03 第三章 计算机控制系统的数学基础.pptx

第1页：第三章计算机控制系统的数学基础封面

第三章 计算机控制系统的数学基础

第2页：第三章目录

1. Z变换
2. Z变换的性质和定理
3. Z反变换
4. 本章思考题

第3页：3.1.1 Z变换的定义

3.1 Z变换

3.1.1 Z变换的定义

采样函数 f*(t)＝Σ（k＝0→∞）f(t)δ(t－kT)

对其进行拉氏变换：F*(s)＝L[f*(t)]＝Σ（k＝0→∞）f(kT)e^(－kTs)

令 z＝e^(Ts)，则上式变为：Z[f*(t)]＝F(z)＝Σ（k＝0→∞）f(kT)z^(－k)

此式称为采样函数 f*(t) 的Z变换，记作 F(z)＝Z[f*(t)]＝Z[f(t)]。

第4页：级数求和法求Z变换

3.1.2 Z变换的方法

1、级数求和法

例1 求1*(t)的Z变换。

解：F(z)＝Z[1*(t)]＝Σ（k＝0→∞）z^(－k)＝1＋z^(－1)＋z^(－2)＋…＝1/(1－z^(－1))＝z/(z－1)

例2 求 e^(－at) 的F(z)。

解：F(z)＝Σ（k＝0→∞）e^(－akT)z^(－k)＝1＋e^(－aT)z^(－1)＋e^(－2aT)z^(－2)＋…＝1/(1－e^(－aT)z^(－1))＝z/(z－e^(－aT))

第5页：单位斜坡与多项式函数的Z变换

例3 单位斜坡函数 f(t)＝t（t≥0），f(kT)＝kT

F(z)＝Z[t]＝Σ（k＝0→∞）kT·z^(－k)＝T(z^(－1)＋2z^(－2)＋3z^(－3)＋…)＝Tz^(－1)/(1－z^(－1))^2＝Tz/(z－1)^2

例4 多项式函数 f(k)＝a^k

F(z)＝Z[a^k]＝Σ（k＝0→∞）a^k z^(－k)＝1＋az^(－1)＋a^2 z^(－2)＋a^3 z^(－3)＋…＝1/(1－az^(－1))＝z/(z－a)

第6页：部分分式法求Z变换

2、部分分式法

例 求 F(s)＝a/[s(s+a)] 的Z变换。

解：因为 F(s)＝A/s＋B/(s+a)＝1/s－1/(s+a)，而 L^(-1)[F(s)]＝1(t)－e^(－at)

所以 F(z)＝z/(z－1)－z/(z－e^(－aT))＝z(1－e^(－aT))/[(z－1)(z－e^(－aT))]

例 求 F(s)＝1/[s^2(s+1)] 的Z变换。解：设 F(s)＝A1/s^2＋A2/s＋A3/(s+1)

第7页：部分分式系数的求法

利用部分分式法求系数 A1、A2、A3：

A1＝[s^2 F(s)]_(s=0)＝1；A2＝d/ds[s^2 F(s)]_(s=0)＝－1；A3＝[(s+1)F(s)]_(s=－1)＝1

故 F(s)＝1/s^2－1/s＋1/(s+1)

F(z)＝Z[F(s)]＝Tz^(－1)/(1－z^(－1))^2－z^(－1)/(1－z^(－1))＋z^(－1)/(1－e^(－T)z^(－1))

整理得：F(z)＝[(T＋e^(－T)－1)z^(－1)＋(1－e^(－T)－Te^(－T))z^(－2)]/[(1－z^(－1))^2(1－e^(－T)z^(－1))]

第8页：正弦函数的Z变换

例 求 F(z)＝Z[sinωt]

解：L[sinωt]＝ω/(s^2＋ω^2)＝（1/2j）[1/(s－jω)－1/(s＋jω)]

由 L^(-1)[1/(s∓jω)]＝e^(±jωt)，逐项取Z变换并合并：

F(z)＝（1/2j）[z/(z－e^(jωT))－z/(z－e^(－jωT))]＝z^(－1) sinωT/(1－2z^(－1)cosωT＋z^(－2))

