06 第六章　假设检验.ppt

第1页：第六章 假设检验

第六章 假设检验

• 6.1 假设检验的基本概念和思想
• 6.2 单正态总体的假设检验
• 6.3 双正态总体均值差与方差比的假设检验

第2页：参数与非参数假设检验

6.1 假设检验的基本概念和思想：一、基本概念

（一）两类问题

1. 参数假设检验：总体分布已知、参数未知，由观测值 x₁, …, x_n 检验假设 H₀：θ=θ₀；H₁：θ≠θ₀
2. 非参数假设检验：总体分布未知，由观测值检验假设 H₀：F(x)=F₀(x;θ)；H₁：F(x)≠F₀(x;θ)

第3页：检验法则与拒绝域

（二）检验法则与拒绝域

以样本 (X₁, …, X_n) 出发制定一个法则，一旦观测值确定后，由这个法则就可作出判断是拒绝 H₀ 还是接受 H₁，这种法则称为 H₀ 对 H₁ 的一个检验法则，简称检验法。

样本观测值的全体组成样本空间 S，把 S 分成两个互不相交的子集 W 和 W*，当 (x₁, …, x_n)∈W 时就拒绝 H₀；当属于 W* 时就接受 H₀。子集 W 就称为检验的拒绝域（或临界域）。

第4页：两类错误与显著性检验

（三）检验的两类错误

称 H₀ 真而被拒绝的错误为第一类错误或弃真错误；称 H₀ 假而被接受的错误为第二类错误或取伪错误。记 α=P{拒绝 H₀|H₀ 真}，β=P{接受 H₀|H₀ 假}。

奈曼—皮尔逊（Neyman—Pearson）提出了一个原则：“在控制犯第一类错误的概率不超过指定值 α 的条件下，尽量使犯第二类错误 β 小”。按这种法则做出的检验称为“显著性检验”，α 称为显著性水平或检验水平。

第5页：显著性检验的思想和步骤

怎样构造的拒绝域方可满足上述法则？如对总体 X~N(μ, 1) 要检验 H₀：μ=0；H₁：μ=1。

显著性检验的思想和步骤：

1. 根据实际问题作出假设 H₀ 与 H₁
2. 构造统计量，在 H₀ 真时其分布已知
3. 给定显著性水平 α 的值，参考 H₁，令 P{拒绝 H₀|H₀ 真}=α，求出拒绝域 W
4. 计算统计量的值，若统计量∈W 则拒绝 H₀，否则接受 H₀

第6页：σ²已知时的U检验

6.2 单正态总体的假设检验：一、单总体均值的假设检验

1、σ² 已知的情形——U 检验：对于假设 H₀：μ=μ₀；H₁：μ≠μ₀，构造 U=(X̄-μ₀)/(σ/√n)～N(0,1)，查表、计算、比较大小、得出结论。

第7页：双边检验与单边检验

说明：

1. H₀：μ=μ₀；H₁：μ≠μ₀ 称为双边 HT 问题；而 H₀：μ=μ₀；H₁：μ>μ₀（或 μ<μ₀）则称为单边问题
2. H₀：μ≤μ₀；H₁：μ>μ₀ 或 H₀：μ≥μ₀；H₁：μ<μ₀ 也称为单边 HT 问题，不过这是一个完备的 HT 问题
3. 可证：完备的 HT 问题与不完备的 HT 问题有相同的拒绝域，从而检验法一致

先考虑不完备的右边 HT 问题的解。

第8页：完备右边检验的拒绝域推导

现考虑完备的右边 HT 问题 H₀：μ≤μ₀；H₁：μ>μ₀，若取拒绝域为 U≥u_α，则犯第一类错误的概率为 sup P_μ{U≥u_α}。

第9页：右边检验的拒绝域结论

于是 sup P_μ{U≥u_α}=α，故 {U≥u_α} 是 H₀：μ≤μ₀；H₁：μ>μ₀ 的水平为 α 的拒绝域。

第10页：例1：灯管寿命是否显著提高

例1：设某厂生产一种灯管，其寿命 X~N(μ, 200²)，由以往经验知平均寿命 μ=1500 小时，现采用新工艺后，在所生产的灯管中抽取 25 只，测得平均寿命 1675 小时，问采用新工艺后灯管寿命是否有显著提高（α=0.05）。

