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本课件先给出平衡状态与稳定、渐近稳定、不稳定等定义，再介绍李亚普诺夫第一方法的特征值判据与非线性系统的线性化处理，重点讲解第二方法中Lyapunov函数的构造与判别定理，并用于非线性系统与线性定常连续、离散系统的稳定性分析及系统校正。
4 控制系统的稳定性—Lyapunov 第二方法（重点）
引言：1892 年，俄国数学家李亚普诺夫（Lyapunov）在其发表的论文《运动稳定性的一般问题》（The general problem of motion stability）中提出了两种用于分析由常微分方程描述的系统稳定性的方法：线性化方法和直接法（linearization method and direct method）。
线性化方法又称第一方法或间接法，基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对于线性定常系统，只需解出特征方程的根即可作出稳定性判别；对于一般非线性系统，则可通过线性化处理，再根据线性化方程的特征根判断稳定性。
引言：直接法又称第二方法，它通过构造一个称之为 Lyapunov 函数的纯量函数来判别系统的稳定性，是分析线性和非线性、时变和定常动力学系统稳定性的一种普遍方法，而且还可以有效地应用于系统的分析和综合。
直接法不限于局部运动，通过构造类能量标量函数并考察其随时间的变化来确定非线性系统的稳定性，已成为非线性系统分析与设计最重要的工具。
4.1.1 平衡状态（Equilibrium states）
动力学系统的平衡状态是满足 f(xe)=0 的那一类状态，用 xe 表示。
4.1.2 Lyapunov 意义下的稳定性
系统受扰动作用后将偏离其平衡状态，随后系统可能出现下列情况：
Lyapunov 把上述三种情况分别定义为稳定、渐近稳定和不稳定。以平衡状态为圆心、半径为 k 的球域用欧几里德范数表示。
定义 4-1：对于任意给定的每个实数 ε>0，都对应存在另一实数 δ(ε)>0，使得一切满足不等式 ‖x0−xe‖<δ 的任意初始状态 x0 出发的系统响应，在所有时间内都满足 ‖x−xe‖<ε，则称平衡状态在 Lyapunov 意义下是稳定的。
几何含义：给定以任意正数为半径的球域，当 t 无限增大时，从球域内出发的轨迹总不越出球域，那么平衡状态是 Lyapunov 意义下稳定的。
（2）渐近稳定（asymptotic stability）
定义 4-2：若平衡状态是 Lyapunov 意义下稳定的，并且当 t 趋近于无穷大时 x(t) 趋近于 xe，则称平衡状态渐近稳定。
（3）大范围渐近稳定：定义 4-3 如果平衡状态是渐近稳定的，且其渐近稳定的最大范围是整个状态空间，那么平衡状态就称为大范围渐近稳定（asymptotic stability in the large）。
（4）不稳定（instability）
定义 4-4：如果对于某一实数，不论 δ 取得多么小，在球域内总存在一个初始状态 x0，由此出发的轨迹最终越出球域，则称平衡状态不稳定。
很明显，大范围渐近稳定的必要条件是整个状态空间中只存在一个平衡状态。对于线性系统，如果其平衡状态是渐近稳定的，那么它一定是大范围渐近稳定的。
4.2 李亚普诺夫第一方法
Lyapunov 第一方法又叫间接法，基本思路是解系统方程，然后根据方程的解判别系统的稳定性：
定理 4-1：线性连续定常系统渐近稳定的充分必要条件是矩阵 A 的所有特征值均具有负实部。
例 4-1：试分析如下系统的稳定性。解：矩阵 A 的特征方程与特征值为……，故系统不是渐近稳定的。
4.2 李亚普诺夫第一方法
以上研究的是系统平衡状态的稳定性，也称系统内部的稳定性；从工程意义上看，往往更重视系统的输入输出稳定性。
例 4-2：试分析系统的输入输出稳定性。解：系统的传递函数为……，由于系统传递函数的极点位于 S 的左半平面，故系统是输入输出稳定的；这是因为具有正实部的极点被系统的零点对消了，而在系统的输入输出特性中没有表现出来。
