04 第四章 计算机控制系统的特性分析.pptx

第1页：第四章计算机控制系统的特性分析封面

第四章 计算机控制系统的特性分析

第2页：第四章目录

1. 脉冲传递函数
2. s平面到z平面的映射
3. 计算机控制系统的稳定性分析
4. 计算机控制系统的动态特性
5. 计算机控制系统的稳态误差
6. 离散系统的根轨迹和频率特性
7. 本章思考题

第3页：零阶保持器系统的差分方程

4.1 脉冲传递函数

保持器为零阶保持器，kT≤t≤(k＋1)T 时 eh(t)＝e(kT)，在该周期下系统输出为：

c(t)＝c(kT)＋e(kT)(t－kT)，c[(k＋1)T]＝c(kT)＋Te(kT)

即 c[(k＋1)]＝c(k)＋Te(k)，而 e(k)＝r(k)－c(k)，故 c(k＋1)＋(T－1)c(k)＝Tr(k)，本系统差分方程！

第4页：差分方程的定义

差分方程的定义

对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时刻的输出值 c(k) 不仅与这一时刻的输入值 r(k) 有关，而且与过去时刻的输入值 r(k－1)、r(k－2)…有关，还与过去的输出值 c(k－1)、c(k－2)…有关。可以把这种关系描述如下：

c(k＋n)＋a1 c(k＋n－1)＋…＋an c(k)＝b0 r(k＋m)＋b1 r(k＋m－1)＋…＋bm r(k)

n

系统的阶次

k

系统的第k个采样周期

线性定常系统差分方程的一般形式：所谓线性离散系统，是指表征离散系统特性的差分方程满足叠加原理。

第5页：差分方程的求解方法

工程中常用迭代法和Z变换法来求解差分方程：

1. 迭代法

根据给定差分方程和输出序列的初值，利用递推关系，一步一步算出输出序列。

2. Z变换法

用Z变换法解差分方程的实质，是对差分方程两端取Z变换，并利用Z变换的位移性质，得到以z为变量的代数方程，然后对代数方程的解 C(z) 取Z反变换即求得输出序列。

第6页：差分方程求解例题

例：已知离散系统的差分方程为 y[(k＋1)T]＋2y(kT)＝5kT，y(0)＝－1，求差分方程的解。

解：对差分方程取Z变换，得 z[Y(z)－Y(0)]＋2Y(z)＝5Tz/(z－1)^2

整理得 Y(z)＝5Tz/[(z－1)^2(z＋2)]＋2z/[(z－1)^2(z＋2)]·…

部分分式展开：Y(z)＝5T[－1/(9(z－1)^2)＋…＋1/(9(z＋2))]·z＋2z/[(z＋2)(z－1)^2]

查Z变换表，有 y(kT)＝5T[(－2)^k/9＋k/3－1/9]－(－2)^k/9

y*(t)＝Σ（k＝0→∞）[5T(1－(－2)^k)/9＋…]δ(t－kT)

第7页：4.1.2 线性离散系统的数学描述

4.1.2 线性离散系统的数学描述

输出响应可以表示为：y(kT)＝Σ（h）x(kT－hT)g(hT)，g(kT) 叫权序列，上式叫卷积和。

t＜0 时 x(t)＝0，h＞k 时 x(kT－hT)＝0，g(kT－hT)＝0，因此方程可以重写为如下形式的脉冲响应函数：y(kT)＝g(kT)*x(kT)

第8页：输出响应的Z变换与脉冲传递函数

输出响应 y(t) 的Z变换为：

Y(z)＝Σ（k＝0→∞）y(kT)z^(－k)＝Σ（k＝0→∞）Σ（h＝0→∞）x(kT－hT)g(hT)z^(－k)

令 m＝k－h，则 Y(z)＝Σ（m＝0→∞）x(mT)z^(－m)·Σ（h＝0→∞）g(hT)z^(－h)＝X(z)G(z)

