页数：85页文件大小：1,001.1 KB来源： 现代控制理论ppt课件
本课件先由卡尔曼提出的两个基本概念入手，分别给出连续与离散时间线性定常系统能控性、能观测性的定义与判别准则，继而讨论时变系统的判据、对偶原理、能控与能观测标准形，并分析传递函数零极点对消与能控能观测性的关系，最后给出按能控性和能观测性进行结构分解的方法。
3 线性控制系统的能控性和能观测性（Controllability and observability of linear control systems）
3.1 能控性和能观测性的概念
能控性和能观测性是现代控制理论中两个基础性概念，由卡尔曼（R. E. Kalman）于 1960 年首次提出。核心问题是：u(t) 能否引起 x(t) 的变化？y(t) 能否反映 x(t) 的变化？
3.1 Controllability and Observability：若在 t0 时刻能借助无约束控制向量在有限时间区间内把系统从任意初态转移到任意其他状态，则称系统能控；若在有限时间区间内可由输出的观测确定状态，则称系统能观测。这两个概念由 Kalman 提出，在状态空间控制系统设计中起重要作用，其条件决定控制系统设计问题完整解是否存在。
3.1 能控性和能观测性的概念：若所考察系统不能控，问题的解可能不存在。虽然大多数实际物理系统是能控且能观测的，相应的数学模型却可能不具备能控性和能观测性，因此必须知道系统能控和能观测的条件。本节先推导完全状态能控的条件及若干等价形式，再讨论完全输出能控性，最后给出可镇定性概念。
3.1 能控性和能观测性的概念
一个 RC 网络，输入端是电流源 i，输出端开路。取电容 C1 和 C2 上的电压 v1 和 v2 为该系统的两个状态变量：
3.1 能控性和能观测性的概念：在最优控制问题中，任务是寻求输入 u(t) 使状态轨迹达到最优，则要求状态能控。但状态 x(t) 的值通常难以直接测量，往往需要从测得的输出 y(t) 中估计出来。
例：分析如下系统的能控性和能观测性。解：将其表示为标量方程组的形式，表明系统的状态是不能控和不能观测的：输入 u 不能控制状态变量 x1，故 x1 是不能控的；输出 y 不能反映状态变量 x2，故 x2 是不能观测的。
例：分析如下系统的能控性和能观测性。解：将其表示为标量方程组的形式，实际上系统的状态既不是完全能控的，也不是完全能观测的。需要判断：是否所有状态变量都是能控和能观测的？
3.2.1 状态能控性定义
对于连续时间线性定常系统，如果存在一个无约束的控制向量 u(t)，能在有限时间区间 [t0, tf] 内使得系统的某一初始状态 x(t0) 转移到指定的任一终端状态 x(tf)，则称初始状态 x(t0) 是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的，简称能控。
状态平面中点 P 能在 u(t) 作用下被驱动到任一指定状态 P1, P2, …, Pn，则点 P 是能控状态；假如能控状态充满整个状态空间，则该系统是状态完全能控的。
3.2 Controllability and observability of linear control systems：若在 t0 时刻可借助无约束控制向量在有限时间区间内把系统从任意初态转移到任意其他状态，则称系统能控。对连续时间系统，若在 t=t0 能构造无约束控制信号把初态在有限时间内转移到任意终态，则称状态能控；若每个状态都能控，则称完全状态能控。
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
对线性定常系统，能控性和能达性是完全等价的。分析状态能控性问题时 Σ(A,B) 简记为系统对。
定理 3.1：对于 n 阶连续时间线性定常系统 Σ(A,B)，其状态完全能控的充要条件是能控性判别矩阵（controllability matrix）满秩。
证明：根据能控性定义，在终端时刻 tf 有 x(tf)=0，由此导出关于控制作用的方程。
3.2 连续时间线性定常系统的能控性：对于任意给定的 x(0)，能够唯一解出 u 的条件是判别矩阵满秩，即 rank[Qc]=n。
