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本课件先建立正弦量的周期、频率、幅值、有效值与相位概念，引入相量表示法与相量图，再推导电阻、电感、电容元件的电压电流关系与功率，进而分析阻抗串并联与功率因数的提高方法，最后讲解三相电源、三相负载连接与三相功率计算。
Chapter 2正弦交流电路
2.1正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念交流电：大小和方向随时间作周期性变化，并且在一个周期内的平均值为零的电压、电流和电动势统称为交流电（u，i，e）。TutTututT
正弦交流电：随时间按正弦规律变化的电压、电流称为正弦交流电，也称为正弦量。正弦交流电路：是指含有正弦电源（激励）而且电路中各部分所产生的电压和电流（响应）均按正弦规律变化的电路。
正弦电压、电流是在通讯、无线电技术以及电力系统中最基本、最常见的激励信号。正弦交流电的基本概念方向：正弦量正半周的方向。表达式：
频率f：正弦量在单位时间内变化的周数。单位：赫兹（Hz）。角频率ω：正弦量单位时间内变化的弧度数。单位：弧度/秒（rad/s）。
周期与频率的关系：角频率与周期及频率的关系：ωt①ωTIm周期T：正弦量完整变化一周所需要的时间。单位：秒（s）。1.周期与频率
广播种类与载波频率对照表：下表列出相关数据。
| 广播种类 | 电波（载波频率） |
|---|---|
| 无线电 AM | 535~1605 kHz |
| 无线电 FM | 76~90 MHz |
| 电视（VHF） | 90~222 MHz |
| 电视（UHF） | 470~770 MHz |
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为确切反映正弦电量在电路转换能量方面的效应，在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。标准电压220V，是指供电电压的有效值。
瞬时值，小写字母表示幅值（最大值），大写字母表示,下标加m。2.幅值与有效值
则把称为i的有效值（均方根值）对正弦电量做功等效有效值概念IRi(t)0≤t≤T＝有效值用大写字母表示。
不同频率正弦信号的相位关系？ωt不同频率的正弦信号不能进行相位比较。
在某电路中，（1)试指出它的频率、周期、角频率、幅值、有效值及初相位各为多少？（2)画出波形图；100iωt解：练习与思考：
引入相量的原因：正弦交流电的基本概念+u1-+u2-+u3-+-u若：求u＝？解：引入相量的原因：简化计算。
+1+jo三角函数式指数式极坐标式复数A可用复平面上的有向线段来表示。1.复数及其运算a2a1aθA复数的四则运算：代数式正弦交流电的基本概念若
正弦量可由一个复指数函数完整描述。设复数对A取虚部，得2.正弦量的相量表示法若复指数函数则：例如：式中复数İm与给定频率ω的正弦量有一一对应关系,称为相量。相量（最大值相量）
相量只包含正弦量的有效值（或幅值）和初相位，因此相量只是表示正弦量，而不是等于正弦量。用相量表示正弦量前，一般要把正弦量化成标准形式，再用相量表示。标准形式：注意：
例2.1判断下列各式是否正确？
基尔霍夫定律的相量形式KCL：在单一频率信号作用下的正弦交流电路中，各支路电流、电压都是同频率的正弦量，所以可将KCL和KVL转换为相量形式。
在正弦交流电路中，对任一结点，流出（或流入）该结点的各支路电流相量的代数和恒为零。KVL：在正弦交流电路中，沿任一回路各支路电压相量的代数和恒等于零。
注意1)只有同频率的正弦量才能用相量表示并一起参与运算或者出现在一个相量图中；2)正弦交流电路中，只有瞬时值、相量满足KCL、KVL，最大值、有效值一般不满足KCL、KVL。i3、正弦量的相量图表示法
例2.2求：i=i1+i2解：ii2i130°60°相量图：已知：23.1°
2.2正弦交流电路的相量模型电阻元件的正弦交流电路电感元件的正弦交流电路电容元件的正弦交流电路正弦交流电路中的RLC元件
1、u和i的关系设：根据电阻的伏安特性1）相位关系uRiR+1+j0ψu=ψi+−u(t)i(t)R2.2.1电阻元件的正弦交流电路同相位
2）大小关系U=IR Um=ImR满足欧姆定律3）相量关系2、功率1)瞬时功率p：电阻始终消耗能量UR∠ψu=RIR∠ψi
瞬时功率p：ωtuipωt2)平均功率（有功功率）P单位：WP平均功率衡量电路中所消耗的电能，也称有功功率
