01 模态分析基本理论.pptx

第1页：模态分析基本理论

模态分析基本理论

第2页：主要研究内容

主要研究内容

• 单自由度振动系统举例
• 单自由度系统的相关模态概念
• 多自由度振动系统举例
• 多自由度系统相关模态概念

第3页：单自由度振动系统举例

第一节 单自由度振动系统举例：取 M=2kg、C=4N/(m/s)、K=5000N/m。

一、系统方程：时间域方程为 M ẍ(t)+C ẋ(t)+K x(t)=f(t)；假定初始位移和速度为 0，变换为拉氏域（复变量 P）后为 (MP²+CP+K)x(P)=F(P)。

第4页：传递函数与系统极点

二、传递函数：x(P)=H(P)·F(P)，其中 H(P)=(1/M)/(P²+(C/M)P+K/M)=(1/2)/(P²+2P+2500)。

三、系统极点：传递函数分母方程的根，λ₁,₂=−C/M±√((C/2M)²−(K/M))=−1±j49.9900 rad/s。

第5页：固有频率、临界阻尼与留数

四、无阻尼固有频率

C=0 时的系统固有频率，Ω₁=√(K/M)=50 rad/s，对应 f₁=Ω₁/2π=7.9577 Hz。

五、临界阻尼

系统极点为 0 时的阻尼值，C_C=2√(MK)/M=200 N/(m/s)。

六、阻尼比

ζ₁=C/C_C=0.02，即 2%。

七、留数

将传递函数展开成部分分式，分式的分子 A₁=−j5.001×10⁻³ s/kg。

第6页：传递函数图与频率响应函数

第二节 单自由度系统的相关模态概念

一、传递函数图

包括传递函数的实部、虚部，以及传递函数的幅值、相位。

二、频率响应函数（FRF）

沿频率轴算出的传递函数，表示频域中输入（力）与输出（位移）之间的关系，H(ω)=A₁/(jω−λ₁)+A₁*/(jω−λ₁*)。

第7页：脉冲响应函数与FRF影响因素

三、脉冲响应函数

对传递函数施行拉氏反变换得到时域关系 h(t)=A₁e^(λ₁t)+A₁*e^(λ₁*t)=e^(σ₁t)(A₁e^(jω₁t)+A₁*e^(−jω₁t))，σ₁ 为衰减率，ω₁ 为振荡频率。

四、FRF 影响因素

刚度提高时共振频率提高、低频段幅值下降；阻尼提高时共振点幅值下降、相位变化较为平缓；质量提高时共振频率略降、高频段幅值下降。

第8页：多自由度振动系统举例

第三节 多自由度振动系统举例：M₁=M₂=2kg，C₁=3N/(m/s)、C₂=1N/(m/s)、C₃=4N/(m/s)，K₁=4000N/m、K₂=2000N/m、K₃=4000N/m。

该系统运动方程为：M₁ẍ₁(t)+(C₁+C₂)ẋ₁(t)−C₂ẋ₂(t)+(K₁+K₂)x₁(t)−K₂x₂(t)=f₁(t)；M₂ẍ₂(t)+(C₂+C₃)ẋ₂(t)−C₂ẋ₁(t)+(K₂+K₃)x₂(t)−K₂x₁(t)=f₂(t)。

第9页：系统方程的矩阵形式

写成矩阵形式：将质量、阻尼、刚度分别组装为 [M]、[C]、[K] 后，得到拉氏域的系统方程（假定初始位移和速度为 0）：[z(P)]{x(P)}={F(P)}，其中 [z(P)]=P²[M]+P[C]+[K]。

[M]=[[2,0],[0,2]]，[C]=[[4,−1],[−1,5]]，[K]=[[6000,−2000],[−2000,6000]]。

第10页：传递函数矩阵

二、传递函数矩阵：[H(P)]=[z(P)]⁻¹=adj([z(P)])/z(P)，其中 z(P)=(2P²+5P+6000)(2P²+4P+6000)−(P+2000)²。

第11页：系统极点与模态向量

三、系统极点、模态向量：由拉氏域方程 (P²[M]+P[C]+[K]){x(P)}={F(P)} 构造恒等式 (P[M]−P[M]){x}={0}，化为状态方程 (P[A]+[B]){Y}={F′}。

系统极点即特征值，满足 |P[A]+[B]|=0，得 λ₁=−0.87501+j44.7135 rad/s，λ₂=−1.3750+j63.2296 rad/s。

第12页：特征根与模态振型向量

对于 N 自由度系统，有 2N 个呈复共轭对出现的特征根 λ_r=σ_r+jω_r 与 λ_r*=σ_r−jω_r（r=1,…,N），σ_r 为阻尼因子，ω_r 为阻尼固有频率。

模态振型向量（模态位移向量、模态向量）即特征值对应的特征向量 {Y}_r，模态矩阵 [φ] 由各阶特征向量按列排列而成。

第13页：留数的定义

四、留数：定义与单自由度系统类似。[H(P)]=[z(P)]⁻¹=adj([z(P)])/z(P)，在极点 λ_r 处的留数矩阵 [A]_r=([H(P)](P−λ_r))|_{P=λ_r}，Q_r 为常数。

第14页：留数与模态向量的关系

λ_r 是 z(P) 的根，故 [z(λ_r)]·adj([z(λ_r)])=[0]；同时在极点 λ_r 上存在模态向量 {ψ}_r 使力向量为零，即 [z(λ_r)]{ψ}_r={0}。

