度为 f(x,y)=A·e-(2x+3y)（x≥0, y≥0），求：（1）常数 A；（2）F(1,1)；（3）(X, Y) 落在三角形区域 D：x≥0, y≥0, 2X+3y≤6 内的概率。
解：（1）由归一性求 A。
例4（续）：（3）(X, Y) 落在三角形区域 D：x≥0, y≥0, 2X+3y≤6 内的概率，由二重积分计算。
3. 两个常用的二维连续型分布
（1）二维均匀分布（p45）：若二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为 f(x,y)＝1/S(D)（(x,y)∈D），则称 (X, Y) 在区域 D 上（内）服从均匀分布。
易见，若 (X, Y) 在区域 D 上服从均匀分布，对 D 内任意区域 G，有 P{(X,Y)∈G}＝S(G)/S(D)。
例5：设 (X,Y) 服从如图区域 D 上的均匀分布，求：（1）(X,Y) 的概率密度；（2）P{Y<2X}；（3）F(0.5, 0.5)。
（2）二维正态分布 N(μ1, μ2, σ1, σ2, ρ)：若二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为含 μ1、μ2、σ1>0、σ2>0、|ρ|<1 的二元正态密度（P101），则称 (X, Y) 服从参数为 μ1, μ2, σ1, σ2, ρ 的二维正态分布。
分布函数的概念可推广到 n 维随机变量的情形。对 n 维随机变量 (X1, X2, …, Xn)，F(x1, x2, …, xn)＝P(X1≤x1, X2≤x2, …, Xn≤xn) 称为 n 维随机变量的分布函数，或随机变量 X1, X2, …, Xn 的联合分布函数。
定义2.4.6：n 维随机变量 (X1,…,Xn)，如果存在非负的 n 元函数 f(x1,…,xn) 使对任意的 n 元立方体成立积分关系，则称其为 n 维连续型的。
定义2.4.7：若 (X1,…,Xn) 的全部可能取值为 Rn 上的有限或可列无穷多个点，称其为 n 维离散型的，称 P{X1=x1,…,Xn=xn} 为 n 维随机变量的联合分布律。
若存在非负 n 元函数 f(x1,…,xn)，则称 (X1,…,Xn) 为 n 维连续型随机变量，称 f(x1,…,xn) 为其概率密度。
EX：随机变量 (X, Y) 的概率密度在区域 D 上为常数，求：（1）P{X≤0}；（2）P{X≤1}；（3）P{Y≤y0}。
答：P{X≤0}=0。
2.7 边缘分布与独立性：一、边缘分布函数（p46）
FX(x)＝F(x, +∞)＝P{X≤x} 称为二维随机变量 (X, Y) 关于 X 的边缘分布函数；FY(y)＝F(+∞, y)＝P{Y≤y} 称为关于 Y 的边缘分布函数。
边缘分布实际上是高维随机变量的某个（某些）低维分量的分布。
例1：已知 (X,Y) 的分布函数为 F(x,y)，求 FX(x) 与 FY(y)。
二、边缘分布律（p47）：若随机变量 X 与 Y 的联合分布律为 (X, Y)～P{X＝xi, Y＝yj}＝pij，则称 P{X＝xi}＝pi·＝Σj pij（i＝1,2,…）为关于 X 的边缘分布律；P{Y＝yj}＝p·j＝Σi pij（j＝1,2,…）为关于 Y 的边缘分布律。
边缘分布律自然也满足分布律的性质。
例2：已知 (X,Y) 的分布律为 x\y：1 0；1：1/10 3/10；0：3/10 3/10，求 X、Y 的边缘分布律。
解：由此得关于 X 和 Y 的分布律分别为 X：1 0，P：2/5 3/5；Y：1 0，P：2/5 3/5。
三、边缘密度函数（p48）：设 (X, Y)～f(x, y)，(x,y)∈R2X(x)＝∫-∞+∞ f(x,y)dy 为关于 X 的边缘密度函数；同理 fY(y)＝∫-∞+∞ f(x,y)dx 为关于 Y 的边缘密度函数。
易知 N(μ1, μ2, σ1², σ2², ρ) 的边缘密度 fX(x) 是 N(μ1, σ1²) 的密度函数，fY(y) 是 N(μ2, σ2²) 的密度函数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布。
例3：设 (X,Y) 的概率密度为 f(x,y)=c·g(x,y)，求：（1）常数 c；（2）关于 X 的边缘概率密度。
解：（1）由归一性求 c。
