05 第五章 计算机控制系统的模拟设计法.pptx

第1页：第五章计算机控制系统的模拟设计法封面

第五章 计算机控制系统的模拟设计法

第2页：第五章目录

1. 间接法（连续化）设计的基本方法
2. 数字PID控制器设计
3. 数字PID参数的整定
4. Smith预估控制器原理
5. 本章思考题

第3页：5.1 间接法连续化设计的基本思想

5.1 间接法（连续化）设计的基本方法

把整个控制系统看成是模拟系统，利用模拟系统的理论和方法进行分析和设计，得到模拟控制器后再通过某种近似，将模拟控制器离散化为数字控制器，并由计算机来实现。

系统结构：r(t) → 偏差 e(t) → 采样得 e(k) → 数字控制器 D(z) → u(k) → 零阶保持器 H0(s) → u(t) → 被控对象 G(s) → y(t)

第4页：连续化设计的第一步：设计假想连续控制器

数字控制器的连续化设计步骤

1. 设计假想的连续控制器 D(s)
2. 选择采样周期 T
3. 将 D(s) 离散化为 D(z)
4. 设计由计算机实现的控制算法
5. 校验

第一步：设计假想的连续控制器 D(s)

解决方案：设计控制器 D(s)，一是事先确定控制器的结构，如PID算法，然后对其控制参数进行整定完成设计；二是采用连续系统的频域设计法、根轨迹法等。

第5页：第二步：零阶保持器近似与采样周期选择

第二步：选择采样周期 T

计算机控制系统的信号恢复功能由零阶保持器 H(s) 完成。零阶保持器的频率特性为：

H(jω)＝(1－e^(－jωT))/(jω)＝T·(sin(ωT/2))/(ωT/2)·e^(－jωT/2)

上式表明，零阶保持器存在滞后。对于小的采样周期，可把零阶保持器近似为：

H(s)＝(1－e^(－sT))/s≈T[1－sT/2＋(sT)^2/…]≈T·e^(－sT/2)

第6页：采样周期的工程选取经验

H(s)≈T(1－sT/2＋…)≈T·e^(－sT/2)，上式表明，零阶保持器可用半个采样周期的时间滞后环节来近似。

假定相位裕量可减少 5°~15°，则采样周期应选为：

ωc·T≈0.15~0.5，即 T≈(0.15~0.5)/ωc，ωc 是连续控制系统的剪切频率。

按上式的经验法选择的采样周期相当短。因此，采用连续化设计方法，用数字控制器去近似模拟控制器，要有相当短的采样周期。

第7页：第三步：双线性变换法（Tustin）

第三步：将 D(s) 离散化为 D(z)

将连续控制器 D(s) 离散化为数字控制器 D(z) 的方法有很多，如双线性变换法、后向差分法、前向差分法、冲击响应不变法、零极点匹配法、零阶保持法等。

方法1：双线性变换法（Tustin 塔斯廷近似）

推导1：级数展开 z＝e^(sT)，T 很小，得到 z＝e^(sT)＝e^(sT/2)/e^(－sT/2)≈(1＋sT/2)/(1－sT/2)

故 s＝(2/T)·(z－1)/(z＋1)，D(z)＝D(s)|_(s＝(2/T)(z－1)/(z＋1))

第8页：双线性变换的梯形积分推导

推导2：梯形法数值积分

积分控制器用梯形法求积分运算，两边求Z变换，可得与双线性变换相同的置换公式 s＝(2/T)·(z－1)/(z＋1)。

第9页：双线性变换的映射关系

映射关系：双线性变换法置换公式 s＝(2/T)·(z－1)/(z＋1)，把 s＝σ＋jω 代入有：

|z|^2＝[(1＋σT/2)^2＋(ωT/2)^2]/[(1－σT/2)^2＋(ωT/2)^2]，取模的平方则：

• σ＝0（s平面虚轴），|z|＝1（z平面单位圆上）
• σ＜0（s左半平面），|z|＜1（z平面单位圆内）
• σ＞0（s右半平面），|z|＞1（z平面单位圆外）

结论：一个稳定的模拟控制器经过双线性变换仍然是稳定的，而且不存在频率混迭现象。

第10页：双线性变换法应用例题

例：利用双线性变换法离散下式，采样周期为 T。

解：将 s＝(2/T)·(z－1)/(z＋1) 代入 D(s)，整理为 z^(－1) 的有理式，再写成差分方程形式即为其等效差分方程。

第11页：双线性变换的畸变与频率预曲折

与连续控制器相比，用双线性变换方法得到的离散控制器在暂态响应和频率特性上有很大畸变。工程上采用频率预曲折设计法。

将 s＝jω 代入双线性变换式，得到：

ω＝(2/T)·tan(ωD T/2)，即 z＝e^(jωD T) 与 jω 之间呈正切关系，1－z^(－1)/(1＋z^(－1))·(2/T) 为对应的置换式。

