06 第六章 计算机控制系统的离散设计.pptx

第1页：第六章计算机控制系统的离散设计方法封面

第六章 计算机控制系统的离散设计方法

第2页：等效离散化方法的缺点

等效离散化的缺点：

1. 必须有足够小的采样周期
2. 没有反映采样点之间的性能。采样周期较大时可能不稳定，还可能使系统处于“开环”和“失控”状态，使调节品质变坏
3. 性能指标只能接近于原连续系统

第一节 直接离散化设计的基本原理

第3页：直接法的优点

直接法的优点：

1. 采样周期只取决于问题（被控对象）本身，与采用的设计方法无关，不存在采样周期足够小的限制
2. 可以考虑采样点之间的性能，采样周期选择也较为灵活
3. 根据给定的性能指标进行设计，可以得到比连续系统更好的性能

第4页：直接离散化设计的闭环传递函数关系

第一节 直接离散化设计的基本原理

系统结构：r(t) → 误差 e(t) → E(z) → 数字控制器 D(z) → U(z) → 零阶保持器 H0(s) → 广义对象 Gp(s) → y(t)

闭环脉冲传递函数：Φ(z)＝Y(z)/R(z)＝D(z)G(z)/[1＋D(z)G(z)]

误差脉冲传递函数：Φe(z)＝E(z)/R(z)＝1/[1＋D(z)G(z)]＝1－Φ(z)

数字控制器：D(z)＝Φ(z)/[G(z)Φe(z)]＝Φ(z)/[G(z)(1－Φ(z))]

第5页：离散设计法的基本步骤

离散设计法基本步骤：

1. 由 H0(s) 和 G(s) 求取广义对象的脉冲传递函数 G(z)
2. 根据控制系统的性能指标及实现的约束条件构造闭环脉冲传递函数 Φ(z)
3. 根据 D(z) 式确定数字控制器的脉冲传递函数 D(z)
4. 由 D(z) 确定控制算法并编制程序

第6页：最少拍控制的基本概念

在数字随动系统中，通常要求系统输出能够尽快地、准确地跟踪给定值变化，最少拍控制就是适应这种要求的一种直接离散化设计法。

在数字控制系统中，通常把一个采样周期称为一拍。最少拍无差控制——就是要求设计的数字调节器能使闭环系统在典型输入作用下，经过最少拍数达到输出无静差。

显然这种系统对闭环脉冲传递函数的性能要求是快速性和准确性。实质上最少拍控制是时间最优控制，系统的性能指标是调节时间最短（或尽可能地短）。

第7页：第二节 最少拍控制系统设计的基本思路

第二节 最少拍控制系统设计

根据性能指标要求，构造一个理想的闭环脉冲传递函数，由误差表达式：

E(z)＝Φe(z)R(z)＝e0＋e1 z^(－1)＋e2 z^(－2)＋…

实现无静差、最小拍，应在最短时间内趋近于零，即 E(z) 应为有限项多项式。因此，在输入 R(z) 一定的情况下，必须对 Φe(z) 提出要求。

第8页：输入信号与误差的一般表达式

2.1 稳定的、不包含纯滞后环节的广义对象的最小拍控制器设计

输入信号的一般表达式：R(z)＝A(z)/(1－z^(－1))^q，A(z) 是不包含 (1－z^(－1)) 因子的关于 z^(－1) 的多项式，对于阶跃、斜坡、等加速度函数，q 分别等于1、2、3。

误差的一般表达式：E(z)＝Φe(z)A(z)/(1－z^(－1))^q

系统的稳态误差为 e(∞)＝lim（z→1）(1－z^(－1))E(z)＝lim（z→1）(1－z^(－1))Φe(z)R(z)

要使稳态误差为零，设 Φe(z)＝1－Φ(z)＝(1－z^(－1))^p F(z)，则 p≥q。

第9页：准确性与快速性要求

准确性要求——要使误差尽快为零，应使 p＝q。

快速性要求——选择 F(z)＝1，Φe(z) 才能使 E(z) 中关于 z^(－1) 的项数最小，即：

Φe(z)＝1－Φ(z)＝(1－z^(－1))^q

Φ(z)＝1－Φe(z)＝1－(1－z^(－1))^q

第10页：单位阶跃输入下的最少拍系统

典型输入下的最少拍控制系统分析

单位阶跃输入：R(z)＝1/(1－z^(－1))