即 F(z)＝z sinωT/(z^2－2z cosωT＋1)

第9页：留数法求Z变换

3 留数法

F(z)＝Σ（i＝1→n1）Res[F(s)·1/(1－e^(sT)z^(－1))]_(s=si)＋Σ重极点项

其中 si（i＝1,2,…,n1）为 F(s) 的 n1 个单极点；si（i＝n1+1,…,n）为 F(s) 的 n－n1 个重极点，ri 为阶数。

重极点留数项：1/(ri－1)!·d^(ri－1)/ds^(ri－1)[(s－si)^ri F(s)·z/(z－e^(sT))]_(s=si)

第10页：留数法例题：单极点情形

例 求 F(s)＝a/[s(s+a)] 的Z变换。

F(z)＝Σ（i＝1→2）Res[a/(s(s+a))·1/(1－e^(sT)z^(－1))]_(s=0, －a)

＝1/(1－z^(－1))－1/(1－e^(－aT)z^(－1))

＝(1－e^(－aT))z^(－1)/[(1－z^(－1))(1－e^(－aT)z^(－1))]

第11页：留数法例题：重极点情形

例 求 F(s)＝1/(s+a)^2 的Z变换。

F(z)＝Res[1/(s+a)^2·1/(1－e^(sT)z^(－1))]_(s=－a)

＝1/(2－1)!·d/ds[(s+a)^2·1/((s+a)^2(1－e^(sT)z^(－1)))]_(s=－a)

＝Tz^(－1)e^(－aT)/(1－e^(－aT)z^(－1))^2

第12页：Z变换研究系统性能应注意的问题

3.1.3 Z变换研究系统性能时应注意的问题

1. Z变换是建立在加权脉冲序列的基础上的，计算机控制系统中的信号应该满足理想化条件，即脉冲宽度应远远小于采样周期
2. 不能确定采样时刻之间的信息
3. 当连续对象的脉冲响应不为零时，会产生跳跃性的输出曲线

第13页：线性性质与求和性质

3.2 Z变换的性质和定理

1 线性性质：如果 x(k)＝αf(k)＋βg(k)，则 X(z)＝αF(z)＋βG(z)

2 求和性质（叠加性质）：Z[Σ（j＝0→k）f(j)]＝z/(z－1)·Z[f(k)]；Z[Σ（j＝0→k－1）f(j)]＝z^(－1)/(1－z^(－1))·Z[f(k)]

证明：令 y(k)＝Σ（j＝0→k）f(j)，y(k－1)＝Σ（j＝0→k－1）f(j)，则 y(k)－y(k－1)＝f(k)

两边取Z变换：Y(z)－z^(－1)Y(z)＝F(z)，故 Y(z)＝F(z)/(1－z^(－1))＝zF(z)/(z－1)

第14页：实数平移定理（延迟定理）

3 乘以 a^k 后的Z变换：Z[a^k f(k)]＝F(a^(－1)z)

4 实数平移定理：如果 f(t)＝0（t＜0），则 Z[f(t－nT)]＝z^(－n)F(z)

证明：Z[f(t－nT)]＝Σ（k＝0→∞）f(kT－nT)z^(－k)＝z^(－n)Σf(kT－nT)z^(－(k－n))，令 m＝k－n，注意到 m＜0 时 f(mT)＝0，故 Z[f(t－nT)]＝z^(－n)F(z)。

Z变换乘以 z^(－n) 后，时间函数 f(t) 延迟了一段时间 nT。另有 Z[f(t＋nT)]＝z^n F(z)－Σ（k＝0→n－1）f(kT)z^(n－k)

第15页：实数平移定理（超前定理）

Z[f(t＋nT)]＝Σ（k＝0→∞）f(kT＋nT)z^(－k)＝z^n Σ（k＝0→∞）f(kT＋nT)z^(－(k+n))

＝z^n[F(z)－Σ（k＝0→n－1）f(kT)z^(－k)]＝z^n F(z)－Σ（k＝0→n－1）f(kT)z^(n－k)

例：Z[f(k＋1)]＝zF(z)－zf(0)，若 f(0)＝0 则 Z[f(k＋1)]＝zF(z)