第12页：频率预曲折设计法

频率预曲折设计法：设计低通滤波器 G(s)＝a/(s＋a)，使离散化后的滤波器仍保持其截止频率 ωD＝a。

先使原来模拟滤波器的截止频率 a 预曲折，用 (2/T)tan(aT/2) 代替 a，模拟滤波器变为：

G'(s)＝(2/T)tan(aT/2)/(s＋(2/T)tan(aT/2))

再应用双线性变换 s＝(2/T)·(1－z^(－1))/(1＋z^(－1))，变换后的 ωD＝a。

必要时要调整增益，使变换前后直流增益保持不变：D(z)|_(z=1)＝G(s)|_(s=0)

第13页：方法2：前向差分法推导

方法2：前向差分法

推导1：级数展开 z＝e^(sT)，T 很小，得到 z≈1＋sT，故 s＝(z－1)/T。

第14页：前向差分的微分近似推导

推导2：用一阶前向差分近似代替微分

微分控制器用前向差分近似代替，令 n＝k＋1，并对两边作Z变换，得出 s＝(z－1)/T 的置换关系。

第15页：前向差分法的映射关系

映射关系：前向差分法置换公式 s＝(z－1)/T，把 s＝σ＋jω 代入，取模的平方有：

|z|^2＝(1＋σT)^2＋(ωT)^2

令 |z|＝1，则对应到 s 平面上是一个圆：(1＋σT)^2＋(ωT)^2＝1，即以（－1/T, 0）为圆心、1/T 为半径的圆。

即当 D(s) 的极点位于左半平面以（－1/T, 0）为圆心、1/T 为半径的圆内，D(z) 才在单位圆内，才稳定。

结论：稳定的系统经前向差分法转换后可能不稳定。

第16页：方法3：后向差分法推导

方法3：后向差分法

推导1：级数展开 z＝e^(sT)，T 很小，得到 z≈1/(1－sT)，故 s＝(z－1)/(Tz)＝(1－z^(－1))/T。

推导2：用一阶后向差分近似代替微分，用向后差分近似代替后对两边作Z变换，得同样结果。

第17页：后向差分法的映射关系

映射关系：根据向后差分法置换公式 s＝(1－z^(－1))/T，有 z＝1/(1－sT)。

把 s＝σ＋jω 代入，取模的平方有：|z|^2＝1/[(1－σT)^2＋(ωT)^2]

第18页：后向差分法的稳定域与三种方法比较

则：

• σ＝0（s平面虚轴）：|z|＝1/√(1＋(ωT)^2)＜1
• σ＜0（s左半平面）：|z|＜1
• σ＞0（s右半平面）：|z|＞1

后向差分法将 s 的左半平面映射到 z 平面内半径为1/2的圆，因此如果 D(s) 稳定，则 D(z) 稳定。

映射比较：双线性变换—保持稳定；前向差分—不能保持稳定；后向差分—保持稳定。

第19页：方法4：脉冲响应不变法

方法4：脉冲响应不变法

离散近似后的数字控制器的脉冲响应 gD(kT) 是模拟控制器的脉冲响应值 g(kT) 的 T 倍。模拟控制器为 Gc(s)，其单位脉冲响应的采样值为 g(kT)＝g(t)|_(t=kT)＝L^(－1)[G(s)]

D(z)＝Z[T·g(kT)]＝T·Z[G(s)]

例：连续滤波器 D(s)＝a/(s＋a)，待求的数字控制器为 GD(s)，其单位脉冲响应为 gD(kT)，则 D(z)＝T·a/(1－e^(－aT)z^(－1))·(1/T)…，整理得 D(z)＝Ta/(1－e^(－aT)z^(－1))

第20页：脉冲响应不变法特点与阶跃响应不变法

特点：

1. 存在频率混叠现象，适用于连续滤波器具有陡衰减特性且为有限带宽的场合
2. 不存在稳定性问题
3. 有多个环节串联时，Z变换比较麻烦，工程上并不常用

方法5：阶跃响应不变法

等效的离散滤波器的阶跃响应的序列值与原连续滤波器的阶跃响应 G(s)/s 的采样瞬时值相等：

D(z)·1/(1－z^(－1))＝Z[G(s)/s]，故 D(z)＝(1－z^(－1))Z[G(s)/s]

第21页：阶跃响应不变法例题与特点

也叫带有采样保持的Z变换方法。例：连续滤波器 D(s)＝a/(s＋a)，

D(z)＝(1－z^(－1))Z[a/(s(s＋a))]＝(1－e^(－aT))z^(－1)/(1－e^(－aT)z^(－1))