Φe(z)＝1－z^(－1)，Φ(z)＝z^(－1)

E(z)＝R(z)[1－Φ(z)]＝1·(1－z^(－1))/(1－z^(－1))＝1＝z^0＋0z^(－1)＋…

C(z)＝Φ(z)R(z)＝z^(－1)/(1－z^(－1))＝z^(－1)＋z^(－2)＋z^(－3)＋…

只需一拍（一个采样周期）输出就能跟随输入，误差为零。

第11页：单位斜坡输入下的最少拍系统

单位斜坡输入：R(z)＝Tz^(－1)/(1－z^(－1))^2

Φe(z)＝(1－z^(－1))^2，Φ(z)＝1－Φe(z)＝2z^(－1)－z^(－2)

E(z)＝R(z)[1－Φ(z)]＝Tz^(－1)(1－z^(－1))^2/(1－z^(－1))^2＝Tz^(－1)

C(z)＝Φ(z)R(z)＝(2z^(－1)－z^(－2))·Tz^(－1)/(1－z^(－1))^2＝T(2z^(－2)＋3z^(－3)＋4z^(－4)＋…)

第12页：等加速输入下的最少拍系统

等加速输入：R(z)＝T^2 z^(－1)(1＋z^(－1))/[2(1－z^(－1))^3]

Φe(z)＝(1－z^(－1))^3，Φ(z)＝1－Φe(z)＝3z^(－1)－3z^(－2)＋z^(－3)

E(z)＝R(z)[1－Φ(z)]＝(1/2)T^2 z^(－1)＋(1/2)T^2 z^(－2)

第13页：最少拍控制器设计例题题设

例：被控对象 Gp(s)＝10/[s(s＋1)]，采样周期 T＝1s，输入：单位速度。求：最少拍数字控制器。

求解步骤：

1. 求等效脉冲传递函数
2. 设计误差传递函数
3. 计算求取最少拍控制器
4. 输出和误差的验证

第14页：最少拍控制器求解过程（一）

本页为最少拍控制器求解过程的图示，对应上题第1、2步：由 G(s)＝10/[s(s＋1)] 与 T＝1s 求广义对象脉冲传递函数 G(z)，并按单位速度输入取 Φe(z)＝(1－z^(－1))^2。

注：本页源文件仅保留页码数字，正文为推导过程图示，建议对照原课件图片核对。

第15页：最少拍控制器求解过程（二）

本页为最少拍控制器求解过程的图示，对应上题第3、4步：由 D(z)＝Φ(z)/[G(z)Φe(z)] 计算数字控制器，并验证输出与误差序列。

注：本页源文件仅保留页码数字，正文为推导过程图示，建议对照原课件图片核对。

第16页：单位速度输入下输出与误差波形

单位速度输入下输出和误差变化波形：输出 y(k) 在两拍后沿斜坡无差跟随给定，误差 e(k) 在 k＝0、T 两拍后降为零。

第17页：输入改变时最少拍系统的响应

单位阶跃输入时：

Y(z)＝Φ(z)R(z)＝(2z^(－1)－z^(－2))/(1－z^(－1))＝2z^(－1)＋z^(－2)＋z^(－3)＋……

单位加速度输入时：

Y(z)＝Φ(z)R(z)＝(2z^(－1)－z^(－2))·z^(－1)(1＋z^(－1))/(2(1－z^(－1))^3)＝z^(－2)＋3.5z^(－3)＋7z^(－4)＋11.5z^(－5)＋…

第18页：最少拍系统对输入适应性的讨论

讨论：按单位速度输入设计的最小拍系统，当为单位阶跃输入时，有100%的超调量，响应时间也增加；加速度输入时有静差。

由上述分析可知，按照某种典型输入设计的最小拍系统，当输入函数改变时，输出响应不理想，说明最小拍系统对输入信号的变化适应性较差。

第19页：任意广义对象最小拍设计的约束条件

2. 任意广义对象的最小拍控制器设计

Φ(z)＝D(z)G(z)/[1＋D(z)G(z)]，当 G(z) 不稳定、含有单位圆上和单位圆外的零极点时，且含有纯滞后环节时，必须考虑如下几个问题：稳定性、准确性、快速性。

