页数：67页文件大小：547.8 KB来源： 电工学ppt课件
本课件从暂态过程的产生原因切入，给出电容电压与电感电流不能跃变的换路定律及初始值计算方法，随后分别分析RC电路的零输入、零状态与全响应，讨论RC电路对矩形脉冲的微分与积分响应，最后归纳一阶电路三要素法并推广到RL电路。
本页为第三章电路的暂态分析的目录页，列出本部分所包含的章节与内容框架。
第一节暂态分析的基本概念与换路定律：本节依次讲解以下内容。
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一、暂态过程稳态：电路中的电流，电压稳定不变或者是时间上的周期函数，称为电路处于稳态。
当一个稳态电路的结构或元件参数发生改变时，电路原稳态被破坏而转变到另一种稳态所经历的过程，称为电路中的过渡过程。
由于过渡过程经历的时间很短，所以又称为暂态过程或暂态。
若开关在t= 0时接通，电路中的电流逐渐增加，最终达到I=U/R,这是一种稳态。
+－t= 0SRLULUSURS打开时，电路中的电流等于零，这是一种稳态。
在图示的RL电路中
三、换路定律通常我们把换路瞬间作为计时起点。即在t＝0时换路。
把换路前的终结时刻记为t＝0-，把换路后的初始时刻记为t＝0+。
在电感元件中，储存的磁场能量为WL=1/2LiL2,电感中的能量不能跃变，表现为电感中的电流iL不能跃变。
在电容元件中，储存的电场能量为WC=1/2CuC2,电容中的能量不能跃变，表现为电容两端的电压uC不能跃变。
iL(0+)＝iL(0－)uC(0+)＝uC(0－)电感中的电流和电容两端的电压不能跃变称为换路定律，表示为：
换路定律适用于换路瞬间，用它来确定暂态过程的初始值。若iL(0+)= iL(0－)=0，uC(0+)= uC(0－)=0，换路瞬间，电容相当于短路，电感相当于断路。
若iL(0+)= iL(0－)≠0，uC(0+)= uC(0－)≠0，换路瞬间，电容相当于恒压源，电感相当于恒流源。
电路中其它电压电流在换路瞬间，用换路定律、KVL、KCL定律联合求解。
元件特征CLiL(t)t =0+t =0－t =∞uC(t)uC(0+)=0uC(0－)=0uC(0－)=U0uC(0+)=U0+-开路短路iL(0+)=I0iL(0－)=I0iL(0-)=0iL(0+)=0
本页为课堂互动反馈页，提示语为：R1USSCi2iCuC+－R2例2、已知US=10V，R1=2kΩ，R2=3kΩ换路前电路已处于稳态，求:t＝0时，S断开后电压电流的初始值。i1请慎重作出
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R1USSCi2iCuC+－R2i1解：∵t＝0－，电路稳态。
C相当于开路，i1(0－)=i2(0－)=US/(R1+R2)= 2mAuC(0－)=i2(0－)R2= 6V在S断开的瞬间，根据换路定律有：uC(0－)=uC(0+)= 6V,而i2(0+) = 0i1(0+)=iC(0+) = [US－uC(0+)] /R1=2mAuC+－
R1USSCiLiCuC+－R2解：∵t= 0－，电路稳态C开路，L短路,iL(0－) =US/(R1+R2)uC(0－)=iL(0－)R2例3、换路前电路已处于稳态，t＝0时S断开,求uC(0+)、uL(0+)、uR2(0+)、iC(0+)、iL(0+)。
LuL在S闭合的瞬间，根据换路定律有：uC(0－) =uC(0+),iL(0－) =iL(0+)所以有等效电路：
R2uC(0+)iL(0+)uR2(0+)iC(0+)iC(0+)=－iL(0+)=－US/(R1+R2)uR2(0+) =iL(0+)R2＝uC(0+)uL(0+)=uC(0+)－uR2(0+) = 0
第二节RC电路的暂态过程：本节依次讲解以下内容。
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一、零输入响应如果在换路瞬间储能元件原来就有能量储存，那么即使电路中并无外施电源存在，换路后电路中仍将有电压电流，这是因为储能元件要释放能量。
因此，将电路中无输入信号作用时，由电路内部在初始时刻的储能所产生的响应称为零输入响应。
1、换路后电路的微分方程S在1位置uC(0)=US(初始条件)S在2位置uR(t)+uC(t) = 0∵uR(t) =i(t)Ri(t) =－CduC(t)/dt∴得到一阶常系数线性齐次微分方程+－SiuCRUS12uR
显然uC、i、uR都是按同样的指数规律变化的，且都是按指数规律衰减，最后趋于零。
i(t)=CduC(t)/dt=Cd(USe－t/RC)／dt=－(US/R)e－t/RCuR(t) =i(t)R=－USe－t/RC令τ=RC，称为R、C串联电路的时间常数，单位s。
变化曲线为:u、iUSuC(t)Us/Ri(t)－USuR(t)tuC(t)=USe－t/RCO