特点：

1. 存在频率混叠现象，但由于零阶保持器的低通滤波特性，比脉冲响应不变法要小，适用于有限带宽的场合
2. 不存在稳定性问题，但存在相位滞后，影响稳定裕量
3. 工程实用，计算机实现方便，控制系统的动态可以得到很好的近似

第22页：方法6：零极点匹配法

方法6：零极点匹配法

D(s)＝Ks(s＋z1)(s＋z2)…(s＋zm)/[(s＋p1)(s＋p2)…(s＋pn)]

D(z)＝Kz(z－e^(－z1T))(z－e^(－z2T))…(z－e^(－zmT))·z^(n－m)/[(z－e^(－p1T))(z－e^(－p2T))…(z－e^(－pnT))]

映射无限零点到 z＝－1，利用 D(z)|_(z=1)＝G(s)|_(s=0) 确定 Kz。

特点：比较简单，没有频率混叠。

第23页：第四步：离散算法的计算机实现

第四步：离散算法的计算机实现

D(z)＝U(z)/E(z)＝(b0＋b1z^(－1)＋…＋bm z^(－m))/(1＋a1z^(－1)＋…＋an z^(－n))

U(z)＝(－a1z^(－1)－a2z^(－2)－…－an z^(－n))U(z)＋(b0＋b1z^(－1)＋…＋bm z^(－m))E(z)

u(k)＝－a1u(k－1)－a2u(k－2)－…－an u(k－n)＋b0e(k)＋b1e(k－1)＋…＋bm e(k－m)

由延迟单元、加法器、乘法器构成，需要 m＋n 个延迟器。

第24页：直接实现的规范形式

1 直接实现的规范形式

X(z)/E(z)＝1/(1＋a1z^(－1)＋…＋an z^(－n))，U(z)/X(z)＝b0＋b1z^(－1)＋…＋bm z^(－m)

故 D(z)＝U(z)/E(z)＝[X(z)/E(z)]·[U(z)/X(z)]

只用 n 个延迟器，可以节省存储空间。

第25页：串联实现法

2 串联实现法

为避免由于系数 ai、bi 变化或不精确引起的滤波器零极点的偏差，对高阶的脉冲传递函数进行分解：

D(z)＝d0·D1(z)D2(z)…Dj(z)＝d0∏（i＝1→l）(1＋biz^(－1))/(1＋aiz^(－1))·∏（i＝l+1→j）(1＋eiz^(－1)＋fiz^(－2))/(1＋ciz^(－1)＋diz^(－2))

结构为 E(z)→D1(z)→U1(z)→D2(z)→U2(z)→…→U(z)。

第26页：并联实现法

3 并联实现法

对于数字控制器 D(z)，若能写成部分分式形式，可以将其化简为多个一阶或二阶脉冲传递函数相加的形式：

D(z)＝d0＋D1(z)＋D2(z)＋…＋Dj(z)＝d0＋Σ（i＝1→l）1/(1＋aiz^(－1))·…＋Σ（i＝l+1→j）(1＋diz^(－1))/(1＋ciz^(－1)＋diz^(－2))·…

先求出 u1(k)，u2(k)，…后，通过求和运算即可算出 u(k)。

第27页：并联实现法例题

例：设数字控制器 D(z)＝(z^2＋2z＋1)/(z^2＋5z＋6)＝U(z)/E(z)，试用并行程序法实现 D(z) 表达式，画出并行程序法的框图。

解：对 D(z) 进行因式分解，以部分分式形式表示：D(z)＝1＋(1/(z＋2))＋(－4/(z＋3))·z…，得差分方程组如下：

• u1(k)＝e(k)
• u2(k)＝e(k－1)－2u2(k－1)
• u3(k)＝－4e(k－1)－3u3(k－1)
• u(k)＝u1(k)＋u2(k)＋u3(k)

第28页：连续化设计综合例题的任务

已知被控对象的传递函数为 G(s)＝10/[s(0.5s＋1)]，试设计数字控制器 D(z)，使闭环系统性能指标满足：

1. 静态速度误差系数 Kv≥10 s^(－1)
2. 超调量 σ%≤25%
3. 调节时间 ts≤1s

第29页：综合例题：设计D(s)并离散化

解：第一步 设计 D(s)：D(s)＝8(s＋15)/(s＋2)

⑴ 采样周期的确定：系统的截止频率 ωc≈10/s，此处选取 T＝0.05s

⑵ 设计结果：D(s)＝8(s＋15)/(s＋2)