物理可实现性：D(z) 和 G(z) 虽然是成对出现的，但不允许零、极点对消。

原因：当系统的参数发生漂移，或者辨识的对象参数有误差时，这种零极点对消不能准确地实现，从而将引起闭环系统的不稳定。在选择闭环传递函数时需要多加入稳定性约束条件。

第20页：广义脉冲传递函数的一般形式

广义脉冲传递函数为：

G(z)＝z^(－m)·(b0＋b1z^(－1)＋…＋bq z^(－q))/(a0＋a1z^(－1)＋…＋ap z^(－p))＝z^(－m)∏（i＝1→u）(1－bi z^(－1))/∏（i＝1→v）(1－ai z^(－1))·G'(z)

b1, b2, …, bu

为 G(z) 的 u 个不稳定零点

a1, a2, …, av

为 G(z) 的 v 个不稳定极点

m

m＝1 时不包含延迟环节，m＞1 时含延迟环节

为避免 D(z) 与 G(z) 的不稳定零极点对消，Φ(z) 应该满足稳定性条件。

第21页：闭环传递函数的稳定性条件

（1）Φe(z) 的零点应包含 G(z) 在 z 平面单位圆上和外的所有极点：

Φe(z)＝∏（i＝1→v）(1－ai z^(－1))·F1(z)，F1(z) 为关于 z^(－1) 的多项式且不包含 G(z) 中的不稳定极点 ai

（2）Φ(z) 的零点应包含 G(z) 在 z 平面单位圆上和外的所有零点：

Φ(z)＝∏（i＝1→u）(1－bi z^(－1))·F2(z)，F2(z) 为关于 z^(－1) 的多项式且不包含 G(z) 中的不稳定零点 bi

考虑到上述约束条件后，D(z)＝Φ(z)/[G(z)Φe(z)]＝F2(z)/[G'(z)F1(z)] 不包含 G(z) 单位圆外和上的零、极点。

第22页：闭环传递函数的待定系数求解

Φ(z)＝z^(－m)∏（i＝1→u）(1－bi z^(－1))·(c0＋c1z^(－1)＋…＋c(q+v－1)z^(－(q+v－1)))

Φe(z)＝(1－z^(－1))^p∏（i＝1→v）(1－ai z^(－1))·F(z)，对于阶跃输入、等速度输入、等加速输入，p＝1、2、3。

ci（i＝0,1,…,q＋v－1）为待定系数，应满足：

• Φ(1)＝1
• d^jΦ(z)/dz^j|_(z=1)＝0（j＝1,2,…,q－1）
• Φ(aj)＝1（j＝1,2,…,v）

注：在统计待定系数的数目时，不必将 z＝1 的极点统计在内，此时 v 不包含 z＝1 的极点数。

第23页：一般对象最小拍设计例题题设

例：已知被控对象 G(s)＝K/[s(Tm s＋1)]，K＝10 s^(－1)，T＝Tm＝0.025s，针对单位速度信号设计最小拍控制器，讨论输入改变时系统性能的变化情况。

含零阶保持器的广义对象：

G(z)＝(1－z^(－1))Z[K/(s^2(Tm s＋1))]＝K(1－z^(－1))[Tz^(－1)/(1－z^(－1))^2－Tm(1－e^(－T/Tm))z^(－1)/((1－z^(－1))(1－e^(－T/Tm)z^(－1)))]

＝0.092z^(－1)(1＋0.718z^(－1))/[(1－z^(－1))(1－0.368z^(－1))]

第24页：一般对象最小拍控制器的求解

零点为 －0.718，u＝0；极点为 1、－0.368，v＝0；m＝1。

按稳定性要求，G(z) 中 z＝1 的极点应包含在 Φe(z) 的零点中，由于系统是针对等速输入设计，q＝2，为满足准确性条件另有 Φe(z)＝(1－z^(－1))^2。显然准确性条件已经满足了稳定性要求，所以：

Φ(z)＝z^(－1)(φ0＋φ1 z^(－1))，由 Φ(1)＝φ0＋φ1＝1、Φ'(1)＝φ0＋2φ1＝0，解得 φ0＝2，φ1＝－1

闭环脉冲传递函数为 Φ(z)＝z^(－1)(2－z^(－1))＝2z^(－1)－z^(－2)，1－Φ(z)＝(1－z^(－1))^2

D(z)＝Φ(z)/[G(z)Φe(z)]＝21.8(1－0.5z^(－1))(1－0.368z^(－1))/[(1－z^(－1))(1＋0.718z^(－1))]