因此 adj([z(λ_r)]) 的各列与 {ψ}_r 成比例，留数可写为 [A]_r=Q_r{ψ}_r{ψ}_r^T。

第15页：频响函数的留数表达式

系统的质量、刚度、阻尼矩阵对称，故动刚度矩阵 [z(P)] 亦对称，adj([z(λ_r)]) 各行均与第 r 阶模态向量成比例。

由此得到 [H(P)]=Σ(Q_r{ψ}_r{ψ}_r^T/(P−λ_r)+Q_r*{ψ}_r*{ψ}_r*^T/(P−λ_r*))。

第16页：模态参预因子

五、模态参预因子：是各激励自由度对各阶模态激励有效性的一种量度。

设模态向量矩阵 [V]=[{ψ}₁,{ψ}₂,…]，[L]=Q[V]^T 为模态参预因子矩阵，则 [H(P)]=[V](P[I]−[Λ])⁻¹[L]。

第17页：频响函数矩阵与三种描述形式

六、频响函数矩阵：[H(jω)]=Σ(Q_r{ψ}_r{ψ}_r^T/(jω−λ_r)+Q_r*{ψ}_r*{ψ}_r*^T/(jω−λ_r*))，考虑实验模态分析中各矩阵维数的限制后可写为 [H(jω)]=[V](jω[I]−[Λ])⁻¹[L]。

频响函数描述形式有 3 种：

• 以实部、虚部作为频响函数的实频、虚频图
• 以幅值（常用对数刻度）和相位作为幅频、相频图（Bode 图）
• 以频率作为参变量的实部对虚部图（奈奎斯特图或 Argand 图）

第18页：脉冲响应函数矩阵

经过拉氏反变换，得到时域的脉冲响应函数矩阵：

[h(t)]=Σ(Q_r{ψ}_r{ψ}_r^T e^(λ_r t)+Q_r*{ψ}_r*{ψ}_r*^T e^(λ_r* t))，或写为 [h(t)]=[V]e^[Λ]t[L]。

第19页：无阻尼系统

第四节 多自由度系统相关模态概念 一、无阻尼系统（阻尼矩阵 [C] 为零矩阵的系统）：

• 振型向量 {ψ}_r 各元素之间的相位差是 0 度或 180 度
• 系统阻尼因子 σ_r 为零，极点全为纯虚数，λ_r=jω_r
• 可通过比例因子 Q_r 的选取，把模态振型向量换算成实模态向量或纯模态向量
• “模态相位共线性”和“平均相位偏移”这两种模态验证技术即基于该特性

第20页：比例阻尼系统

二、比例阻尼系统：一种假设的阻尼形式，阻尼矩阵 [C]=α[M]+β[K]。

其频响函数为 [H(jω)]=Σ(2jωQ_r{ψ}_r{ψ}_r^T/((σ_r²+ω_r²−ω²)−2σ_r jω))，也可写成由 [ψ] 与对角阵构成的形式。

第21页：模态正交性：一般粘性阻尼

三、正交性、模态坐标 1. 一般粘性阻尼情形：由 (P[A]+[B]){Y}={F′}，模态振型向量矩阵 [φ] 的不同两列在被 [A] 加权的条件下正交，在被 [B] 加权的条件下同样正交。

[φ]^T[A][φ]=[a]、[φ]^T[B][φ]=[b]，频响函数 [H]=[V](P[I]−[Λ])⁻¹[L]，与模态参预因子对比可得 [L]=Q[a]⁻¹。

第22页：模态质量、刚度与阻尼矩阵

2. 无阻尼和比例阻尼情形：

• 模态质量矩阵 [φ]^T[M][φ]=[m]
• 模态刚度矩阵 [φ]^T[K][φ]=[k]
• 模态阻尼矩阵 [φ]^T[C][φ]=[c]

无阻尼系统与比例阻尼系统的频响函数均可由 [ψ]、模态质量矩阵以及 σ_r、ω_r 构成的对角项表示。

第23页：模态向量比例换算：粘性阻尼

四、模态向量比例换算 1. 一般粘性阻尼系统：根据同一测量自由度（位置与方向）的输入输出频响函数，可确定第 r 阶模态的留数 A_qqr。

由 A_pqr=Q_r ψ_pr ψ_qr 可得留数与振型系数的关系：取单位模态系数 a_r=1、Q_r=1 时 A_pqr=ψ_pr ψ_qr，据此完成比例换算并确定单位模态向量长度。

第24页：无阻尼系统比例换算与解析法

2. 无阻尼系统：单位模态质量 m_r=1 时，Q_r=1/(2jω_r m_r)，据此由留数 A_qqr 换算得到模态振型系数。

五、解析法和实验法 1. 解析法：根据质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵估计结构的质量、刚度和阻尼分布，首先由 (P[M]+[K]){Y}={0} 求得特征值和特征向量。

第25页：解析法与实验法

解析法的完整步骤：

• 由特征向量决定模态向量 [φ]
• 由模态质量矩阵 [φ]^T[M][φ]=[a] 求出适当的比例换算因子 Q_r
• 借助模态参数构造频响函数 [H(jω)]

2. 实验法：由测得的频响函数矩阵，根据适当的参数估计方法估计模态参数；由于模态实验的自由度数远超过估计模态数，故结果往往不准确。