页数：40页文件大小：892.7 KB来源： 计算机控制技术ppt课件
本课件围绕计算机控制系统中的采样与保持环节展开，先给出采样、量化、编码的定义与信号种类划分，再用δ函数与傅氏级数推导理想采样信号的频谱表达式和香农采样定理，进而讨论实际采样过程中的假频与频率混叠，最后分析零阶保持器与一阶保持器的数学描述、频率特性及工程上采样周期的选取方法。
第二章 采样与数据保持
第二章 采样与数据保持
2.1 采样过程的数学描述
2.1.1 采样过程
A/D变换器：完成采样、保持、量化和编码。
计算机控制系统中信号的种类
离散采样系统的基本概念
控制系统中有一个或若干个部件的输出信号是一串脉冲形式或是数字（数码），由于信号在时间上是离散的，这类系统称为离散系统。
D/A转换器过程：解码和保持
2.1.2 采样过程的描述
2.1.3 采样过程的数学描述
δ函数的定义和性质
δ(t) 在 t＝0 处为∞、其余为0，且∫δ(t)dt＝1；δ(t－t0) 在 t＝t0 处为∞，且∫δ(t－t0)dt＝1。
筛选性质：∫δ(t)f(t)dt＝f(0)；∫δ(t－t0)f(t)dt＝f(t0)。
理想采样开关的时域数学描述：δ_T(t)＝Σ（k＝－∞→＋∞）δ(t－kT)
理想采样信号的时域数学描述：f*(t)＝f(t)·δ_T(t)＝Σ（k＝－∞→＋∞）f(t)δ(t－kT)
采样过程可以看作信号调制的过程。
理想采样信号的频域特性
傅利叶级数：如果一个周期为T的函数 f(t)＝f(t+T) 满足狄里赫利条件，即在有限区间内有界，且只有有限个间断点，则可以将其展成傅氏级数：
f(t)＝a0/2＋Σ（k＝1→∞）[ak cos(kωs t)＋bk sin(kωs t)]
其中 ak＝（2/T）∫f(t)cos(kωs t)dt，bk＝（2/T）∫f(t)sin(kωs t)dt，ωs＝2π/T 是基波角频率。可由欧拉方程转化为复数形式：cos(kωs t)＝（1/2）(e^(jkωs t)＋e^(－jkωs t))，sin(kωs t)＝（1/2j）(e^(jkωs t)－e^(－jkωs t))。
复数形式：f(t)＝Σ（k＝－∞→＋∞）Ck e^(jkωs t)，Ck＝（1/T）∫f(t)e^(－jkωs t)dt
单位脉冲序列δT(t)的傅氏级数：Ck＝（1/T）∫δ(t)e^(－jkωs t)dt＝1/T，故 δ_T(t)＝（1/T）Σ（k＝－∞→＋∞）e^(jkωs t)
理想采样信号频谱的数学表达式：f*(t)＝f(t)·（1/T）Σe^(jkωs t)，F*(jω)＝F[f*(t)]＝（1/T）ΣF[f(t)e^(jkωs t)]
由傅氏变换中的复位移定理 F[e^(±at)f(t)]＝F(jω∓a)，得：
F*(jω)＝（1/T）Σ（k＝－∞→＋∞）F(jω－jkωs)，上式即为理想采样信号的频谱表达式。
香农（Shannon）采样定理：对于一个有限频谱（ω＜ωmax）的信号 f(t) 进行采样，当采样频率满足 ωs＞2ωmax 时，采样函数 f*(t) 能够无失真地恢复到原来的信号 f(t)。其中 ωmax 为信号频谱最高频率，ωs 为采样角频率，ωs＝2π/T＝2πf。
注：这是一个必要条件（如果不满足条件，一定不能恢复）。
离散信号频谱 F*(jω) 是以 ωs 为周期、幅值为 1/T·F(jω±jkωs) 的周期频谱。图中对比三种情形：
连续信号为非孤立频谱信号时，最高有效频谱可选为 ωm，并要求 ωm＜ωs/2。
确定方法：当 ω＞ωmax 时，|F(jω)|＜ε|F(j0)|，取 ε 为小量（如0.05）。
例：设连续函数信号 x(t)＝e^(-t)－e^(-2t)，取 ε＝0.05，按采样定理选择其采样频率，使采样后的信号 x*(t) 能以足够的精度恢复原信号。
X(s)＝L[x(t)]＝1/(s+1)－1/(s+2)＝1/(s^2+3s+2)
|X(jω)|＝1/√((2－ω^2)^2＋9ω^2)，令 |X(jω)|＝ε|X(j0)|＝0.05×1/2，解得 ωmax≈6.13
根据采样定理应选取 ωs≥2ωmax≈12.26。
采样频率高，能如实反映信号的变化；但从控制的角度而言，加重了计算机的负担，要求计算机的速度加快；另一方面，采样频率增加，干扰对系统的影响也越大。
2.1.4 实际采样过程的数学描述及分析
实际采样脉冲具有一定宽度 τ，其频谱表达式为：F*(jω)＝Σ（k＝－∞→＋∞）(Cn/T)·F(jω－jkωs)，其中各次谐波幅值受脉冲宽度对应的系数加权。
假频现象
图中对比 F1(jω)、F2(jω) 与采样后频谱 F*(jω)：直接在 ±ωs/2 处发生频率混叠时，采样恢复得到的信号与原始信号不同；在采样前加入前置滤波器滤除高频分量后，可避免混叠并正确恢复。
前置滤波器作用：消除或减小频率混叠。
前置滤波器的幅频特性在 |ω|≤ωm 内为通带，在 ωs/2 附近应为阻带，使采样后频谱主分量不与相邻周期分量重叠。
2.2 信号复现