第25页：控制器输出序列的求取

C(z)＝Φ(z)R(z)＝(2z^(－1)－z^(－2))·Tz^(－1)/(1－z^(－1))^2＝T(2z^(－2)＋3z^(－3)＋4z^(－4)＋…)

因为 C(z)＝U(z)G(z)，故

U(z)＝Φ(z)R(z)/G(z)＝(2z^(－1)－z^(－2))·Tz^(－1)(1－z^(－1))(1－0.368z^(－1))/[(1－z^(－1))^2·0.092z^(－1)(1＋0.718z^(－1))]

＝0.54z^(－1)－0.316z^(－2)＋0.4z^(－3)－0.1154z^(－4)＋0.25z^(－5)＋…，数字控制器的输出序列如上（呈振荡收敛，存在纹波）。

第26页：单位阶跃输入最小拍设计例题题设

例：被控对象 Gp(s)＝10/[s(0.1s＋1)(0.05s＋1)]，采样周期 T＝0.2s。求：单位阶跃输入下的最小拍数字控制器。

第27页：单位阶跃最小拍控制器的求解

Φe(z)＝(1－z^(－1))F(z)，m＝1，v＝0（没有单位圆外的极点），q＝1（单位阶跃输入），可假设：

Φ(z)＝z^(－1)(1＋1.065z^(－1))φ0

根据设计最小拍系统的限制条件 Φ(1)＝1，可得 φ0＝0.484

Φ(z)＝0.484z^(－1)(1＋1.065z^(－1))

Φe(z)＝(1－z^(－1))F(z)＝(1－z^(－1))(1＋0.516z^(－1))

第28页：单位阶跃最小拍设计结果图

本页为单位阶跃输入下最小拍数字控制器设计结果的图示，对应上题求得的 D(z)＝Φ(z)/[G(z)Φe(z)] 及其输出响应序列。

注：本页源文件仅保留页码数字，正文为设计结果图示，建议对照原课件图片核对。

第29页：纹波产生的原因与无纹波条件

3. 最少拍无纹波控制器设计

仅在采样点是闭环控制，采样点之间是开环运行的，不能保证采样点之间的误差也为零。

纹波产生的原因

控制量在一拍后并未进入稳态，而是在不停地波动，是振荡收敛的，从而使连续部分的输出在各采样点之间存在纹波。

设计无纹波系统的必要条件

为获得无纹波的平滑输出，被控对象 Gp(s) 必须有能力给出与输入信号相同的平滑的输出。若针对等速输入，Gp(s) 的稳态输出也必须是等速函数，为此 Gp(s) 必须含有一个积分环节。要求稳态时，控制信号 u(kT) 为零或者为常值。

第30页：无纹波闭环传递函数的构造条件

C(z)＝Φ(z)R(z)＝G(z)U(z)，U(z)＝Φ(z)R(z)/G(z)

要求 u(kT) 在稳态时无波动，就意味着 U(z) 为 z^(－1) 的有限项多项式，这就要求 Φ(z)R(z) 包含 G(z) 的所有零点：

Φ(z)＝z^(－m)∏（i＝1→w）(1－bi z^(－1))·(c0＋c1z^(－1)＋…＋c(q+v－1)z^(－(q+v－1)))，bi（i＝1,2,…,w）为 G(z) 的所有零点

确定快速有纹波系统的闭环传递函数 Φ(z) 的三个条件：

1. Gp(s) 中含有无纹波系统所必须的积分环节数目
2. 满足有纹波系统的性能要求和 D(z) 的物理可实现的约束条件全部适用
3. Φ(z) 的零点包含 G(z) 的所有零点

第31页：无纹波设计的待定系数与例题题设

待定系数 c0, c1, …, c(q+v－1) 由下列方程确定：

• Φ(1)＝1
• d^jΦ(z)/dz^j|_(z=1)＝0（j＝1,2,…,q－1）
• Φ(aj)＝1（j＝1,2,3,…,v）

例：已知被控对象 G(s)＝K/[s(Tm s＋1)]，K＝10 s^(－1)，T＝Tm＝0.025s，针对单位速度信号设计无纹波最小拍控制器，画出数字控制器和系统输出序列的波形图。

