02 线性系统的状态空间运动分析.pptx

第1页：第2章 线性系统的状态空间运动分析 目录

2 线性系统的状态空间运动分析

1. 2.1 线性定常系统的齐次解
2. 2.2 矩阵指数函数
3. 2.3 线性定常系统的非齐次解
4. 2.4 线性定常系统的状态转移矩阵
5. 2.5 线性时变系统的运动
6. 2.6 线性连续系统的时间离散化
7. 2.7 线性离散系统的运动分析

第2页：齐次状态方程及其解

2.1 线性定常系统的齐次解

线性定常系统的齐次状态方程（Homogeneous state equation）：给定初始状态 x(0)=x0，必有如下形式的解（solution）。

如果定义区间为 [t0, ∞），且 x(t0)=x0 时，解为 x(t)=e^(A(t−t0))x0。其中 e^(At) 或 e^(A(t−t0)) 称为矩阵指数函数（matrix exponential function），是 n×n 维矩阵。

第3页：标量微分方程求解回顾

2.1 线性定常系统的齐次解：首先回顾标量微分方程的求解过程。设方程具有如下形式的解，代入方程后上式对任意 t≥0 均成立，比较两边 t^k 的系数可得系数关系；t=0 时可得 b0=x(0)，因此方程的解为指数形式。

第4页：齐次解的直接法证明

2.1 线性定常系统的齐次解

（1）直接法证明：式中 b0, b1, … 等为待定常向量，将解的形式设为如下的向量幂级数代入方程，上式对任意 t≥0 均成立，比较两边 t^k 的系数即可确定各待定向量。

第5页：矩阵指数函数的定义

2.1 线性定常系统的齐次解：标量指数函数定义为幂级数展开，仿此定义 e^(At)=I+At+A²t²/2!+…，称 e^(At) 为矩阵指数函数，所以齐次解可写为 x(t)=e^(At)x0。

第6页：齐次解的拉氏变换法证明

2.1 线性定常系统的齐次解

（2）Laplace 变换法证明：回顾标量关系式 X(s)=(s−a)^(−1)x(0)，仿此对状态方程作拉氏变换，再取反变换即得齐次解。

第7页：齐次状态方程的求解思路

2.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATION：本节求线性定常状态方程的通解，先讨论齐次情形再讨论非齐次情形。在求解向量矩阵微分方程之前，先回顾标量微分方程的求解：设解为幂级数形式，代入方程后比较系数。

第8页：幂级数系数的确定

2.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATION：若所设解为真解，方程对任意 t 成立，比较 t 的同次幂系数即得递推关系；b0 的值由 t=0 代入确定，即 b0=x(0)。

第9页：向量矩阵微分方程的解设

2.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATION：求解向量矩阵微分方程时，类比标量情形，设解为 t 的向量幂级数形式，其中 x 为 n 维向量，A 为 n×n 常矩阵。

第10页：代入并比较同次幂系数

2.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATION：将所设解代入方程，若为真解则对所有 t 成立，比较方程两边 t 的同次幂系数得到系数递推式。

第11页：解为矩阵指数形式

2.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATION：由 t=0 代入确定 b0，解可写为幂级数形式，右端括号内的表达式是 n×n 矩阵，由于它与标量指数无穷级数相似，称之为矩阵指数。用矩阵指数表示，方程的解为 x(t)=e^(At)x(0)。

第12页：拉氏变换法：标量情形

2.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATION：拉氏变换法求解齐次状态方程，先考虑标量情形，对方程取拉氏变换得 X(s)=L[x]，解出 X(s) 后取拉氏反变换即得解。

第13页：拉氏变换法：状态方程情形

2.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATION：把上述方法推广到齐次状态方程，对方程两边取拉氏变换得 X(s)=L[x]，再用 (sI−A)^(−1) 左乘两边，取拉氏反变换即得 x(t)。