脉冲传递函数表示了系统的脉冲输入和脉冲响应之间的关系，它是权序列 g(kT) 的变换。

第9页：脉冲传递函数的定义和意义

脉冲传递函数的定义和意义

零初始条件下，系统输出 y(t) 的Z变换 Y(z) 与输入 x(t) 的Z变换 X(z) 之比，称为脉冲传递函数，即 G(z)＝Y(z)/X(z)。

若输入 r(t)＝δ(t)，则 C(z)＝G(z)R(z)＝G(z)，g*(t)＝Z^(－1)[G(z)]。即连续系统的脉冲响应采样后的Z变换即为脉冲传递函数。

第10页：4.1.3 开环和闭环脉冲传递函数的求法

4.1.3 开环和闭环脉冲传递函数的求法

带星号的拉氏变换：对离散（采样）信号取拉氏变换记作 G*(s)，定义 z＝e^(sT)，则由 G*(s) 可得 G(z)。

第11页：采样拉氏变换的周期性

采样L变换的两个重要性质

性质1：采样函数的L变换具有周期性

G*(s)＝L[g*(t)]＝（1/T）Σ（n＝－∞→∞）G(s＋jnωs)，且 G*(s)＝G*(s＋jkωs)

即 Σ（n＝－∞→∞）G(s＋jnωs)＝Σ（n＝－∞→∞）G(s＋j(n＋k)ωs)，L[g(t)]＝G(s)。

第12页：采样拉氏变换的提取性质

性质2：若离散拉氏变换与拉氏变换的乘积再离散化，则离散拉氏变换可以从离散符号中提取出来，即：

[G(s)X*(s)]*＝G*(s)X*(s)

其中 [G(s)X*(s)]*＝（1/T）Σ（n＝－∞→∞）G(s＋jnωs)X*(s＋jnωs)＝G*(s)X*(s)

第13页：求脉冲传递函数的一般步骤

求脉冲传递函数的一般步骤

1. 求取脉冲响应函数 g(t)＝L^(-1)[G(s)]
2. 将 g(t) 按采样周期离散化得到 g(kT)
3. 求 g(kT) 的Z变换得到 G(z)

第14页：由差分方程求脉冲传递函数

由差分方程求脉冲传递函数（可以相互转化）

在初始条件为零的情况下求Z变换，即可由差分方程得到脉冲传递函数；反之，由脉冲传递函数也可写出对应的差分方程。

第15页：4.1.4 含有保持环节的脉冲传递函数

4.1.4 含有保持环节的脉冲传递函数

D/A转换器具有输出数据保持的功能，Gh(s)＝(1－e^(－Ts))/s

C1(z)＝Z[Gp(s)/s]R(z)，C(z)＝(1－z^(－1))C1(z)＝(1－z^(－1))Z[Gp(s)/s]R(z)

故含零阶保持器的开环脉冲传递函数为 G(z)＝(1－z^(－1))Z[Gp(s)/s]

第16页：4.1.5 无采样开关的串联环节

4.1.5 开环脉冲传递函数的求法

C(s)＝G1(s)G2(s)R*(s)，将上式两端同时离散化：

C*(s)＝[G1(s)G2(s)R*(s)]*＝[G1(s)G2(s)]*R*(s)

故 C(z)＝Z[G1(s)G2(s)]R(z)＝G1G2(z)R(z)，G(z)＝C(z)/R(z)＝G1G2(z)

第17页：中间带采样开关的串联环节

中间带采样开关的两个连续环节的串联

C1(z)＝G1(z)R(z)，C(z)＝G2(z)C1(z)＝G1(z)G2(z)R(z)

G(z)＝C(z)/R(z)＝G1(z)G2(z)

注意：G1G2(z) 和 G1(z)G2(z) 的含义是不同的，极点相同但零点不同。

第18页：4.1.6 采样开关在误差通道的闭环系统

4.1.6 闭环系统脉冲传递函数

(1) 采样开关在误差通道

E*(s)＝[R(s)－H(s)C(s)]*＝[R(s)－H(s)G(s)E*(s)]*＝R*(s)－HG*(s)E*(s)

连续输出信号的L变换：C(s)＝G(s)E*(s)

C*(s)＝[G(s)E*(s)]*＝G*(s)E*(s)＝G*(s)R*(s)/(1＋GH*(s))

第19页：闭环脉冲传递函数与特征方程

对应的Z变换为：

E(z)＝R(z)/(1＋GH(z))，C(z)＝G(z)R(z)/(1＋GH(z))

闭环系统的输出对于输入的脉冲传递函数

Φ(z)＝C(z)/R(z)＝G(z)/(1＋GH(z))

系统误差对于输入的脉冲传递函数

Φe(z)＝E(z)/R(z)＝1/(1＋GH(z))

开环脉冲传递函数

GH(z)

