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本课件介绍系统综合这一系统分析的逆问题，依次给出状态反馈极点配置的条件与算法、输出反馈的两种结构与配置条件、控制系统的镇定问题，重点讲解全维与降维状态观测器的设计及分离定理，最后介绍多变量系统的解耦控制思想与常用方法。
5 线性定常系统的综合
系统综合是系统分析的逆问题：对于给定的被控系统，根据生产工艺对系统的性能要求，选择合适的控制策略与系统结构，设计出控制器，建立起能够满足要求的实用系统。
极点配置：通过选择线性反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在复平面上所期望的位置，以获得所期望的动态性能（pole-placement, pole-assignment）。
为了实现状态反馈，必须获取全部状态信息；但实际工程系统中并不是所有状态变量都能检测到，有些甚至根本无法检测，因此需要解决状态重构问题或观测器设计问题。
5.1.1 系统的结构与数学描述
状态反馈：将被控系统中的 n 个状态变量，通过一个 r×n 维矩阵 K 反馈至系统的参考输入端，与参考输入一起对被控系统进行控制作用，构成闭环反馈控制系统。状态空间描述中参考输入为 v，简记被控对象为 Σ0(A,B)。
5.1 状态反馈与极点配置：简记闭环系统为 ΣK(A−BK, B, C)，闭环控制律 u=v−Kx。
5.1.2 状态反馈极点配置的条件与算法
极点配置要研究两个问题：（1）确定极点可任意配置的条件；（2）确定极点配置所需要的反馈阵 K。
定理 5-1：采用状态反馈使系统闭环极点配置在复平面任意位置上的充分必要条件是被控对象 Σ0(A,B) 完全能控。
证明（充分性，以单输入系统为例）：若被控对象完全能控，则一定可以通过线性非奇异变换化为能控标准形。
5.1 状态反馈与极点配置：P 为使 Σ0(A,B) 化为能控标准形的非奇异变换矩阵。引入 1×n 维的状态反馈行阵，得到能控标准形下的闭环系统矩阵。
5.1 状态反馈与极点配置：闭环系统的特征多项式中各项系数均可由反馈阵改变，说明闭环系统的极点可以任意配置。必要性：如果系统不能控，就说明系统中的某些状态变量不受输入的控制，则不能引入状态反馈改变闭环系统极点。
5.1 状态反馈与极点配置：极点配置的算法
Determination of Matrix K Using Transformation Matrix P：Step 1 检验系统的能控性条件，若完全状态能控则继续；Step 2 由矩阵 A 的特征多项式确定 a1、a2、…、an 的值。
5.1 状态反馈与极点配置：Step 3 确定把系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵 P（若给定方程已是能控标准形则 P=I）；Step 4 用期望闭环极点写出期望特征多项式并确定系数；Step 5 由相应方程确定所需的状态反馈增益矩阵 K。
Determination of Matrix K Using Direct Substitution Method：如果系统阶次较低，直接把矩阵 K 代入期望特征多项式可能更简单。例如 n=3 时写出状态反馈增益矩阵 K，代入 det[sI−A+BK] 并与期望特征多项式比较 s 的同次幂系数，即可确定 k1、k2、k3。该方法在 n=2 或 3 时较为方便。
Determination of Matrix K Using Ackermann's Formula：有一个著名公式用于确定状态反馈增益矩阵 K，即阿克曼公式：K=[0 0 … 1]·[b Ab … A^(n−1)b]^(−1)·φ(A)，其中 φ(A) 由期望特征多项式的系数构成。
5.1.3 状态反馈几点问题的讨论
例：试设计如图所示系统中的反馈矩阵，使闭环系统满足：① 输出的最大超调量 σ%≤5%；② 调整时间 ts≤0.5s。
解：① 求出给定被控系统的状态空间描述（状态变量为 x1、x2、x3）。
5.1 状态反馈与极点配置
5.1 状态反馈与极点配置
⑤ 确定闭环系统的期望极点。由于为 3 阶系统，期望极点数为 3，选其中一对为主导极点，另一个为远极点。根据二阶系统性能指标公式确定主导极点：由 σ%≤5%、ts≤0.5s 求出 ζ≥0.707、ωn≥8，为方便计算选 ζ=0.707、ωn=10；为减少远极点的影响，应选择远极点的距离大于 5 倍，由此求出主导极点。
