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本课件系统讲解控制系统稳定性分析，说明稳定性的基本概念与充要条件，介绍劳斯、赫尔维茨代数判据与乃奎斯特判据的应用，并讨论稳定裕度与相对稳定性的评价方法。
第五章控制系统的稳定性分析：控制工程基础(第五章控制系统稳定性）
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课程内容与章节导览：本页列出本节主要条目。
5.1系统稳定性的基本概念
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5.2系统稳定的充要条件：系统稳定的充要条件到的传递函数
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为单位脉冲函数：设为单位脉冲函数
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系统稳定：如果系统稳定，应有即
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环特征方程式的根的实部控制系统：为系统闭环特征方程式的根的实部控制系统稳定的充分必要条件是：闭环特征方程式的根全部具有负实部系统特征根即闭环极点，故也可以说充要条件为极点全部在[ ]平面的左半面
次以及更高次的代数方程：五次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法（即由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根的方法）——阿贝耳定理
为系统的特征根基于方程式：为系统的特征根基于方程式的根与系数的关系
代数稳定性判据设系统特征方程为
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复数根与系数的关系：复数根与系数的关系
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特征方程的各项系数的符：（2）特征方程的各项系数的符号都相同。（1）特征方程的各项系数( =0，1，2，…， )。
要使全部特征根均具有负实部，必须满足：一般取正值，则上述两条件简化为——必要条件！
充要条件如果“劳斯阵列”中第一：充要条件：如果“劳斯阵列”中第一列所有项均为正，则系统稳定。劳斯阵列
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中实部为正的特征根数：其中实部为正的特征根数＝劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数
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控制系统的特征方程式为试应：例:设控制系统的特征方程式为试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性
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满足稳定的必要条件：劳斯阵列第一列中系数符号全为正，所以控制系统稳定。解：首先由方程系数可知满足稳定的必要条件。其次，排劳斯阵列
控制系统的特征方程式：例2设控制系统的特征方程式为试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。解：由方程系数可知已满足稳定的必要条件。
排劳斯阵列第一列系数改变符号2次，闭环系统的根中有2个实部为正，控制系统不稳定
二阶系统稳定的充要条件：二阶系统特征式为，劳斯表为故二阶系统稳定的充要条件是对于特征方程阶次低（ ≤3）的系统，劳斯判据可简化
三阶系统稳定的充要条件：三阶系统特征式为，劳斯表:故三阶系统稳定的充要条件是
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某反馈控制系统如下图所示：例设某反馈控制系统如下图所示，试计算使系统稳定的K值范围。解：系统闭环传递函数为
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三阶系统稳定的充要条件：特征方程为根据三阶系统稳定的充要条件，可知使系统稳定须满足故使系统稳定的K值范围为
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控制系统的闭环特征方程：例:设控制系统的闭环特征方程式为用劳斯判据判断稳定性。劳斯阵列表符号改变2次，2个正实根
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无正实根：无正实根，有虚根
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控制系统的闭环特征方程：例:设控制系统的闭环特征方程式为用劳斯判据判断稳定性。劳斯阵列表临界稳定
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赫尔维茨稳定性判据：×n行列式：赫尔维茨稳定性判据
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系统稳定的充要条件：系统稳定的充要条件：各阶主子行列式均& ;0即：……
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控制系统的特征方程式：例:设控制系统的特征方程式为试应用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。解：由方程系数可知满足稳定的必要条件。
各系数排成行列式
于故该系统稳定：由于故该系统稳定
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定性判据使用的多项式是系统：代数稳定性判据使用的多项式是系统闭环特征多项式
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劳斯判据的不足：劳斯判据的不足：•定性——较难从量上判断系统的稳定程度•必须知道系统的闭环传递函数Nyquist稳定判据根据开环频率特性判断闭环稳定性•对含有延迟环节的系统无效
乃奎斯特稳定性判据：1.a为复数C为顺时针方向
乃奎斯特稳定性判据
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顺时针包围原点：如果C包围a，则C’顺时针包围原点1圈；如果C不包围a，则C’不包围原点
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乃奎斯特稳定性判据要点：2.