含零阶保持器的对象 G(s) 中有一个积分环节，满足必要条件。

第32页：无纹波最小拍控制器的求解结果

G(z)＝0.092z^(－1)(1＋0.718z^(－1))/[(1－z^(－1))(1－0.368z^(－1))]，u＝0，v＝0，m＝1，q＝2

按照无纹波控制系统对闭环脉冲传递函数的要求：

Φ(z)＝z^(－1)∏（i＝1→1）(1＋0.718z^(－1))(c0＋c1 z^(－1))，求得待定系数分别为 c0＝1.407，c1＝－0.826

D(z)＝Φ(z)/[G(z)(1－Φ(z))]＝15.29(1－0.368z^(－1))(1－0.587z^(－1))/[(1－z^(－1))(1－0.592z^(－1))]

闭环系统的输出序列为 Y(z)＝Φ(z)R(z)＝z^(－1)(1＋0.718z^(－1))(1.407－0.826z^(－1))·Tz^(－1)/(1－z^(－1))^2＝1.41Tz^(－2)＋3Tz^(－3)＋4Tz^(－4)＋…

第33页：无纹波系统的控制器输出序列

数字控制系统的输出序列为：

U(z)＝C(z)/G(z)＝0.38z^(－1)＋0.02z^(－2)＋0.09z^(－3)＋0.09z^(－4)＋…

控制信号在若干拍后趋于常值，系统输出在采样点之间无纹波。

第34页：具有阻尼权因子的最少拍控制

4. 具有阻尼权因子的最少拍控制系统设计

最小拍过渡过程响应方法具有对输入函数适应性差的缺点，引入阻尼权因子 α：

Φ*(z)＝Φ(z)/(1－αz^(－1))·… 或写成 1－Φ*(z)＝[1－Φ(z)]/(1－αz^(－1))，α 为阻尼权因子。

• 引入阻尼权因子后闭环系统的特征方程不具有 z^N＝0 的形式，系统的误差不会在有限拍内趋于零，脉冲响应也是无限的过程
• 对不同类型输入信号的敏感程度降低
• 合理选择 α 可以得到满意的动态响应

第35页：第三节 达林算法的适用对象

第三节 达林（Dahlin）算法

过程控制对象中含有较大的纯滞后特性，使系统的稳定性降低，动态特性变坏，容易引起超调和持续振荡。

达林算法是用来解决含有纯滞后对象的控制问题，其适用于被控对象具有带纯滞后的一阶或二阶惯性环节，它们的传递函数分别为：

G(s)＝Ke^(－τs)/(T1 s＋1)，G(s)＝Ke^(－τs)/[(T1 s＋1)(T2 s＋1)]

第36页：达林算法的设计目标

G(s)＝Ke^(－τs)/(Ts＋1)，式中 K 为放大系数，T1 和 T2 是对象的时间常数，τ 为被控对象的纯滞后时间，一般假定它们是采样周期 T 的整数倍。

大林算法的设计目标是：设计合适的数字控制器 D(z)，使整个计算机控制系统等效的闭环传递函数期望为一个纯滞后环节和一阶惯性环节相串联，并期望闭环系统的纯滞后时间等于被控对象的纯滞后时间，即闭环传递函数为 Kc e^(－τs)/(Tτ s＋1)。

第37页：达林算法数字控制器的一般算式

式中 Tτ 为要求的等效惯性时间常数，τ 为对象的纯滞后时间常数，其与采样周期 T 有整数倍关系，即 τ＝NT（N＝1,2,3…）

Φ(z)＝Z[(1－e^(－Ts))/s·e^(－τs)/(Tτ s＋1)]＝z^(－N－1)(1－e^(－T/Tτ))/(1－e^(－T/Tτ)z^(－1))

大林算法的数字控制器为：

D(z)＝Φ(z)/[G(z)(1－Φe(z))]＝Φ(z)/[G(z)(1－Φ(z))]

若已知被控对象的脉冲传递函数 G(z)，就可以利用上式求出数字控制器的脉冲传递函数 D(z)。

第38页：带纯滞后一阶惯性对象的大林算法

(1) 带纯滞后一阶惯性对象的大林算法

设对象特性为 G(s)＝Ke^(－τs)/(T1 s＋1)

