页数：226页文件大小：1.78 MB来源： 控制工程基础ppt课件
本课件围绕控制系统动态数学模型的建立展开，从机械平移、旋转系统与电路网络等典型元件列写微分方程，介绍非线性模型线性化的泰勒级数法与切线法，并系统讲解拉氏变换、传递函数与典型环节。
第二章控制系统的动态数学模型：控制工程基础(第二章）数学模型
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课程内容与章节导览：本页列出本节主要条目。
机电系统的传递函数及方块图：本章要熟悉下列内容： 建立基本环节（质量-弹簧-阻尼系统、电路网络和电机）的数学模型及模型的线性化重要的分析工具：拉氏变换及反变换经典控制理论的数学基础：传递函数控制系统的图形表示：方块图及信号流图建立实际机电系统的传递函数及方块图系统数学模型的MATLAB实现
控制系统的数学模型：建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，是机电控制工程的基本方法。
如果将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础
一、系统数学模型的基本概念：一、数学模型的基本概念系统的数学模型数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型
之间关系的微分方程：动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。对于给定的动态系统，数学模型表达不唯一。
工程上常用的数学模型包括：微分方程，传递函数和状态方程。对于线性系统，它们之间是等价的
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传递函数结构图：数学模型的形式时间域：微分方程差分方程状态方程（一阶微分方程组） 复数域：传递函数结构图频率域：频率特性
控制系统的受控对象是机：机电控制系统的受控对象是机械系统。在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大。
在集中参数法中，我们将前一类构件的弹性忽略将其视为质量块，而把后一类构件的惯性忽略而视为无质量的弹簧。
这样受控对象的机械系统可抽象为质量-弹簧-阻尼系统。
二、控制系统的运动微分方程
进给传动装置示意图：进给传动装置示意图及等效力学模型
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组合机床动力滑台及其力学模型：组合机床动力滑台及其力学模型
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系统微分方程的列写：控制系统微分方程的列写机械系统机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素： 质量参考点
变形量不同：弹簧对于弹簧，受力相同，变形量不同
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一、系统数学模型的基本概念要点：阻尼
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以消除重力的影响：机械平移系统m 00 机械平移系统及其力学模型静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响
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式中，、、k通常均为常数：式中， 、 、k通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。
显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量
阻尼系统系统运动方程为一阶常系数微分方程：弹簧－阻尼系统 0 kD弹簧-阻尼系统系统运动方程为一阶常系数微分方程
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粘性阻尼系数柔性轴：机械旋转系统k 00 D粘性液体齿轮JJ—旋转体转动惯量
—扭转刚度系数； —粘性阻尼系数柔性轴
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电路系统电阻电路系统：电路系统电阻电路系统三个基本元件：电阻、电容和电感。
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电容电感：电容电感
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无源电路网络：- -C无源电路网络LR - -C无源电路网络
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一般R、、C均为常数：一般R、 、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。若L=0，则系统简化为
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有源电路网络：有源电路网络+ a即
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载流线圈作用的定律：电动机电磁感应定律基尔霍夫定律牛顿第二定律磁场对载流线圈作用的定律
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流电动机的控制系统的动：为电枢控制式直流电动机的控制系统的动态数学模型。当电枢电感较小时，通常可忽略不计，系统微分方程可简化为
建立数学模型的一般步骤：建立数学模型的一般步骤分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量
从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程
消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列
本质不同的系统：小结物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法）。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础
微分方程的阶次等于元件：通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元件（惯性质量、弹性要素、电感、电容等）的个数
因为系统每增加一个独立储能元件，其内部就多一层能量（信息）的交换。 系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数，与系统的输入无关
方程描述的系统：线性系统与非线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统
如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统； 线性系统线性是指系统满足叠加原理，即： 可加性： 齐次性：或
方程描述的系统·实际的系统通：用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。 非线性系统为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。
实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立
系统微分方程的一般形式式：线性系统微分方程的一般形式式中，a1，a2，…，an和b0，b1，…，bm为由系统结构参数决定的实常数， ≤
三、非线性系统数学模型：三、数学模型线性化线性化问题的提出线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系统工作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程进行处理。