EX：设 (X,Y) 服从如图区域 D 上的均匀分布（D 由 x=y 与 x=-y 围成），求关于 X 的和关于 Y 的边缘概率密度。
四、随机变量的相互独立性
定义2.4.1（p49）：称随机变量 X 与 Y 独立，如果对任意实数 a<b、c<d，有 P{a<X≤b, c<Y≤d}=P{a<X≤b}P{c<Y≤d}，即事件 {a<X≤b} 与事件 {c<Y≤d} 独立。
定理2.4.2：随机变量 X 与 Y 独立的充分必要条件是 F(x,y)=FX(x)FY(y)。
定理2.4.3（p50）：设 (X,Y) 是二维连续型随机变量，X 与 Y 独立的充分必要条件是 f(x,y)=fX(x)fY(y)。
定理2.4.4（p50）：设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，其分布律为 pij=P{X=xi,Y=yj}，则 X 与 Y 独立的充分必要条件是对任意 i,j，pij=pi··p·j。
要判断两个随机变量的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对每一对可能取值点边缘分布的乘积都等于联合分布即可。
EX：判断例1、例2、例3 中的 X 与 Y 是否相互独立。
例（p50）：已知随机变量 (X,Y) 的分布律为含 a、b 的表格，且知 X 与 Y 独立，求 a、b 的值。
例4（p51）：甲乙约定 8:00～9:00 在某地会面，设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待 15 分钟过时不候，求两人能见面的概率。
五、n 维随机变量的边缘分布与独立性（p51）
定义：设 n 维随机变量 (X1,…,Xn) 的分布函数为 F(x1,…,xn)，其 k（1≤k<n）维边缘分布函数就随之确定，如关于 (X1,X2) 的边缘分布函数是 FX1,X2(x1,x2)=F(x1,x2,+∞,…,+∞)。
若联合分布函数等于各边缘分布函数之积，则称 X1,…,Xn 相互独立。
对于离散型随机变量的情形，若对任意整数 i1, …, in 及实数有 P{X1=x1i1,…,Xn=xnin}＝Π P{Xk=xkik}，则称离散型随机变量 X1, …, Xn 相互独立。
设 X1, …, Xn 为 n 个连续型随机变量，若对任意的 (x1,…,xn)∈Rn，f(x1,…,xn)＝fX1(x1)…fXn(xn) 几乎处处成立，则称 X1, …, Xn 相互独立。
定义2.4.6：设 n 维随机变量 (X1,…,Xn) 的分布函数为 FX，m 维随机变量 (Y1,…,Ym) 的分布函数为 FY，它们组成的 n+m 维随机变量的分布函数为 F(x1,…,xn, y1,…,ym)。
如果 F(x1,…,xn, y1,…,ym)＝FX(x1,…,xn)FY(y1,…,ym)，则称这两个多维随机变量独立。
定理2.4.7：设 (X1, X2, …, Xn) 与 (Y1, Y2, …, Ym) 相互独立，则 Xi（i＝1,…,n）与 Yi（i＝1,…,m）相互独立；又若 h、g 是连续函数，则 h(X1,…,Xn) 与 g(Y1,…,Ym) 相互独立。
2.8 条件分布：一、离散型随机变量的条件分布律
设随机变量 X 与 Y 的联合分布律为 (X, Y)～P{X＝xi, Y＝yj}＝pij，X 和 Y 的边缘分布律分别为 pi· 与 p·j。
若对固定的 j，p·j>0，则称 P{X＝xi|Y＝yj}＝pij/p·j 为 Y＝yj 的条件下 X 的条件分布律；
同理，对固定的 i，pi·>0，称 P{Y＝yj|X＝xi}＝pij/pi· 为 X＝xi 的条件下 Y 的条件分布律。
EX：设某昆虫的产卵数 X 服从参数为 50 的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为 0.8，且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫产卵数 X 与下一代只数 Y 的联合分布律。
二、连续型随机变量的条件概率密度
定义：给定 y，设对任意固定的正数 ε>0，极限 limε→0 P{X≤x | y-ε<Y≤y+ε} 存在，则称此极限为在条件 Y=y 下 X 的条件分布函数。
若记 fX|Y(x|y) 为在 Y=y 条件下 X 的条件概率密度，则当 fY(y)>0 时，fX|Y(x|y)＝f(x,y)/fY(y)。
