第1页：第五章 模态参数的应用
第五章 模态参数的应用
主要研究内容
- 模态参数应用概述
- 强迫响应分析
- 灵敏度分析
- 结构动力学修改与集成
- 结论
第2页：模态参数应用概述
第一节 模态参数应用概述
- 强迫响应分析：分析者对系统在某些特定点（例如实际工作条件）施加特定输入力时的动态特性感兴趣
- 灵敏度分析：评价设计师修改当前结构对系统动态特性的影响，例如哪些共振频率和/或哪些模态振型的改变最明显
- 结构动力学修改与集成：与灵敏度分析类似，但更精确
- 模态参数应用方法的精度很大程度上取决于模态模型的精度和完整性
第3页：强迫响应分析的目的
第二节 强迫响应分析 一、强迫响应分析的目的
- 在正常载荷条件下或在极端载荷条件下，一些特定点的最大加速度是多少
- 哪些共振频率支配着结构的响应
- 在某一频率下结构是怎样变形的
第4页：强迫响应分析理论
二、理论：基于 {x(ω)}=[H(ω)]{F(ω)}，存在两个问题：
- 频响函数矩阵测得不完整：一列（或一行）就包含了构成整个频响函数矩阵的足够多信息（除非该列刚巧与零模态系数相吻合），可通过留数 A_xjr、A_yjr、A_jjr 表示，且 A_xyr/A_xjr=A_yjr/A_jjr=Q_r ψ_xr ψ_yr
- 频响函数的值只在有限的频带上已知：可采用比较大的模态模型（包括感兴趣的频率范围上下的模态），同时确保该频率范围内的全部模态都能在测量中被激励出来
第5页：强迫响应分析的应用
三、应用
- 主要用于研究处于工作条件下的结构特性，如行驶的汽车、转动的引擎、发射的卫星
- 可以就过载区域或疲劳问题，对系统进行检测
第6页：灵敏度分析：极点灵敏度
第三节 灵敏度分析：在泰勒展开式的基础上用以确定模态参数对质量、阻尼或刚度的变化率的一种方法。
一、理论 1. 由 (p[A]+[B]){y}_i={0}，对参数 u 求导并左乘 {φ}_i^T，利用模态正交性可得第 i 个系统极点对参数 u 变化的灵敏度，分母含 λ_i{φ}_i^T[A]{φ}_i+{φ}_i^T[B]{φ}_i，分子含 ∂[A]/∂u 与 ∂[B]/∂u 项。
第7页：模态振型灵敏度
2. 模态振型灵敏度：因为这些特征向量构成 2N×2N 维向量空间的一组基，所以第 i 个特征向量对参数 u 的偏导数可表示为全部模态的线性组合 ∂{φ}_i/∂u=Σ g_ir{φ}_r。
对 [φ]^T[A][φ]=[a] 与 [φ]^T[B][φ]=[b] 求导，并利用模态正交性求得系数 g_ir。
第8页：灵敏度计算与模态数影响
3. 借助非扩展的模态振型向量 {φ}_i 和质量、阻尼、刚度矩阵，极点灵敏度与振型灵敏度可写成含 ∂[M]/∂u、∂[C]/∂u、∂[K]/∂u 的显式。
- 在计算系统极点 λ_i 的灵敏度时，只需要相对应的模态振型向量
- 求模态振型的灵敏度，需要知道所有模态
- 一般来说可用的模态模型只包含有限数目的模态，因此模态振型灵敏度较差
第9页：灵敏度分析的精度限制
5—7. 精度问题
- 灵敏度分析提供的仅仅是一阶近似值，所以它的预测只对小变化是准确的；此外模态靠得太近也会引起精度问题
- 分析结果顶多只能像计算中所用的模态参数那样好：利用测量数据时，可能因测得模态数不够、旋转自由度未予考虑、测量精度差、参数估计方法的限制而影响精度
- 利用解析模型的数据时，计算的模态数少、自由度有限、建模的不确定性、缺少阻尼估计等因素会影响分析精度
第10页：灵敏度分析的应用领域
二、应用领域
- 作为预处理过程，可用于有限元建模、结构动力学修改与结构集成或结构的再设计；可作为模型修正过程的必要部分；还可作为模态模型验证的一部分，以补偿因移动加速度计而产生的附加质量影响
- 许多利用灵敏度分析的模型修正技术是一种迭代过程，根据实验获得的动态数据来调整有限元模型使之与测量数据相一致
第11页：结构动力学修改与集成
第四节 结构动力学修改与集成：用以预测已知系统修改后或已知子系统集成后的系统的动态特性。