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逆时针包围原点：如果C包围a，则C’逆时针包围原点1圈；如果C不包围a，则C’不包围原点
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绕原点顺时针绕原点：C包围z个零点， ’绕原点顺时针绕原点1圈，角度增量顺时针z圈
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绕原点逆时针：C包围1个极点， ’逆时针绕原点1圈C包围p个极点， ’绕原点逆时针p圈
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有m个零点，n个极点：有m个零点，n个极点，在[ ]平面上的C顺时针包围了其中z个零点和p个极点，——映射定理z–p圈。
则在[ ]平面上的C’顺时针包围原点
反馈控制系统开环传递函数闭环传递函数：反馈控制系统开环传递函数闭环传递函数
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时针包围原点的圈数：闭环稳定闭环传递函数右极点个数为0右零点个数为0 逆时针包围原点的圈数=开环右极点个数顺时针绕[ ]右半平面的曲线，经过的映射
包围原点的圈数：包围原点的圈数= ’( )包围-1点的圈数
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环右极点的个数：Nyquist稳定判据在[ ]平面作包围右半平面的D形曲线，如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围(－1,j0)点的圈数等于开环右极点的个数，则系统稳定。
——充要条件
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所示反馈控制系统：例:下图所示反馈控制系统，K为何值时稳定?只要K& ;0，稳定
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所示反馈控制系统·例下图所示反：例:下图所示反馈控制系统，K为何值时稳定? & ;1，不稳定； & ;1，稳定
某反馈控制系统开环传递函数：例:某反馈控制系统开环传递函数为判断当K=10和40时的稳定性
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开环传递函数：如果开环传递函数在虚轴上有极点或零点
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开环没有右极点：开环没有右极点，乃氏图不包围(-1,j0)，稳定
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乃氏图逆时针包围：开环右极点有1个，乃氏图逆时针包围(-1,j0)1圈，稳定
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乃氏图顺时针包围：从原点右边绕，开环右极点个数为0；乃氏图顺时针包围(-1,j0)2圈，不稳定
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某系统开环传递函数：例：某系统开环传递函数为
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从原点右边绕：从原点右边绕，顺时针2圈，不稳定
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分析延时系统的稳定性：延时环节串联在前向通道K满足什么条件时系统闭环稳定？
应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性
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应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性要点：例如
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环右极点的个数：Nyquist稳定判据在[ ]平面作包围右半平面的D形曲线，如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围(－1,j0)点的圈数等于开环右极点的个数，则系统稳定。
(1)开环右极点个数如何判断？——劳斯判据(2)开环在虚轴上有零极点？
——绕道(3)开环无右极点——不包围(4)乃氏判据也适用于有延时环节的情况
延时环节并联在前向通道：延时环节并联在前向通道
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悬臂梁式主轴的工作情况：例：下图所示为机床（如镗床，铣床）的长悬臂梁式主轴的工作情况，由于主轴刚性低，常易产生振动，下面分析其动态特性
削力产生的变形量：（ ）——切削力； （ ）——主轴前端刀具处因切削力产生的变形量； ——主轴系统的当量粘性系数
——主轴系统的当量刚度。
1．机床主轴系统的传递函数将主轴简化为集中质量m作用于主轴端部，令主轴端部的运动微分方程为其传递函数为
应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性
闭环系统的特征方程：其闭环系统的特征方程为
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应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性：则，即令这样一来就将乃氏判据中开环频率特性的极坐标是否包围（-1，j0）点的问题归结为Gm（jω）的极坐标轨迹是否包围Gc(jω）的极坐标轨迹的问题。
下面分别作出Gm（jω）和Gc(jω）的极坐标轨迹
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曲线③曲线①：曲线③曲线①
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应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性
应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性
伯德图：单位圆→0dB线
由伯德图判断系统的稳定性
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伯德图判断系统的稳定性：由伯德图判稳定性设0型或I型系统开环特征方程有p个右根，且开环静态放大倍数大于零，如果在所有L(ω)≥0频率范围内，相频特性曲线φ(ω)在(-π)线上正负穿越之差为p/2次，则闭环系统稳定。
乃氏图从第三象限穿越负实轴到第二象限，负穿越;从第二象限穿越负实轴到第三象限，正穿越。
如果ω=0时，φ(ω)=-π，乃氏图向第三象限去，半次正穿越，向第二象限去，半次负穿越
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图（），已知p＝0：图（ ），已知p＝0，即开环无右特征根，在L（ω）＞0范围内，正负穿越之差为0，系统闭环稳定。
图（ ），已知开环传递函数有一个右极点， =1，在L（ω）＞0的频率范围内，半次正穿越，系统闭环稳定。
图（ ），已知p＝2，在L（ω）＞0的范围内，正负穿越之差为1-2=-1≠2／2，系统闭环不稳定。
图（ ），已知p＝2，在L（ω）＞0的范围内，正负穿越之差为2-1＝1=2／2，系统闭环稳定
伯德图判断系统的稳定性：如果系统闭环特征根均在s左半平面，且和虚轴有一段距离，则系统有一定的稳定裕量。
用劳斯判据定性→定量虚轴左移σ，令z= +σ，将s= -σ代入系统特征式，得到z的方程式，采用劳斯判据，可知距离虚轴σ以右是否有根。
控制系统的相对稳定性
令z=+1，即s=–1，代入系统特征式：例：令z= +1，即s= –1，代入系统特征式，即z的多项式系数无相反符号，劳斯阵列第一列未变号，系统在s=-1以右没有根。
实际4个根为-1,-2,-3,-4
用Nyquist图如果系统稳定：用Nyquist图如果系统稳定，Nyquist图离(-1, j0)越近，相对稳定性越差
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剪切频率相位裕量增益裕量：剪切频率相位裕量增益裕量
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增益裕量也可用分贝数表示：增益裕量也可用分贝数表示
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开环传递函数为求K=10：例：开环传递函数为求K=10、100时的相位裕量、幅值裕量。 =10作图法计算法
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=100作图法计算法：=100作图法计算法
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相关matlab函数nyqu：相关matlab函数nyqu s1 = ([40],[0.005 0.15 1 0])s1 =zpk([],[0-10-20],8000)
求稳定裕量：[ , ,Wcg,Wcp] =mar Warning: The closed-loop system unstable.& ; lti.margin 89Gm =7.5000e-001Pm =-7.5156e+000Wcg =1.4142e+001Wcp =1.6259e+001求稳定裕量Gm——增益裕量Pm——相位裕量Wcg——相位-π处的频率Wcp——剪切频率
课件编著者署名：本页列出本节主要条目。
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