闭环系统的特征方程

D(z)＝1＋GH(z)＝0

第20页：闭环脉冲传递函数的注意点与前向通道采样

应当注意：离散系统的闭环脉冲传递函数不能从对应的连续系统传递函数的Z变换直接得到：

Φ(z)≠Z[Φ(s)]，Φe(z)≠Z[Φe(s)]

(2) 在前向通道上装有同步采样开关

B(s)＝H(s)C*(s)，E(s)＝R(s)－B(s)＝R(s)－H(s)C*(s)

第21页：前向通道带采样开关的闭环推导

E*(s)＝R*(s)－[H(s)C*(s)]*＝R*(s)－[H(s)G*(s)E*(s)]*＝R*(s)－H*(s)G*(s)E*(s)

E*(s)＝R*(s)/(1＋H*(s)G*(s))，C*(s)＝G*(s)E*(s)＝G*(s)R*(s)/(1＋H*(s)G*(s))

故 E(z)＝R(z)/(1＋G(z)H(z))，Φ(z)＝C(z)/R(z)＝G(z)/(1＋G(z)H(z))

第22页：采样开关在反馈通道的情形

(3) 采样开关在反馈通道

闭环系统中采样开关的位置，有可能不能获得闭环脉冲传递函数：

C(s)＝G(s)[R(s)－H(s)C*(s)]＝G(s)R(s)－G(s)H(s)C*(s)

C*(s)＝GR*(s)－GH*(s)C*(s)，故 C*(s)＝GR*(s)/(1＋GH*(s))

C(z)＝GR(z)/(1＋GH(z))，此时只能得到输出的Z变换，不能写成闭环脉冲传递函数形式。

第23页：求闭环输出Z变换的一般规则

1. 将 R(z) 也当作一个环节画在方框图上
2. 把凡是没有被实际采样开关分割的所有s传递函数先乘积后作为一个独立环节

则闭环系统的输出Z变换为：

C(z)＝前向通道所有独立环节Z变换的乘积/(1＋闭环回路所有独立环节Z变换的乘积)

第24页：闭环输出Z变换例题

例：如下采样系统，其输入为单位阶跃 1(t) 时求闭环系统输出的Z变换，并绘制曲线。

G1(s)＝(1－e^(－Ts))/s，Gp(s)＝10/(s＋10)，H(s)＝0.1，T＝0.07s，e^(－10T)≈0.5

闭环采样系统的输出的Z变换为：C(z)＝G1G2(z)R(z)/(1＋G1G2H(z))

第25页：闭环输出Z变换例题的求解

R(z)＝Z[1(t)]＝z/(z－1)

G1G2(z)＝(1－z^(－1))Z[10/(s(s＋10))]＝(1－e^(－10T))z/[(z－1)(z－e^(－10T))]

G1G2H(z)＝Z[0.1(1－e^(－Ts))/(s(s＋10))]＝0.1(1－e^(－10T))z/[(z－1)(z－e^(－10T))]

将 e^(－10T)≈0.5 代入得：C(z)＝0.5z/[(z－0.45)(z－1)]

求Z反变换可以得到输出的脉冲响应：c(kT)＝Σ（i＝1→2）Res[C(z)z^(k－1)]_(z=zi)＝(10/11)(1－0.45^k)

第26页：4.2 s平面到z平面的映射

4.2 s平面到z平面的映射

复变量 z 和 s 的关系式为 z＝e^(Ts)。令 s＝σ＋jω，则 z＝e^(Ts)＝e^(T(σ＋jω))＝e^(Tσ)e^(jTω)＝e^(Tσ)e^(j(Tω＋2kπ))