例：试判别连续时间线性定常系统的能控性。
解：系统的能控性判别矩阵为……，这是一个奇异阵，所以该系统不是状态完全能控的；另一系统的判别矩阵满秩，所以该系统是状态完全能控的。
例：试判别连续时间线性定常系统的状态能控性。解：该系统的能控性判别矩阵因为 rank[Qc]=1<n，所以该系统不是状态完全能控的。该系统由两个结构上完全相同且又非相互独立的一阶系统组成，只有在其初始状态 x1(t0) 和 x2(t0) 相同的条件下，才存在某一 u(t) 将状态在有限时间内转移到原点。
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
而 |Qc|≠0 表示 Qc=[b Ab … A^(n−1)b] 有且仅有 n 个线性无关的列，即 Qc 非奇异、逆存在。
例：试判别三阶双输入系统的状态能控性。解：首先构造能控性判别矩阵，观察 Qc 第一行和第三行完全相同，显见其秩小于 n，所以该系统是不能控的。
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
（2）能控性判别准则二：通过线性变换把矩阵 A 化成约当标准形，然后根据这一标准形判别系统的能控性。
证明：系统 Σ(A,B) 的能控性判别矩阵与变换后系统的判别矩阵之间相差满秩阵 P^(−1)，故两者秩相同。
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
例：试判别以下连续时间线性定常系统的能控性。解：A 阵具有互不相同的特征值，系统（I）和（III）是能控的；系统（II）和（IV）不能控，因为 rank[Qc]=1<n，尽管 b 阵的元素不为零。注意：某些具有重特征值的矩阵也能化成对角线标准形。
例：试判断以下连续时间线性定常系统的能控性。解：系统（I）和（III）是状态完全能控的，而系统（II）和（IV）因对应约当小块最后一行存在元素为零的行，故状态不完全能控。注意：特征值互不相同时，需检查第一行与第三行是否成比例。
定理 3.3（附）：若系统 Σ(A,B) 具有相同的重特征值，则系统状态完全能控的充要条件是各约当块 Ji 对应 Bi 中的最后一行没有元素全为零的行，且相同特征值下各约当块对应 Bi 中的最后一行线性无关。
例：判断系统能控性时，B1 和 B2 的最后一行成比例、不是线性无关的，所以不能控。
3.2 连续时间线性定常系统的能控性：具有相同特征值的线性变换举例，特征值为 λ=2 时任选、λ=1 时任选（变换阵元素在保证非奇异的前提下可任意选取）。
3.2.3 输出能控性定义及判别准则
输出的能控性是指系统的输入能否控制系统的输出。若存在一无约束的控制向量 u(t)，在有限时间 [t0, tf] 内能把任一给定的初始输出 y(t0) 转移到任意指定的最终输出 y(tf)，则称系统输出是完全能控的。
定理 3.4：对于 n 阶连续时间线性定常系统，输出完全能控的充要条件是输出能控性判别矩阵满秩。
3.2.3 Output controllability：在实际控制系统设计中，可能需要控制输出而非状态，完全状态能控既非必要也非充分。系统完全输出能控的充要条件是相应判别矩阵的秩为 m。
例：试分析系统的输出能控性和状态能控性。
解：输出能控性判别矩阵满秩，说明系统是输出完全能控的；再来分析系统的状态能控性，判别矩阵不满秩，说明系统状态是不完全能控的。
结论：状态能控性与输出能控性无关。
3.3.1 线性定常系统能观测性的定义
设连续时间线性定常系统的状态方程和输出方程已知，如果对任意给定的输入 u，存在一有限观测时间 tf>t0，使得根据 [t0, tf] 期间的输出 y(t) 能唯一地确定系统的初态 x(t0)，则称状态 x(t0) 是能观测的；若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统状态完全能观测，简称能观测。简记为 Σ(A,C)。