非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻尼力与速度的平方有关；齿轮啮合系统由于间隙的存在导致的非线性传输特性
具有铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等
线性化的提出：线性化的提出线性系统是有条件存在的，只在一定的工作范围内具有线性特性
非线性系统的分析和综合是非常复杂的； 对于实际系统而言，在一定条件下，采用线性化模型近似代替非线性模型进行处理，能够满足实际需要
系统数学模型的线性化：非线性系统数学模型的线性化泰勒级数展开法函数y= 在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为
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增量方程的数学含义：增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
对多变量系统，如： = (x1,x2)，同样可采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程
静态方程：增量方程：静态方程：其中
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是泰勒级数法的特例：滑动线性化——切线法0xy= y0x0 ’ y非线性关系线性化A线性化增量方程为： '= 切线法是泰勒级数法的特例
性化微分方程的建立：系统线性化微分方程的建立步骤确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程
消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程
根据牛顿第二定律：在点附近泰勒展开实例：单摆运动线性化解：根据牛顿第二定律：将非线性项
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阀控液压缸：实例：阀控液压缸
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液压腔工作腔流动连续性方程：液压腔工作腔流动连续性方程为：液压腔力平衡方程为
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系统的函数关系为简：线性化方法：假设变量相对于某一工作状态（平衡点）偏差很小。设系统的函数关系为简写为。
如果系统的工作平衡点为，则方程可以在点附近台劳展开如果很小，可以忽略其高阶项，因此上述方程可写成增量方程形式其中
线性化处理的注意事项：线性化处理的注意事项线性化方程的系数与平衡工作点的选择有关； 线性化是有条件的，必须注意线性化方程适用的工作范围
某些典型的本质非线性，如继电器特性、间隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作为非线性问题处理
近似特性曲线真实特性：inout0近似特性曲线真实特性饱和非线性inout0死区非线性inout0继电器非线性inout0间隙非线性
任一有限区间上分段连续：设函数 ( 0)在任一有限区间上分段连续，且存在一正实常数 ，使得：则函数的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中： = + （ ， 均为实数）为复变数
四、拉氏变换和拉氏反变换
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不变系统的重要工具：Laplace（拉普拉斯）变换是描述、分析连续、线性、时不变系统的重要工具！
·拉氏变换定义拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。傅氏变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换建立了时域和复频域间的联系
简单函数的拉氏变换：简单函数的拉氏变换单位阶跃函数1( )10 单位阶跃函数
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指数函数：指数函数（a为常数）指数函数0 1
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正弦及余弦函数正弦及余弦函数：正弦及余弦函数正弦及余弦函数10 =sin =cos -1由欧拉公式，有
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从而同理：从而同理
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洛必达法：单位脉冲函数 ( )0 单位脉冲函数 1 由洛必达法则：所以
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单位速度函数：单位速度函数10 单位速度函数1
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单位加速度函数单位加速度函数：单位加速度函数单位加速度函数0
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幂函数函数的拉氏变换及反变换：幂函数函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到
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积分下限的说明在某些情：拉氏变换积分下限的说明在某些情况下，函数在t＝0处有一个脉冲函数。
这时必须明确拉氏变换的积分下限是0－还是0+，并相应记为
拉氏变换为线性变换：拉氏变换性质叠加原理齐次性： [ ]= [ ]，a为常数
叠加性： [ + ]= [ ]+ [ ] ，b为常数
显然，拉氏变换为线性变换
的各阶导数：微分定理式中， '(0)， ''(0)，……为函数的各阶导数在t=0时的值
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时刻的值均为零：当及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时（零初始条件）
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三、非线性系统数学模型：当在t=0处具有间断点时， /dt在t=0处将包含一个脉冲函数。故若f(0+) (0－)，则
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复微分定理若：复微分定理若L[ ]= ，则除了的极点之外，有
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积分定理当初始条件为零时若：积分定理当初始条件为零时若f(0+) (0－)，则
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同样当初始条件为零：同样当初始条件为零时
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延时定理设当：延时定理设当t& ;0时， =0，则对任意 0，有：函数f( - )0 ( - )
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衰减定理例：衰减定理例
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值定理若的所有极点位于：初值定理终值定理若的所有极点位于左半s平面，即存在。则
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的卷积可表示：卷积定理若t& ;0时， ＝ ＝0，则和的卷积可表示为其中， 表示函数和的卷积
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的像函数例：的像函数例
