页数：36页文件大小：738.8 KB来源： 自动控制原理ppt课件
本课件面向计算机控制中的离散系统：先说明连续信号经采样开关变为离散脉冲序列的过程与香农采样定理对采样周期的限制，再引入零阶保持器与 z 变换，建立环节的脉冲传递函数并讨论开环、闭环脉冲传递函数的求法，最后按闭环极点在单位圆内的分布分析动态性能、稳定性与稳态误差。
第六章 采样控制系统：本章讨论含有离散信号的控制系统，包括信号的采样与保持、采样系统的数学模型（z 变换与脉冲传递函数），以及采样系统的动态性能、稳定性与稳态分析。
6.1 概述：通常设计的控制系统可表示为由控制器与被控对象构成的反馈结构。实际系统通常是时间连续的，在系统中流动的信号都是时间轴上连续的——连续信号；幅值也是连续变化的——模拟信号，可以用微分方程描述，并用传递函数表示。
计算机的特点是：时间上是断续的——离散信号；幅值也是不连续的——数字信号。连续的模拟信号系统中存在多种信号，并且进行信号的变换：
离散信号不能用微分方程来描述。越来越多的是：计算机取代模拟器件的控制器（校正装置）。
6.1.1 信号的采样——1、采样过程：将连续信号变为离散信号的过程，通过采样开关实现。如果将采样开关看成是理想的，即闭合时间为零，其中 T 为采样周期，表示每间隔 T 时刻开关闭合一次，t 代表开关闭合的时间。可将采样信号表示为 e*(t)。
e*(t) 表示为时间连续函数的形式，这样就可以求拉氏变换。
2、采样信号的拉氏变换：e*(t) 的拉氏变换式 E*(s) 不是 s 的有理多项式，而是 s 的超越函数。E*(s) 还可写成按采样时刻取值展开的形式，其中 e(0T)、e(T)、…、e(nT) 为连续信号在采样时刻的值。
例：已知 e(t)=1(t)，求 E*(s)。
解：因为 e(nT)=1（n=0, 1, 2, …），代入展开式即可求得 E*(s)。注意：E(s) 是 s 的有理多项式，E*(s) 是 s 的超越函数，二者不相等。
香农采样定理：对一个有限频谱（−ωmax<ω<ωmax）的连续信号进行采样，当采样角频率 ωs≥2ωmax 时，采样信号能无失真地恢复到原来的连续信号。
采样定理给出了采样控制系统采样周期选择的下限。对于实际的非周期的连续函数信号，其频谱中最高频率是无限的，当 ωs≥2ω1 时，认为系统可以无失真地恢复原信号。
6.1.2 信号的保持：需要将数字脉冲信号变为连续信号，完成这个任务的装置称为保持器。保持器的任务就是解决两个采样点之间的插值问题。
零阶保持器：整个 uh(t) 信号可表示为各采样时刻取值与阶跃之差的和。
对其求拉氏变换，用 Gh(s) 表示零阶保持器的传递函数；令 s=jω，则可求出零阶保持器的频率特性。
D/A 就是零阶保持器，用 ZOH 表示零阶保持器。
6.2 采样控制系统的模型——6.2.1 z 变换：引入变量 z=esT，s 是拉氏变换算子，T 为采样周期，z=x+jy 是复数平面上定义的一个变量，通常称之为 z 变换算子。
称 E(z) 为采样信号 e*(t) 的 z 变换，用 Z[e*(t)] 表示。只有离散信号才有 z 变换，所以可简写为 Z[e(t)]。
6.2.2 采样系统的脉冲传递函数——1、环节的脉冲传递函数的定义：在零初始条件下，输出脉冲序列 c*(t) 的 z 变换 C(z) 与输入脉冲序列 r*(t) 的 z 变换 R(z) 之比，称为脉冲传递函数。
说明：对零初始条件的理解与传递函数一样；只有采样信号之间才有脉冲传递函数的概念；总是认为系统输出处带有同步虚拟采样开关。
2、脉冲传递函数的物理意义：式中 g(t) 为系统的脉冲响应，也是 G(s) 的反拉氏变换。直接作用在对象的是 r*(t)，输出量 c*(t) 为采样时刻 t=kT（k=0, 1, 2, …）的值，可由卷积和式求得。
当 n>k 时，由零初始条件有 g(kT−nT)=0，故上式可写为卷积形式。根据 z 变换的卷积定理有 C(z)=G(z)R(z)，其中 C(z) 为 c(nT) 的 z 变换，G(z) 为 g(nT) 的 z 变换，R(z) 为 r(nT) 的 z 变换。
采样系统的脉冲传递函数就是连续系统的脉冲响应序列的 z 变换：脉冲响应 g(t) 经拉氏变换得传递函数 G(s)；采样脉冲响应序列 g(nT) 经 z 变换得脉冲传递函数 G(z)。
例：如图所示，已知连续系统的传递函数，求 G(z)。
解：反拉氏变换求出 g(t)，利用部分分式展开作反拉氏变换，再对 g(t) 求 z 变换。由于 G(s) 和 G(z) 的原函数分别是脉冲响应 g(t) 和与之对应的采样序列 g*(t)，所以可以省去反拉氏变换这一步，直接从 G(s) 的部分分式各项求出对应的 G(z) 的各项。
例：如图所示，求 G(z)。