结论：若系统是渐近稳定的，则它也是输入输出稳定的；若系统是输入输出稳定的，且又是能控能观测的，则系统渐近稳定。
4.2 李亚普诺夫第一方法
（2）非线性系统的稳定性分析：设系统在零输入下的状态方程为……，f(x) 是与 x 同维数的向量函数，对状态向量 x 连续可微。将非线性向量函数 f(x) 在平衡状态附近展开成泰勒级数，其中含雅可比（Jacobian）矩阵；引入偏差向量即可导出系统的线性化方程，或称一次近似式。
4.2 李亚普诺夫第一方法
Lyapunov's linearization method：若线性化系统严格稳定（A 的全部特征值严格位于左半平面），则平衡点渐近稳定；若线性化系统不稳定（至少有一个特征值严格位于右半平面），则平衡点不稳定；若线性化系统临界稳定（至少一个特征值在 jω 轴上），则无法由线性近似得出结论。
例 4-3：描述振荡器电压产生的 Van der Pol 方程为……，试确定系统渐近稳定 Q 的取值范围。
解：① 令状态变量，上式可化为一阶方程组，显然这是一个非线性方程，其平衡状态 xe 为原点；② 将状态方程线性化，求得雅可比矩阵 A，其特征方程为……。根据 Lyapunov 第一方法，若原非线性系统平衡状态 xe 是渐近稳定的，则要求相应系数为负，由此得到 Q 的取值范围。
4.3 李亚普诺夫第二方法
Lyapunov 第二方法又称直接法，它不必通过对运动方程的求解而直接确定系统平衡状态的稳定性，建立在用能量观点分析稳定性的基础上。
Lyapunov 第二方法就是用 V(x) 和 V̇(x) 的正负来判别系统的稳定性：只要能找到一个正定的标量函数 V(x)，而 V̇(x) 是半负定的，那么系统就是稳定的，称 V(x) 为系统的一个 Lyapunov 函数。
4.3.1 预备知识
（1）标量函数 V(x) 的符号性质：设 V(x) 为由 n 维矢量 x 所定义的标量函数，且在 x=0 处恒有 V(x)=0。对域中任何非零矢量 x：
4.3 李亚普诺夫第二方法
（2）二次型标量函数（Quadratic forms）：V(x)=x^T·P·x，其中 P 为实对称矩阵，其各阶主子行列式（successive principal minors）为……。
4.3 李亚普诺夫第二方法：二次型函数 V(x) 的符号性质可用赛尔维斯特准则（Sylvester's criterion）来判断：
Example：Determine whether the following quadratic form is negative definite. 将给定二次型 Q 写成矩阵形式，应用赛尔维斯特准则，结论为该二次型是负定的。
4.3 李亚普诺夫第二方法
设系统的状态方程为 ẋ=f(x)，x 是系统的状态变量，若标量函数 V(x) 可微，则它对时间 t 的导数为 V̇(x)。
定义：如果在一个球域内，函数 V(x) 正定且具有连续的偏导数，它沿着系统解对时间的导数是半负定的，则称 V(x) 是系统的一个 Lyapunov 函数。
Lyapunov function：若在球域 BR0 内函数 V(x) 正定且具有连续偏导数，并且它沿系统任一状态轨迹对时间的导数负半定，则 V(x) 称为该系统的 Lyapunov 函数。
定理 4-3：设系统的状态方程为……，xe＝0 是系统唯一的平衡状态。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 V(x)，并且满足下列条件：
例 4-4：非线性系统的状态方程为……，xe=0 是其唯一的平衡状态，试判别平衡状态 xe 的稳定性。
解：取标量函数 V(x)，显然 V(x) 是正定的；将状态方程代入求导得 V̇(x) 是负定的，函数满足定理 4-3 的条件①和②，则系统的平衡状态是渐近稳定的。由于当 ‖x‖→∞ 时 V(x)→∞，满足条件③，所以系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。