HG(z)＝Z[(1－e^(－Ts))/s·Ke^(－τs)/(T1 s＋1)]＝Kz^(－N－1)(1－e^(－T/T1))/(1－e^(－T/T1)z^(－1))

数字控制器的算式：

D(z)＝Φ(z)/[HG(z)(1－Φ(z))]＝(1－e^(－T/Tτ))(1－e^(－T/T1)z^(－1))/[K(1－e^(－T/T1))(1－e^(－T/Tτ)z^(－1)－(1－e^(－T/Tτ))z^(－N－1))]

第39页：带纯滞后二阶惯性对象的大林算法

(2) 带纯滞后二阶惯性对象的大林算法

对象特性 G(s)＝Ke^(－τs)/[(T1 s＋1)(T2 s＋1)]

HG(z)＝Z[(1－e^(－Ts))/s·Ke^(－τs)/((T1 s＋1)(T2 s＋1))]＝K(c1＋c2 z^(－1))z^(－N－1)/[(1－e^(－T/T1)z^(－1))(1－e^(－T/T2)z^(－1))]

c1

c1＝1＋(T1 e^(－T/T2)－T2 e^(－T/T1))/(T2－T1)

c2

c2＝e^(－T(1/T1＋1/T2))＋(T1 e^(－T/T1)－T2 e^(－T/T2))/(T2－T1)

第40页：二阶对象的达林控制器与振铃现象

数字控制器的算式：

D(z)＝(1－e^(－T/Tτ))(1－e^(－T/T1)z^(－1))(1－e^(－T/T2)z^(－1))/[K(c1＋c2 z^(－1))(1－e^(－T/Tτ)z^(－1)－(1－e^(－T/Tτ))z^(－N－1))]

(3) 振铃现象及其消除方法

所谓振铃（Ringing）现象，是指数字控制器的输出 u(kT) 以 1/2 采样频率的大幅度衰减的振荡。

第41页：振铃现象波形图

本页为振铃现象的波形图示：数字控制器输出 u(kT) 以二分之一采样频率作大幅度衰减振荡，被控对象输出则叠加了对应的纹波。

注：本页源文件仅保留页码数字，正文为波形图示，建议对照原课件图片核对。

第42页：振铃幅度RA的定义

振铃幅度：振铃幅度 RA（Ringing Amplitude）是用来衡量振铃强烈的程度，RA 定义为：数字控制器在单位阶跃输入作用下，第0拍输出与第1拍输出之差，即 RA＝u(0)－u(T)。

• RA≤0，则无振铃现象
• RA＞0，则存在振铃现象，且 RA 值越大，振铃现象越严重

第43页：振铃现象的分析与RA计算

大林算法数字控制器 D(z) 的一般形式为：

D(z)＝(b0＋b1z^(－1)＋b2z^(－2)＋…)/(1＋a1z^(－1)＋a2z^(－2)＋…)·K

在单位阶跃输入函数的作用下，数字控制器的输出量为：

U(z)＝D(z)R(z)＝(b0＋b1z^(－1)＋…)/[(1＋a1z^(－1)＋a2z^(－2)＋…)(1－z^(－1))]＝1＋(a1－b1＋1)z^(－1)＋(a2－a1＋…)z^(－2)＋…

故 RA＝u(0)－u(T)＝1－(b1－a1＋1)＝a1－b1

第44页：振铃与闭环特性的关系分析

C(z)＝G(z)U(z)，C(z)＝Φ(z)R(z)，定义：

Ku(z)＝U(z)/R(z)＝Φ(z)/G(z)

对于单位阶跃输入函数 R(z)＝1/(1－z^(－1)) 含有极点 z＝1，如果 Ku(z) 的极点在负实轴上，且与 z＝－1 点相近，那么数字控制器的输出序列 u(k) 中将含有这两种幅值相近的瞬态项，当符号相同时控制作用加强，当符号相反时，控制作用减弱，从而造成数字控制器输出的大幅波动。

第45页：两类对象的振铃分析

（1）带纯滞后的一阶惯性环节

Ku(z)＝Φ(z)/G(z)＝(1－e^(－T/T1))(1－e^(－T/Tτ)z^(－1))/[K(1－e^(－T/T1))(1－e^(－T/Tτ))·…]，求得极点为 z＝e^(－T/Tτ)，该极点永远大于零，这种系统不存在振铃现象。