第14页：由 (sI−A) 逆求矩阵指数

2.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATION：(sI−A)^(−1) 的拉氏反变换即为矩阵指数（矩阵的反变换由其全部元素的反变换组成）。该式的重要性在于提供了求矩阵指数闭式解的便捷途径。

第15页：矩阵指数函数的定义与性质1

2.2 矩阵指数函数

2.2.1 矩阵指数函数的定义：设 A 为 n×n 维矩阵，则矩阵指数函数 e^(At) 定义为幂级数形式。

性质 1：e^(A·0)=I，由矩阵指数函数的定义式当 t=0 时即可得证。

第16页：性质2：指数可加性

2.2 矩阵指数函数

性质 2：设 t 和 s 为自变量，则 e^(A(t+s))=e^(At)·e^(As) 必成立，证明根据定义式展开即得。

第17页：性质3：e 的 At 次方的逆

2.2 矩阵指数函数

性质 3：e^(At) 必有逆，且其逆为 e^(−At)。由性质 2 令 s=−t，并结合性质 1，可知 e^(At) 与 e^(−At) 互为逆矩阵。

第18页：性质4：可交换矩阵的指数

2.2 矩阵指数函数

性质 4：对于 n×n 维方阵 A 和 B，如果 AB=BA，则 e^((A+B)t)=e^(At)·e^(Bt)，证明根据定义式展开。

第19页：性质4的推导

2.2 矩阵指数函数：将上述两式相减，显然只有 AB=BA 时才有 e^((A+B)t)=e^(At)·e^(Bt) 成立。

第20页：性质5：对时间的导数

2.2 矩阵指数函数

性质 5：对于矩阵指数函数 e^(At)，有 d[e^(At)]/dt=A·e^(At)=e^(At)·A。证明根据定义将上式逐项对 t 求导即得。

第21页：性质6：对角线矩阵

2.2 矩阵指数函数

性质 6：设 A 为对角线阵，则 e^(At) 也必为对角线矩阵，且对角元素为各特征值对应的指数，根据定义可证。

第22页：性质7：可对角化

2.2 矩阵指数函数

性质 7：设 A 具有互不相同的特征值 λ1、λ2、…、λn，则 e^(At) 必可经线性非奇异变换化为对角线型，其中 P 为使 A 对角线化的变换阵。

第23页：性质7的推导

2.2 矩阵指数函数：对上式的一般项，根据定义式展开，即得 e^(At)=P·e^(Λt)·P^(−1)。

第24页：级数求和法求矩阵指数函数

2.2.3 矩阵指数函数的计算

（1）级数求和法：例 试计算矩阵 A 的矩阵指数函数 e^(At)。解：按幂级数定义直接求和（计算过程以原课件公式为准）。

第25页：拉氏变换法求矩阵指数函数

2.2 矩阵指数函数

（2）Laplace 变换法：例 试用拉氏变换法计算矩阵指数函数 e^(At)，即 e^(At)=L^(−1)[(sI−A)^(−1)]。

第26页：化为约当标准形法

2.2 矩阵指数函数

（3）化为约当标准形法：若矩阵 P^(−1)AP 已化为约当标准形，则由 e^(At)=P·e^(Jt)·P^(−1) 可直接将 e^(At) 计算出来。

第27页：特征值互异与重根的矩阵指数

2.2 矩阵指数函数

• 1）当 A 的特征值互异时，e^(Jt) 为各 e^(λi t) 组成的对角阵
• 2）当 A 的特征值为重根时，e^(Jt) 的约当块含有 t·e^(λt) 等项