例 4-5：设系统的状态方程为……，试确定系统平衡状态的稳定性。解：求得原点 (0,0) 为给定系统的唯一平衡状态。若仍取标量函数为二次型，则 V̇(x) 不是负定的而是半负定的，因此所选 V(x) 不满足定理 4-3 的条件；现另选 V(x)，显然它是正定的，且 V̇(x) 是负定的，所以该 V(x) 是系统的一个 Lyapunov 函数，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的，且为大范围渐近稳定。
4.3 李亚普诺夫第二方法：定理应用需要注意两点：
4.3 李亚普诺夫第二方法
例 4-6：设系统的状态方程为……，试确定系统平衡状态的稳定性。解：原点为唯一平衡状态。选取二次型标量函数为 Lyapunov 函数，则 V̇ 为半负定的，故系统的平衡状态是 Lyapunov 意义下稳定的。进一步分析 V̇ 是否恒为零：若假设 V̇ 恒等于零，必然要求 x2 恒为零，而这又要求 x1 恒为零；但从状态方程可知此时必须满足特定条件，这表明 V̇ 不恒等于零，所以系统的平衡状态渐近稳定，且大范围渐近稳定。
例 4-7：设系统的状态方程为……，试确定系统平衡状态的稳定性。解：显然原点为平衡状态。选取正定的标量函数，则 V(x) 为正定的，又 V̇(x) 也为正定的，故定理 4-5 的条件均满足，因此系统的平衡状态是不稳定的。
4.3.3 几点说明：应用 Lyapunov 第二方法分析系统稳定性的关键在于如何找到 Lyapunov 函数 V(x)，然而 Lyapunov 稳定性理论本身并没有提供构造 Lyapunov 函数的一般方法。
4.4.1 Krasovskii 方法（雅可比矩阵法）
在线性系统中，如果平衡状态是局部渐近稳定的，那么该平衡状态一定也是大范围渐近稳定的；而在非线性系统中，稳定性却可能只具有局部性质。
两种构造非线性系统 Lyapunov 函数的方法：（1）克拉索夫斯基（Krasovskii）方法；（2）变量梯度法（Variable-gradient method）。Krasovskii 用状态向量 x 的导数来构造 Lyapunov 函数，即令 V(x)=ẋ^T·P·ẋ，其中 P 为对称正定矩阵。
4.4 非线性系统的 Lyapunov 稳定性分析：为验证 V̇ 是否为负定，V(x) 对时间 t 求导数，考虑 Jacobian 矩阵整理得 V̇=ẋ^T·Q·ẋ；可以证明，若 Q 是负定的，则 V̇ 也是负定的。
4.4 非线性系统的 Lyapunov 稳定性分析
结论：对于非线性系统，若选取正定对称矩阵 P，且使 Q 为负定的，则系统在 xe=0 处是渐近稳定的；如果 V(x) 径向无界，则系统在 xe=0 处是大范围渐近稳定的。
例 4-7：试用 Krasovskii 方法判别下列系统在原点处是大范围渐近稳定的。解：按照 Krasovskii 方法选取 P=I，故有相应 Q 矩阵。
4.4 非线性系统的 Lyapunov 稳定性分析：由 Sylvester 判据知 Q 是负定的，则系统的 Lyapunov 函数为……，显然当 ‖x‖→∞ 时 V(x)→∞，所以该系统在原点处是大范围渐近稳定的。
当非线性特性能用解析式表达且系统阶次不太高时，用 Krasovskii 方法分析这类非线性系统的渐近稳定性比较方便。它是充分条件，而非必要条件。
4.4.2 变量梯度法
由 D. G. Shultz 和 J. E. Gibson 在 1962 年提出，主要思路是先假设一个旋度为零的梯度 grad V，然后根据它再确定 V(x)。假设非线性系统的平衡状态 xe=0 是渐近稳定的，则其 Lyapunov 函数 V(x) 存在，且一定具有唯一的梯度 grad V；若 V(x) 是 x 的显函数而非时间 t 的显函数，则 V(x) 对时间的导数为 V̇=(grad V)^T·ẋ。
4.4 非线性系统的 Lyapunov 稳定性分析：写成矩阵形式后，先假设 grad V 为某一形式，并根据 V̇ 为负定的要求确定 grad V，进而确定其中的未定系数，然后由这个 grad V 积分导出 V(x)。