连续信号经过采样：时域上，时间上连续的信号变成时间上的脉冲序列；频域上，将一个孤立的有限频谱变为具有无穷多的周期频谱。
将数字信号转换复原成连续信号的过程称信号复现，该装置称为保持器或复现滤波器。对离散信号进行恢复：时域上，由采样值 f(kT) 求出 f(t)；频域上，除去由于采样引起的附加分量，保留主频谱分量。
2.2.1 信号的恢复过程
时域：y(t)＝f*(t)*h(t)＝f(t)
频域：Y(jω)＝F*(jω)H(jω)＝F(jω)
即离散信号 f*(t) 经保持器（脉冲响应 h(t)）滤波后，输出 y(t) 恢复为原连续信号。
2.2.2 理想滤波器
理想滤波器的滤波特性为：
其频率特性如图，为矩形低通特性，物理上不可实现。
2.2.3 零阶保持器
脉冲的过渡过程：输入为采样脉冲序列 f*(t)，经零阶保持器后输出为阶梯波 fh(t)。
零阶保持器的数学表达式为 f(nT+△t)＝f(nT)；
其脉冲响应为 gh(t)＝1(t)－1(t－T)，传递函数为：
Gh(s)＝L[gh(t)]＝(1－e^(－Ts))/s
频率特性：Gh(jω)＝(1－e^(－jωT))/(jω)＝T·(sin(ωT/2))/(ωT/2)·e^(－jωT/2)
其幅频特性为 |Gh(jω)|＝T|(sin(ωT/2))/(ωT/2)|，其相频特性为 ∠Gh(jω)＝∠sin(ωT/2)－ωT/2。
零阶保持器的频率特性
幅频特性 |Gh(jω)|＝T|(sin(ωT/2))/(ωT/2)|，在 ω＝ωs、2ωs、3ωs 处出现零点；
相频特性 ∠Gh(jω)＝∠sin(ωT/2)－ωT/2，随频率增大而线性滞后。
特点：
信号在采样—保持过程中的变化：时域上由连续信号变为脉冲序列再变为阶梯波；频域上由孤立频谱变为周期频谱，再经滤波保留主频谱。
图中对比三种配置：前置滤波＋零阶保持器、零阶保持器＋后置滤波、前置滤波＋零阶保持器＋后置滤波。
后置滤波器：由于零阶保持器允许高频噪声通过，当采样周期较大时，ZOH的输出会对系统动态造成不良影响，因此需设置后置滤波器。
采样频率的选择在工程上最好应选择尽可能低的采样速率：
注：图中“ZOH”即零阶保持器（Zero Order Hold）。
一阶保持器：一阶保持器以两个采样时刻的值为基础实行外推，它的外推输出为：
x(kT＋t')＝x(kT)＋[x(kT)－x((k－1)T)]·t'/T
式中 t' 为 kT 到（k＋1）T 之间的时间变量。
一阶保持器的脉冲响应函数如图，可分解为若干单位阶跃与单位斜坡的组合：
h(t)＝(1＋t/T)·1(t)－2(1＋(t－T)/T)·1(t－T)＋(1＋(t－2T)/T)·1(t－2T)
波形在 0～T 区间为斜坡上升，T～2T 区间为下降段。
根据一阶保持器脉冲响应函数的分解，可得保持器的传递函数：
Gh(s)＝(1/Ts^2)(1－2e^(－Ts)＋e^(－2Ts))·(1＋Ts) 或 Gh(s)＝T(1＋Ts)[(1－e^(－Ts))/(Ts)]^2
一阶保持器的频率特性为：
|Gh(jω)|＝T√(1＋(Tω)^2)·[(sin(ωT/2))/(ωT/2)]^2
∠Gh(jω)＝arctg(ωT)－ωT
本页为一阶保持器频率特性的图示，对应传递函数 Gh(s)＝T(1＋Ts)[(1－e^(－Ts))/(Ts)]^2 的幅频与相频曲线。
注：本页源文件仅保留页码数字，正文为图示内容，建议对照原课件图片核对曲线标注。
一阶保持器与零阶保持器比较
一阶保持器实际很少使用！
2.3 影响采样速率的因素
1. 跟踪性：可由闭环带宽或时间响应的要求，通过上升时间、过渡时间等来衡量；采样速率至少应为希望的闭环带宽的两倍，可能要高达20倍，这取决于对系统的特殊的性能要求以及跟踪信号和对象动力学之间的联系。
（1）减少指令改变和系统产生对它的响应之间的延迟；采样周期存在上限和下限：下限由A/D转换时间、计算机执行控制程序的时间及D/A转换时间等决定。在满足要求的前提下，采用较大的采样周期，可以降低对硬件的要求，节约成本。
（2）抗干扰性：系统中的扰动信号可能是阶跃信号到白噪声之间的任意信号。良好的连续控制器的系统要比用数字控制器的系统的抗干扰性要好。原因：误差响应要小；采样信号可能是过时的信号。
（3）对参数变化的灵敏度：采样周期大到可以与开环系统的任一动力学模态的周期相比时，离散系统对参数变化的灵敏度就增加。特别是在采样速率较低时，为减小灵敏度就应对系统进行专门的设计。
（4）前置滤波器设计的影响
（5）按开环响应阶跃上升时间 tr 选取：T＝tr/(2~4)
（6）按生产过程的控制参数选取：
| 控制过程 | 采样周期T（秒） |
|---|---|
| 流量 | 1~3 |
| 压力 | 1~5 |
| 液位 | 5~10 |
| 温度 | 10~20 |
| 成分 | 10~20 |
思考题
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