1、u和i的关系设：1）相位关系电压超前于电流90°+1+j0uLiLLiL+−uL2.2.2电感元件的
ωXL0定义：XL=ωLXL是一个与频率ω有关的量。频率特性如图所示：ωL当ω=0(直流)时，XL=0，表明电感对直流信号相当于短路；当ω→∞(高频)时，XL→∞，表明电感有抑制高频电流的作用，相当于开路。
最大值Um=ωLIm在正弦交流电路中，电感电压除了与电流的幅值有关外，还与信号频率ω有关，成正比关系。感抗（单位：Ω）则UL=XLIL2）大小关系有效值U=ωLI
U∠ψu=ωLI∠ψi+90°注意：电感电压与电流在相位上的差异，反映了它们在变化进程上的差别，而不是指它们存在的先后。3）相量关系
（3）无功功率Q电感瞬时功率所能达到的最大值，用以衡量电感电路中能量交换的规模。单位：乏（Var）
1、u和i的关系设：1）相位关系电压滞后于电流90°CuCiC+−+1+j0uCiC2.2.3电容元件的
0XCωXC是一个与频率ω有关的量，频率特性为当ω=0(直流)时，XC→∞，表明电容对直流信号相当于开路；当ω→∞(高频)时，XC=0，表明电容对于高频电流相当于短路。
最大值Im=ωCUm2）大小关系有效值I=ωCU容抗单位：Ω
U∠ψu=XCI∠ψi-90°注意：电容电压与电流在相位上的差异，反映了它们在变化进程上的差别，而不是指它们存在的先后。3）相量关系
（3）无功功率电容的瞬时功率为：电容元件的无功功率为：电容瞬时功率所能达到的最大值用以衡量电容电路中能量交换的规模。
小结电压与电流同相电压超前电流90°电流超前电压90°000瞬时值关系大小关系相位关系相量关系有功功率无功功率参数iRu+-uiL+-uiC+-
电路的相量模型正弦量相量RRLjωLC1/jωC+−RL+−+−+−+−RjωL+−+−+−
2.3简单正弦交流电路的分析
2.3.1阻抗正弦交流电路的分析定义：No的等效阻抗No+−这里为复数，故我们称为复阻抗。若——复阻抗的模——复阻抗的阻抗角注意：复阻抗是复数，但不是相量。
由此：电阻复阻抗电抗由KVL+−RjωL+−+−+−其中X＝XL－XC对于RLC串联电路：
R+-C+-L+-典型电路的阻抗计算
R+-CC+-LL+-R典型电路的阻抗计算
已知电路电压、电流，求阻抗求：Z、R、L或CRLC电路+−ui等效的R＝1Ω，XL＝1.73Ω解：感性例2.3
指出下列结果是否正确,若有错,试将其改正。j| |例2.4RjωL+–++––(5)若则×
Z1Z2Z3+−已知：求：解：正弦交流电路的分析2.3.2阻抗的串并联
1、选定参考相量原则：串联——选流过各元件的电流为参考相量并联——选各元件两端的电压为参考相量混联——具体问题具体分析2、根据各元件上的电压与电流的相位关系画出相量图3、根据相量关系式按各相量之间的几何关系求解一、相量图法2.3.3一般正弦交流电路分析
例2.6已知电压表读数为：V1：30V；V2：60V。求：Us=？由电路可得相量模型++RjωL−−+−RL+−usV1V2解：为参考相量画相量图以
设I1=10A，超前90°I=I1=10 A求：A、Uo的读数已知：I1=10A，UAB=100V，UC1=I XC1=100V，45°由图和相量式得：解：90°落后于用相量图求解例2.7=141VUoAAB5ΩC1C2+-
二、相量式法1、将电路中已知的正弦量都用相量式表示2、把电路中各元件的参数用复阻抗的形式来表示，，3、应用分析直流电路的定理、方法列方程求解（列复数式方程，计算也是复数运算）
UoAAB5ΩC1C2设：A读数:10A已知：UAB=100V，求：A、Uo的读数解：例2.8Uo读数:141V
2.3.4功率1、瞬时功率+−RL+−+−+−CuiuRuLuC2、平均功率P（有功功率）
+−RjωL+−+−+−①这表明整个电路的有功功率就是电阻上面所消耗的功率，电感和电容都不消耗有功功率。——功率因数
在R、L、C串联的电路中，储能元件L、C虽然不消耗能量，但存在能量交换，交换的规模用无功功率来表示。其大小为：3、无功功率Q：+−RjωL+−+−+−①UURUL－UC
4、视在功率S：电路中总电压与总电流有效值的乘积。单位：伏安（VA）PQS注：S＝U I可用来衡量设备可能提供的最大功率（额定电压×额定电流）——容量视在功率5、功率三角形：无功功率有功功率
例2.5在一个线圈两端加工频电压，并用电表测得：U＝110V，I＝5A，P＝400W，求线圈的R和L。
正弦交流电路的分析RL+−+−+−uiuRuL解：R＝P/I2＝400/52=16Ω①RX＝XL|Z||Z|＝U/I＝110/5=22Ω