｜z｜＝e^(Tσ)，∠z＝ωT＋2kπ，k＝0,±1,±2,…

Z平面和s平面的零、极点存在一定的关系而且随着T而改变。s平面中频率相差 2π/T 的点都映射到z平面的一个位置。

第27页：s平面与z平面的稳定区域对应关系

映射关系：

• 当 σ＝0，即s平面的虚轴，对应Z平面的单位圆
• 当 σ＜0，即s平面的左半平面，对应Z平面的单位圆内
• 单位圆内为z平面的稳定区域，圆外为不稳定区域

图中还标出 s 平面上 ±jωs/2、±j3ωs/2 等点与z平面的对应关系。

第28页：等σ线的映射

等σ线映射：令 σ 为常数，则 |z|＝e^(Tσ)，∠z＝ωT。

s平面上 σ＝σ1、σ＝－σ1、σ＝－σ2 等垂直线，分别映射为z平面上半径为 e^(Tσ1)、e^(－Tσ1)、e^(－Tσ2) 的同心圆。

第29页：等频率线的映射

等频率线：令 ω 为常数（如 ±jω1、±jω2、±jωs/2），则 ∠z＝ωT 为定值。

s平面上的等频率水平线映射为z平面上自原点出发、与实轴夹角为 ωT 的射线。

第30页：等阻尼线的映射

等阻尼线：s平面上等阻尼比射线（ω/σ 为常数）映射为z平面上的对数螺旋线族。本页为等阻尼线映射的图示。

第31页：4.3 稳定性分析与过渡过程类型

4.3 计算机控制系统的稳定性分析

计算机控制系统在给定的作用下，过渡过程可能有四种情况：

• 非周期衰减
• 衰减振荡
• 等幅振荡
• 发散振荡

第32页：离散系统稳定的充要条件

线性离散控制系统稳定的充分必要条件是：线性离散闭环控制系统特征方程的根的模小于1，则线性离散控制系统是稳定的。

例：G(s)＝10/[s(s+1)]，求闭环特征方程 1＋G(z)＝0

解：G(z)＝Z[10/(s(s+1))]＝6.32z/[(z－1)(z－0.368)]

第33页：稳定判据例题：特征根求解与w变换

闭环特征方程为 z^2＋4.952z＋0.368＝0，解得 z1＝－0.076，z2＝－4.876

系统特征方程的根有一个在单位圆外，因此，该离散系统不稳定。

1. 修正的劳斯－赫尔维茨判据

在离散系统中，引进双线性映射：令 z＝(1－w)/(1＋w) 或 w＝(z－1)/(z＋1)，其中 z 和 w 可写为 z＝x＋jy，w＝u＋jv。

第34页：w变换的映射关系推导

w＝u＋jv＝（x＋jy－1）/（x＋jy＋1）＝[(x^2＋y^2)－1]/[(x－1)^2＋y^2]－j·2y/[(x－1)^2＋y^2]

于是：

• 当 x^2＋y^2＝1，Re w＝u＝0，即对应Z平面上的单位圆，对应W平面上的虚轴
• 当 x^2＋y^2＜1，Re w＝u＜0，即Z平面上单位圆内的部分（稳定域），即左半W平面为稳定域
• 当 x^2＋y^2＞1，Re w＝u＞0，即Z平面上单位圆外的部分（不稳定域），即右半W平面为不稳定域

第35页：Z平面到W平面的映射图

本页为Z平面到W平面的映射图示：Z平面单位圆映射为W平面虚轴，单位圆内部映射为W左半平面（稳定域），单位圆外部映射为W右半平面（不稳定域）。

第36页：劳斯判据应用例题：含增益K的系统

例：讨论如下离散系统的稳定性，G(s)＝K/[s(T1 s＋1)]

解：G(z)＝K(1－e^(－T/T1))z/[(z－1)(z－e^(－T/T1))]，令 m＝e^(－T/T1)

1＋G(z)＝1＋K(1－m)z/[(z－1)(z－m)]＝0，上式整理得：

z^2＋[K(1－m)－(1＋m)]z＋m＝0

第37页：劳斯判据求K的稳定范围

将 z＝(1－w)/(1＋w) 代入，得 a0 w^2＋a1 w＋a2＝0，其中：

• a0＝2(1＋m)－K(1－m)
• a1＝2(1－m)
• a2＝K(1－m)

应用劳斯判据，稳定的充分必要条件是 a0＞0，a1＞0，a2＞0，由此得：

K＜2(1＋m)/(1－m)＝2[1＋e^(－T/T1)]/[1－e^(－T/T1)]

T越小，越近似于连续系统，K的稳定范围越大。

第38页：二次项特征方程的稳定条件

对于二次项特征方程 W(z)＝z^2＋Az＋B＝0，A、B 为实数，当满足下列三个条件时，具有上述特征方程的系统是稳定的：

1. W(0)＝B＜1
2. W(1)＝1＋A＋B＞0
3. W(－1)＝1－A＋B＞0

证明：对二次特征方程作 w 变换，将 z＝(1＋w)/(1－w) 代入 z^2＋Az＋B＝0 即得。

第39页：二次项稳定条件推导与奈奎斯特判据

代入后整理得 (1－A＋B)w^2＋(2－2B)w＋(1＋A＋B)＝0，稳定的充分必要条件是二次项每项系数均大于零：

• 1－A＋B＞0
• 2－2B＞0，即 B＜1
• 1＋A＋B＞0

2 奈奎斯特判据：若系统是开环稳定的，则闭环状态下采样系统稳定的充分和必要条件是它的闭环脉冲传递函数 G(z) 的轨迹不包围 G(z) 平面的 (－1,j0) 点。

