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本课件系统讲授正弦交流电路，先建立正弦量的三要素与相量表示法，再分别讨论电阻、电感、电容元件的交流特性与RLC串联电路，继而讲解阻抗串并联、相量图分析法、功率因数的提高与串并联谐振，并延伸介绍非正弦周期信号的分解。
本页为第四章正弦交流电路的目录页，列出本部分所包含的章节与内容框架。
第一节正弦交流电的基本概念：本节依次讲解以下内容。
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一、正弦量:大小和方向随时间按正弦规律变化的电压、电流和电动势统称为正弦量。
正弦信号的和、差、微积分等运算结果仍是同频率的正弦信号。当正弦信号作为电路的信号源时，电路中产生的响应仍是同频率的正弦信号。
i=Iｍsin(ωt+)其波形如图timIT从表达式可以看出,当Im、ω、确定后,正弦量就被唯一地确定了,所以这三个量统称为正弦量的三要素。
正弦电流i用三角函数表示为O
二、正弦量的三要素1.周期T、频率f和角频率ω2.最大值和有效值3.相位、初相、相位差
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周期，频率，角频率从不同角度描述了正弦量变化的快慢。三者只要知道其中之一便可以求出另外两个。
2．最大值和有效值正弦量某一瞬间的值称为瞬时值，瞬时值中最大的称为最大值。
Im、Um、Em分别表示电流、电压和电动势的最大值。表示交流电的大小常用有效值的概念。
把两个等值电阻分别通一交流电流i和直流电流Ｉ。如果在相同的时间Ｔ内所产生的热量相等，那么我们把这个直流电流Ｉ定义为交流电流的有效值。
所以交流电的有效值是瞬时值的方均根。即将电流的三角式带入上式中有:
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例1、两者的相位差为:>0电压超前电流φ角(或电流滞后电压φ角)=0电压与电流同相位<0电流超前电压φ角=±π电流与电压反相若:φ
iu、iωtφ<0φφ=πφ=0O
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例1 求解过程：解：ω=314rad/s，ω=2πff=ω/2π=50Hz，T=1/f=0.02si= 30°，u=－45°φ=u－i=－75°Im= 10A例2、已知：i=10sin(314t+30°)A，，试指出它们的角频率、周期、幅值、有效值和初相，相位差，并画出波形图。
ωt30°u、i10A如图所示：45°u滞后i75°,i超前u75°。
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第二节正弦交流电的相量表示法：本节依次讲解以下内容。
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一、相量图表示法正弦信号可用一旋转矢量来表示，令矢量长度＝Im矢量初始角＝Ψ矢量旋转速度＝ω如图：ωωtiYXOO
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该矢量某一时刻在纵轴上的投影刚好等于正弦量的瞬时值。一般我们研究的是同频率的正弦量，用相量表示时，它们同以ω速度旋转相对位置保持不变。
因此，在同一相量图中，以t＝0时刻的相量表示正弦量。相量的写法为大写字母的上方加一个“.”。
例、用相量图来表示下列正弦量。解：120°120°u1=UmsinωtV120°u2=Umsin（ωt－120°）Vu3=Umsin（ωt－240°）V
注意只有正弦量才能用相量表示；几个同频率正弦量可以画在同一相量图上；
任意两个同频率正弦量的和或差可用平行四边形法则求。
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其中φ=arctan(b/a)a=rcosφb=rsinφ2.有关复数的计算加减运算用代数式,实部与实部,虚部与虚部分别相加减。
乘除运算用指数式或极坐标式，模相乘或相除，辐角相加或相减。
3、正弦量的相量表示一个复数的辐角等于正弦量的初相角，复数的模等于正弦量的最大值或有效值，该复数称为正弦量的相量。
R=a+jb是t= 0固定相量的复数形式。
例、写出下列正弦量的相量，并求出：i=i1+i2,画出相量图。
解：İ1=20∠60°Aİ2=10∠-30°Aİ=İ1+İ2=(20∠60°+10∠－30°)A=[20(cos60°+jsin60°)+10[cos(－30°)+jsin (－30°)]A
=22.36∠33.4°A=（18.66+j12.39）A=（10+j17.39+8.66－j5）A相量图为:
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三、基尔霍夫定律的相量形式KCL ∑i= 0KVL ∑u= 0∑İ= 0∑U= 0ii1i2i=i1+i2
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U=U1+U2u＝u1＋u2陷井挖好了，跳吧下列表达式书写正确的是：
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来了？
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来了？哈哈，没掉下去！