3.3.1 Observability：讨论线性系统的能观测性时考虑无外力系统。理由是：若系统含有输入项，由于 A、B、C、D 已知且 u(t) 已知，输出表达式中后两项为已知量，可从观测值中扣除，故只需考虑无外力系统即可导出完全能观测的充要条件。
定理 3.5：对于 n 阶连续时间线性定常系统 Σ(A,C)，状态完全能观测的充分必要条件是其能观测性判别矩阵满秩，即 rank[Qo]=n。
同样有秩判据和约当标准形判据两类。
3.3 连续时间线性定常系统的能观测性：对于任意给定的 x(0)，由输出表达式根据得到的 y(t) 可以唯一地确定 x(0) 的条件是判别矩阵满秩，即 rank[Qo]=n。
例：试判别连续时间线性定常系统的能观测性。解：系统的能观测性判别矩阵因为 rank[Qo]＝2=n，所以系统是能观测的。
例：试判别系统的能观测性。解：系统的能观测性判别矩阵 rank[Qo]=1<2 是奇异阵，所以系统状态是不能观测的。从输出方程看，y 中既含 x1 又含 x2，似乎能通过对 y 的观测获得两者的信息；但从状态变量图看，这是由两个结构完全相同的一阶系统并联起来的系统，当其初始状态为 x10=−x20 时，所激励的系统输出恒为零，此时初始状态 x10 和 x20 是不能观测的。
3.3 连续时间线性定常系统的能观测性
|Qo|≠0 表示矩阵 Qo 有且仅有 n 个行向量线性无关，即 rank[Qo]=n。
3.3 连续时间线性定常系统的能观测性
（2）能观测判别准则二：定理 3.6 若 n 阶系统 Σ(A,C) 具有互异的特征值，则其状态完全能观测的充要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线标准形中 C 阵不含有元素全为零的列。
例：显然系统（I）是能观测的，系统（II）是不能观测的。
定理 3.7：若 n 阶连续时间线性定常系统 Σ(A,C) 具有重特征值，则系统能观测的充分必要条件是经线性非奇异变换后的约当标准形中与每个约当块 Ji 对应的 Ci 的首列的元素不全为零。
例：根据上述定理，系统（I）是能观测的，（II）是不能观测的。
定理 3.7（附）：若系统 Σ(A,C) 具有相同的重特征值，则系统状态完全能观测的充要条件是每个无重特征值的约当块 Ji 对应的 Ci 首列没有全为零的，且具有相同特征值的约当块 Jj 对应的 Cj 首列线性无关。
例：C1 和 C2 的首列成比例、不是线性无关的，所以不能观测。
3.4.1 能控性定义与判据
对于 n 阶离散时间线性定常系统，若存在控制序列 {u(0), u(1), …, u(l−1)}（l≤n）能将某个初始状态 x(0) 在第 l 步上到达零状态，即 x(l)=0，则称初始状态 x(0) 是能控的；若系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的。
例：设离散时间线性定常系统的状态方程为……，试分析能否找到控制作用 u(0)、u(1)、u(2) 将初始状态转移到零状态。
3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性
解：利用递推方法，为检验系统能否在第一步使 x(0) 转移到零，令 x(1)=0，倘若能够解出 u(0)，则表示在第一步就可以把给定初始状态转移到零。计算表明对该系统若取 u(0)=−3，则能将 x0=[2 1 1]^T 在第一步转移到零。
例：若上例系统初始状态为……，能否找到控制作用序列将其转移到零状态。解：由递推公式，显然令 x(1)=0 解不出 u(0)，这说明初始状态不能在第一步转移到零，需再递推一步。
3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性：令 x(2)=0 仍无法解出 u(0)、u(1)，再递推一步；令 x(3)=0，上式是含有三个未知量的线性非齐次方程，有唯一解。
定理 3.8：对于 n 阶离散时间线性定常系统，状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵满秩。
