04 第四章　样本及抽样分布.ppt

第1页：第四章 样本及抽样分布

第四章 样本及抽样分布

• 引言
• 随机样本
• 抽样分布

第2页：总体与个体的概念

4.1 随机样本：一、总体与样本

1. 总体：研究对象的全体，通常指研究对象的某项数量指标。组成总体的元素称为个体。从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。

第3页：简单随机样本

2. 样本：来自总体的部分个体 X₁, …, X_n，如果满足：

1. 同分布性：X_i（i=1,…,n）与总体同分布
2. 独立性：X₁, …, X_n 相互独立

则称为容量为 n 的简单随机样本，简称样本。而称 X₁, …, X_n 的一次实现为样本观察值，记为 x₁, …, x_n。

第4页：样本的联合分布

来自总体 X 的随机样本 X₁, …, X_n 可记为独立同分布形式，显然，样本联合分布函数或密度函数为各自的乘积。

第5页：总体、样本与样本观察值的关系

3. 总体、样本、样本观察值的关系

统计是从手中已有的资料——样本观察值，去推断总体的情况——总体分布。样本是联系两者的桥梁。

总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体。

第6页：统计量的定义

二、统计量

定义：称样本 X₁, …, X_n 的函数 g(X₁, …, X_n) 是总体 X 的一个统计量，如果 g(X₁, …, X_n) 不含未知参数。

几个常用的统计量：样本均值、样本方差等。

第7页：样本k阶矩

3. 样本 k 阶矩：样本 k 阶原点矩 A_k＝(1/n)ΣX_i^k，样本 k 阶中心矩 B_k＝(1/n)Σ(X_i－X̄)^k。

第8页：抽样分布与χ²分布

4.2 抽样分布：统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布：χ²—分布、t—分布和 F—分布。

一、χ²—分布：设 X₁, …, X_n 独立且均服从 N(0,1)，则 χ²＝ΣX_i² 服从自由度为 n 的 χ² 分布，记为 χ²(n)。

第9页：χ²分布的密度曲线

2. χ²—分布的密度函数 f(y) 曲线：随自由度 n 增大，曲线由偏斜逐渐趋于对称。

本页图示在源文件中为图片，未提取到文字，建议对照原图补充。

第10页：χ²分布的分位点

3. 分位点：设 X~χ²(n)，若对于 α：0<α<1，存在 χ²_α(n) 满足 P{X>χ²_α(n)}=α，则称其为 χ²(n) 分布的上 α 分位点（P228 附表3）。

第11页：χ²分布的性质与t分布的构造

4. 性质（p124）

a. 分布可加性：若 X~χ²(n₁)、Y~χ²(n₂)，X、Y 独立，则 X+Y~χ²(n₁+n₂)。

b. 期望与方差：若 X~χ²(n)，则 E(X)=n，D(X)=2n。

二、t—分布：构造：若 ξ~N(0,1)、η~χ²(n)，ξ 与 η 独立，则 t=ξ/√(η/n) 称为自由度为 n 的 t—分布。

第12页：t分布的概率密度

t(n) 的概率密度为（p125）：f(t)＝Γ((n+1)/2)/(√(nπ)Γ(n/2))·(1+t²/n)^-(n+1)/2。

第13页：t分布的性质与分位点

2. 基本性质

1. f(t) 关于 t=0（纵轴）对称
2. f(t) 的极限为 N(0,1) 的密度函数

3. 分位点：设 T～t(n)，若对 α：0<α<1，存在 t_α(n)>0 满足 P{T≥t_α(n)}=α，则称 t_α(n) 为 t(n) 的上侧分位点。

第14页：t分布分位点的注记

注：由对称性有 t_1-α(n)＝－t_α(n)，实用中常由此换算左侧分位点。

第15页：F分布的构造

三、F—分布

1. 构造：若 η₁~χ²(n₁)、η₂~χ²(n₂)，η₁、η₂ 独立，则 F＝(η₁/n₁)/(η₂/n₂) 称为第一自由度为 n₁、第二自由度为 n₂ 的 F—分布，并给出其概率密度。

第16页：F分布的分位点

2. F—分布的分位点：对于 α：0<α<1，若存在 F_α(n₁, n₂)>0 满足 P{F≥F_α(n₁, n₂)}=α，则称 F_α(n₁, n₂) 为 F(n₁, n₂) 的上侧 α 分位点。

第17页：F分布分位点的性质证明

证明：设 F~F(n₁, n₂)，则 1/F~F(n₂, n₁)，由此得 F_1-α(n₁, n₂)＝1/F_α(n₂, n₁)，得证。

第18页：正态总体抽样分布定理

4.3 正态总体的抽样分布

定理：设 X₁, …, X_n 为取自 N(μ, σ²) 的样本，则样本均值 X̄ 服从正态分布。

证明：X̄ 是 n 个独立的正态随机变量的线性组合，故服从正态分布。

第19页：t分布结论的证明

（3）证明：由样本均值与样本方差独立，且 U 与 V 独立，根据 t 分布的构造得证。

第20页：正态总体抽样分布结论汇总

（P127）：正态总体下样本均值、样本方差的分布以及由其构造的 χ² 分布、t 分布结论汇总。

本页公式在源文件中为图片，未提取到完整文字，建议对照原图补充。

第21页：例1：正态样本均值的分布

例1：设总体 X~N(10, 3²)，X₁, …, X_n 是它的一个样本。（1）写出 Z 所服从的分布；（2）求 P(Z>11)。

第22页：例2：样本平方和的分布

例2：设 X₁, …, X₁₀ 是取自 N(0, 0.3²) 的样本，求样本平方和的相关概率。

第23页：例3：样本方差的期望与方差

例3：设 X₁, …, X_n 是取自 N(μ, σ²) 的样本，求样本方差 S² 的期望与方差。