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第三节单一理想元件的交流电路：本节依次讲解以下内容。
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设一、电阻电路u1.电压与电流关系i为了比较各个正弦量之间的相位关系，先规定一个初相角为零的参考正弦量。
u、i满足欧姆定律
Im、Um（U、I）同样满足欧姆定律：复数形式复数形式欧姆定律
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可见：电压与电流同相位·Uiuuiφ＝０相量图ωtO
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可见:P≥0电阻是一个耗能元件。2．功率关系⑴瞬时功率p=ui=UmImsin2ωt=UI(1-cos2ωt)(2)平均功率=UI=I2R=U2/RiuωtuiωtpUIOO
二、电感电路ui1.电压与电流关系设i=Imsinωtu=Ldi/dt=ωLImcosωt=Umsin(ωt+90°)Um=ωLIm感抗U=XLIXL=ωL单位：欧姆（Ω）
因此:相量表达式为:IjXUL=..U.I.电感中的电流滞后电压90°（电压超前电流90°）。
相量图
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2．功率关系(1)瞬时功率在正弦交流电路中，电感功率以2ω按正弦规律变化。
波形如图所示p＝u i=ImUmsinωtcosωt＝IUsin2ωt
显然,第一个1/4周期p>0，电感吸收能量。第二个1/4周期p<0，放出能量。
它与电源间进行能量的互相交换。ωtu、iωtpiuOO
⑵平均功率(有功功率)电感是储能元件,不消耗电能。⑶无功功率无功功率反映的是电感与电源间能量互相交换的规模。
QL= U I = I2XL= U2／XL单位:乏（var）
例1 求解过程：解：XL=ωL=520ΩIL=UL/XL=0.336A电感中电流落后电压90ºQL=ULIL=69.54var例、设电感Ｌ＝1.65H,ω= 314 rad/s，求XL、iL、QL。
三、电容电路uiC1.电压与电流关系设：
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容抗电容中的电流超前电压相量图单位：欧姆（Ω）
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∴相量表达式为：2.功率关系（1）瞬时功率
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ωtu、iωtp显然,第一个1/4周期p>0，电容储存能量。
第二个1/4周期p<0，放出能量。uiOO
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例1、设电容C＝0.1μF,ω= 6280 rad/suC=10sin(ωt+30°)V，求XC、İC、QC。
解：XC= 1／ωC=1.59kΩ电容中电流超前电压90ºİC=4.45∠30º+90º = 4.45∠120ºmAQC=UCIC=31.6×10－3var
例2、已知XL=10Ω，R= 2Ω，A2表读数2A，设个表均为理想电表,求其余各表读数。
AA1A2VRL解：U=I2XL=2×10V=20VI1=U/R=20/2A=10Aİ=İ1+İ2=(10－j2)A=10.2∠－11.3°A设İ1= 10∠0°A=10Aİ2= 2∠－90°A=－j2 A∴A1: 10A、A: 10.2A、V:20V
例3、已知各电流表读数为A1=5A, A2=20A，A3=25A，求(1)A表读数(2)若维持A1读数不变,而把电路频率提高一倍，再求其它表读数。
A1A2RLCA3A解：设İ1=5∠0°A= 5A∴İ2= 20∠－90°A=－j20Aİ3= 25∠90°A=j25Aİ=İ1+İ2+İ3=(5+j5)AA:7.07A
(2)若维持A1读数不变,R两端电压不变，U=RI1=XLI2=XCI3XL=ωL,XC= 1/ωCf提高一倍，ω'=2ωU=ω′LI2'= 2ωLI2' = 2ωLI2'I2' = 0.5I2=10AXCI3=0.5XCI3'I3' = 2I3=50Aİ=İ1+İ2+İ3=40.31∠82.9°AA2: 10A、A3:50A、A:40.31A
第四节RLC串联的交流电路：本节依次讲解以下内容。
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一、电压与电流关系iRLCu以电流为参考正弦量，i =Imsinωt即İ=I∠0°1.相量图法相量图为：
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·Iφ可见：φURUL－UCU电压三角形
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总电压有效值U=UR+UL+UCU2=UR2+（UL—UC）2电抗与阻抗U2=UR2+UL2+UC2
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式中X=XL－XC称为电抗称为阻抗，单位Ω∴U=Iz相位关系可见φ是由R、L、C及ω决定的。
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90°>φ> 0电压超前电流电路呈感性。－90°<φ< 0电流超前电压电路呈容性。