5.1 状态反馈与极点配置
Example：Consider the regulator system where the system uses the state feedback control u=−Kx. 选择期望闭环极点为 s=−2±j4、s=−10（经验表明这样的极点配置能得到可接受的暂态响应），试确定状态反馈增益矩阵 K。
5.1 状态反馈与极点配置：首先检验系统的能控性矩阵，由于 |Q|=−1 故 rank Q=3，系统完全状态能控，任意极点配置都是可能的。下面用本章给出的三种方法求解。方法一：使用公式（5.1），先求系统的特征方程。
5.1 状态反馈与极点配置：本题中给定状态方程已是能控标准形，故 P=I；再写出期望特征方程即可求解。
Method 2：定义期望的状态反馈增益矩阵 K，代入 det[sI−A+BK] 并与期望特征方程比较系数，由此解出各元素。
Method 3：第三种方法是使用阿克曼公式，代入公式（5.2）求得状态反馈增益矩阵 K。
Comments：若系统阶次为 4 或更高，推荐使用方法一和方法三，因为全部矩阵运算可由计算机完成；使用方法二时手工计算不可避免。当然，三种方法得到的反馈增益矩阵 K 是相同的。
需要注意：对给定系统矩阵 K 并不是唯一的，而取决于所选择的期望闭环极点位置（决定响应的速度和阻尼）。期望极点的选择是在误差向量响应的快速性与对扰动和测量噪声的敏感性之间的折中。
5.2 输出反馈与极点配置
输出反馈就是将系统的输出量通过反馈网络反馈至系统的输入端，与参考输入一起对被控对象进行控制。相对状态反馈，输出反馈实施起来比较简单，在工程中应用也较为广泛。根据反馈信号反馈点的位置不同，输出反馈有两种结构：
5.2.1 输出反馈的系统结构与数学描述
定理 5-2：被控对象 Σ0(A,B,C) 采用输出反馈至系统状态微分处时，能任意配置闭环极点的充分必要条件为被控对象完全能观测。
证明（只证充分性）：当被控对象完全能观测时，一定可通过线性变换化为能观测标准形。
5.2 输出反馈与极点配置：将输出反馈矩阵反馈至系统状态微分处，则闭环系统状态方程的系统矩阵为 A−HC；系统的能观测性没有改变，闭环特征多项式变为可通过调整 H 的值改变各项系数，从而改变系统的特征值。由于 H 的值可以任意选择，故特征值可以任意配置。
5.2 输出反馈与极点配置：（Ⅱ）极点配置的算法
5.2 输出反馈与极点配置：对于输出反馈至参考输入处这种结构的闭环极点配置，有如下说明：
5.3 控制系统的镇定问题
对于被控系统，若系统是开环不稳定的，如果能通过加入反馈使闭环系统的极点全部具有负实部，从而保证系统是渐近稳定的，就称此系统是反馈能镇定的；若采用的反馈是状态反馈，则称系统是状态反馈能镇定的，若采用输出反馈则称输出反馈能镇定的。
定理 5-3：对于被控系统 Σ0(A,B,C)，采用状态反馈能镇定的充分必要条件是其不能控子系统是渐近稳定的。
证明：由于被控系统不完全能控，则可引入非奇异变换进行结构分解，将系统划分为能控与不能控两个部分。
5.3 控制系统的镇定问题：由于能控部分能控，由定理 5-1 知必存在 K 使的特征值具有负实部；而状态反馈对不能控极点毫无影响，只有当不能控部分的特征值具有负实部时，系统才能状态反馈镇定。
例：判断系统是否可用状态反馈镇定，若能镇定，设计反馈矩阵使其镇定。解：将系统转换为按能控性分解的形式，其变换矩阵为……；由上式可知系统不能控子系统的特征值在左半平面，因此系统是状态能镇定的。用极点配置的方法进行镇定，设期望极点为 −1、−3、−2。
5.3 控制系统的镇定问题：根据期望极点的要求写出期望特征多项式，设系统的反馈阵为……，则闭环系统特征方程为……，令两式相等得反馈阵元素（部分可任意取值）。
5.4 状态重构与状态观测器的设计
状态反馈有着广泛的应用，为实现状态反馈必须获取系统的状态信息，但实际工程系统中并不是所有的状态信息都能检测到。
状态重构问题实际上就是重新构造一个新的系统，以控制 u 和原系统中能直接量测到的输出信号 y 作为输入，而它的输出是系统状态 x 的估计量，使其在一定条件下能与原系统的状态 x 保持一致，通常称为 x 的重构状态，而称这个用以实现重构状态的新系统为状态观测器。
需特殊指出，应避免用一个状态变量的微分产生另一个状态变量，因为干扰信号经过微分器将会严重影响求导的准确性。
5.4.1 全维状态观测器设计