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2.时间常数从上面的变化规律可知,过渡过程的快慢与RC有关,τ=RCτ值越小,暂态过程进行得越快；
τ值越大,暂态过程进行得越慢。当t＝τ时：uC(τ)=USe－τ/τ=USe－1=0.368US也就是说，零输入响应的初始值经过一个τ，衰减为原来的36.8％。
一般在t＝(3～5)τ时uC(t)的值已很小,可认为暂态结束。
USuC0.368USτ1tτ1＜τ2＜τ3τ2τ3O
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二、零状态响应与零输入相反，如果在换路前储能元件没有能量储存，这种状态称为零状态。
因此，将电路中输入信号作用时，所产生的响应称为零状态响应。
1.换路后的微分方程S在1位置uR(t)+uC(t) =USuR(t) =i(t)Ri(t) =－C[duC(t)／dt]得到一阶常系数线性非齐次微分方程+－SiuCRUS12uRS在2位置uC(0)= 0 (初始条件)
2 .解微分方程RCduC(t)/dt+uC(t) =USuC(∞) =US∵uC(0)= 0uC(t)=US(1－e )－t/RC令τ=RCuC(t)=US(1－e )－t/τi(t)＝CduC(t)／dt=(US／R) e－t/τuR(t)＝i(t)R＝USe－t/τ
显然i、uR是按指数规律衰减，最后趋于零。uC随t不断增加，最后趋于US。
u、iUSUS/RiuRuCtτ反映RC电路充电的速度。一般，经过（3～5)τ的时间，可认为暂态结束。
uC(t)=US(1－e )－t/τO
uUS0.632USuC(t)tτuC(t)=US(1－e－1)＝0.632US当t=τ时O
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uCRUS例、已知R=103kΩ，US=100V，C=10μF,换路前电路已处于稳态，求开关闭合后5s、10s、30s时的uC值，并画出uC曲线。
解：uC(0)= 0 (初始条件)开关闭合uC(t)=US(1－e )－t/RC=100(1－e－0.1t)t=5suC= 39.4Vt=10suC= 63.2Vt=30suC= 95Vu/VuC(t)t100O
换路前,储能元件有储能,即非零状态,这种状态下的电路与电源接通，储能元件的初始储能与外加电源共同引起的响应称为全响应。
三、电路的全响应对于线性电路，全响应为零输入响应和零状态响应的叠加。
全响应=零输入响应+零状态响应
1.换路后的微分方程t =0,S闭合uR(t)+uC(t) =US初始条件为uC(0+)=uC(0－) =U0RC[duC(t)／dt]+uC(t)=US+－USSi(t= 0)uRuCRC得到一阶常系数线性非齐次微分方程
2.解微分方程通解形式为:uC(t)=US+Ae－t/τ∵uC(0)=U0∴U0=US+A,A=U0－US所以RC电路的全响应为:uC(t)=US+(U0－US)e－t/τRC[duC(t)／dt]+uC(t)=US
3.对全响应的讨论(1)此时电容将放电，最后达到稳态值US。
全响应＝稳态解+暂态解U0<USU0>US此时电容将充电，最后达到稳态值US。
uC(t)=US+(U0－US)e－t/τ
U0U0USU0>USU0<US放电充电变化曲线tuCO
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全响应=零输入响应+零状态响应(2)uC(t)=US+(U0－US)e－t/τ=US－USe－t/τ+U0e－t/τ=US(1－e－t/τ) +U0e－t/τ可分别求零输入响应（令电源为零）；
零状态响应（令初始值为零），然后求叠加。
USS1iuRuCR1C例、已知R1=R2=10Ω，US=80V，C=10μF,t=0开关S1闭合，0.1ms后，再将S2断开，求uC的变化规律。
(C上初始能量为零)S2解：(1) 0 <t< 0.1msR2uC(0+)=uC(0－)=0零状态响应uC(t)=US(1－e )－t/R1C= 80(1－e－10000t)Vt1= 0.1msuC(t1)=50.56V(2)t> 0.1msuC(t1+)=uC(t1－)=50.56V全响应uC(t)=US+(U0－US)e－t/τ=80V+(50.56－80)e－t/τVτ=(R1+R2)C=2×10－4suC(t)=80V－29.44e－5000(t－t1)V
第三节RC电路对矩形脉冲的响应：本节依次讲解以下内容。
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1.矩形波脉冲UtutPT宽度tP幅度U周期T若在RC串联电路两端加矩形脉冲在0～t1C充电在t1～t2C放电在矩形脉冲作用下，RC电路不断充放电。