解：这里拒绝 H₀。

第11页：左边检验的拒绝域

左边 HT 问题 H₀：μ=μ₀；H₁：μ<μ₀，或 H₀：μ≥μ₀；H₁：μ<μ₀，可得显著性水平为 α 的拒绝域为 U≤-u_α。

第12页：铁水含碳量是否显著偏低

（P173, 5）：已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布 N(4.55, 0.11²)。某日测得 5 炉铁水含碳量如下，如果标准差不变，该日铁水的平均含碳量是否显著偏低？（取 α=0.05）

解：得水平为 α 的拒绝域，这里拒绝 H₀。

第13页：单边检验选择的注记

注：上题中，用双边检验或右边检验都是错误的。若用双边检验 H₀：μ=4.55；H₁：μ≠4.55，则拒绝域为 |U|≥1.96，由 |U|=3.78>1.96 故拒绝 H₀，说明可以认为含碳量显著异于 4.55，但无法说明是显著高于还是低于 4.55，不合题意。

若用右边检验 H₀：μ≤4.55；H₁：μ>4.55，则由 U=-3.78<1.96 接受 H₀，说明不能认为显著高于 4.55，但无法区分是等于还是低于 4.55，不合题意。

第14页：σ²未知时的双边t检验

2、σ² 未知的情形

双边检验：对于假设 H₀：μ=μ₀；H₁：μ≠μ₀，由 P{|T|≥t_α/2(n-1)}=α，得水平为 α 的拒绝域为 |T|≥t_α/2(n-1)。

第15页：热敏电阻测温有无系统偏差

（P173, 4）：用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度，重复测量 7 次，测得温度（℃）如下，而用某种精确办法测得温度为 112.6（可看作真值），试问用热敏电阻测温仪间接测温有无系统偏差？（设温度测量值 X 服从正态分布，取 α=0.05）

解：H₀：μ=112.6；H₁：μ≠112.6。由 P{|T|≥t_0.025(6)}=0.05，得拒绝域为 |T|≥t_0.025(6)=2.4469，这里接受 H₀。

第16页：σ²未知时的右边t检验

右边 HT 问题 H₀：μ=μ₀；H₁：μ>μ₀，或 H₀：μ≤μ₀；H₁：μ>μ₀，由 P{T≥t_α(n-1)}=α，得水平为 α 的拒绝域为 T≥t_α(n-1)。

第17页：镍合金线抗拉强度是否提高

（P173, 7）：某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为 10620（kg/mm²），今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取 10 根测得抗拉强度（kg/mm²）如下。认为抗拉强度服从正态分布，取 α=0.05，问新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合金线要高？

解：H₀：μ=10620；H₁：μ>10620。由 P{T≥t_0.05(9)}=0.05，得拒绝域为 T≥t_0.05(9)=1.8331，这里接受 H₀。

第18页：σ²未知时的左边t检验

左边 HT 问题 H₀：μ=μ₀；H₁：μ<μ₀，或 H₀：μ≥μ₀；H₁：μ<μ₀，由 P{T≤-t_α(n-1)}=α，得水平为 α 的拒绝域为 T≤-t_α(n-1)。

第19页：抗拉强度是否不合格的检验

EX：设正品镍合金线的抗拉强度服从均值不低于 10620（kg/mm²）的正态分布，今从某厂生产的镍合金线中抽取 10 根，测得平均抗拉强度 10600（kg/mm²）、样本标准差为 80，问该厂的镍合金线的抗拉强度是否不合格？（α=0.1）