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的拉氏反变换可以容易地求出：部分分式法如果的拉氏变换已分解成为下列分量： = + +…+ 假定 , , …， 的拉氏反变换可以容易地求出，则L-1[ ] = -1[ ]+ -1[ ]+…+ -1[ ]= + + … + ●拉氏反变换
写成下面的形式式：在控制理论中，通常为了应用上述方法，将写成下面的形式式中，p1，p2，…，pn为方程 =0的根的负值，称为的极点
= /a0( = 0,1,…, )。此时，即可将展开成部分分式
同单极点的情况式：只含不同单极点的情况式中，Ai为常数，称为s=-pi极点处的留数。于是
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求的原函数。解：例：求的原函数。解
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三、非线性系统数学模型的线性化要点：即
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均为各不相同的实数极点：含共轭复数极点情况方法1假设含有一对共轭复数极点-p1、-p2，其余极点均为各不相同的实数极点，则式中，A1和A2的值由下式求解：上式为复数方程，令方程两端实部、虚部分别相等即可确定A1和A2的值
仍可分解为下列形式：方法2此时仍可分解为下列形式：由于p1、p2为共轭复数，因此，A1和A2的也为共轭复数
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方法1例求的原函数。解即：方法1例：求的原函数。解：即
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三、非线性系统数学模型的线性化要点：所以
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方法2例：解：方法2例
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三、非线性系统数学模型的线性化要点：则
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利用前面的方法求解：含多重极点情况设存在r重极点-p0，其余极点均不同，则式中， +1，…，An利用前面的方法求解
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三、非线性系统数学模型的线性化要点：……
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意到所：注意到：所以
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求的原函数。解：例：求的原函数。解
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三、非线性系统数学模型的线性化要点：于是
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得到有关变量的拉氏变换表达式：借用拉氏变换解常系数线性微分方程求解步骤将微分方程通过拉氏变换变为s的代数方程
解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式； 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解
分方程象函数的代数方程：原函数（微分方程的解）象函数微分方程象函数的代数方程拉氏反变换拉氏变换解代数方程拉氏变换法求解线性微分方程的过程
实例设系统微分方程为若=1：实例设系统微分方程为：若 =1( )，初始条件分别为x' (0)、 (0)，试求 。
解：对微分方程左边进行拉氏变换
三、非线性系统数学模型的线性化要点：即
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方程右边进行拉氏变换：对方程右边进行拉氏变换从而
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初始条件为零：所以当初始条件为零时：状态响应零输入响应
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微分方程的拉氏变换式：应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。
如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。
由上述实例可见
五、传递函数以及典型环节的传递函数：五、传递函数以及典型环节的传递函数传递函数的概念和定义传递函数在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。
零初始条件： & ;0时，输入量及其各阶导数均为0； 输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t& ; 0时，输出量及其各阶导数也均为0
线性定常系统的微分方程：设线性定常系统的微分方程为则零初始条件下，系统传递函数为
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实数域复杂的微积分运算已经转：比微分方程简单，通过拉氏变换，实数域复杂的微积分运算已经转化为简单的代数运算
它有以下特点： 输入典型信号时，其输出与传递函数有一定对应关系，当输入是单位脉冲函数时，输入的象函数为1，其输出象函数与传递函数相同
令传递函数中的s=jω，则系统可在频率域内分析（详见第四章）； （ ）的零极点分布决定系统动态特性
等效弹性刚度：等效弹性刚度
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等效复阻抗：等效复阻抗
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阻尼系统的传递函数所有初始：传递函数求解示例质量-弹簧-阻尼系统的传递函数所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：按照定义，系统的传递函数为
无源电路网络的传递函数：- -C无源电路网络的传递函数
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域中的系统数学模型：几点结论传递函数是复数s域中的系统数学模型，其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。
若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数决定，即传递函数表征了系统内在的固有动态特性。
传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。即以系统外部的输入－输出特性来描述系统的内部特性
传递函数的一般形式考虑线性：传递函数的一般形式考虑线性定常系统当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式
五、传递函数以及典型环节的传递函数：令：则： =0称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。特征方程决定着系统的动态特性。
中s的最高阶次等于系统的阶次。 特征方程、零点和极点特征方程
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写成下面的形式：零点和极点将写成下面的形式 =a0( -p1)( -p2)…( - )=0的根s= ( =1, 2, …, )，称为传递函数的极点
式中， =b0( -z1)( -z2)…( - )=0的根s= ( =1, 2, …, )，称为传递函数的零点
系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数
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传递函数的几点说明传递：传递函数的几点说明传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输入量与输出量之间的关系式