t2t1O一、微分电路
2.电路的构成(1)τ<<tp（tp为脉冲宽度）(2)从电阻两端取输出CuiuoR3.输入输出关系由于τ<<tP,C充放电时间很短。
uC:ui=U,C充电，很快uC=Uui=0 ,C放电，很快uC=0uo:uo=uR=ui－uC工作波形如图所示
ttuiuoUU－UtptuCUOOO
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微分电路的作用是将矩形波变成为尖脉冲ui=uC+uo≈uCuo=Ri=RCduC/dt= RCdui／dtuo与ui之间是一种微分关系。
二、积分电路1.电路的构成(1)τ>>tP(tP为脉冲宽度)(2)从电容两端输出uiRuRuoC2.输入输出关系
积分电路可以将矩形波转换为三角波输出。ui=uR+uo≈uR(uo<<uR)=i R=RCduC/dt=RCduo/dtuo≈1/RC∫uidtuo与ui之间是一种积分关系。
第四节一阶电路暂态分析的三要素法：本节依次讲解以下内容。
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只含有一个（或者可以化为一个）储能元件的线性电路，无论是简单的，还是复杂的，它的微分方程都是一阶常系数微分方程,这种电路称为一阶电路。
一、一阶电路对于一阶电路，它的时域响应是从初始值开始，按着指数规律变化，最终进入新的稳态值。
过渡过程的长短取决于时间常数τ。因此将初始值、稳态值、时间常数τ称为一阶电路的三要素。
二、求解一阶电路的三要素法用f(t)表示电路中的某一元件的电压或电流,f(∞)表示稳态值,f(0+)表示初始值，τ为时间常数。
全响应=稳态分量+暂态分量f(t)=f(∞)+Ae－t／τf(t)=f(∞) +[f(0+)－f(∞)]e－t／τ只要求出f(0+),f(∞)和τ值,即可直接写出暂态过程中电压,或电流的表达式。
f(0+)：uC(0+)和iL(0+)可用换路定律在换路前的电路求，其它电压和电流要在换路后的电路中求得。
f(∞)：进入稳态后电容相当于开路，电感相当于短路，可应用电路的分析方法计算电压或电流的稳态值。
三、三要素公式说明时间常数τ：在换路后的电路中求得τ=R0CR0是换路后的电路中，从C两端看进去的将恒压源短路，恒流源开路后的等效电阻。
例1、图示电路中,IS=6mA,C=0.1μF,R1=6kΩ,R2=1kΩ,R3=2kΩ，换路前处于稳态，在t= 0时将S闭合,试求uC(t)，画出曲线。
SR2R3R1IS解:uC(0+)=uC(0－)Cτ= [(R1+R2)
例2、图示电路中，IS=8mA，C=4μF,R1=2kΩ，R2=3kΩ，R3=1kΩ，R=5kΩ，E=10V，换路前处于稳态，在t= 0时将S由1打向2，试求uC(t)，画出曲线。
SRR2R3R1ISE解:uC(0+)=uC(0－)Cτ= [(R1//R2)+R3]C=8.8×10－3suC(t)=uC(∞)+[uC(0+)－uC(∞)]e－t/τ= 6V+(12－6)e－114tV=6V+6 e－114tV12uC/Vt/s126O
rUSCiKiCuC+－Rir例3、图中电路原已稳定，求开关闭合后的uC和iK。
解：iC＝－uC(t)／R＝－(US／R)e－t/RCir=US/ruC(0+)=uC(0－)=USuC(∞)=0uC(t)=USe－t/RCτ=RC
例4、图示电路中U=20V,R=50kΩ,C=4μF,在t=0时闭合S1,在T=0.1s时闭合S2,试求S2闭合后的uC(t),并画出曲线,设S1闭合前uC=0。
＋－US1S2CuC(t)RR解:S1闭合后:uC(0+)=uC(0－)=0uC(∞)=U=20Vτ1=RC=0.2suC(t)=uC(∞)+[uC(0+)－uC(∞)]e－t/τ=20(1－e－5t)V
当t＝0.1s时uC(0.1)=20(1－e－5t)V≈7.87Vτ2= (R//R)C=2.5×104×4×10－6s= 0.1suC(t)=uC(∞)+[uC(0+)－uC(∞)]e－t/τ= 20V－12.13e－10(t－0.1)V＋－UCuC(t)RRS2闭合后:uC(0+)=7.87VuC(∞)=U=20VS1S2
变化曲线如图uC20V7.87VO0.1stτ1＝0.2sτ2＝0.1s
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例5、已知，U=10V,R1=10kΩ,R=15kΩ,C=50μF,换路前处于稳态，在t=0时打开S1,经过1s后打开S2,试求uC(t)，并画出曲线。
＋－US1S2CuC(t)R1R解:uC(0+)=uC(0-)=U/2=5VuC(∞)=0τ1=RC=0.75suC(t)=uC(∞)+[uC(0+)-uC(∞)]e－t/τ=5e－1.3tVR