4.4 非线性系统的 Lyapunov 稳定性分析：如果求出的 V(x) 是正定的，这就是给定系统所要构造的 Lyapunov 函数。如果 V(x) 的梯度向量 grad V 的线积分与路径无关，那就必须要求 grad V 的旋度为零，即要求 grad V 满足旋度方程。对于一个 n 阶系统，应有 n(n−1)/2 个旋度方程，如 n=3 则有三个旋度方程。
4.4 非线性系统的 Lyapunov 稳定性分析：如果非线性系统的平衡状态 xe=0 是渐近稳定，则可按如下步骤求得 Lyapunov 函数 V(x)：
例 4-8：试用变量梯度法判定非线性系统在原点处是渐近稳定的。
解：设所求 Lyapunov 函数 V(x) 的梯度为如下形式，于是 V(x) 的导数为……；试探地选取参数，则 V̇ 是负定的，将其代入梯度公式。
4.4 非线性系统的 Lyapunov 稳定性分析：注意到满足旋度方程，所以由这个 Lyapunov 函数可以说明在相应范围内系统是渐近稳定的。为了说明由上式所确定的 Lyapunov 函数不是唯一的，重新选择梯度表达式中的未定系数。
4.4 非线性系统的 Lyapunov 稳定性分析：于是 V̇ 在整个状态平面上是负定的。此时由于满足旋度方程，V(x) 为……；显然当 ‖x‖→∞ 时 Lyapunov 函数正定，系统的原点在更大范围内是渐近稳定的。系统渐近稳定的范围比前面的大，因此这次构造的 Lyapunov 函数优于前者。
4.5.1 线性连续定常系统的稳定性分析
线性连续定常系统的状态方程中 x 为 n 维状态向量，A 是 n×n 阶常数矩阵。假设 A 是非奇异的，那么唯一的平衡状态在原点。所选的 Lyapunov 函数为二次型函数 V(x)=x^T·P·x，其中 P 为 n×n 维实对称正定矩阵。
V(x) 对时间的导数为 V̇=−x^T·Q·x，欲使系统在原点处渐近稳定，则要求 V̇ 是负定的，因此必须有 A^T·P+P·A=−Q，式中 Q 为正定对称矩阵。
4.5 线性定常系统的 Lyapunov 稳定性分析：为判断线性定常系统在平衡状态的稳定性，也可首先指定一个正定的矩阵 Q，然后检验由方程所确定的 P 是否也是正定的。这样做比先指定 P 再检验 Q 方便得多。但要注意，P 为正定是一个充分必要的条件。
定理 4-6：线性连续定常系统中 x 是 n 维状态向量，A 是 n×n 阶常数非奇异矩阵。系统在平衡状态 xe=0 处大范围渐近稳定的充分必要条件是：给定一个正定对称矩阵 Q，存在一个正定对称矩阵 P 满足 A^T·P+P·A=−Q，上式又称为 Lyapunov 方程；标量函数 V(x)=x^T·P·x 是系统的一个 Lyapunov 函数。
Theorem 4-6：系统平衡状态 xe=0 大范围渐近稳定的充要条件是，给定任意正定实对称矩阵 Q，存在正定实对称矩阵 P 使得 A^T·P+P·A=−Q 成立，标量函数 V(x)=x^T·P·x 是该系统的 Lyapunov 函数。
4.5 线性定常系统的 Lyapunov 稳定性分析：应用这个定理时应注意以下几点：
4.5 线性定常系统的 Lyapunov 稳定性分析：定理给出了构造线性定常系统渐近稳定的李氏函数的通用方法，判断的一般步骤为：
例 4-9：设二阶线性定常系统的状态方程为……，显然原点是系统的平衡状态，试确定该系统平衡状态的稳定性。解：设 Lyapunov 函数为二次型，矩阵 P 由 Lyapunov 方程确定。
4.5 线性定常系统的 Lyapunov 稳定性分析：将矩阵方程展开可得联立方程组，解方程组求得 P 的各元素；下面检验矩阵 P 的正定性，P 的各阶主子行列式均为正，P 是正定的。因此系统的平衡状态大范围渐近稳定，并得到系统的一个 Lyapunov 函数。
例 4-10：设系统的状态方程为……，试确定系统增益 K 的稳定范围。解：原点是系统唯一的平衡状态。假设选取半正定的实对称矩阵 Q 为……，为了说明这样选取 Q 半正定是正确的，尚需证明 V̇ 沿任意轨迹不恒等于零。