第40页：朱利Jury稳定判据

3 朱利（Jury）判据

Jury稳定判据是根据离散系统的z域特征方程的系数，直接判别特征根是否严格位于z平面上的单位圆内。

设离散系统的 n 阶闭环特征方程 P(z)＝a0 z^n＋a1 z^(n－1)＋…＋a(n－1) z＋an＝0

利用特征方程的系数，构造 (2n－3)×(n＋1) Jury矩阵。Jury矩阵的第一行系数为：a0, a1, …, a(n－1), an；第二行系数为：an, a(n－1), …, a1, a0

第41页：Jury矩阵的构造

Jury矩阵各行系数递推公式：

bk＝|[a0, a(n－k)],[an, ak]|，k＝0,1,…,n－1（第一行、第二行元素构成的行列式）

ck＝|[b0, b(n－1－k)],[b(n－1), bk]|，k＝0,1,…,n－2

第三行系数：b(n－1), b(n－2), …, b1, b0；第四行系数：b0, b1, …, b(n－2), b(n－1)

第五行系数：c(n－2), c(n－3), …, c1, c0；第六行系数：c0, c1, …, c(n－3), c(n－2)；依次类推至最后一行。

第42页：Jury稳定判据的充分必要条件

如果下列条件满足，则由特征方程 P(z) 所表示的闭环系统是稳定的：

1. an＜a0
2. P(z)|_(z=1)＞0
3. P(z)|_(z=－1)：n 为偶数时＞0，n 为奇数时＜0
4. |b(n－1)|＞|b0|，|c(n－2)|＞|c0|，…（各行首末元素绝对值依次大于）

第43页：Jury判据推论与修尔-科恩判据

推论1：特征方程的根全部在单位圆内的一个充分条件是 a0＞a1＞…＞a(n－1)＞an＞0

推论2：具有首一多项式 D(z)＝z^n＋a(n－1)z^(n－1)＋…＋a1 z＋a0＝0 的特征方程，其根全部都在单位圆内的充分条件是 |a(n－1)＋a(n－2)＋…＋a1＋a0|＜1

4 修尔-科恩（Schur-Cohn）稳定判据：同样由特征方程系数构造行列式判别根是否全部位于单位圆内。

第44页：Jury判据例题：确定K值范围

例2 设一离散时间单位反馈系统，采样周期 T＝1s，其开环脉冲传递函数为：

G(z)＝K(0.3679z＋0.2642)/[(z－0.3679)(z－1)]，试用Jury稳定判据确定系统的K值范围。

解：闭环特征方程 D(z)＝1＋G(z)＝0，即

D(z)＝z^2＋(0.3679K－1.3679)z＋0.3679＋0.2642K＝0

a0＝1，a1＝0.3679K－1.3679，a2＝0.3679＋0.2642K。对于二阶系统应用Jury稳定判据，只要用到下面3个约束。

第45页：Jury判据例题求解结果

(1) |a2|＜a0，即 0.3679＋0.2642K＜1 ⇒ K＜2.3925；且 0.3679＋0.2642K＞－1 ⇒ K＞－5.1775，故 －5.1775＜K＜2.3925

(2) D(1)＝1＋(0.3679K－1.3679)＋0.3679＋0.2642K＝0.6321K＞0 ⇒ K＞0

(3) D(－1)＝1－(0.3679K－1.3679)＋0.3679＋0.2642K＝2.7358－0.1037K＞0 ⇒ K＜26.3824

综合（1）、（2）、（3）：0＜K＜2.3925

第46页：采样周期与开环增益对稳定性的影响

采样周期与开环增益对稳定性的影响

连续系统的稳定性取决于：开环增益、闭环极点、传输延迟等。

离散系统的稳定性：以上因素，再加上采样周期 T。

举例说明：设带有零阶保持器的离散系统，Gh(s) 后接 K/[s(s＋1)]。

第47页：采样周期影响的定量对比

G(z)＝(1－z^(－1))Z[K/(s^2(s＋1))]＝K[(e^(－T)＋T－1)z＋(1－e^(－T)－Te^(－T))]/[(z－1)(z－e^(－T))]