第28页：约当标准形法例题（互异）

例：试用化为约当标准形法求矩阵指数函数 e^(At)。解：求得 A 的特征值，因 A 是友矩阵且特征值互异，可直接写出变换阵并求得 e^(At)。

第29页：约当标准形法例题（续）

例：试用化为约当标准形法求矩阵指数函数 e^(At)。解：因为 A 为友矩阵，因此变换阵为范德蒙德形式，进而求得 e^(At)。

第30页：待定系数法与C-H定理

2.2 矩阵指数函数

（4）待定系数法：利用 Cayley-Hamilton 定理，首先将 e^(At) 化为 A 的有限项，然后确定待定系数。

1）Cayley-Hamilton 定理：设 A 为 n×n 维矩阵，其特征多项式为 f(λ)，则矩阵 A 必满足其自身的特征方程，即 f(A)=0。

第31页：凯莱-哈密顿定理证明

2.2 矩阵指数函数：令特征多项式展开，两边幂次项的系数相等；对上述关系式从上到下依次右乘 A^n、A^(n−1)、…、A、I，然后将等式两边各项分别相加，得 f(A)=0。

第32页：矩阵指数函数的多项式表达式

2.2 矩阵指数函数

2）矩阵指数函数的多项式表达式：该式表明 A^n 可表示成 A^(n−1)、A^(n−2)、…、A、I 的线性组合，式中系数为 t 的标量函数。利用 Cayley-Hamilton 定理可将 e^(At) 的无穷幂级数化为 A 的有限项表达式，其中 A 的最高次幂不高于 (n−1)。

第33页：幂级数的有限项化

2.2 矩阵指数函数：同理，A^(n+2) 以及更高次幂都均可由 A^(n−1)、A^(n−2)、…、A、I 的线性组合表示。写成一般形式后，幂级数括号中的级数可用一个 t 的标量函数 αi(t) 表示。

第34页：系数计算：特征值互异

2.2 矩阵指数函数

3）矩阵指数函数的计算：根据特征值互异和相重两种情况确定系数 αi(t)。

Ⅰ. 特征值互不相同：由 Cayley-Hamilton 定理，λi 和 A 均满足特征方程，由此列出方程组求解 αi(t)。

第35页：系数计算：n 重特征值

2.2 矩阵指数函数

Ⅱ. 矩阵 A 有 n 重特征值 λ1：已知关系式后，对 λ1 求导一次、二次直至 (n−1) 次，得到 n 个方程以求解全部待定系数。

第36页：待定系数法例题（互异根）

例：试用待定系数法计算矩阵指数函数 e^(At)。解：由特征方程解出特征根 λ1=−1，λ2=−2，代入方程组求得系数后写出 e^(At)。

第37页：待定系数法例题（重根）

例：试用待定系数法计算矩阵指数函数 e^(At)。解：A 的特征值为 λ1=λ2=1，λ3=2，按重根情形的求导法确定待定系数。

第38页：非齐次状态方程的解

2.3 线性定常系统的非齐次解

非齐次状态方程（Nonhomogeneous state equation）其解必唯一，且具有如下形式。如果初始时刻（initial time）是 t0，则方程的解由两部分组成：

• 第一项为初始状态的转移项，称为齐次解
• 第二项为控制作用引起的响应项，称为强迫运动项

第39页：非齐次解的直接法证明

2.3 线性定常系统的非齐次解

（1）直接法证明（Direct method）：将非齐次方程改写后两边左乘 e^(−At)，将上式由 0→t 积分，再对两边左乘 e^(At)，且因 e^(−At)·e^(At)=I，从而得证。

第40页：非齐次解的拉氏变换法

2.3 线性定常系统的非齐次解

（2）拉氏变换法证明：对方程取拉氏变换，整理后用 (sI−A)^(−1) 左乘两边，考虑拉氏变换中的卷积分（convolution integral）即得解。

第41页：非齐次解例题

例：求系统状态方程的非齐次解，其中 u(t)=1(t)。解：该系统的矩阵指数函数已求得，代入解的公式积分即得。

第42页：特定输入下的状态响应

2.3 线性定常系统的非齐次解

（3）特定输入下的状态响应

1. 脉冲响应（Response of impulse function）
2. 阶跃响应（Response of step function）
3. 斜坡响应（Response of ramp function）

第43页：非齐次方程解：标量情形

2.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATION：非齐次状态方程的求解先从标量情形开始，方程两边同乘 e^(−at)，在 0 到 t 之间积分，右端第一项为对初始条件的响应，第二项为对输入 u(t) 的响应。