若系统的全部状态都是通过观测器重构的，则称这种观测器为全维状态观测器。考虑 n 维能观测的被控系统，式中状态 x 不能直接量测，输入 u 和输出 y 可直接量测。
开环观测器：最简单的全维状态观测器可以根据原系统的动态方程重构一个模拟系统，然后加入相同的控制信号。
5.4 状态重构与状态观测器的设计
闭环观测器：利用反馈控制原理，将原系统可以量测到的输出量 y 与状态观测器的输出量相比较求出误差信号，把误差信号线性反馈至观测器的状态微分处，对状态观测器进行校正，构成一个闭环的状态观测器。G 是 n×m 维线性反馈矩阵，全维闭环状态观测器方程为……，观测器的特征值由矩阵 (A−GC) 决定。
5.4 状态重构与状态观测器的设计：定义误差为真实状态与估计状态之差，得到状态观测器的误差方程，其为齐次线性微分方程，解由初始误差决定。无论初始误差是多少，只要 (A−GC) 是稳定矩阵，一定可以做到估计状态渐近趋近真实状态。
定理 5-4：全维状态观测器的极点可以任意配置的充分必要条件是系统状态完全能观测。证明：闭环状态观测器其实是采用输出反馈至状态微分处的输出反馈系统，根据定理 5-2，如果系统完全能观测，就可以任意配置矩阵 (A−GC) 的极点。
例：已知线性定常系统的状态方程及输出方程为……，试确定反馈矩阵 G，将观测器的极点配置在指定位置。
解：根据给定的被控系统求得能观测性矩阵的秩为 n，可见系统状态是完全能观测的，因此可通过反馈矩阵 G 的适当选择满足极点配置要求。
5.4 状态重构与状态观测器的设计：根据极点配置要求，状态观测器应具有的期望特征方程为……；根据系统矩阵求出状态观测器的特征方程，设 G=[g3 g2 g1]^T，则观测器的系统矩阵为……，令两者相等即得 G。
5.4.2 降维状态观测器
通常系统的输出变量可以直接通过传感器测量，而输出变量又是由状态变量的线性组合构成。可以设法通过线性变换使每个输出变量仅含单个的状态变量。如果原系统输出变量的维数为 m，则必有 m 个状态变量能够通过输出测量得到，无需再做估计，因而需要重构的状态变量数可以减少，使状态观测器的维数降低，实现也就比较容易和简单。当观测器的维数比原系统的维数少时，称为降维状态观测器。
5.4.3 分离定理
考虑如下 n 维线性定常系统，对能控、能观测的被控系统，若状态不可量测，利用状态观测器可以解决其状态重构问题，使状态反馈成为可能。可是加入观测器后是否会影响状态反馈矩阵的设计？状态反馈是否会影响观测器的极点？为此进一步分析具有观测器的状态反馈系统。若系统是能控能观测的，则可重构系统的状态变量。
5.4 状态重构与状态观测器的设计：采用由观测器重构的状态，取反馈控制律为 u=v−Kx̂，带全维状态观测器的状态反馈闭环系统结构如课件图示。
5.4 状态重构与状态观测器的设计：将真实状态 x(t) 和观测状态的差定义为误差，则闭环系统的状态方程为……；将误差向量代入观测器的状态误差方程，合并上两式得到增广系统方程。
5.4 状态重构与状态观测器的设计：带状态观测器的状态反馈系统的特征方程为 det[sI−A+BK]·det[sI−A+GC]=0。由状态观测器构成的状态反馈系统，其特征多项式是矩阵 (A−BK) 和 (A−GC) 的特征多项式的乘积，即状态反馈的闭环极点和状态观测器的极点相互独立、互不影响，可分别进行设计。如果系统的维数为 n，在采用全维状态观测器的情况下整个闭环系统为 2n 维。
5.4 状态重构与状态观测器的设计：考虑完全能控且完全能观测的系统，对基于观测状态的状态反馈控制，把误差向量代入方程得到闭环动态方程。
5.4 状态重构与状态观测器的设计：系统的特征方程表明，观测状态反馈控制系统的闭环极点由极点配置设计单独决定的极点和观测器设计单独决定的极点组成。这意味着极点配置设计和观测器设计相互独立，可分别设计后组合成观测状态反馈控制系统。若被控对象阶次为 n，则采用全维观测器时观测器也为 n 阶，整个闭环系统的特征方程为 2n 阶。
定理 5-5 分离定理：若被控系统 Σ0(A,B,C) 是状态能控能观测的，则用状态观测器重构状态形成状态反馈时，其闭环系统的极点配置和观测器的设计可分别独立进行，即状态反馈控制矩阵 K 和观测器反馈矩阵 G 的设计可分别独立进行。分离定理同样适用于降维状态观测器。
按系统的性能指标要求通过状态反馈确定闭环极点；观测器极点的选取通常要求观测器的响应速率比系统响应速率快一些，一个经验法则是快 2~5 倍，所以观测器极点位于期望闭环极点左侧，系统闭环极点在响应中起主导作用。实际应用中要避免使观测状态过于快速收敛到真实状态，因为噪声影响和灵敏性的限制也要考虑。