设 T＝1s：D(z)＝z^2＋(0.368K－1.368)z＋(0.264K＋0.368)＝0，由Jury稳定判据或w域的劳斯稳定判据得 0＜K＜2.39，Kc＝2.39

设 T＝0.5s：w域的特征方程 D(w)＝0.197Kw^2＋(0.786－0.18K)w＋(3.214－0.017K)＝0，得 0＜K＜4.37，Kc＝4.37

第48页：采样周期与增益影响的结论

结论：

1. 在保证系统稳定的前提下，采样周期越小，允许的开环增益范围就扩大，否则就缩小
2. 当采样周期一定时，加大开环增益会使得系统的稳定性变差
3. 当开环增益一定时，采样周期越长，丢失的信息就越多，对系统的稳定性和动态性能不利

第49页：4.4 动态特性与闭环零极点

4.4 计算机控制系统的动态特性

1. 闭环零极点与瞬态响应的关系

通常离散控制系统的闭环脉冲传递函数可表示为：

GB(z)＝K∏（i＝1→m）(z－zi)/∏（k＝1→n）(z－Pk)＝KQ(z)/P(z)

当系统输入为单位阶跃时，其系统输出 Y(z) 为：Y(z)＝GB(z)·z/(z－1)

第50页：闭环脉冲响应的部分分式展开

展开成部分分式，有：

Y(z)＝KQ(1)z/[P(1)(z－1)]＋Σ（k＝1→n）Ck·z/(z－Pk)

式中 Ck＝KQ(Pk)/[P'(Pk)(Pk－1)]，闭环极点对系统瞬态响应的影响：

1) Pk 为正实根，对应的瞬态分量 Yk(nT)＝Z^(－1)[Ck z/(z－Pk)]＝Ck Pk^n

第51页：闭环正实极点与瞬态响应

Pk＝1

闭环极点位于Z平面上单位圆周上，闭环系统瞬态响应 Yk(nT) 为等幅脉冲，对应图a点波形

Pk＜1

闭环极点位于单位圆内，此时 a＜0，输出响应 Yk(nT) 呈指数衰减状，如图b点波形

Pk＞1

闭环极点位于单位圆外，此时 a＞0，输出响应 Yk(nT) 呈指数增加状，如中c点波形

第52页：闭环负实极点与瞬态响应

2) 当 Pk 为负实根，则对应的瞬态分量为 yk(nT)＝Ck Pk^n

• 若 Pk＝－1，输出响应分量 Yk(nT) 对应图d点波形，呈等幅跳跃输出
• 若 |Pk|＜1，输出响应分量 Yk(nT) 对应图e点波形
• 若 |Pk|＞1，输出响应分量 Yk(nT) 呈发散跳跃变化

第53页：共轭复极点的瞬态分量

3) 当 Pk、P(k+1) 为一对共轭复根时，Pk＝Pe^(jθk)，P(k+1)＝Pe^(－jθk)

此时 Ck、C(k+1) 也为一对共轭复数，Ck＝|Ck|e^(－jφk)，C(k+1)＝|Ck|e^(jφk)

第54页：共轭复极点的振荡响应

则它们对应的瞬态分量 y(k,k+1)(nT) 为：

y(k,k+1)(nT)＝|Ck|P^n e^(j(nθk＋φk))＋|Ck|P^n e^(－j(nθk＋φk))＝2|Ck|P^n cos(nθk＋φk)

• 若 |Pk|＜1，则对应的瞬态响应分量为振幅衰减的正弦振荡
• 若 |Pk|＞1，则对应的瞬态响应分量为发散正弦振荡

第55页：闭环极点分布与瞬态响应图

本页为闭环极点分布与相应瞬态响应的对照图示：图中在单位圆内外及左半平面上标出若干极点位置，并对应给出等幅、衰减、发散与振荡等响应波形。

第56页：极点分布的配置建议与振荡频率

为使系统有较好的瞬态响应，闭环极点应避免分布在z平面的左半部，不要靠近负实轴，最好分布在右半平面，尽量靠近原点。越靠近单位圆，瞬态响应越慢。

令 θk 为极点相角，θk＝ωT，所以 ω＝θk/T 为系统对应瞬态分量的振荡频率，其振荡周期 Td＝2π/ω＝2πT/θk

设一个振荡周期中所包含的脉冲个数为 n，采样周期为 T，则 nT＝2πT/θk，所以 n＝2π/θk

第57页：有限时间响应与最小拍系统

4. 有限时间响应系统

当闭环脉冲传递函数所有极点都分布在原点时，系统在有限时间结束过渡过程，达到稳态，此时的闭环脉冲传递函数具有如下形式：

GB(z)＝(bn z^n＋b(n－1) z^(n－1)＋…＋b0)/z^n＝bn＋b(n－1)z^(－1)＋…＋b0 z^(－n)