传递函数的概念通常只适用于线性定常系统； 传递函数是s的复变函数。传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数
所给定的平衡工作点处：传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静止状态。
因此，传递函数不反映系统在非零初始条件下的全部运动规律； 传递函数只能表示系统输入与输出的关系，无法描述系统内部中间变量的变化情况。
一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，适合于单输入单输出系统的描述
意到复数域相乘等同于时域内卷积：注意到复数域相乘等同于时域内卷积，因此，由：知线性系统在任意输入作用下，其时域输出式中，当t& ; 0时， = = 0
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环节的分类假设系统：环节的分类假设系统有b个实零点，c对复零点，d个实极点，e对复极点和v个零极点，由线性系统传递函数的零、极点表达式可见b+2c= + +2e=
因式可以变换成如下形式：对于实零点zi= i和实极点pj= ，其因式可以变换成如下形式
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因式可以变换成如下形式·对于复零点对：对于复零点对zℓ= ℓ+ ℓ和zℓ+1= ℓ ℓ，其因式可以变换成如下形式：式中
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因式可以变换成如下形式·对于复极点对：对于复极点对pk= + k和pk+1= ，其因式可以变换成如下形式：式中
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系统的传递函数可以写成：于是，系统的传递函数可以写成：式中，为系统静态放大倍数
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五、传递函数以及典型环节的传递函数：由上式可见，传递函数表达式包含六种不同的因子，即：一般，任何线性系统都可以看作是由上述六种因子表示的典型环节的串联组合。
上述六种典型环节分别称为
二阶微分环节：比例环节：K一阶微分环节： +1二阶微分环节：积分环节：惯性环节：振荡环节
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实际系统中还存在纯时间延迟现象：实际系统中还存在纯时间延迟现象，输出完全复现输入，但延迟了时间 ，即 = ( - )，此时：或：因此，除了上述六种典型环节外，还有一类典型环节——延迟环节
典型环节示例比例环节
比例环节的传递函数：比例环节的传递函数为：z1z2 齿轮传动副R2R1 比例运算放大器
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阻尼器组成的环节：如：弹簧-阻尼器环节弹簧-阻尼器组成的环节KD
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于输入量的微分：微分环节输出量正比于输入量的微分。运动方程为：传递函数为：式中， —微分环节的时间常数
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如测速发电机测速发电机式：如：测速发电机测速发电机式中，Kt为电机常数。无负载时
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惯性微分环节：无源微分网络无源微分网络显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为惯性微分环节，只有当| |& ;& ;1时，才近似为微分环节。在物理系统中输入输出同量纲的微分环节很难独立存在，经常和其它环节一起出现
微分环节的输出是输入：除了上述微分环节外，还有一类一阶微分环节，其传递函数为：微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入变化趋势的预告。
因此，微分环节常用来改善控制系统的动态性能
量对时间的积分：积分环节输出量正比于输入量对时间的积分。运动方程为：传递函数为
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量对时间的积累过程：积分环节特点： 输出量取决于输入量对时间的积累过程。 具有明显的滞后作用。
积分环节常用来改善系统的稳态精度。如当输入量为常值A时，由于输出量须经过时间T才能达到输入量在t= 0时的值A
有源积分网络：如：有源积分网络+
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含有两个独立的储能元件：二阶振荡环节含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为：传递函数：式中， —振荡环节的时间常数ζ—阻尼比，对于振荡环节，0& ;ζ& ;1K—比例系数
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阻尼系统传递函数：如：质量-弹簧-阻尼系统传递函数：式中，当时，为振荡环节
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近所要求的输出值：延迟环节惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值
运动方程：传递函数：式中， 为纯延迟时间。 延迟环节从输入开始之初，在0 ~ 时间内,没有输出，但t= 之后，输出等于之前时刻的输入。
延迟环节与惯性环节的区别
往往不是具体的物理装置或元件：小结构造数学模型时，环节是根据微分方程划分的，往往不是具体的物理装置或元件
一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成； 同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用
六、系统函数方框图和信号流图
方框图的结构要素信号：方框图的结构要素信号线带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记变量，即信号的时间函数或象函数。
出或测量的位置和传递方：信号引出点（线）表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。
传递函数的图：函数方块(环节) 函数方块函数方块具有运算功能，即 = 传递函数的图解表示
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加减运算的图解：求和点（比较点、综合点）信号之间代数加减运算的图解。用符号“ ”及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。
相邻求和点可以互换、合并、分解，即满足代数运算的交换律、结合律和分配律。
求和点可以有多个输入：ABA-BCA- + + -BBCAA+ ABA- +CCA- +C求和点可以有多个输入，但输出是唯一的
信号引出点及求和点组成的方框图：求和点函数方块函数方块引出线方框图示例任何系统都可以由信号线、函数方块、信号引出点及求和点组成的方框图来表示
统方框图的建立步骤建立：系统方框图的建立步骤建立系统各环节的微分方程,明确信号的因果关系（输入/输出）。
对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部件的方框图。 按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图
网络拉氏变换：示例R 无源RC电路网络无源RC网络拉氏变换得
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从而可得系统各方框单元及其方框图：从而可得系统各方框单元及其方框图。 - ( ) ( )