φ= 0电压与电流同相,电路呈纯阻性。2.复数形式分析法
Z为复阻抗Z=R+j(XL－XC)=z∠φφ=arctan(XL-XC)/R复数形式欧姆定律阻抗三角形φ角为阻抗角,它等于电压与电流之间的相位差角。
RXL-XCzφR=zcosφX=zsinφ
在RLC串联交流电路中，R=15Ω，L=12mH,电源电压，C=5μF,求:⑴电路中的电流i和各部分电压uR,uL,uC(2)画相量图。
例1、解：=60Ω=5000×12×10－3ΩXL=ωL=40Ω=1／5000×5×10－6ΩXC=1/ωC
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相量图如图：
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例2、已知R1=1kΩ，R2=300Ω，L=0.4H，ω=103rad/s，电压表V1的读数为2V，试求其余电压表的读数。
R2LuiR1V2V1解：设u1为参考正弦量则I=U1/R1=2mAİ= 2∠0°mA=(300+j400)×2×10－3V=500∠53.2°×2×10－3=1∠53.2°V
相量图：UUU21+=1U·2U·U=2V+1∠53.2°V= 2.72∠17.1°V∴V2表读数1V，V表读数2.72V。
例3、RC串联电路中,总阻抗z= 2000Ω,f=1000Hz ,u与uC夹角为30°,试求R、C。
解：设i为参考正弦量İ=I∠0°作相量图：30°可得φz、R、XC满足阻抗三角形有R=zcosφ=1000ΩXC=zsinφ=1732ΩC= 1/ωXC=0.1μF
1.平均功率(有功功率）在RLC电路中，只有电阻消耗功率所以电路的有功功率为：P=∑URIRP =UIcosφ式中cosφ为功率因数。
在正弦交流电路中，不管阻抗如何联接，电路的功率等于各元件功率之和。
Z=R+ jX二、功率关系
2.无功功率电路中无功功率包括电感和电容两个元件的无功功率。
QL=ULIQC=UCIQ = QL－QCZ=R+ j(XL-XC)Q＝UIsinφ
φ＞0，Q＞0电路呈感性φ＜0，Q＜0电路呈容性P = UIcosφ= ScosφQ = UIsinφ= Ssinφ3.视在功率S=UI单位是伏安（VA）一般它表示发电设备的容量。
得出功率三角形：PQSφ
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阻抗三角形,电压三角形和功率三角形是三个相似的三角形。φUURUL－UCSPQφRXL-XCzφ总结：
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例4、某感性负载端电压P=7.5kW,Q=5.5kvar,试求感性负载的功率因数及其串联参数。
解：= 0.81∴φ=35.9°电路为串联= 42.1AR = P／I2= 4.2ΩXL=Rtanφ=3.04ΩL=XL／ω= 9.7mH
U=IZi＝İ1＋İ2陷井挖好了，跳吧R=Zcosφ下列表达式书写正确的是：
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来了？
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第五节阻抗的串联与并联：本节依次讲解以下内容。
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一、阻抗串联的交流电路iZ1Z2串联等效复阻抗为：分压公式为：
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二、阻抗并联的交流电路21111ZZZ+=Z1Z2分流公式：+===IZZZIZZZUI212111+===IZZZIZZZUI211222当电路由几个阻抗并联时，等效复阻抗为：nZZZZ111121++· · ·+=
已知R1=100Ω，R2=1000Ω，L=2H，C=10μF，,求u、i。
例、R2LuiR1解：CiCiLİCm= 1∠60°A按分流公式：XC=318ΩXL=628Ω
= 0.89∠45.1°A= 100Ω＋357∠－75.1°Ω=395∠－61°Ω
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第六节正弦交流电路的分析方法：本页为章节标题页，页面原文如下。
第六节正弦交流电路的分析方法例题
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X2uR1X3X1解：abZ1=jX1+R1=(j10+2)ΩZ2=jX2=j10ΩZ3=－jX3=－j5ΩZab=Z2∥Z3=－10jΩ=10∠－90°ΩUab=I1zab=10×10V=100V例1、已知R1=2Ω，X1=X2=10Ω，X3=5ΩI1=10A，求İ2、İ3、U、cosφ、P、Q、S。
=(－j10+j20)(2+j10)V+100V=j20V=20∠90°Vİ1= j10 A=10∠90°A∴φ= 0, cosφ=1
P＝UIcosφ＝10×20×1W＝200WQ＝UIsinφ＝10×20×0＝0varS＝UI＝200VA
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例2、已知U=100V,ω=314rad/s,I=IC=IL,电路消耗功率P＝866W，试求iL、iC、i。