第二步 D(s) 离散为 D(z)：采用双线性变换法 s＝(2/T)·(z－1)/(z＋1)，得 D(z)＝(6.11z－5.53)/(z－0.45)

第30页：综合例题：性能指标校验

第三步 检验系统的性能指标

⑴ 求 G(z)：G(z)＝(1－z^(－1))Z[G(s)/s]＝0.05z/[(z－1)(z－0.9)]

⑵ 检验 Kv：

Kv＝(1/T)·lim（z→1）(1－z^(－1))D(z)G(z)＝(1/0.05)·lim（z→1）(1－z^(－1))·(6.11z－5.53)/(z－0.45)·0.05z/[(z－1)(z－0.9)]＝10.55 s^(－1)

⑶ 检验控制系统超调量和调节时间性能指标。

第31页：连续与计算机控制系统仿真曲线对比

连续系统仿真曲线和计算机控制系统仿真曲线：连续系统 σ%＝10%≤20%，ts＝0.5≤1s；计算机控制系统 σ%＝10%≤20%，ts＝0.65≤1s。

两条曲线在 0~1.5s 区间基本重合，说明选取 T＝0.05s 时数字控制器能很好地复现模拟控制器的动态性能。

第32页：综合例题：数字控制器的实现

第四步 数字控制器的实现

D(z)＝U(z)/E(z)＝(6.11－5.53z^(－1))/(1－0.45z^(－1))

取Z反变换，其差分方程为：

u(k)＝0.45u(k－1)＋6.11e(k)－5.53e(k－1)

按照上式编制程序并由计算机运行，即可实现数字控制规律。

第33页：5.2 数字PID控制器设计

5.2 数字PID控制器设计

按反馈控制系统偏差的比例（proportional）、积分（integral）和微分（differential）规律进行控制的调节器，简称为PID调节器。

P(t)＝K_P[e(t)＋(1/TI)∫e(t)dt＋TD de(t)/dt]

P(t)

调节器输出信号

e(t)

调节器的偏差信号，它等于测量值与给定值之差

KP

调节器的比例系数

TI

调节器的积分时间

TD

调节器的微分时间

第34页：比例积分微分各环节的作用

比例控制器

对于偏差是即时反应的，简单快速。但过大会使动态品质变坏，引起振荡，甚至不稳定，过小会使静差加大。

积分控制器

有助于减小消除静差，积分时间常数大将减慢消除静差的过程，但可以减小超调，提高稳定性；反之太小会引起超调，使动态响应变差。对存在较大滞后的对象，如温度控制，TI 可以选得较大一些。

微分控制器

有助于减小超调，克服振荡，使系统趋于稳定。它加快了系统的动作速度，减小了调整时间，从而改善了系统的动态特性。

第35页：数字PID位置型控制算法

离散化：∫e(t)dt≈Σ（j＝0→k）E(j)·△t＝TΣ（j＝0→k）E(j)，de(t)/dt≈[E(k)－E(k－1)]/△t＝[E(k)－E(k－1)]/T

⑴ 数字PID位置型控制算法

U(k)＝K_P{E(k)＋(T/TI)Σ（j＝0→k）E(j)＋(TD/T)[E(k)－E(k－1)]}

第36页：数字PID增量型控制算法

由 U(k－1)＝K_P{E(k－1)＋(T/TI)Σ（j＝0→k－1）E(j)＋(TD/T)[E(k－1)－E(k－2)]}

⑵ 数字PID增量型控制算法

ΔU(k)＝U(k)－U(k－1)＝K_P[E(k)－E(k－1)]＋KI E(k)＋KD[E(k)－2E(k－1)＋E(k－2)]

U(k)＝U(k－1)＋ΔU(k)

第37页：增量型PID算法流程图

本页为增量型PID控制算法的程序流程图：按“采样—计算偏差E(k)—计算ΔU(k)—输出—返回”的循环结构组织，图中以 Y/N 判断框标示循环出口。

第38页：位置式与增量式控制的实现方式比较

⑶ 数字PID控制算法实现方式比较

• a 位置式控制：计算机输出 u(k) 直接对应执行机构的实际位置
• b 增量式控制：计算机输出 Δu(k)，由执行机构累加形成位置

第39页：增量型算法的优点

增量型算法具有如下优点

1. 计算机输出增量，所以误动作影响小，必要时可用逻辑判断的方法去掉
2. 在位置型控制算法中，由手动到自动切换时，必须首先使计算机的输出值等于阀门的原始开度 U(0)，才能保证手动/自动无扰动切换，这将给程序设计带来困难。而增量设计只与本次的偏差值有关，与阀门原来的位置无关，因而增量算法易于实现手动/自动无扰动切换。在位置控制算式中，不仅需要对 E(j) 进行累加，而且计算机的任何故障都会引起 U(k) 大幅度变化，对生产产生不利
3. 不产生积分失控，所以容易获得较好的调节品质