例：试判别系统能控性，已知离散系统状态方程的 G、h。解：构造能控性判别矩阵，显然 rank[Qc]＝1<n，所以系统是不能控的。
3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性
例：试判别系统的能控性，设离散系统 G、H 已知。解：首先计算判别矩阵，从前三列可以看出 rank[Qc]=3，所以系统是能控的。
需要指出，多输入系统能控判别矩阵是 n×nr 阶矩阵，有时不需要对整个 Qc 阵检验其秩，只需从 Qc 阵中构成一个 n×n 阵检验其秩即可判断状态能控性。
3.4.2 能观测性定义与判据
若能够根据在有限个采样瞬间上测量到的 y(k)，即 y(0)、y(1)、…、y(l−1)，唯一地确定出系统的任意初始状态 x(0)=x0，则称系统是状态完全能观测的。
定理 3.9：对于 n 阶离散时间线性定常系统，状态完全能观测的充分必要条件是能观测性判别矩阵的秩为 n，即 rank[Qo]=n。
例：设离散时间线性定常系统的 G、C 为……，试判别其能观测性。解：该系统能观测性判别矩阵取前三行，所以 rank[Qo]=3，故该系统是能观测的。
3.4.3 采样周期对离散时间线性系统能控性和能观测性的影响
例：设连续时间系统的状态方程和输出方程为……，试确定使离散时间线性系统能控、能观测的采样周期。解：系统的能控性判别矩阵和能观测性判别矩阵分别为……，显然该连续时间系统是能控且能观测的。
3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性：取采样周期为 T，将上述系统离散化，于是离散系统的能控性和能观测性判别矩阵分别为……，其秩与采样周期取值有关。
3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性
结论：若欲使离散时间系统是能控及能观测的，采样周期应满足相应条件。
3.5.1 能控性定义与判别准则
对于初始时刻 t0 的某给定初始状态 x(t0)=x0，存在另一个有限时刻 tf>t0 和定义在 [t0, tf] 上的控制信号 u，使得系统在这个控制作用下从 x0 出发的轨线在 tf 时刻达到零状态即 x(tf)=0，则称 x0 在 t0 时刻是系统的一个能控状态；如果状态空间上的所有状态在 t0 时刻都是能控的，则称系统在 t0 时刻是状态完全能控的。
时变系统的能控性定义与定常系统基本相同，但考虑到 A(t)、B(t) 是时变矩阵，状态向量的转移与起始时刻 t0 的选取有关，所以时变系统的能控性与所选择的初始时刻 t0 有关。
定理 3.10：对 n 阶连续时间线性时变系统，设 A(t) 和 B(t) 对 t 为 (n−1) 阶连续可微，定义一组矩阵序列 M0(t)、M1(t)、…，则系统在时刻完全能控的充分条件为存在有限时刻使该矩阵序列构成的判别矩阵满秩。
3.5.2 能观测性定义与判据
对于初始时刻 t0，存在另一时刻 tf>t0，使得根据 [t0, tf] 上输出 y(t) 的测量值能够唯一地确定系统在 t0 时刻的初始状态 x(t0)=x0，则称 x0 为在 t0 时刻能观测状态；若系统在 t0 时刻的所有状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的。
反之，如果在 t0 时刻的初始状态所引起的系统输出 y(t) 恒等于零，则称 x0 为 t0 时刻不能观测的状态，系统在 t0 时刻是不能观测的。
定理 3.11：对于 n 阶连续时间线性时变系统，设 A(t) 和 C(t) 对 t 为 (n−1) 阶连续可微，定义一组矩阵序列，则系统在时刻完全能观测的充分条件为存在有限时刻使相应判别矩阵满秩。
3.6.1 对偶系统
对于定常系统 Σ1 和 Σ2，其状态空间描述分别为……，若满足相应的矩阵转置关系，则称系统 Σ1 和 Σ2 是互为对偶的。其中 x 与 x* 为 n 维状态向量，u 为 r 维、y 为 m 维，u* 为 m 维、y* 为 r 维。
3.6 线性系统能控性与能观测性的对偶关系