第12页：模态综合：结构修改
一、模态综合 1. 结构修改：利用模态变换坐标使扩展系统方程解耦。结构经修改后并施以模态变换，可得含 [a+Δa]、[b+Δb] 的模态坐标方程 [φ]^T{F′}，由此得出已修改系统的极点和用模态坐标表示的已修改特征向量。
第13页：结构的柔性与刚性集成
2. 结构的柔性集成：整体系统的描述由两个子系统的 [A]、[B] 矩阵按块组合而成。
3. 结构的刚性集成：该情况较柔性集成复杂，因为刚性连接在要集成的两个系统的自由度之间施加了严格约束；总的共振频率数将因许多连接而减少，其等于两个系统各自的共振频率数之和减去连接数。
第14页：刚性集成的约束处理
模态坐标 q₁ 和 q₂ 并不是独立的，可把它们分成独立的（i）和非独立的（d）两组，约束矩阵 [T] 也照此分块，限制条件可表示为 [R]{Y}={0}。
{q_d}=[T_di]{q_i}，代入后得到含 [T]^T 分块矩阵的运动方程；解这个方程的齐次形式的特征值即得集成后结构的系统极点，以及对应的模态振型向量。
第15页：模态综合法的讨论
4. 讨论
- 因为关于子系统模态特性的那些量可以测量，所以模态综合法很适合利用实验模态分析的结果；倘若这些结果足够准确并换算正确，修改或集成后系统的动态特性可用模态参数来描述
- 这种方法比一阶近似灵敏度分析更准确，并允许进行更复杂的结构修改
- 由于缺少关于转动自由度的信息，结果的精度会受到不利影响
- 影响精度的第二个限制是模态数，但在处理过程中考虑所关心频带范围上下若干个模态的影响，依然是较好的做法
第16页：动柔度法：结构修改
二、动柔度法：根据原始系统的动柔度（或频响函数）数据估计修改或集成后的系统的动态特性；考虑到数值稳定性，该方法仅限于故障诊断方面。
1. 结构修改：令 [Z]_m 是修改后系统的动刚度矩阵，[H]_m 为相应的动柔度矩阵或称频响函数矩阵，则 [H]_m=[H]([I]+[ΔZ][H])⁻¹。
第17页：动柔度矩阵的分块求解
令 c 表示结构修改所涉及之自由度，f 表示所有其他有关自由度，则上面方程可分块为含 [H_cc]、[H_cf]、[H_fc]、[H_ff] 与 [ΔZ_cc] 的形式。
解上式即可得到关于修改后动柔度的分块矩阵。以上公式表明，只有在修改中所涉及到的自由度以及有关自由度的频响函数才是必需的，计算之逆的工作量仅对简单修改才会最小。
第18页：质量与刚度改变的响应估算
假定把自由度 c 的质量改变 ΔM_c，那么矩阵 [H_mff] 的元素 H_mpq 变为：
H_mpq=H_pq−(−ω²ΔM_c)H_pc H_cq/(1−ω²ΔM_c H_cc)
假定改变自由度 c 和自由度 d 之间的线性刚度，则 H_mpq=H_pq−ΔK(H_pc−H_pd)(H_cq−H_dq)/2。
第19页：动柔度法刚性集成
3. 结构的刚性集成：刚性集成只是柔性耦合的特例。令 ΔK_cd=∞，则 H_mpq=H_pq−H_pc H_cq/(H_cc+H_dd)；将自由度 d 固定在大地上，则有 H_mpq=H_pq−H_pc H_cq/H_cc。
第20页：动柔度法的讨论
4. 讨论
- 为了避免矩阵求逆问题，频响函数法或动柔度法是就单约束情况或简单修改情况而实现的，因此该方法可用于故障诊断
- 通常要使用实测的频响函数；若测出约束点、响应点及驱动点的原点频响函数和跨点频响函数，便可以直接代入方程计算修改后的频响函数，此时模态模型是不必要的
- 若所有必要的频响函数没有全测出来，则可以根据某个模态模型把它们计算出来；为减小实测频响函数中的噪声，可以使用取自某个模态模型的频响函数
- 同模态综合法的情况一样，由于未能测得转动自由度信息，结果的精度会受到负面影响
第21页：动刚度法
三、动刚度法
- 根据原始系统的动刚度数据对修改后或集成后的系统的动特性进行估计，估计结果是修改后的动刚度
- 从解析观点（有限元分析）来看，动刚度法是最明了不过的方法，因为动刚度矩阵是现成的；然而在实验模态分析中，最为关键的是必须求频响函数矩阵的逆矩阵