第40页：增量型算法的不足与算法选用原则

增量型算法不足之处：

1. 积分截断效应大，有静态误差
2. 溢出的影响大

因此，应该根据被控对象的实际情况加以选择。一般认为，在以晶闸管或伺服电机作为执行器件，或对控制精度要求高的系统中，应当采用位置型算法，而在以步进电机或多圈电位器做执行器件的系统中，则应采用增量式算法。

第41页：PID控制规律的脉冲传递函数形式

(4) PID控制规律的脉冲传递函数形式

理想PID的递推算式，用向后差分法离散化，s＝(1－z^(－1))/T：

D(z)＝U(z)/E(z)≈G(s)|_(s＝(1－z^(－1))/T)＝K_P[1＋T/(TI(1－z^(－1)))＋TD(1－z^(－1))/T]

整理得：D(z)＝K_P[(1＋T/TI＋TD/T)－(1＋2TD/T)z^(－1)＋(TD/T)z^(－2)]/(1－z^(－1))

即 (1－z^(－1))U(z)＝K_P[(1＋T/TI＋TD/T)－(1＋2TD/T)z^(－1)＋(TD/T)z^(－2)]E(z)

第42页：理想PID的增量差分形式

理想PID的增量差分形式

Δu(k)＝q0 e(k)＋q1 e(k－1)＋q2 e(k－2)，u(k)＝u(k－1)＋Δu(k)

q0

K_P(1＋T/TI＋TD/T)

q1

－K_P(1＋2TD/T)

q2

K_P·TD/T

第43页：实际微分PID控制的引入

实际微分PID控制算法

理想微分PID的不足：

1. 干扰作用下机构动作频繁
2. 微分输出常越限，不能充分发挥作用

实际微分PID的一种连续形式：

D(s)＝U(s)/E(s)＝K_P[1＋1/(TI s)＋TD s]/(1＋Tf s)

第44页：实际微分PID的脉冲传递函数

用向后差分法离散化，s＝(1－z^(－1))/T：

D(z)＝U(z)/E(z)≈G(s)|_(s＝(1－z^(－1))/T)＝K_P[1＋T/(TI(1－z^(－1)))＋TD(1－z^(－1))/T]/(1＋Tf(1－z^(－1))/T)

整理得：

D(z)＝K_P[(1＋T/TI＋TD/T)－(1＋2TD/T)z^(－1)＋(TD/T)z^(－2)]/[(1－z^(－1))((T＋Tf)－Tf z^(－1))/T]

第45页：实际微分PID的差分形式

差分形式：

Δu(k)＝C1Δu(k－1)＋C2 e(k)＋C3 e(k－1)＋C4 e(k－2)，u(k)＝u(k－1)＋Δu(k)

C1

Tf/(T＋Tf)

C2

K_P(1＋T/TI＋TD/T)·T/(T＋Tf)

C3

－K_P·T(1＋2TD/T)/(T＋Tf)

C4

K_P·TD/(T＋Tf)

第46页：两种微分PID的阶跃响应对比

本页为两种微分PID控制作用的阶跃响应对比图：(a) 理想微分PID 的微分项在 kT＝0 处单拍大幅输出后迅速衰减；(b) 实际微分PID 的微分项按惯性规律衰减，可持续多个采样周期。

第47页：实际微分与理想微分PID的对比分析

实际微分PID与理想微分PID对比

（1）理想微分PID算法的微分作用仅在一个采样周期有一个大幅度的输出，产生的问题一是控制输出可能超过执行机构或D/A转换的上下限，二是执行机构的响应速度可能跟不上，无法在短时间内跟踪这种较大的微分输出。这样在大的干扰作用情况下，一方面会使算法中的微分不能充分发挥作用，另一方面也会对执行机构产生一个大的冲击作用。相反地，实际微分PID算法由于惯性滤波的存在，使微分作用可持续多个采样周期，有效地避免了上述问题的产生，因而具有更好的控制性能。

（2）由于微分对高频信号具有放大作用，采用理想微分容易在系统中引入高频的干扰，引起执行机构的频繁动作，降低机构的使用寿命。而实际微分PID算法中包含有一阶惯性环节，具有低通滤波的能力，抗干扰能力较强。