第44页：非齐次状态方程的积分解

2.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATION：对非齐次状态方程两边左乘 e^(−At)，在 0 到 t 之间积分，得解的积分形式，其中 x 为 n 维向量，u 为 r 维向量，A 为 n×n 常矩阵，B 为 n×r 常矩阵。

第45页：非齐次解的拉氏变换推导

2.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATION：非齐次状态方程的解也可用拉氏变换法求得，取拉氏变换后用 (sI−A)^(−1) 左乘两边即得 X(s)。

第46页：由 t0 出发的解

2.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATION：利用卷积分取拉氏反变换得到解。此前假定初始时刻为零，若初始时刻为 t0，则解的形式需相应改写为含 x(t0) 的形式。

第47页：状态转移矩阵的定义与作用

2.4.1 状态转移矩阵（state transition matrix）

对于线性定常系统，称 Φ(t)=e^(At) 为系统的状态转移矩阵。当所观察的时间区间为 [0, ∞）时，状态转移矩阵可表示为 Φ(t)=e^(At)。

采用状态转移矩阵可以：

• 对线性系统的运动给出一个清晰的描述
• 使时变系统状态方程的解写成解析形式，建立对定常系统和时变系统都适用的统一求解公式

第48页：状态转移矩阵的几点说明

2.4 线性定常系统的状态转移矩阵

• 1）状态转移矩阵是以 t 为自变量的 n×n 维矩阵
• 3）对于线性定常系统显然有 Φ(t−t0)=e^(A(t−t0))

应该指出，矩阵指数函数 e^(At) 和状态转移矩阵 Φ(t) 是从两个不同角度提出来的概念：前者是数学函数的名称，后者表征对初始状态 x0 的转移关系。

第49页：状态转移的几何含义

2.4 线性定常系统的状态转移矩阵

• 4）Φ(t−t0) 的含义是：x(t) 在 t≥t0 任何时刻的状态，只是初始状态 x0 通过变换阵 Φ(t−t0) 的一种转移，且这种转移是唯一的
• 5）状态转移矩阵是齐次状态方程在初始状态为基向量时的一个基本阵。以二阶系统为例，取初始状态 x(0)=[1 0]^T 与 [0 1]^T 分别得到两列响应

第50页：求状态转移矩阵例题

例：已知某二阶系统，其不同初始状态的响应为……，试求该系统的状态转移矩阵。

6）基于状态转移矩阵的系统非齐次解可写为卷积形式或叠加形式。

第51页：状态转移矩阵例题求解

2.4 线性定常系统的状态转移矩阵

解：由两组不同初始状态的响应可以写出矩阵方程，联立求解即得状态转移矩阵的各元素。

第52页：状态转移矩阵的自身性与传递性

2.4.2 状态转移矩阵的性质

（1）自身性

Φ(t−t)=I，表示状态从 t 时刻又转移到 t 时刻，状态并没有发生变化

（2）传递性

Φ(t2−t0)=Φ(t2−t1)·Φ(t1−t0)，由解的唯一性可证

第53页：状态转移矩阵的可逆性

2.4 线性定常系统的状态转移矩阵

（3）可逆性：Φ^(−1)(t−t0)=Φ(t0−t)。左乘并应用性质 1 和性质 2 可证，右乘同理。根据这个性质，由左乘还可导出状态反向转移关系。

第54页：分解性与倍时性

2.4 线性定常系统的状态转移矩阵

（4）分解性

Φ(t1+t2)=Φ(t1)·Φ(t2)=Φ(t2)·Φ(t1)

（5）倍时性

[Φ(t)]^k=Φ(kt)