第58页：最小拍系统的单位脉冲响应与局限

其单位脉冲响应 h*(t)＝bnδ(t)＋b(n－1)δ(t－T)＋…＋b0δ(t－nT)

即在单位脉冲作用下，该系统的瞬态响应能在 nT 内结束，即 n 拍可结束过渡过程，这个特点是连续系统所不具备的，称为最小拍系统。

1. 采样周期不能太短，否则需要较大的控制功率，系统中某些元件有饱和因素时，系统不可能遵循最小拍控制规律
2. 由于温度、元件老化等因素引起系统参数变化时，所有极点不可能完全在原点，使性能变差

第59页：4.5 稳态误差与误差传递函数

4.5 计算机控制系统的稳态误差

对于如下的闭环离散系统（含零阶保持器 (1－e^(－Ts))/s 与 Gp(s)）：

C(z)＝G(z)R(z)/(1＋GH(z))，E(z)＝R(z)－B(z)＝R(z)－GH(z)E(z)，故 E(z)＝R(z)/(1＋GH(z))

定义 G(z)＝(1－z^(－1))Z[Gp(s)/s]，GH(z)＝(1－z^(－1))Z[Gp(s)H(s)/s]

第60页：稳态误差的定义与阶跃输入

ess＝lim（t→∞）e*(t)＝lim（z→1）[(1－z^(－1))E(z)]＝lim（z→1）[(1－z^(－1))/(1＋GH(z))·R(z)]

1) 单位阶跃输入时：R(z)＝z/(z－1)，

e(∞)＝lim（z→1）(z－1)·z/[(z－1)(1＋GH(z))]＝1/(1＋GH(1))＝1/(1＋Kp)

定义 Kp＝GH(1)——静态位置误差系数。闭环离散系统可按开环极点 z＝1 的阶数来分类（一个 z＝1 的极点相当于环路中的一个积分器）：GH(z)＝A(z)/[(z－1)^N B(z)]，N＝0 为0型，N＝1 为I型……

第61页：0型与1型系统的阶跃误差及斜坡输入

0型系统：Kp≠0，e(∞)＝1/(1＋Kp)；1型以上系统：Kp＝∞，e(∞)＝0

2) 单位斜坡输入：R(z)＝Tz/(z－1)^2

e(∞)＝lim（z→1）(z－1)·Tz/[(z－1)^2(1＋GH(z))]＝T·lim（z→1）1/[(z－1)GH(z)]·1/[1＋1/((z－1)GH(z))]

定义速度误差系数为 Kv＝(1/T)·lim（z→1）(z－1)GH(z)

第62页：斜坡输入下各型别的稳态误差

0型系统

Kv＝0，e(∞)＝∞

1型系统

令 GH(z)＝G1(z)/(z－1)，式中 G1(z) 没有 z＝1 的极点，所以 Kv＝G1(1)/T，e(∞)＝1/Kv

2型以上系统

Kv＝∞，e(∞)＝0

第63页：抛物线输入的稳态误差

3) 抛物线输入 r(t)＝t^2/2，此时

R(z)＝T^2 z(z＋1)/[2(z－1)^3]

稳态误差 e(∞)＝lim（z→1）(z－1)·T^2 z(z＋1)/[2(z－1)^3(1＋GH(z))]＝(T^2/2)·lim（z→1）(1＋z^(－1))/[(z－1)^2 GH(z)]

第64页：加速度误差系数与各型别误差

定义加速度误差系数为 Ka＝(1/T^2)·lim（z→1）(z－1)^2 GH(z)