例 5-4：设被控系统的传递函数为……，试用状态反馈将闭环极点配置在 −4±j6，并设计全维状态观测器，设观测器极点为 −10、−10。
解：① 由传递函数可知系统具有能控能观测性，因而存在状态反馈控制器及状态观测器，根据分离定理可分别进行设计；② 求状态反馈阵 K，为方便观测器设计可直接将系统的状态空间描述写为能观测标准形。
5.4 状态重构与状态观测器的设计：令 K=[k2 k1]，得闭环系统矩阵，解之得闭环系统的特征多项式；期望的特征多项式为……，令两者系数相等即得 K。
5.4 状态重构与状态观测器的设计：③ 求全维状态观测器。令期望观测器的特征多项式与观测器实际特征多项式相等，得 G 的各元素。
Summary of State-Space Design Method：1. 基于极点配置与观测器相结合的状态空间设计方法是强有力的时域方法，只要被控对象完全状态能控，期望闭环极点就可任意配置；2. 若并非所有状态变量都能测量，必须引入观测器估计不可测状态；3. 用极点配置方法设计系统时，需要考虑若干组不同的期望闭环极点并比较响应特性后择优；4. 观测器控制器的带宽一般较大，因为观测器极点选得远离虚轴，大带宽会通过高频噪声从而引起噪声问题。
Summary of State-Space Design Method：5. 加入观测器一般会降低系统的稳定裕度，某些情况下观测器控制器可能在右半平面有零点（非最小相位），或在右半平面有极点（控制器本身不稳定），此时所设计系统可能成为条件稳定系统；6. 用极点配置加观测器方法设计系统时，建议用频率响应法校验稳定裕度（相位裕度和增益裕度），若稳定裕度较差，当数学模型存在不确定性时系统可能变为不稳定。
Summary of State-Space Design Method：7. 对于 n 阶系统，经典设计方法（根轨迹法和频率响应法）得到的是低阶补偿器（一阶或二阶）；而基于观测器的控制器对 n 阶系统是 n 阶（若用最小阶观测器则为 m 阶），所设计系统将成为 2n 阶。由于低阶补偿器比高阶便宜，设计者应先尝试经典方法，若找不到合适的补偿器再尝试本章的极点配置加观测器设计方法。
5.5 多变量系统的解耦控制
多变量系统即多输入多输出系统，多变量系统的耦合影响通常使系统的性能变差，使控制任务难以实现。对于多输入多输出系统，所谓耦合关系是指输入、输出之间的相互影响、相互关联的关系。
解耦控制，简单说就是对一个互相关联耦合的多变量被控系统，采用某种方法使其变为“一对一”的关系，即一个输出量只受一个输入量控制，而与其它的输入量无关。本节仅介绍解耦控制的基本思想和两种较常用的综合方法。
5.5.1 多变量系统的耦合关系
设多输入（m 维）多输出（m 维）被控系统的状态空间描述为……，输出与输入之间的关系可用传递函数阵表示；将上式展开，每一个输出量都受到所有输入量的作用。
5.5.2 解耦控制的基本思想
从多变量系统的耦合关系可以看出，控制回路之间的耦合关系是由于控制系统中的子传递函数造成的，yi 不仅受到 ui 的作用，而且还受到其它输入的作用。解耦控制基本思想：通过采用适当的控制律，使系统的闭环传递函数阵为对角阵；解耦后的系统，由原来的 m 维输入 m 维输出的多输入多输出系统化为 m 个单输入单输出系统。
5.5.3 两种常用的解耦控制方法
串联补偿器解耦：设耦合的被控系统的输入输出信号均为 m 维，其传递函数矩阵为 Gp(s)。串联补偿器解耦是在其前向通路串入补偿器 Gc(s)，使闭环系统的传递函数矩阵成为对角矩阵，其中解耦补偿器 Gc(s) 为 m×m 维矩阵。
5.5 多变量系统的解耦控制：可求出闭环系统的输出，其中 GB(s) 为闭环传递函数阵。令引入 Gc(s) 后 GB(s) 成为对角线阵，即用 [I+Gp(s)Gc(s)] 左乘上式，考虑到 GB(s) 的关系，可求出解耦补偿器的传递函数矩阵。
5.5 多变量系统的解耦控制
状态反馈解耦：设完全能控的多输入（m 维）多输出（m 维）线性定常系统为……，选取闭环控制律为状态反馈加输入变换的形式，系统传递函数矩阵为……
问题：如何设计状态反馈矩阵 K 和输入变换矩阵 F，使系统从输入 v 到输出 y 的传递函数阵是解耦的。
作业
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