US1S2CuC(t)R1RR当t=1s时uC(1)=5e－1.3V≈1.36VS2打开:uC(0+)=1.36VuC(∞) =0Vτ2= (R+R1)C=2.5×104×50×10－6s= 1.25suC(t)=uC(∞)+[uC(0+)－uC(∞)]e－t/τ= 1.36e－0.8(t－1)V
变化曲线如图uC5V1.36VO1stτ1=0.75sτ2=1.25s
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例6、已知，U=90V，R=60Ω，r=30Ω,C=10μF,换路前处于稳态，在t＝0时闭合S，试求uC(t) ,经过0.4ms后又打开S，试求uC(t)。
＋－USRRrrC解:S闭合前:uC(0+)=uC(0－)=UR/(R+r)=60V=60V－30V=30V
USRRrrCuC(t)=uC(∞)+[uC(0+)－uC(∞)]e－t/τ= 30 V+ 30e－2500tV当t1=0.4ms时uC(t1)=30V+30e－2500t1V≈41VuC(∞)=UR/(R+r)=60VuC(t)= 60 +(41－60)e－(t－t1)/τ′V=60V－19e－2000(t－t1)V
第五节RL电路的暂态过程：本节依次讲解以下内容。
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求解RL电路的暂态过程与求解RC电路的暂态过程的步骤相同，所不同的是RL电路的时间常数为τ=L/RL单位为H，R单位为Ω时，τ单位为s。
用列微分方程，解微分方程来求解暂态过程的方法称为经典法，通过经典法可归纳出求解一阶电路的三要素法。
例1、在图示电路中，已知L=1mH，R=10Ω,电压表内电阻RV=1.5kΩ,电源电压U=10V，在t=0时开关S断开，S断开前电路已处于稳态，求S断开后电压表两端电压的初始值及变化规律。
VRVSabLRiLt=0U解：iL(0－)=U/R=1AiL(0+)=iL(0－)=1AS断开的瞬间uab(0+)=－iL(0+)RV=－1500V
uab(∞)=0τ=L/(R+RV)=1×0.001/(10+1500)s=0.66×10－8suab(t)=uab(∞)+[uab(0+)－uab(∞)]e－t /τ=－1500e－1. 51×1000000tV
说明:换路的瞬间,电压表两端出现了1500V的高压,尽管暂态时间很短也可能使电压表击穿。
通常在切断电感电路时,在线圈两端反并联一个二极管,以限制断开时的电压，保证电路中电气设备和操作人员的安全,电路如图所示。
VDSLRit=0U
例2、换路前处于稳态，t= 0，断开S，求iL(t)。＋－6V10mH10ΩiL解:iL(0+)=iL(0－)=0.24AS5Ω5Ω5Ωτ=10×10－3H／[10//(5+5)+5]Ω＝10－3siL(t)=iL(∞)+[iL(0+)－iL(∞)]e－t/τ=0.3A－0.06e－1000tA
例3、已知R1=R2=2Ω，R=4Ω，L=6mH，US1=US2= 12V，t＝0，先闭合S1，经过t1=1ms，再闭合S2，求uab。
＋－US1LR1R2RiL解:(1) 0 <t<t1iL(0+)=iL(0－)=0iL(∞)=US1/(R+R1)=2Aτ=L/(R+R1)= 10－3s＋－US2S1S2abiL(t)=iL(∞)+[iL(0+)－iL(∞)]e－t/τ=2(1－e－1000t)A
iL(t1+)=iL(t1－)=2(1－e－1)A=1.26AiL(∞)=US1/(R+R1/2)=2.4Aτ′=L/(R+R1/2)=1. 2×10－3suab=US1－R1iL=12V－4(1－e－1000t)V=8V+4e－1000tV＋－US1LR1R2RiL＋－US2S1S2ab(2)t>t1iL(t)=2.4A+(1.26－2.4)e－833(t－t1)Auab=US1－iLR1/2=(12－2.4)V+1.14e－833(t－t1)V=9.6V+1.14e－833(t－t1)V
习题 10－3 iL解:iL(0+)=iL(0－)=0τ1=L/R1=5×10－3siL(∞)=US/R1=1ASiL(t)=1A－e－200tAiC(t)=－0.5e－250tA例4、已知R1=100Ω，R2=200Ω，L=0.5H，US1= 100，C=20μF，t＝0，闭合S，求i(t)。CiCiUSR1R2uC(0+)=uC(0－)=100ViC(0+) =－uC(0+)/R1=－0.5AiC(∞)=0τ2=R2C=4×10－3si(t)=iL(t)－iC(t)=(1－e－200t＋0.5e－250t)A
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