定理 3.12：设 Σ1(A,B,C) 和 Σ2(A*,B*,C*) 是互为对偶的两个系统，则 Σ1 的能控性等价于 Σ2 的能观测性；Σ1 的能观测性等价于 Σ2 的能控性。
证明：系统 Σ1 的能控性判别矩阵与系统 Σ2 的能观测性判别矩阵是完全相同的；同理 Σ1 的能观测性判别矩阵与系统 Σ2 的能控性判别矩阵也是完全相同的。
Principle of Duality：系统 S1 完全状态能控（能观测）当且仅当对偶系统 S2 完全能观测（状态能控）。其中对偶系统 S2 中 A*、B*、C* 分别为 A、B、C 的转置。
3.7.1 问题的提法
若 n 阶连续时间线性定常系统 Σ(A,B) 是完全能控的，则对多输入多输出系统，把 (A,B) 和 (A,C) 化为标准形可以有多种不同方法。对于单输入单输出系统，其能控性判别矩阵和能观测性判别矩阵只有唯一的一组线性无关的向量，因此当 (A,B) 表示为能控标准形和 (A,C) 表示为能观测标准形时，其表示方法是唯一的，所以仅讨论单输入单输出系统。
定理 3.13：若连续时间线性定常单输入单输出系统 Σ(A,b,c) 是状态完全能控的，则使系统为能控标准形的变换阵为……，其中 ai 为特征多项式的系数。通过线性变换得到能控标准形 Σ(Ac, bc, cc)。
3.7 能控标准形和能观测标准形：利用相关关系式，据凯莱-哈密顿定理可导出变换后系统矩阵的表达式。
3.7 能控标准形和能观测标准形：于是有相应等式，将上式左乘变换阵的逆，就可证得 Ac。
3.7 能控标准形和能观测标准形
3.7 能控标准形和能观测标准形：由能控标准形可以求得系统的传递函数，分子系数即为输出向量各元素。
例：试将左侧的状态空间描述变换为能控标准形。解：先判别其能控性，rank[Qc]=3，所以系统是能控的；再计算系统的特征多项式，则 a1=0，a2=−9，a3=2。
定理 3.14：若 n 阶线性定常单输入单输出系统 Σ(A,b,c) 是能观测的，则存在线性变换将其变换为能观测标准形 Σ(Ao, bo, co)，其中 ai 是特征多项式的各项系数。
例：试将左侧的状态空间描述变换为能观测标准形。解：系统的能观测性判别矩阵因 rank[Qo]=3，所以系统是能观测的；系统的特征多项式求得 a1=0，a2=−9，a3=2。
例 3-26：试判别系统的状态能控性和能观测性。解：定义状态变量选择后，系统能控性判别矩阵 Qc 和能观测性判别矩阵 Qo 分别为……，显然在这种状态变量选择下系统是不能控但是能观测的，系统的传递函数为……。
3.8 传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系：若选择另一种状态变量，于是系统能控性判别矩阵 Qc 和能观测性判别矩阵 Qo 分别为……，显然在这种状态变量选择下系统是能控但是不能观测的。以上两种情况系统的传递函数中都出现了零极点对消现象，那么零极点对消与能控性和能观测性之间有什么关系？
定理 3.15：若线性定常单输入-单输出系统传递函数中有零极点对消，则系统将是状态不能控或状态不能观测的，其结果与状态变量选择有关；反之，若系统中没有零极点对消，则该系统是完全能控且完全能观测的。
证明：假定系统是具有相异特征值的 n 阶单输入-单输出系统，利用线性变换可将矩阵 A 对角化，得到等价系统；由于是对角阵，第 i 个状态方程两边取拉氏变换即得。
3.8 传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系：对特征值相异的 n 阶系统，假定传递函数形式展成部分分式，其中 ki 为 Y(s)/U(s) 在 s=λi 处留数。状态能控要求对应系数不为零，能观测要求对应系数不为零，一个既能控又能观测的系统要求 ki≠0。
例：设有一个由前后两个子系统 G1(s)、G2(s) 串联组成的组合系统，试判断串联系统的能控性和能观测性。解：组合系统的传递函数 G(s) 由 G1 与 G2 相乘得到，由 G(s) 可以看出，当 b=2 时系统的传递函数发生零极点对消现象，系统不是既能控又能观测的。为了分析这个不确定性，建立该系统的状态变量图。