RLuiCiCiL解：设u为参考正弦量∵iL+iC= i且I= IC=IL所以İC、İL和İ组成等边三角形30°= 10A作相量图：
有些情况借助于相量图求解方便。画相量图时,参考相量的选择很关键。
一般,串联电路选电流为参考相量,并联电路选两端电压为参考相量,在串、并混联电路选最基本的并联电路的端电压为参考相量。
例3、图示正弦交流电路中,P= 200 W,U=40V，R=XC=8Ω，求İ、İ1、İ2、XL、UL。
RXLXCİİ1İ245°作相量图：İ1=5∠0°Aİ2=5∠90°Aİ=7.07∠45°AUab=I1×R＝40Vab设为参考正弦量
例4、已知R1=1kΩ，f=50Hz，I1=0.035A，I2=0.01 A，I=0.04A，求R、L。
RLuiR1i2i1解：İ=I∠φ= 0.04∠φAİ2=I2∠φ2= 0.01∠φ2A有İ=İ1+İ20.04∠φ= 0.035+0.01∠φ24∠φ= 3.5+1∠φ24cosφ+j4sinφ= 3.5+cosφ2+jsinφ2设
∴4cosφ= 3.5+ cosφ24sinφ= sinφ2两式取平方相加42=3.52+7cosφ2+1cosφ2=0.4，sinφ2=0.916U=I1R=35V∴z2=U／I2=3500ΩR=z2cosφ2=1400ΩXL=z2sinφ2=3210ΩL=3210／2πf= 10.2H
第七节功率因数的提高：本节依次讲解以下内容。
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一、负载的功率因数cosφ低带来的问题1.电源设备的容量不能充分利用交流电源的额定容量为SN=UNIN，因为P＝SNcosφ,发电机能够输出的有功功率和负载的功率因数cosφ成正比。
所以，负载的功率因数低，电源发出的有功功率就小，电源的容量得不到充分利用。
例1、一个SN=50kVA的电源，向功率因数cosφ1=0.5的日光灯供电，它能供应40W的日光灯_____只,如果用来供应cosφ2=1的40W日光灯，则可供应_______只？
P=n×40=SNcosφn1=50×103×0.5/40=625n2=50×103×1/40=12506251250
2.供电效率低（输电耗能大）P=UIcosφI=P/Ucosφ当输电线路的电压和负载的功率一定时，输电线上的电流与cosφ成反比。
cosφ越小，I越大。设输电线的电阻为r,则它引起的功率耗损为：ΔP=I2r=(P/Ucosφ)2rcosφ低，功率损耗大。
降低了供电效率。
纯电阻电路R-L-C串联电路纯电感电路或纯电容电路电动机空载满载日光灯（R-L-C串联电路）常用电路的功率因数
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二、提高功率因数的方法工业负载多数是感性负载，因此提高负载功率因数可在其两端并联电容。
提高功率因数的基本思想是减少无功功率。CRLui
例2、某发电厂以22万伏的高压向某地输送24万千瓦电力,若输电线路的总电阻r=10Ω，试计算当电路的功率因数由0.6提高到0.9时,输电线上一年少损耗多少电能?解:当cosφ1=0.6时,线路中的电流I1=P/Ucosφ1=1818.2A当cosφ=0.9时,线路中的电流I=P/Ucosφ=1212A一年输电线上少损耗的电能为:W= (I12-I2)r t=1.609×1011W·h=1.609×108kW·h
例3、感性负载功率P=100W，cosφ=0.2接于U=750V，f=1000Hz的电源上,求（1）电源输出电流及无功功率；
（2）若使功率因数提高到cosφ′=1C=？并计算此时电源输出电流及无功功率。
解：(1)I=P/Ucosφ=667AQ=UIsinφ=490.2kvar(2)φ=78.5°φ′=0°C=（P／ωU2）(tanφ－tanφ′)= 138.7μFcosφ′=1,I=P/U=133.3AQ＝0
呈电容性呈电感性功率因数补偿到什么程度？理论上可以补偿成以下三种情况:呈电阻性
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结论：在φ角相同的情况下，补偿成容性要求使用的电容容量更大，经济上不合算，所以一般工作在欠补偿状态。
功率因数补偿成感性好，还是容性好？一般情况下很难做到完全补偿（即：）过补偿欠补偿
第八节电路的谐振串联谐振并联谐振
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在含有电感和电容元件的电路中,若出现电源电压与电流同相位,整个电路呈纯电阻性,此时电路的状态称为谐振。
一、串联谐振谐振按电路接法分为串联谐振和并联谐振。Z=R+j(XL－XC)iu
1.谐振条件谐振时,φ=0则有XL=XC2.谐振频率根据谐振条件有ωL=1／ωCf0仅与L、C有关，改变ω、L、C可使电路发生或消除谐振谐振角频率谐振频率
3.谐振特征z0=R－－最小,I0=U／z0=U／R－－最大。
谐振时XL=XC，UL=UCU=URcosφ=1UL=I0XL=（U／R）XL=（XL／R）UUC=I0XC=（U／R）XC=（XC／R）U一般XL=XC>>R，UL=UC>>U
品质因数QQ是一个无量纲的参数UL=QU=QURUC=QU=QUR功率P0=UI0=I02RQ0=0
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电感与电容的能量可以彼此交换而电源与电路之间无能量交换，电源供给的能量被电阻消耗。
QL=I02XL=P0QQC=－I02XC=－P0QI.相量图为：UL..URU.UC.