第55页：由状态转移矩阵求系统矩阵

2.4.3 由状态转移矩阵求系统矩阵

• （1）Φ(0)=I，由状态转移矩阵的定义当 t=0 时即得
• （2）dΦ(t)/dt=A·Φ(t)
• （3）A=dΦ(t)/dt 在 t=0 处取值

第56页：由状态转移矩阵求 A 的例题

例：已知系统的状态转移矩阵，试求系统矩阵 A。解：可以用求导法与待定系数法两种方法求解并相互验证。

第57页：线性时变系统的状态转移矩阵

2.5.1 线性时变系统的状态转移矩阵

设连续时间线性时变系统的齐次状态方程中，x 为 n 维状态向量，A(t) 为 n×n 维时变实数矩阵。设 t0 为初始时刻，t 为观测时刻，则满足如下矩阵方程和初始条件的解 Φ(t, t0) 称为状态转移矩阵，借助它线性时变系统的齐次解可表为 x(t)=Φ(t, t0)·x(t0)。

第58页：两类状态转移矩阵区别

2.5 线性时变系统的运动

• 1）Φ(t, t0) 是自变量为 t 的 n×n 维函数阵，不仅是 t 的函数，也是初始时刻 t0 的函数
• 2）Φ(t, t0) 依赖于绝对时间，t0 不同有不同结果，非封闭形式；Φ(t−t0) 依赖于相对时间，t0 不同有相同结果，封闭形式
• 3）设 A(t) 为 n×n 维时变矩阵，则 Φ(t, t0) 的表达式由状态转移矩阵定义给出

第59页：时变齐次解的验证

2.5 线性时变系统的运动：证明只需验证 x(t)=Φ(t, t0)·x(t0) 满足状态方程和初始条件即可。

第60页：求时变系统状态转移矩阵例题

例：试求系统的状态转移矩阵 Φ(t, 0)。解：由矩阵方程出发逐步积分求解，得到 Φ(t, 0) 的表达式。

第61页：线性时变系统状态方程的求解

2.5.2 线性时变系统状态方程的求解

考察连续时间线性时变系统，状态方程中 x 为 n 维，u 为 r 维，A(t) 和 B(t) 分别为 n×n 和 n×r 时变实数矩阵。若在所考察区间内 A(t) 的元绝对可积、B(t) 和 u 的元平方可积，则存在唯一解。

Φ(t, t0) 的性质：性质 1 Φ(t, t)=I；性质 2 传递性；性质 3 Φ^(−1)(t, t0)=Φ(t0, t)。

第62页：离散系统的两类情形

2.6 线性连续系统的时间离散化

（1）问题的提出：离散系统是指系统中的一处或多处信号呈脉冲序列或数码的形式，分为两种情况：

• 整个系统工作于离散状态，所有变量全部是离散量
• 系统工作于连续和离散两种状态，变量既有连续模拟量又有离散数字量，例如采样控制系统

第63页：离散化的基本约定（一）

2.6 线性连续系统的时间离散化

（2）三个基本约定

• 1）采样器的采样方式为等周期采样，设采样周期为 T；若系统中有多个采样开关，则为同周期
• 设采样宽度 τ<<T，因而可视为 τ≈0

第64页：离散化的基本约定（二）

2.6 线性连续系统的时间离散化

• 2）采样周期 T 的选择满足香农（Shannon）采样定理：离散信号 y(k) 能完满地恢复为原来连续信号 y(t) 的条件是采样频率 ωs 满足 ωs>2ωmax，其中 ωmax 为原连续信号幅频谱的上限频率；由于采样频率 ωs=2π/T
• 3）为简化问题，选择零阶保持器

第65页：线性定常连续系统的离散化

2.6 线性连续系统的时间离散化

（3）线性定常连续系统状态方程的离散化：根据状态方程求解公式导出离散化状态方程。考查在 t=kT 到 t=(k+1)T 这一个采样周期内的状态响应，取 t0=kT、t=(k+1)T；考虑到 u(t) 是零阶保持器输出，在采样周期内其值不变且 u(t)=u(kT)。

第66页：离散化状态方程与输出方程

2.6 线性连续系统的时间离散化：对上式做时间变量置换，令 t=(k+1)T−τ，则得 G=e^(AT)、H=∫e^(At)dt·B。线性定常连续系统的离散化状态方程和输出方程中，离散化系统的矩阵 C 与 D 均和原连续系统一样。