解：G1(s) 和 G2(s) 之间没有采样开关，所以不存在 G1(z) 和 G2(z) 对应的 z 变换。
采样开关的位置不同，脉冲传递函数是不一样的。
3、开环脉冲传递函数
4、闭环系统的脉冲传递函数：首先说明，不是所有的采样系统都有闭环脉冲传递函数的，取决于采样开关的位置。
（1）误差采样闭环采样系统：误差采样就形同检测量和参考输入有同步采样开关，那么可写出误差脉冲传递函数与闭环脉冲传递函数。
（2）误差处没有采样开关的系统：在误差点没有采样开关，因此不能在输入端虚设采样开关，系统不存在 R(z)，此时系统不存在闭环脉冲传递函数。
整理可得输出表达式。求输出时应从采样开关开始，按照箭头方向直到下一个采样开关。
例：如图所示，求闭环脉冲传递函数。
解：从采样开关开始按照箭头方向直到下一个采样开关终止，或者说是根据采样开关后面的采样信号关系列写方程。
注意几点
6.3 采样控制系统分析——6.3.1 动态性能分析：通过求出系统的输出响应来分析系统的动态快慢、超调量等。根据系统方块图可以求出 C(z)，然后通过 z 反变换求出 c(nT)。
例：求 T=1 时系统阶跃响应的峰值时间、超调量及调节时间（5％）。解：首先求 G(z)。
z 反变换的常用方法有：部分分式展开、查表法、留数法、综合除法。知道单极点时比较方便用综合除法，高阶系统时可以直观地了解系统动态性能。
本例系统的极点为各脉冲传递函数分母的根。
说明：由于只有采样时刻的数值，所以指标只能是近似的。
若 pk 为实数极点，对应的动态分量为 pkn 形式的脉冲序列：
闭环极点位置与动态分量、稳定性的对应关系如下。
| 极点 pk 位置 | 对应动态分量 | 系统稳定性 |
|---|---|---|
| pk＞1 | 指数发散的脉冲序列 | 不稳定 |
| pk＝1 | 等幅的脉冲序列 | 临界稳定 |
| 0＜pk＜1 | 指数收敛的脉冲序列 | 稳定 |
| pk＜−1 | 指数发散的双向脉冲序列 | 不稳定 |
| pk＝−1 | 等幅的双向脉冲序列 | 临界稳定 |
| −1＜pk＜0 | 指数收敛的双向脉冲序列 | 稳定 |
pk 越靠近原点，衰减越快、收敛越快，闭环系统的极点应尽量在单位圆内靠近原点的区域。
若 pk 为共轭复数极点，对应的动态分量呈现振荡；稳定与否取决于极点的模是否小于 1。越靠近原点，收敛越快。
6.3.2 稳定性分析——1、采样系统稳定的充要条件：从动态分析已知，所有闭环极点的模小于 1 时系统稳定。从变换的角度分析，令 z=esT：当 s=0 时 |z|=1；当 s<0 时 |z|<1；当 s>0 时 |z|>1。
采样系统稳定的充要条件：闭环脉冲传递函数（或输出的 z 变换）的极点全部位于 z 平面以原点为圆心的单位圆内。
2、采样系统的稳定性代数判据：如果采样系统的特征方程式为 D(z)=0，为了利用劳斯判据，需要把 z 平面的单位圆变成某一复数平面的虚轴，这就是双线性变换，或称 w 变换。
双线性变换为 z=(1+w)/(1−w)（或 w=(z−1)/(z+1)，对结论没有影响）。当动点 z 在 z 平面的单位圆上和单位圆内时，通过双线性变换后 z 平面的单位圆将映射到 w 平面的左半平面，从而可以使用劳斯判据。
例：求 T=1 时系统稳定的 K 值范围。
特征方程经 w 变换后列出劳斯表：
根据劳斯判据，需同时满足 2.736−0.104K>0、1.264−0.528K>0、0.632K>0，解得 0<K<2.394。
6.3.3 稳态分析：稳态分析可以用 z 变换的终值定理。若误差脉冲传递函数 Φe(z) 的极点全部在单位圆内，即采样系统稳定，那么采样系统中可以按照开环脉冲传递函数 G(z) 中 z=1 的极点个数划分型别。其中 P(z)、Q(z) 中不含 (z−1) 的因子，称系统为 n 型系统。
1、单位阶跃输入时：Kp 为位置误差系数，由终值定理可求得稳态误差。
2、单位斜坡输入时：Kv 为速度误差系数，由终值定理可求得稳态误差。
3、单位抛物线输入时：Ka 为加速度误差系数，由终值定理可求得稳态误差。
系统型别与各类稳态误差的对应关系如下。
| 系统型别 | 位置误差 | 速度误差 | 加速度误差 |
|---|---|---|---|
| 0 型 | 1/(1+Kp) | ∞ | ∞ |
| 1 型 | 0 | 1/Kv | ∞ |
| 2 型 | 0 | 0 | 1/Ka |
| 3 型 | 0 | 0 | 0 |
说明：源文件该表仅给出各型别下误差为 0 或 ∞ 的分布，表中非零项按本节位置、速度、加速度误差系数的定义补齐，建议对照原课件核对。
以上表格结论，只针对如图所示的系统成立。
小结
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