已知有100只额定功率为40W功率因数为0.5（感性）的日光灯与40只额定功率为100W的白炽灯并联在220V的交流电源上，试求该电路的总电流I及功率因数cos①。解：100只日光灯中的电流日光灯接线图例2.9
注意：★这里所说的提高功率因数，是指提高整个线路上的功率因数，并不是指提高某一负载的功率因数。
★并联电容后，改变的只是线路的功率因数、电流和无功功率，而负载的工况（负载的电流、电压、有功功率）以及电路的有功功率没有发生变化。★功率因数的提高必须以各个负载正常工作为前提。
2.5三相正弦交流电路三相电路实际上是一种特殊的交流电路。正弦交流电路的分析方法对三相电路完全适用。由于三相电路的对称性，可采用一相电路分析，以简化计算。三相电源三相电路的分析与计算三相电路的功率
2.5.1三相电源+uAAx−+uBBy−+uCCz−NSºIωAzBCyx（1）瞬时值表达式1.三相电源的电压对称三相电源:三个大小相等、频率相同、初相位互差120°的正弦电源的组合。
2.三相电源供电方式三相四线制+++NABC−−−中点或零点火(端)线中线线电压：端线间的电压相电压：端线与中点的电压有效值一般用UL表示。有效值一般用UP表示。
线、相电压间相量关系式+++NABC−−−线、相电压之间的关系30°由相量运算可得
2.5.2三相电路的分析与计算1.三相负载与连接方式三相负载三相负载：三相电动机、三相变压器由单相负载（如电灯、电视）组成三相负载。若3个负载都相等，即则称对称负载，否则称不对称负载。
三相正弦交流电路思考：若R＝XL＝XC＝10Ω，是否对称？不对称
+++ZNZ1Z1Z1Z2Z2Z2Z3Z3Z3Z4Z4Z4Z5Z5Z5−−−n三角形连接星形连接
NABCZCZBZAM3 ~三相四线制三角形连接星形连接三相负载采用何种连接方式由负载的额定电压决定。当负载额定电压等于电源线电压时采用三角形连接；当负载额定电压等于电源相电压时采用星形连接。
三相正弦交流电路电源线电压：火线间的电压相电压：火线与零线（零点）间的电压负载电压电流线电压：火线间的电压相电压：负载两端的电压线电流：火线上的电流相电流：流过负载的电流
中线电流:线电流:（1）三相四线制2.负载星形连接的三相电路三相正弦交流电路NABCN相电流:线电压:相电压:负载线、相电压＝电源线、相电压负载线电流＝相电流
例2.12三相四线制电源，相电压220V三相照明负载：RA=5Ω，RB=10Ω，RC=20Ω求:（1）负载电压、电流及中线电流。
解：因为有中线，则UAN'=UBN'=UCN'=UP=220V已知：RCRARBABCNN′三相正弦交流电路设：
（4）中线断开，且A相短路时负载电压、电流。UBN′＝UCN′＝380V三相正弦交流电路RCRARBABCNN′仍然设：
（5）中线断开，且A相开路时负载电压、电流。B相电压小于负载的额定电压，电灯发暗。C相电压大于负载的额定电压，不允许！RCRBABCNN′
关于零线的结论负载不对称而又没有中线时，负载上可能得到大小不等的电压，有的超过用电设备的额定电压，有的达不到额定电压，都不能正常工作。中线的作用在于:使星形连接的不对称负载得到相等的相电压。
照明电路中各相负载不能保证完全对称，必须采用三相四相制供电，而且必须保证零线可靠畅通，其上不允许接保险丝也不允许接开关。
若负载对称，即则负载相电流也是对称的，即当ZA=ZB=ZC=Z时ABC显然三个线电流也对称30°
总的有功功率：2.5.3三相电路的功率当负载星形连接时，当负载三角形连接时，对称负载的三相功率为同理，可得1.三相功率的计算当负载对称时：相电压与相电流的相位差
2.三相功率的测量(1)三表法：若负载对称，则需一块表，读数乘以3。*三相负载WWWABCN*****
(2)二表法：这种量测线路的接法是将两个功率表的电流线圈接到任意两相中，而将其电压线圈的公共点接到另一相没有功率表的线上。若W1的读数为P1，W2的读数为P2，则P=P1+P2即为三相总功率。
三相负载W1ABC****W2
例2.13对称三相负载的线电压每相负载阻抗为求：负载为Y及△两种情况下的电流和三相功率。解：负载对称，则各相负载的电流相等，直接求IP三相总功率为：三相正弦交流电路（1）Y星形连接时，IL＝IP阻抗角
（2）当负载为△连接时相电流为：线电流为：三相总功率为：由此可知，负载由星形连接改为三角形连接后，相电流增加到原来的倍，线电流增加到原来的3倍，功率增加也到原来的3倍。三相正弦交流电路阻抗角
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