Z[f(k＋2)]＝z^2 F(z)－z^2 f(0)－zf(1)

一般地 Z[f(k＋n)]＝z^n F(z)－z^n f(0)－z^(n－1)f(1)－…－zf(n－1)

第16页：后向差分及其Z变换

5 后向差分和前向差分

f(k) 和 f(k－1) 之间的第一后向差分定义为 ∇f(k)＝f(k)－f(k－1)，其Z变换为 Z[∇f(k)]＝(1－z^(－1))F(z)

第二后向差分定义为 ∇^2 f(k)＝∇[∇f(k)]＝f(k)－2f(k－1)＋f(k－2)，其Z变换为 Z[∇^2 f(k)]＝(1－z^(－1))^2 F(z)

第17页：前向差分与m阶差分

第 m 个后向差分为 ∇^m f(k)＝∇^(m－1)f(k)－∇^(m－1)f(k－1)，其Z变换为 Z[∇^m f(k)]＝(1－z^(－1))^m F(z)

f(k+1) 和 f(k) 之间的第一前向差分定义为 △f(k)＝f(k＋1)－f(k)，其Z变换为 Z[△f(k)]＝(z－1)F(z)－zf(0)

第二前向差分 △^2 f(k)＝f(k＋2)－2f(k＋1)＋f(k)

第18页：二阶与m阶前向差分的Z变换

Z[△^2 f(k)]＝Z[f(k＋2)－2f(k＋1)＋f(k)]＝z^2 F(z)－z^2 f(0)－zf(1)－2[zF(z)－zf(0)]＋F(z)

＝(z－1)^2 F(z)－z(z－1)f(0)－z△f(0)，式中 △f(0)＝f(1)－f(0)

通常，第 m 个前向差分为 △^m f(k)＝△^(m－1)f(k＋1)－△^(m－1)f(k)，其Z变换为：

Z[△^m f(k)]＝(z－1)^m F(z)－z Σ（j＝0→m－1）(z－1)^(m－j－1)△^j f(0)

第19页：复数平移定理与初值定理

6 复数平移定理

Z[e^(－at)f(t)]＝Σ（k＝0→∞）f(kT)e^(－akT)z^(－k)＝F(ze^(aT))

7 初值定理：如果 f(t) 有Z变换 F(z)，并且极限 lim（z→∞）F(z) 存在，则 f(t) 或 f(k) 的初始值 f(0) 为 f(0)＝lim（z→∞）F(z)

证明：由Z变换的定义有 X(z)＝Σ（k＝0→∞）x(k)z^(－k)＝x(0)＋x(1)z^(－1)＋…，故 z→∞ 时 x(0)＝lim X(z)。

第20页：初值定理例题

例：如果 f(t) 的Z变换由下式给出，试确定其初始值 f(0)。

F(z)＝(1－e^(－T))z^(－1)/[(1－z^(－1))(1－e^(－T)z^(－1))]

由初值定理：f(0)＝lim（z→∞）F(z)＝lim（z→∞）(1－e^(－T))z^(－1)/[(1－z^(－1))(1－e^(－T)z^(－1))]＝0

F(z) 对应的 f(t) 是 f(t)＝1－e^(－t)，其初始值确为0。

第21页：终值定理

8 终值定理

假设当 k＜0 时 f(k)＝0，它的Z变换 F(z) 的所有极点都在单位圆内，可能的例外是在单位圆上 z＝1 处有单极点（这是 F(z) 稳定的条件），于是可以得到 f(k) 的终值：

f(∞)＝lim（k→∞）f(k)＝lim（z→1）[(1－z^(－1))F(z)]

证明：由Z变换定义 X(z)＝Σ（k＝0→∞）x(kT)z^(－k)，由实位移定理有 Z[x(kT＋T)]＝zX(z)－zx(0)，上二式相减得 (z－1)X(z)－zx(0)＝Σ[x(kT＋T)－x(kT)]z^(－k)，令 z→1 即得 x(∞)－x(0)，故 x(∞)＝lim（z→1）(z－1)X(z)。