4.5 线性定常系统的 Lyapunov 稳定性分析：由于 V̇ 为零的条件对应特定状态，但由状态方程可推知此时只有在原点即平衡状态处才使 V̇ 为零，而沿任一轨迹均不会恒等于零，因此允许选取 Q 为半正定的。根据 Lyapunov 方程可解出矩阵 P，为使 P 为正定矩阵，其充要条件给出 K 的取值范围，这表明在该范围内系统的原点是大范围渐近稳定的。
4.5.2 线性定常离散系统的稳定性分析
设线性定常离散系统状态方程中 G 为非奇异矩阵，系统的平衡状态是原点。假设取如下正定二次型函数 V(x)=x^T(k)·P·x(k)，计算差分后令 G^T·P·G−P=−Q，上式称为离散系统的 Lyapunov 方程。
定理 4-7：线性定常离散系统中 x 是 n 维状态向量，G 是 n×n 阶常数非奇异矩阵。系统平衡状态渐近稳定的充分必要条件是：给定任一实正定对称矩阵 Q，存在一个实正定对称矩阵 P 使得 G^T·P·G−P=−Q 成立，V(x)=x^T·P·x 是系统的一个 Lyapunov 函数。实际应用中通常取 Q=I；如果 V̇ 不恒为零，矩阵 Q 也可以取为半正定。
Theorem 4-7：系统平衡状态 xe=0 大范围渐近稳定的充要条件是，给定任意正定实对称矩阵 Q，存在正定实对称矩阵 P 使 G^T·P·G−P=−Q 成立。若 V̇ 沿任一解序列不恒为零，则 Q 可取为半正定。
4.5 线性定常系统的 Lyapunov 稳定性分析：判断的一般步骤：
例 4-10：设线性定常离散系统为……，试确定系统在平衡点处渐近稳定的条件。解：选 Q=I 代入离散 Lyapunov 方程求解。
4.5 线性定常系统的 Lyapunov 稳定性分析：展开化简整理后解出 P 的各元素。要使 P 为正定的实对称矩阵，必须满足相应不等式，可见只有当系统的极点落在单位圆内时，系统在平衡点处才是大范围渐近稳定的。显然，这个结论与经典理论中采样控制系统稳定判据分析的结论是一致的。
4.6.1 线性定常系统的校正
例 4-11：设待校正系统的状态方程为……，试用 Lyapunov 第二方法考虑其校正方案，使系统的平衡状态成为渐近稳定的。解：设选取 Lyapunov 函数为二次型，将 V(x) 对时间求导数。
4.6 Lyapunov 第二方法在线性系统设计中的应用：由于除原点外 V̇ 不恒等于零，因此要使 V(x) 成为该系统的一个 Lyapunov 函数只需 V̇ 为半负定，因此要求控制量为 u=−K·x2，式中 K 为正常数。上述控制规律就是我们所熟知的速度反馈，其校正后的系统状态变量图如课件图示。
二、估计线性系统动态响应的快速性
将 Lyapunov 函数 V(x) 看作是状态 x 到系统平衡状态的距离尺度，V̇(x) 表征状态 x 向平衡状态运动的速度。当系统的平衡状态是状态空间的原点时，比值 −V̇(x)/V(x) 可以作为在原点的某一邻域内系统向平衡状态运动的快速性指标。
对于一个渐近稳定的系统来说，具有负定 V̇ 的 Lyapunov 函数是可以找到的，于是渐近稳定系统的该比值总是正值，此值越大系统状态向原点收敛的速度就越快。考虑在不同的 x 下将有不同的比值，为此取其中最小的用来估计动态响应的快速性。
Concluding comments：Lyapunov 函数具有以下性质：(a) 它是标量函数；(b) 至少在原点的邻域内正定；(c) 它对时间的导数非正；(d) 对给定系统它不是唯一的。Lyapunov 第二方法的优点在于能对线性和非线性系统给出大范围的稳定性信息。
Concluding comments：若能在包含状态空间原点的区域内找到 Lyapunov 函数，则原点的稳定性或渐近稳定性即得验证。若系统的原点是稳定的或渐近稳定的，则具有所需性质的 Lyapunov 函数一定存在，尽管找到它可能相当困难，这一困难是基于 Lyapunov 第二方法作稳定性分析的主要缺陷。此外，Lyapunov 函数还可用于简单系统的暂态响应分析。
作业：4-1；4-2；4-3（2）；4-4（a）；4-6；4-9。
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