第48页：其它形式的实际微分PID

其它形式的实际微分PID

形式一：D(s)＝U(s)/E(s)＝K_P[1＋1/(TI s)]·[1＋TD s/(1＋Td s)]，即在微分通道上串入一阶惯性环节

形式二：D(s)＝U(s)/E(s)＝K_P[1＋1/(TI s)＋TD s/(1＋(TD/Kd)s)]，微分项增益受限，KD 为微分增益

第49页：完全微分与不完全微分的对比

不完全微分结构的微分传递函数为 U(s)/E(s)＝KP TD s/(1＋Tf s)，对于完全微分结构的微分传递函数为 U(s)/E(s)＝KP TD s。

图中给出 T＝1s 时完全微分与不完全微分的 ud(kT) 序列对比：完全微分在第一个采样周期输出很大随后为零，不完全微分按指数规律缓慢衰减，可持续多个周期。

第50页：数字PID控制器的改进与积分饱和现象

数字PID控制器的改进

饱和效应：由于给定值突变等原因，使得控制量超出了执行元件的机械或者物理特性的范围进入饱和区，而使实际的执行量不是计算值，此时系统处于开环状态，当控制量需要返回到正常值时，不能及时“回头”，使系统的品质变差。

⑴ PID位置算法积分饱和现象：由于控制器中的积分项，在误差较大时使输出出现了饱和，开始出现相反的误差时，需要经过一段时间才能脱离饱和区，使系统的响应变慢，并出现明显的超调，这种现象称为“积分饱和”。

第51页：积分饱和现象示意图

本页为积分饱和现象的图示：对应上页所述位置型PID算法中，控制量进入饱和区后不能及时退出，使系统响应变慢并出现明显超调的过程曲线。

注：本页源文件仅保留页码数字，正文为图示内容，建议对照原课件图片核对曲线标注。

第52页：积分分离算法

克服积分饱和的方法——积分分离算法

现象：一般PID，当有较大的扰动或大幅度改变设定值时，由于短时间内出现大的偏差，加上系统本身具有的惯性和滞后，在积分的作用下，将引起系统过量的超调和长时间的波动。

积分的主要作用：在控制的后期消除稳态偏差。

普通分离算法：大偏差时不积分——当 |e(k)|＞β 时，采用PD控制；当 |e(k)|≤β 时，采用PID控制。

第53页：积分分离值的确定原则

积分分离值的确定原则：图中给出 a、b、c 三条不同 β 值下的响应曲线，β 过大时积分分离作用不明显，超调大；β 过小时长期处于PD控制，可能残留静差；合理选取 β 可使超调与调节时间同时改善。

第54页：变速积分PID算法

变速积分：Δui(k)＝f[e(k)]·Ki·e(k)

|e(k)|≤B

f[e(k)]＝1（正常积分）

B＜|e(k)|≤A＋B

f[e(k)]＝(A－|e(k)|＋B)/A（积分作用逐渐减弱）

|e(k)|＞A＋B

f[e(k)]＝0（不积分，仅PD控制）

第55页：输出限制抗饱和算法与对比

输出限制抗饱和算法

• 当 u(k)≥umax 时，采用PD控制
• 当 u(k)≤umin 时，采用PD控制
• 其他情况，正常的PID控制

抗积分饱和与积分分离的对比

※ 相同：某种状态下，切除积分作用。

※ 不同：抗积分饱和根据最后的控制输出越限状态；积分分离根据偏差是否超出预设的分离值。

第56页：遇限削弱积分算法

遇限削弱积分算法：控制变量 ui 进入饱和区，将只执行削弱积分项的运算而停止增大积分项的运算。

在计算 ui 时，将判断上一时刻的控制量 u(i－1) 是否超出限制范围，如果超出将根据偏差的符号，判断系统输出是否在超调区，由此决定是否将相应的偏差计入积分项。

第57页：增量式算法的饱和现象

⑵ PID增量式算法积分饱和现象

在PID增量算法中，由于执行元件本身是机械或物理的积分储存单元，在算法中不出现累加和式，所以不会发生位置算法那样的累积效应，这样就直接避免了导致大幅度超调的积分累积效应。在增量算法中，却有可能出现比例及微分饱和现象。

第58页：积累补偿法与干扰抑制

解决的办法是“积累补偿法”：将饱和而未能执行的增量信息积累起来，一旦脱离了饱和区，将存储到累加器里的全部或部分地加入到计算得到的控制量中，动态过程得到了加速，但是有可能出现“积分饱和”。

⑶ 干扰的抑制：对于一般的随机干扰，可以采用不同的滤波方法，例如一阶滤波方法 ei＝(1－α)ei＋αe(i－1)，0＜α＜1；或采样N次，剔除最大最小值，然后平均。

第59页：四点中心差分法改进微分项

PID算法中用差分代替微分项，差分项对数据误差和干扰特别敏感，一旦出现干扰，有差分项的结果可能出现不期望的较大控制量的变化。用四点中心差分法，对微分项进行改进，降低其对干扰的敏感程度。