- 动刚度矩阵可由不同的来源得到，有限元法便可直接生成该矩阵；不推荐直接应用测量得到的频响数据，为计算 [Z] 而求动柔度矩阵的逆仍然是个难题
第22页：动刚度法的集成与局限
4. 结构的柔性集成：是结构修改的扩展，只是原始系统为 1 和 2 两个部件的非耦合组合。
5. 结构的刚性集成：令系统 1 和 2 的动刚度矩阵、位移向量和力向量写成分块矩阵形式，描述集成系统的动态特性。
6. 该方法在有限元分析方面是特别有用的；如果动刚度矩阵必须要根据测量数据进行计算，那么像稳定性、奇异性、精度、计算速度等都可能成为问题。
第23页：部件模态综合的一般步骤
四、部件模态综合：专门用于计算子结构集成的动力学特性，其中各个子结构都用一套简化（广义）自由度分别给以描述，因此每个部件的物理自由度都将被变换成数目减少了的广义坐标。
1. 一般步骤基本分做两大步：
- 第一，为每一个子结构（或部件）定义一种变换，此变换将把原来的物理自由度缩减为一组广义自由度
- 第二，把所有部件的缩减模型组合成一个整体；由于在部件级已经进行了压缩，所以集成结构模型总的自由度数将大大减少
第24页：部件坐标变换与集成
用变换矩阵 {Φ₁} 和 {Φ₂} 将物理坐标 {Y₁} 和 {Y₂} 变换成广义坐标 {g₁} 和 {g₂}，即 {Y₁}={Φ₁}{g₁}、{Y₂}={Φ₂}{g₂}。
- 变换矩阵的列向量是（扩展）模态振型向量、约束向量、附着模态、刚体模态
- 广义坐标向量常常包含连接自由度或有关自由度的模态坐标和物理坐标
- 为了减少自由度，变换矩阵的列数应小于它的行数
把两个部件集成起来，可得 (p[a]+[b]){g}={Φ}^T{F′}。
第25页：一致性与连续性条件
- 一致性（兼容性）条件指出，连接自由度在被连接的两个部件上应该相等，即 {Y₁c}={Y₂c}
- 连续性条件指出，连接界面上的力应相互抵消，即 {F₁c}+{F₂c}={0}，可表示为 {g}=[T_c]{g_a}，式中 [T_c] 为一致性矩阵，{g_a} 为集成结构的广义坐标
- 根据以下方程的齐次形式，可求出集成系统的极点和广义坐标下的特征向量
第26页：变换矩阵的模态构成
2. 变换模态：变换矩阵 {Φ} 的列向量是模态振型向量、约束向量、附着模态、刚体模态等等。
- 纯模态：“固定”界面纯模态或“自由”界面纯模态
- 固定界面纯模态
- 约束模态
- 附着模态
- 刚体模态
第27页：两种变换矩阵构成法
3. 变换矩阵构成方法
- Craig-Bampton 法常用于有限元程序，它将固定界面纯模态和约束模态结合在一起；保留的模态坐标数取决于所要求的精度和频带宽度；需要知道（部分）部件质量矩阵和刚度矩阵，因此实验模态参数提供的信息是不够的
- Craig-Chang 法将自由界面纯模态和剩余附着模态结合在一起
第28页：部件模态综合的应用
4. 应用
- 对于前面提到的方法，输入信息的精度和完整性至关重要；从测量角度，测量的误差、模态数的不足、自由度数目的不完整（缺少转动自由度）等，可能使所得结果毫无用处
- 在再设计流程中，这些修改和集成技术常是跟在灵敏度分析之后，而在更精确、更完整的有限元计算之前
- 为克服实验信息的不完整性而用有限元数据加以补充，这些方法将产生较好的结果
- 部件综合与有限元分析结合起来，对于在尺寸缩减后的模型的基础上估计集成结构的动力学特性，提供了一个强有力的工具
第29页：结论
第五节 结论
- 根据动态信息评估不同载荷或组合形态下系统的动态特性
- 强迫响应分析是根据适当的模态数据信息预测系统对已知动态力响应的一种工具
- 灵敏度分析提供（小的）修改对共振频率和模态振型的影响的一阶估计
- 根据结构动力学修改技术所提供的更为精确的结果可以对这些设计决策予以验证
- 要想得到好结果，输入数据的精度和完整性是一个重要条件
- 根据当前的技术发展情况，测量扭矩自由度几乎不可能，这使数据总是不完整；设计者在使用这些数据时一定要明白这方面信息的不足