（2）带纯滞后的二阶惯性环节

Ku(z)＝(1＋c2/c1·z^(－1))(1－e^(－T/T1)z^(－1))(1－e^(－T/T2)z^(－1))/[c1 K(1－e^(－T/Tτ))(1－e^(－T/Tτ)z^(－1))]·…

第一个极点在 z＝e^(－T/Tτ) 不会引起振铃现象，第二个极点在 z＝－c2/c1，当 T→0 时，lim（T→0）c2/c1＝1，这一极点将引起振铃现象。

第46页：振铃现象的两种消除方法

振铃现象的消除

第一种方法：先找出 D(z) 中引起振铃现象的因子（z＝－1 附近的极点），然后令其中的 z＝1，根据终值定理，这样处理不影响输出量的稳态值。在带纯滞后的二阶惯性环节系统中，极点 z＝－c2/c1 将引起振铃现象，令极点因子中的 z＝1，可以消除这个振铃极点。

第二种方法：从保证闭环系统的特性出发，选择合适的采样周期 T 及系统闭环时间常数 Tτ，使得数字控制器的输出避免产生强烈的振铃现象。

第47页：考虑振铃时的设计步骤

具有纯滞后系统的数字控制器直接设计的步骤：考虑振铃现象时，设计数字控制器的一般步骤：

• 根据系统的性能，确定闭环系统的参数 Tτ，给出振铃幅度 RA 的指标
• 由确定的振铃幅度 RA 与采样周期 T 的关系，解出采样周期 T，如果 T 有多解则选择较大的采样周期
• 确定纯滞后时间 τ 与采样周期之比的最大整数 N
• 求广义对象的脉冲传递函数 G(z) 及闭环系统的脉冲传递函数 Φ(z)
• 求数字控制器的脉冲传递函数 D(z)

第48页：达林算法例题题设与广义对象

例：设工业对象 G(s)＝e^(－s)/(3.34s＋1)，采样周期 T＝1s，期望闭环系统时间常数 Tτ＝2s。试比较消除振铃前后的数字控制器及单位阶跃输入下的系统响应输出序列。

由 G(s) 和 T 可求出广义对象（查改进Z变换表）：

HG(z)＝0.1439z^(－2)(1＋0.733)/[(1－0.6065z^(－1))(1－0.7413z^(－1))]

又有 Gc(z)＝z^(－1)(1－e^(－T/Tτ))/(1－e^(－T/Tτ)z^(－1))

第49页：消除振铃前后的数字控制器对比

数字控制器的脉冲传递函数：

D(z)＝Gc(z)/[HG(z)(1－Gc(z))]＝2.6365(1－0.7413z^(－1))/[(1＋0.733z^(－1))(1－z^(－1))(1＋0.3935z^(－1))]

当 Tτ＜T1 时，RA＞0 存在振铃现象。产生振铃现象的原因是极点 z＝－0.733，消除分母中的因子即可消除振铃现象。令 z＝1 带入上式得到的修正后的数字控制器的脉冲传递函数为：

D(z)＝1.5208(1－0.7413z^(－1))/[(1－z^(－1))(1＋0.3935z^(－1))]

第50页：消除振铃前后的响应对比（一）

本页为消除振铃前后数字控制器输出序列的对比图示：修正前 u(kT) 以二分之一采样频率大幅衰减振荡，修正后输出平稳。

注：本页源文件仅保留页码数字，正文为波形图示，建议对照原课件图片核对。

第51页：消除振铃前后的响应对比（二）

本页为消除振铃前后单位阶跃输入下系统输出响应序列的对比图示：两者稳态值一致，但修正前的输出叠加有明显的纹波。

注：本页源文件仅保留页码数字，正文为波形图示，建议对照原课件图片核对。

第52页：纯滞后补偿的数字控制器实现

采用PID控制，T为采样周期，τ为纯滞后时间，取 N＝τ/T。

纯滞后补偿的数字控制器由两部分组成：一部分是数字控制器 GC(s)；一部分是Smith预估器。

• m(k) 为 GP(s)(1－e^(－τs)) 环节的输出
• yτ(k)＝m(k)－m(k－N)
• e(k)＝r(k)－c(k)
• ec(k)＝e(k)－yτ(k)＝r(k)－c(k)－yτ(k)，对 ec(k) 进行PID计算