3.8 传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系：当 b=λ 时（即 G(s) 出现零极点对消），则该串联系统是不能控但能观测的，其状态空间描述与能控性、能观测性判别矩阵分别为……。
例：如果将上例系统中两个子系统的位置互换一下，试判断该系统的能控性和能观测性。解：显见当 b=λ 时 rank[Qo]=1<2，系统是能控但不能观测的。
3.8 传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系
下面进一步讨论传递函数中零极点对消对系统稳定性的影响。
3.8 传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系：考察该系统的特征多项式，说明系统有一极点在右半平面，故该系统是不稳定的；由于该极点模式不能控，因此表现出的输入输出特性看似正常，但实际系统不稳定。
Condition for Complete State Controllability in the s Plane：完全状态能控的充要条件是传递函数或传递函数阵中不发生对消；若发生对消，则系统在被对消模态方向上不能控制。完全能观测的条件同理，若发生对消，则被对消的模态在输出中观测不到。
3.9.1 系统按能控性分解
定理 3.16：若 n 阶连续时间线性定常系统 Σ(A,B,C) 是状态不完全能控的，其能控性判别矩阵的秩为 nc，则存在线性变换可将 Σ(A,B,C) 变换为能控子系统与不能控子系统分离的形式。
不完全能控和不完全能观测系统经线性变换后可分成：能控且能观测子系统、能控但不能观测子系统、不能控但能观测子系统、不能控且不能观测子系统。
3.9 线性系统结构按能控性能观测性的分解：其中 nc 维子系统是能控的，而 (n−nc) 维子系统是不能控的。非奇异变换阵中 n 个列向量构成方法：前 nc 个列向量为能控性判别矩阵 Qc 中 nc 个线性无关的列，另外 (n−nc) 个列在确保 Rc 为非奇异的条件下是任意的。
例：试将该系统按能控性进行分解。解：系统的能控性判别矩阵因为秩小于 n，所以系统是不完全能控的；构造 Rc（部分列向量任选），得到分解后的状态空间描述。
3.9 线性系统结构按能控性能观测性的分解：考察 R3 为任意的情况，现假设 R3=[1 0 1]^T，于是得相应结果。由于前两个列向量没有改变，所以能控子系统空间的表达式相同，所不同的仅是改变列向量后的不能控部分。
定理 3.17：若 n 阶连续时间线性定常系统 Σ(A,B,C) 是状态不完全能观测的，其能观测性判别矩阵的秩为 no，则存在线性变换可将 Σ(A,B,C) 变换为能观测部分与不能观测部分分离的形式。
3.9 线性系统结构按能控性能观测性的分解：能观测的 no 维子系统与不能观测的 (n−no) 维子系统。构造非奇异变换阵时，取 Qo 中的 no 个线性无关的行作为前 no 个行向量，另外 (n−no) 个行向量在确保变换阵非奇异的条件下可任意。
例：试按能观测性对系统进行结构分解。解：能观测判别矩阵 Qo 的秩小于 n，所以该系统是状态不完全能观测的；为构造线性非奇异变换阵，取相应行向量（部分任选）。
定理 3.18：若 n 阶连续时间线性定常系统 Σ(A,B,C) 是不完全能控且不完全能观测的，则可通过线性变换分解为四个子系统。
其中反映系统输入输出特性的传递函数阵 G(s) 只能由能控且能观测子系统决定；根据给定传递函数阵求对应的状态空间描述，其解将有无限多个，其中维数最小的状态空间描述就是最小实现。
例（手工分解）：给定系统 Σ(A,B,C) 的约当标准形为……，容易判定：
分解方法有两种：构造变换阵 R 一次变换完成，但 R 的构造复杂；或逐步分解，先按能控性分解，再分别按能观测性分解。
3.9 线性系统结构按能控性能观测性的分解：重新排列 A、B、C 的行列式，得到按能控性与能观测性分块的标准形式。
作业
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