解：H₀：μ≥10620；H₁：μ<10620。由 P{T≤-t_0.1(9)}=0.1，得拒绝域为 T≤-t_0.1(9)=-1.383，这里接受 H₀。

第20页：单总体方差的假设检验

二、单总体方差的假设检验：假定 μ 未知，双边检验：对于假设 H₀：σ²=σ₀²；H₁：σ²≠σ₀²，取统计量 χ²=(n-1)S²/σ₀²。

第21页：方差检验的拒绝域

得水平为 α 的拒绝域为 χ²≤χ²_1-α/2(n-1) 或 χ²≥χ²_α/2(n-1)。

第22页：保险丝熔化时间方差的检验

（P173, 11）：电工器材厂生产一批保险丝，取 10 根测得其熔化时间（min）如下。问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等于 80？（α=0.05，熔化时间为正态变量）

得水平为 α=0.05 的拒绝域，这里接受 H₀。

第23页：保险丝均值与方差的综合检验

EX：设保险丝的熔化时间服从正态分布，取 9 根测得其熔化时间（min）的样本均值为 62、标准差为 10。（1）是否可以认为整批保险丝的熔化时间服从 N(60, 10²)？（α=0.05）（2）是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差显著大于 70？（α=0.05）

答：（1）|t|=0.6<2.306，接受 μ=60；2.18<χ²=9.877<17.535，接受 σ²=10²。（2）χ²=11.42<15.507，认为方差不显著大于 70。

第24页：双正态总体均值差的检验

6.3 双正态总体均值差与方差比的假设检验：一、均值差的假设检验

两样本独立，给定检验水平 α，由观测值检验 H₀：μ₁=μ₂；H₁：μ₁≠μ₂，构造 t 统计量。

第25页：均值差检验的拒绝域

双边问题的拒绝域为 |T|≥t_α/2(n₁+n₂-2)，而对应的单边问题拒绝域为 T≥t_α(n₁+n₂-2) 或 T≤-t_α(n₁+n₂-2)。

第26页：两种安眠药疗效的比较

P174, 19：比较甲、乙两种安眠药的疗效。将 20 名患者分成两组，每组 10 人。若服用两种安眠药后增加的睡眠时数服从方差相同的正态分布，试问两种安眠药的疗效有无显著性差异？（α=0.10）

第27页：安眠药疗效检验的结论

这里：拒绝 H₀，认为两种安眠药的疗效有显著性差异。

第28页：单边疗效比较的练习

EX1：上题中，试检验是否甲安眠药比乙安眠药疗效显著？这里 t=1.86>1.3304，故拒绝 H₀，认为甲安眠药比乙安眠药疗效显著。

EX2：上题中，试检验是否乙安眠药比甲安眠药疗效显著？

第29页：双正态总体方差比的检验

二、方差比的假设检验：两样本独立，给定检验水平 α，由观测值检验 H₀：σ₁²=σ₂²；H₁：σ₁²≠σ₂²，假定 μ₁、μ₂ 未知，构造 F=S₁²/S₂²。

第30页：方差比检验的拒绝域

由 P{F≤F_1-α/2(n₁-1, n₂-1) 或 F≥F_α/2(n₁-1, n₂-1)}=α，得拒绝域为 F≤F_1-α/2(n₁-1, n₂-1) 或 F≥F_α/2(n₁-1, n₂-1)。

第31页：方差比单边检验的拒绝域

而对应的单边问题拒绝域为 F≥F_α(n₁-1, n₂-1) 或 F≤F_1-α(n₁-1, n₂-1)。

第32页：两台机床加工精度的比较

P174, 21：有甲乙两种机床加工同样产品，从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品，测得产品直径（单位：mm）如下。假定甲、乙两台机床的产品直径都服从正态分布，试比较甲、乙两台机床加工的精度有无显著差异？（α=0.05）

解：拒绝域为 F≤F_1-0.025(7, 6)=1/5.12=0.1953 或 F≥F_0.025(7, 6)=5.7，这里接受 H₀。