第22页：差分方程求解与初值终值例题

例：讨论差分方程 f(k)－a f(k－1)＝1(k)，－1＜a＜1，当 k＜0 时 f(k)＝0，求解 f(k)，并求初值和终值。

F(z)－az^(－1)F(z)＝1/(1－z^(－1))，故 F(z)＝1/[(1－z^(－1))(1－az^(－1))]＝1/(1－a)·[1/(1－z^(－1))－a/(1－az^(－1))]

f(k)＝(1－a^(k+1))/(1－a)

初值：f(0)＝lim（z→∞）F(z)＝1

终值：f(∞)＝lim（z→1）(1－z^(－1))F(z)＝1/(1－a)

第23页：复域微分定理

9 复域微分

以 z 为变量的幂级数，在它的收敛域内被多次对 z 求导，可以得到一列收敛级数，F(z) 导数的收敛域与 F(z) 的收敛域相同。

Z[k^m f(k)]＝（－z·d/dz）^m F(z)

例 已知 x(k)＝k a^(k－1)，求其Z变换。

解：Z[a^k]＝Σ（k＝0→∞）a^k z^(－k)＝z/(z－a)，由微分定理 Z[k a^k]＝－z·d/dz[z/(z－a)]＝za/(z－a)^2

由实位移定理 Z[a^(k－1)]＝z^(－1)·z/(z－a)，故 Z[k a^(k－1)]＝1/(z－a)^2·…＝z/(z－a)^2·(1/a)·a

第24页：实域卷积与复域卷积定理

10 实域卷积定理

设 f1(t) 和 f2(t) 都是可Z变换的，则 F1(z)F2(z)＝Z[Σ（h＝0→k）f1(hT)f2(kT－hT)]

11 复域卷积

Z[f1(k)f2(k)]＝（1/2πj）∮_c F1(ξ)F2(z/ξ)ξ^(－1)dξ

第25页：3.3 Z反变换与直接除法

3.3 Z反变换

从Z域函数 F(z) 求时域函数 f*(t)，叫做Z反变换，记作 Z^(－1)[F(z)]＝f(k)。获取的只是在采样瞬时值上的时间序列，F(z) 的反变换只是单值的 f(k) 而不是单值的 f(t)。

1. 直接除法

F(z)＝Σ（n＝0→∞）f(nT)z^(－n)＝f(0)＋f(T)z^(－1)＋f(2T)z^(－2)＋…

若 F(z)＝(b0＋b1z^(－1)＋…＋bm z^(－m))/(1＋a1z^(－1)＋…＋an z^(－n))（m≤n），长除得 F(z)＝c0＋c1z^(－1)＋c2z^(－2)＋…，则 c0,c1,c2,… 就是脉冲序列 f*(t) 各采样点的值 f(nT)，即 f*(t)＝Σ（n＝0→∞）cnδ(t－nT)。

第26页：直接除法求Z反变换例题

例 求 F(z)＝10z/[(z－1)(z－2)]＝10z^(－1)/(1－3z^(－1)＋2z^(－2)) 的Z反变换。

求解：F(z)＝10z^(－1)＋30z^(－2)＋70z^(－3)＋150z^(－4)＋…

故 f*(t)＝10δ(t)＋30δ(t－T)＋70δ(t－2T)＋150δ(t－3T)＋…

第27页：部分分式法求Z反变换

部分分式法：部分分式展开法是将 F(z) 展成若干分式和的形式，对每部分分式查Z变换表找出相应的 f*(t)。因Z变换表中Z变换函数分子普遍有因子 z，所以应将 F(z)/z 展开成部分分式。

对于单个极点的情形：F(z)/z＝a1/(z－p1)＋a2/(z－p2)＋…＋an/(z－pn)，其中 ai＝[(z－pi)F(z)/z]_(z=pi)，故 F(z)＝Σ ai·z/(z－pi)。

若在 z＝pi 处有二重极点且无其它极点，则 F(z)/z 形如 c1/(z－pi)＋c2/(z－pi)^2，其中 c2＝[(z－pi)^2 X(z)/z]_(z=pi)，c1＝d/dz[(z－pi)^2 X(z)/z]_(z=pi)。