先用过去和现在的四个采样时刻的偏差值为基准：ei＝(ei＋e(i－1)＋e(i－2)＋e(i－3))/4，然后通过加权求和形式构成近似微分项：

(TD/T)Δei＝(TD/(6T))(ei＋3e(i－1)－3e(i－2)－e(i－3))

第60页：修改后的PID位置算法

得到修改后的PID位置算法：

ui＝K_P[ei＋(T/TI)Σ（j＝0→i）ej＋(TD/(6T))(ei＋3e(i－1)－3e(i－2)－e(i－3))]

同样也可以得到增量式算法。

第61页：微分先行PID控制算式

⑷ 微分先行PID控制算式

改进原因

为避免给定值的升降给系统带来冲击，如超调过大，调节阀动作剧烈

微分先行

把微分运算放在前面，后面跟比例和积分运算

改进方法

把微分提前，只对被控量 y(t) 微分，不对偏差 e(t) 微分

结构为：R(s) → E(s) → [KP(1＋1/(TI s))] → U(s)，微分通道 (1＋TD s) 作用于 Y(s) 反馈支路。

第62页：时间最优PID控制

其它改进的PID算法

时间最优PID控制

• 最优控制的含义：某个指标最优
• Bang-Bang控制，开关控制，对 |u(t)|≤1，采用一定的方法在＋1、－1间切换，使时间最短
• 时间最优PID控制：Bang-Bang控制和PID控制相结合

第63页：带死区的PID算法

带死区PID的算法

p(k)＝e(k)（当 |e(k)|＞B）；p(k)＝0（当 |e(k)|≤B）

改进原因

避免控制动作过于频繁

适用范围

精度要求不高的场合

第64页：其它先进PID算法概览

其它改进的PID算法

• 可变增益PID的算法
• 参数自寻优PID的算法
• 自适应PID的算法
• 模糊PID的算法
• PID专家系统

第65页：5.3 数字PID参数的整定方法分类

5.3 数字PID参数的整定

理论整定方法

依赖于被控对象的数学模型

仿真寻优方法

借助仿真工具寻优

工程整定方法

近似的经验方法，不依赖模型，如扩充临界比例带法、扩充响应曲线法

控制度的概念：

控制度＝{[∫e^2(t)dt]_D/[∫e^2(t)dt]_A}^(1/2)，即DDC控制与模拟控制误差平方积分之比的平方根。

第66页：凑试法整定步骤

凑试法：

1. 只整定比例部分，系数由小变大，得到反应快、超调小的响应曲线。如果系统已无静差，则直接使用比例即可
2. 取积分时间为较大值，减小①得到的比例参数，逐步减小积分时间，直到系统无静差
3. 加入微分环节，改善系统的动态性能。先取微分时间为零，逐步增大微分时间，同时改变比例参数和积分时间，直到系统得到好的动态性能和效果

第67页：扩充临界比例度法（一）

扩充临界比例度法

扩充临界比例度法是模拟调节器中使用的临界比例带法（也称稳定边界法）的扩充，是一种闭环整定的实验经验方法。按该方法整定PID参数的步骤如下：

（1）选择一个足够短的采样周期 Tmin。所谓足够短，具体地说就是采样周期选择为对象纯滞后时间的1/10以下。

（2）将数字PID控制器设定为纯比例控制，并逐步减小比例度 δ（δ＝1/KP），使闭环系统产生临界振荡。此时的比例带 δk 和振荡周期 Tk 称为临界比例度和临界振荡周期。

第68页：扩充临界比例度法（二）

（3）选定控制度。所谓控制度，就是以模拟调节器为基准，将DDC的控制效果与模拟调节器的控制效果相比较。控制效果的评价函数通常采用误差平方积分最小表示。

实际应用中并不需要计算出两个误差的平方积分，控制度仅表示控制效果的物理概念。例如，当控制度为1.05时，就是指DDC控制与模拟控制效果基本相同；控制度为2.0时，是指DDC控制比模拟控制效果差。

（4）根据选定的控制度查表，求得 T、KP、TI、TD 的值。

（5）按求得的整定参数投入运行，在投运中观察控制效果，再适当调整参数，直到获得满意的控制效果。

第69页：扩充临界比例度法整定参数表

本页为扩充临界比例度法的整定参数表：按控制度1.05、1.2、1.5、2.0分别给出 T/Tk、KP/δk、TI/Tk、TD/Tk 的取值，供步骤（4）查表使用。