类似地，当 fX(x)>0 时，fY|X(y|x)＝f(x,y)/fX(x)。
例2：已知 (X,Y) 的概率密度为 f(x,y)，求：（1）条件概率密度；（2）条件概率。（区域由 xy=1 等曲线围成，p55）
2.8 多维随机变量函数的分布：一、二维离散型随机变量函数的分布律
设二维离散型随机变量 (X, Y)～P(X＝xi, Y＝yj)＝pij，则 Z＝g(X, Y)～P{Z＝zk}＝Σg(xi,yj)=zk pij，k＝1, 2, …
可列表：(X,Y)：(x1,y1) (x1,y2) …；pij：p11 p12 …；Z=g(X,Y)：g(x1,y1) g(x1,y2) …
EX：设随机变量 X 与 Y 独立，且均服从 0-1 分布，其分布律均为 X：0 1，P：q p。求：（1）W＝X＋Y 的分布律；（2）V＝max(X, Y) 的分布律；（3）U＝min(X, Y) 的分布律；（4）W 与 V 的联合分布律。
由 (X,Y) 的四种取值 (0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1) 分别得到：
W＝X＋Y：0 1 1 2；V＝max(X,Y)：0 1 1 1；U＝min(X,Y)：0 0 0 1。
并由此得 W 与 V 的联合分布表。
二、多个随机变量函数的密度函数
1、一般的方法：分布函数法（p60）：若 (X1, …, Xn)~f(x1, …, xn)，Y=g(X1, …, Xn)，则可先求 Y 的分布函数 FY(y)=P{Y≤y}，然后再求出 Y 的密度函数。
2、几个常用函数的密度函数
（1）和的分布：已知 (X, Y)～f(x, y)，求 Z＝X＋Y 的密度，即在区域 x+y≤z 上积分。
若 X 与 Y 相互独立，则 Z＝X＋Y 的密度函数为卷积 fZ(z)＝∫fX(x)fY(z-x)dx。
例1：设随机变量 X 与 Y 独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y 服从 N(0, 2) 分布。
一般地，设随机变量 X1, X2, …, Xn 独立且 Xi 服从正态分布 N(μi, σi²)，则其线性组合仍服从正态分布。
例2：卡车装运水泥，设每袋水泥的重量 X(kg) 服从 N(50, 2.5²) 分布，该卡车的额定载重量为 2000kg，问最多装多少袋水泥，可使卡车超载的概率不超过 0.05。
解：设最多装 n 袋水泥，Xi 为第 i 袋水泥的重量，则由题意列不等式，查表得 n。
（2）商的分布：已知 (X, Y)～f(x, y)，求 Z＝X/Y 的密度，即在区域 G1、G2 上积分。
特别地，当 X、Y 相互独立时，上式可化为 fZ(z)＝∫|y|fX(zy)fY(y)dy，其中 fX(x)、fY(y) 分别为 X 和 Y 的密度函数。
3、极大（小）值的分布：设 X1, X2, …, Xn 相互独立，其分布函数分别为 F1(x1),…,Fn(xn)，记 M＝max{X1,…,Xn}，N＝min{X1,…,Xn}。
则 M 和 N 的分布函数分别为 FM(z)＝F1(z)…Fn(z)，FN(z)＝1－[1-F1(z)]…[1-Fn(z)]。
特别地，当 X1, …, Xn 独立同分布（分布函数相同）时，则有 FM(z)＝[F(z)]n，FN(z)＝1－[1－F(z)]n。
进一步地，若 X1, …, Xn 独立且具相同的密度函数 f(x)，则 M 和 N 的密度函数分别为 fM(z)＝n[F(z)]n-1f(z)，fN(z)＝n[1－F(z)]n-1f(z)。
例3：设系统 L 由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方式分别为（i）串联，（ii）并联。设 L1、L2 的寿命分别为 X 与 Y，已知它们的概率密度分别为含 α>0、β>0 的表达式，试分别就以上两种联结方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度。
小结：本章围绕随机变量展开，包括离散型与连续型随机变量的描述方式、分布函数与概率密度、一维与多维随机变量函数的分布、边缘分布与独立性以及条件分布。
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