第28页：部分分式法求Z反变换例题

例：已知Z变换函数 E(z)＝10z/[(z－1)(z－2)]，试求其Z反变换。

解：首先将 E(z)/z 展开成部分分式：E(z)/z＝10/[(z－1)(z－2)]＝－10/(z－1)＋10/(z－2)

所以 E(z)＝－10z/(z－1)＋10z/(z－2)

查表可得 Z^(－1)[z/(z－1)]＝1，Z^(－1)[z/(z－2)]＝2^n，所以 e(nT)＝(－1＋2^n)·10

e*(t)＝e(0)δ(t)＋e(T)δ(t－T)＋e(2T)δ(t－2T)＋…＝0＋10δ(t－T)＋30δ(t－2T)＋70δ(t－3T)＋…

第29页：含指数项的Z反变换例题

例 已知Z变换函数 E(z)＝(1－e^(－aT))z/[(z－1)(z－e^(－aT))]，试求其Z反变换。

解：因为 E(z)/z＝(1－e^(－aT))/[(z－1)(z－e^(－aT))]＝1/(z－1)－1/(z－e^(－aT))

所以 E(z)＝z/(z－1)－z/(z－e^(－aT))，查表得 e(t)＝1(t)－e^(－at)，则 e(nT)＝1－e^(－anT)

e*(t)＝e(0)δ(t)＋e(T)δ(t－T)＋e(2T)δ(t－2T)＋…＝0＋(1－e^(－aT))δ(t－T)＋(1－e^(－2aT))δ(t－2T)＋(1－e^(－3aT))δ(t－3T)＋…

第30页：留数法求Z反变换

3. 用留数方法

f(kT)＝（1/2πj）∮_Γ F(z)z^(k－1)dz＝Σ（i）Res[F(z)z^(k－1)]_(z=zi)

证明：由Z变换的定义得 F(z)＝Σ（k＝0→∞）f(kT)z^(－k)＝f(0)z^0＋f(T)z^(－1)＋…＋f(kT)z^(－k)＋…

两边乘以 z^(k－1)：F(z)z^(k－1)＝f(0)z^(k－1)＋f(T)z^(k－2)＋…＋f(kT)z^(－1)＋…，可视为 F(z)z^(k－1) 展开的罗朗级数，对两边取积分，闭环积分路径 Γ 包围 F(z)z^(k－1) 的所有极点。根据柯西留数定理即得 f(kT)＝（1/2πj）∮_Γ F(z)z^(k－1)dz。

第31页：留数法求Z反变换例题

例：求 F(z)＝0.5z/[(z－1)(z－0.5)] 的Z反变换。

f(kT)＝Σ（i＝1→2）Res[F(z)z^(k－1)]_(z=1, 0.5)

＝[0.5z·z^(k－1)/(z－0.5)]_(z=1)＋[0.5z·z^(k－1)/(z－1)]_(z=0.5)＝1－0.5^k

故 f*(t)＝f(kT)δ(kT)＝(1－0.5^k)δ(kT)

第32页：本章习题（一）

习题

1. 求下列函数的Z变换

• G(s)＝1/[s^2(s+2)]
• G(s)＝(s+3)/[(s+1)(s+2)]
• G(s)＝10/[(s+1)^2(s+2)]

2. 求如下图给定曲线 x(t) 的Z变换的闭合表达式：曲线在 t＝0~8 区间给出，幅值由0经0.5、1.0变化。

3. 用长除法求 Y(z) 的Z反变换 y(kT) 的前五项

Y(z)＝(z^3－1.5z^2＋0.5z)/(z^3＋2z^2＋1)

第33页：本章习题（二）

4. 求下列函数的初值和终值

• X(z)＝1/(1－z^(－1))
• X(z)＝10z^(－1)/[(z^2－0.8z＋1)(z^2＋z＋0.8)]
• X(z)＝z^2(z^2＋z＋1)/(1－z^(－1))^2

5. 求下列函数的Z反变换

• X(z)＝z/(z－0.5)
• X(z)＝z/[(z－1)(z－2)]
• X(z)＝3z^2/[(z+1)(z+2)]