0型、1型系统

Ka＝0，e(∞)＝∞

2型系统

令 GH(z)＝G1(z)/(z－1)^2，式中 G1(z) 没有 z＝1 的极点，则 Ka＝G1(1)/T^2，e(∞)＝1/Ka

3型以上系统

Ka＝∞，e(∞)＝0

第65页：稳态误差影响因素汇总表

采样系统的稳态误差和连续系统一样，与系统自身的结构和参数（开环增益和系统型别）、输入序列的形式、采样周期 T 有关。

第66页：4.6 离散系统的根轨迹

4.6 离散系统的根轨迹和频率特性

设采样控制系统的开环传递函数 G(z)＝0.316Kz/[(z－1)(z－0.368)]，试绘制此系统的根轨迹图并确定系统稳定的临界增益。

解：根轨迹的分支数2；起点 p1＝1，p2＝0.368；终点 z1→∞，z2→∞；实轴上的根轨迹区间为 [－∞,0] 与 [0.368,1]。

第67页：根轨迹分离点与临界增益

分离点和汇合点：由 dK/dz＝0，K＝[(z－1)(z－0.368)]/(0.316z)，求导得 d1＝0.6067，d2＝－0.6067

临界K值：K＝[(z－1)(z－0.368)]/(0.316z)|_(z=1)…代入分离点计算可得临界增益值约为8.65，对应根轨迹与单位圆的交点。

第68页：离散系统的频率特性与奈奎斯特判据

频率特性

连续系统中，频率特性为 G(jω)＝G(s)|_(s=jω)；离散系统中，频率特性（奈奎斯特曲线）为 G(z)|_(z=e^(jωT))，－ωs/2≤ω≤ωs/2，这里只取主要带，采样频率远高于系统的带宽。

奈奎斯特判据：线性离散系统稳定的充分必要条件是奈氏曲线逆时针包围临界点的圈数 N 等于开环传递函数中单位圆外的极点数 P。闭环单位圆外的极点数目 Z＝P－N。

第69页：频率特性的几何确定法

频率特性的几何确定法：G(e^(jωT))＝G(z)|_(z=e^(jωT))，将 z＝e^(jωT) 代入零极点表达式，由各零极点到单位圆上动点的矢量长度之积之比确定幅值，由矢量幅角之差确定相角。

图中标出极点 p1、p2、零点 z1、z2 以及对应的角度参数。

第70页：低通滤波器频率特性例题

例：低通滤波器 求离散系统的频率特性，系统函数为 H(z)＝(1＋z^(－1))/(1－0.5z^(－1))＝(z＋1)/(z－0.5)

解：极点 p1＝0.5，零点 z1＝－1。

H(e^(jωT)) 的幅值与相角随 ω 变化：ω＝0 时幅值最大，随 ω 增大幅值下降，相角由0°向－90°变化，呈低通特性。

第71页：幅相频率特性Bode图与双线性变换

幅相频率特性（Bode）图：采用双线性变换将z平面的单位圆变换为w平面的虚轴：

z＝[1＋(T/2)w]/[1－(T/2)w]，令 w＝jv，v—虚频率，G(w)＝G(z)|_(z=[1＋(T/2)w]/[1－(T/2)w])

例：G(z)＝0.368(z＋0.717)/[(z－1)(z－0.368)]，变换得 G(w)＝－0.381(w－2)(w＋12.14)/[w(w＋0.924)]

第72页：w变换与频率畸变公式

双线性变换公式：

z＝[1＋(T/2)w]/[1－(T/2)w]，或 w＝(2/T)·(z－1)/(z＋1)

频率关系：ωw＝(2/T)·tan(ωT/2)

第73页：S平面与W平面频率关系及畸变

S平面与W平面频率间的关系：ωw＝(2/T)tan(ωT/2)，当频率较小时，ωw≈(2/T)(ωT/2)＝ω，这样W平面的频率就等于S平面的频率。

双线性变换相当于把z域的频率范围从 0~ωs/2 扩展为w平面的 0~∞，因此产生了频率畸变。采样频率比较高时，畸变所产生的误差小。

第74页：典型环节的Bode图

典型环节的Bode图：图中分别给出 (a) 比例环节、(b) 积分环节、(c) 一阶微分环节、(d) 一阶惯性环节等在W平面上的对数幅频与相频特性曲线。

第75页：本章思考题

本章思考题

1. 线性离散系统的数学描述有几种形式？它们之间是如何转化的？
2. 表示计算机控制系统的性能指标有哪些？
3. 判别离散闭环系统稳定性的方法有哪些？
4. 讨论下面特征方程是否有特征根位于z平面的单位圆外：z^3＋2.1z^2＋1.44z＋0.32＝0
5. 试说出离散控制系统的稳态误差和哪些因素有关？
6. 试说出离散控制系统的瞬态响应和极点分布的关系
7. 采样系统如下图所示，T＝0.7s，r(t)＝1(t)，试求 c*(t)（给定 e^(－T)＝0.5），试求系统的输出响应及稳态误差（阶跃输入和斜坡输入）