0.707I0I0ff0f1f2电流谐振曲线4.电流频率特性IO
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Δf=f2－f1可见,通频带f越小，表明谐振曲线越尖锐，选择性越好。
一般Q值越大曲线越尖。0.707I0I0ff0f1f2Q1Q2Q2>Q1IO
在RLC串联交流电路中，C=8μF,电压,要使电路吸收功率P=Pmax=100W。
求L、R及电路的Q值。例、解：电路发生谐振时，电流I最大，则P=RI2=100W最大ω0=2500 rad/sL=1/ω02C=(1/25002×8×10－6)H= 0.02HR＝U2/P＝102/100Ω=1ΩQ＝ω0L/R=2500×0.02/1=50
收音机接收电路接收天线与C：组成谐振电路将选择的信号送接收电路
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L2－C组成谐振电路，选出所需的电台。e1、e2、e3为来自3个不同电台（不同频率）的电动势信号；
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已知：解：如果要收听节目，C应配多大？问题：结论：当C调到150 pF时，可收听到e1的节目。
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3.并联谐振的特征电路的阻抗最大，电流最小。z0＝(R2＋XL2)／R＝[R2＋(2πf0L)2]／R＝L／RC2.谐振频率由谐振条件可推出谐振频率为一般R2/L2<<1/LC那么有：
谐振时IL≈IC＝QI0其中Q＝ω0L／R＝1／ω0RC相量图为：谐振时φ＝0电路呈纯电阻性。
I0＝U／z0＝URC／L
4.并联谐振特性曲线容性感性阻性|Z|、IO
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例、电路如图，若无论电源频率为何值，电压u与电流i都同相，则电路参数用满足什么条件。
R1LuiCR2解：电压与电流同相位，发生谐振。Z＝R
虚部、实部分别相等有R(R1+R2)＝R1R2+L／C(1)R2ωL－R1／ωC＝RωL－R／ωC(2)要使(2)对任意ω都成立则R＝R1＝R2代入(1)2R2＝R2+L/C当满足R＝R1＝R2时，电路对任意频率的信号都发生谐振。
第九节非正弦交流电路：本节依次讲解以下内容。
几种常见的非正弦波整流波形矩形波电压锯齿波电压tTuTtutTuOOO
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一、非正弦周期交流信号的分解周期为T的f(t)的傅里叶展开式为ω＝2π／T，k为1～∞的正整数
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其中由此，可得到另一种形式
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基波（和原函数同频）二次谐波（2倍频）直流分量高次谐波22t)1t=)10wAm++++sin(2φwm+φwsin()(Aatf…..
其中二、非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率1.有效值假设一非正弦周期电流i(t)，分解后得：
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若则有效值:
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结论：周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。
利用三角函数的正交性得：
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非正弦周期变量平均值为：2.平均值非正弦周期变量平均值等于它的直流分量
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3.平均功率
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结论：平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率利用三角函数的正交性，整理后得：
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例、交、直流共存的电路。求：已知：E=12 VE+_R44kΩi1R1R3R2C2C1u4e4kΩ4kΩ2kΩ10µF10µF_+
e_+(1)直流电源作用(E作用，e短路)直流通道E+_R44kΩI1R1R3R24kΩ4kΩ2kΩC110µFC210µF
E+_(2)交流电源作用（e作用，E1短路）R3>>XC2（C2称旁路电容）以下介绍近似计算法e_+R44kΩR3R24kΩ4kΩ2kΩC110µFC210µF
（C1称耦合电容）C2也可视为短路R2>>XC2R4>>XC1同理
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u4"i1"R44kR1R2e4k2k_+简化后的交流通道对交流通道进行简化后的计算
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最后结果：交、直流叠加直流分量交流分量i1tO
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计算非正弦周期交流电路应注意的问题1.最后结果只能是瞬时值叠加。
不同频率正弦量不能用相量相加。2.不同频率对应的XC、XL不同。
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