注：本页源文件仅保留页码数字，正文为表格图示，建议对照原课件图片核对表中数值。

第70页：扩充响应曲线法（一）

扩充响应曲线法

与上述闭环整定方法不同，扩充响应曲线法是一种开环整定方法。如果可以得到被控对象的动态特性曲线，那么就可以与模拟调节系统的整定一样，采用扩充响应曲线法进行数字PID的整定。其步骤如下：

1. 断开数字控制器，使系统在手动状态下工作。将被控量调节到给定值附近，当达到平衡时，突然改变给定值，相当于给对象施加一个阶跃输入信号
2. 记录被控量在此阶跃作用下的变化过程曲线（即广义对象的飞升特性曲线），如图所示
3. 参数调整

第71页：广义对象的阶跃飞升特性曲线

广义对象的阶跃飞升特性曲线：横轴为时间 t，纵轴为被控量 y，曲线由纯滞后段 τ 与按指数上升的过渡段构成，由此可确定 τ 与 Tp。

第72页：扩充响应曲线法（二）

（3）根据飞升特性曲线，求得被控对象纯滞后时间 τ 和等效惯性时间常数 Tp，以及它们的比值 Tp/τ。

（4）由求得的 Tp 和 τ 以及它们的比 Tp/τ，选择某一控制度，查表，即可求得数字PID的整定参数 T、KP、TI、TD 值。

（5）按求得的整定参数投入运行，在投运中观察控制效果，再适当调整参数，直到获得满意的控制效果。

第73页：扩充响应曲线法整定参数表

本页为扩充响应曲线法的整定参数表：按控制度与 Tp/τ 的不同取值区间给出 T、KP、TI、TD 的计算式，供步骤（4）查表使用。

注：本页源文件仅保留页码数字，正文为表格图示，建议对照原课件图片核对表中数值。

第74页：仿真寻优法与积分型性能指标

仿真寻优法

• 运用仿真工具，或离散化后编程仿真
• 寻优方法：如单纯形法、梯度法等

常见积分型性能指标：

• ISE＝∫e^2(t)dt
• IAE＝∫|e(t)|dt
• ITAE＝∫t|e(t)|dt
• J＝∫[e^2(t)＋ρu^2(t)]dt

第75页：5.4 具有纯滞后的被控对象

5.4 Smith预估控制原理

具有大纯滞后被控对象的传递函数为：

G(s)＝GP(s)e^(－τs)，式中 GP——对象传递函数中不包括纯滞后项的部分。

调节器的传递函数为 GC(s)，相应的单回路反馈系统如图所示。带纯滞后环节的反馈系统。

第76页：Smith预估补偿原理

Smith预估控制原理：在控制回路内部附加一个时间补偿器 Gτ，用来补偿被控对象的纯滞后部分。带Smith预估补偿器的控制框图如图所示。

第77页：Smith预估器的传递函数推导

为了补偿对象的纯滞后，要求：

Y'(s)/U(s)＝GP(s)e^(－τs)＋Gτ(s)＝GP(s)

故 Gτ(s)＝GP(s)(1－e^(－τs))

如果将控制算式部分合起来表示，即得对象的纯滞后补偿简化框图。

第78页：Smith补偿后的闭环传递函数

写出系统在给定值 R 作用下的闭环传递函数为：

Y(s)/R(s)＝GC(s)GP(s)e^(－τs)/[1＋GC(s)GP(s)]

经过上述补偿后，已消除了纯滞后项对控制系统的影响——闭环特征方程中不再含有 e^(－τs) 项，纯滞后环节只移到闭环之外。

第79页：纯滞后补偿的数字控制器实现

采用PID控制，T为采样周期，τ为纯滞后时间，取 N＝τ/T。

纯滞后补偿的数字控制器由两部分组成：一部分是数字控制器 GC(s)；一部分是Smith预估器。

• m(k) 为 GP(s)(1－e^(－τs)) 环节的输出
• yτ(k)＝m(k)－m(k－N)
• e(k)＝r(k)－c(k)
• ec(k)＝e(k)－yτ(k)＝r(k)－c(k)－yτ(k)，对 ec(k) 进行PID计算

第80页：本章思考题

本章思考题

1. 试说出几种等效离散化方法及其特点，并针对模拟滤波器写出其等效的离散滤波器形式
2. 如何以数字控制器的形式实现模拟PID调节器，对采样周期有什么要求？
3. 什么是位置式和增量式PID数字控制算法？试比较它们的优缺点
4. 什么是积分饱和现象？它是如何引起的？可以采用什么办法来消除积分饱和？
5. 试举出两种PID控制器的工程整定法，并简单说出其原理、适用范围及优缺点
6. 已知被控对象 G(s)＝10e^(－0.1s)，试设计史密施（Smith）预估器，并画出闭环系统框图
7. 说出几种改进的数字PID算法及其特点