第67页：离散化例题

例：试写出当采样周期 T=0.5 秒时的离散化状态方程。解：首先求出连续系统的状态转移矩阵 e^(AT)，再求出离散化矩阵 H。

第68页：近似离散化方法

2.6 线性连续系统的时间离散化

（4）近似离散化方法：在精度要求不高的情况下，可以直接用差商代替微商进行离散化，即用 [x((k+1)T)−x(kT)]/T 代替连续状态方程中 x 的导数，从而求得近似离散化状态方程。

第69页：线性时变连续系统的离散化

2.6 线性连续系统的时间离散化

（5）线性时变连续系统状态方程的离散化：设线性时变系统的状态方程和输出方程已知，其离散化状态空间描述中系数矩阵由相应积分给出。

第70页：离散系统的递推法求解

2.7 线性离散系统的运动分析

（1）递推法（或迭代法）：对状态方程令 k=0, 1, 2, …，从而有 x(1), x(2), …，可进一步归纳出递推求解公式。

第71页：离散系统状态方程的求解公式

2.7 线性离散系统的运动分析

• 1）离散系统状态方程的求解公式与连续系统的在形式上类似，也由初始状态响应和输入信号所引起的响应组成，利用 Φ(k) 状态方程解可写出
• 2）在由输入信号所引起的响应中，第 k 个时刻的状态只取决于此采样时刻以前的输入采样值，而与该时刻的输入采样值无关
• 3）G^k 称为线性定常离散系统的状态转移矩阵，记之为 Φ(k)

第72页：递推法求解例题

例：已知某离散系统的 G、H 和 x(0)，试用递推法求解 x(k)。解：按 k=0,1,2,… 依次代入递推公式逐点求解。

第73页：Z 变换法求解

2.7 线性离散系统的运动分析

（2）Z 变换法：设状态方程已知，进行 z 变换后两端取 z 反变换，得状态转移矩阵 Φ(k)=Z^(−1)[z(zI−G)^(−1)]。

第74页：Z 变换法例题

例：试用 z 变换法计算状态转移矩阵 Φ(k) 及其解 x(k)。解：先计算 (zI−G)^(−1)，再取反变换。

第75页：状态转移矩阵的反变换结果

2.7 线性离散系统的运动分析：对 (zI−G)^(−1) 反变换得 Φ(k) 的闭式表达式。

第76页：由 X(z) 求 x(k)

2.7 线性离散系统的运动分析：下面计算 X(z)，由 X(z)=z(zI−G)^(−1)x(0)+(zI−G)^(−1)HU(z)，对 X(z) 取 Z 反变换即得 x(k)。

第77页：递推法与 Z 变换法的比较

2.7 线性离散系统的运动分析

• 1）递推法既适用于线性定常离散系统又适用于线性时变离散系统；而 z 变换法仅适用于线性定常离散系统
• 2）递推法求得的解是序列形式，在计算机上计算十分方便；z 变换法得到的解是封闭形式，便于表示和了解运动规律
• 3）如果要求得到两采样瞬时之间的状态和输出，只需在采样周期 kT≤t<(k+1)T 内再利用连续的状态方程，令 t=(k+Δ)T（0≤Δ<1），使 Δ 在 0 到 1 之间变动即可获得全部信息

第78页：求采样瞬时值例题

例：已知 T＝2 秒，x(0)=1，u(t)=t，试求 x(3) 和 x(5)。解：连续部分的状态方程与系统的离散化状态方程已知，由于第 3 秒在 T≤t<2T 之间，故令 Δ=0.5，即 ΔT=1，因此可算出该瞬时值；同样可算出 x(5)。

第79页：第2章作业

作业

• 2-1（2）、（4）
• 2-2（1）
• 2-4（2）
• 2-5
• 2-7
• 2-9（2）
• 2-10
• 2-12
• 2-14
• 2-16
• 2-17