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电路网络系统方框图：无源RC电路网络系统方框图
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机械系统：机械系统m1 K1 0m2K2 0m1 m2fK1fK2fm1fm2fD
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m1 m2fK1fK2fm1fm2 0：m1 m2fK1fK2fm1fm2 0 0
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K1：( )K1 ( )
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K2：( )K2 ( )
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机械系统方框图：K1 K2机械系统方框图
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方框图的运算法：方块图简化方框图的运算法则串联 -1( ) ... = ···
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联+++...+++：并联 + ++ ... + + +
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六、系统函数方框图和信号流图要点：反馈
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求和点的移动：方块图变换法则求和点的移动 ABC± ABC± ± ABC±求和点后移求和点前移
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引出点的移动：引出点的移动 ACA引出点前移引出点后移
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方框图：由方框图求系统传递函数基本思路：利用等效变换法则，移动求和点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路
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所示系统的传递函数：例：求下图所示系统的传递函数。 +
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+解：1、A点前移：+ 解：1、A点前移
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反馈回路：2、消去反馈回路 +
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反馈回路·消去反馈回路：3、消去反馈回路4、消去反馈回路
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支路组成的一种信号传递：信号流图及梅逊公式信号流图起源于梅逊（ .MASON）利用图示法来描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成的一种信号传递网络。
信号流图及其术语例：x1x2x3x4x5x51eafbdc1g
两个节点的定向线段：支路连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。
支路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。 节点表示变量或信号，其值等于所有进入该节点的信号之和。
节点用“ ”表示
只有输出的节点：输入节点（源点）只有输出的节点，代表系统的输入变量。 输出节点（阱点、汇点）只有输入的节点，代表系统的输出变量。
源点汇点x1x2x3x4x5x51eafbdc1g
又有输出的节点：混合节点既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，可将混合节点变为输出节点。
x1x2x3x4x5x51eafbdc1g
相连支路的路径：通路沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。 前向通路从输入节点到输出节点通路上通过任何节点不多于一次的通路。
前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益，一般用pk表示。x1x2x3x4x5x51eafbdc1g
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信号流图的绘制由系统微：信号流图的绘制由系统微分方程绘制信号流图根据微分方程绘制信号流图的步骤与绘制方框图的步骤类似。
由系统方框图绘制信号流图两种方法
根据微分方程绘制信号流图：例1：根据微分方程绘制信号流图R1R2C1C2 二级RC电路网络
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六、系统函数方框图和信号流图：取 、 、 、 、 作为信号流图的节点，其中， 、 分别为输入及输出节点。
按上述方程绘制出各部分的信号流图，再综合后即得到系统的信号流图
-11 -11b：) -11 -11b)
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1-1：) 1-1 )
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11 -111-1 1 – -11：-11 -111-1 1 – -11 -11-1 1
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系统方框图：例2：根据方框图绘制信号流图系统方框图信号流图 11-
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线与节点对应关系：E1E2E3G1-G2G4G3E3 E1E2E3G1-G2G4G3E3E11※线与节点对应关系
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条前向通路的传递函数：梅逊公式式中， —系统总传递函数Pk—第k条前向通路的传递函数（通路增益） —流图特征式
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所有不同回路的传递函数：—所有不同回路的传递函数之和；—每两个互不接触回路传递函数乘积之和—每三个互不接触回路传递函数乘积之和
即对于流图：—第k条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式 ，将与第k条前向通路相接触的回路传递函数代以零值，余下的即为
用梅逊公式求系统传递函数：– -11 -11-1 1例：用梅逊公式求系统传递函数对于二阶RC电路网络，输入与输出之间只有一条前向通路，其传递函数为
三个不同回路的传递函数分别：– -11 -11-1 1三个不同回路的传递函数分别为：L1L2L3
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向通路特征式的余因子：流图特征式为：前向通路特征式的余因子为：所以
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六、系统函数方框图和信号流图要点：例
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闭环系统的开环传递函数：闭环系统的开环传递函数闭环系统的开环传递函数也可定义为反馈信号和偏差信号 ( )之间的传递函数，即：将闭环控制系统主反馈通道的输出断开，即的输出通道断开，此时，前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积称为该闭环控制系统的开环传递函数。
作用下系统的闭环传递函数令：作用下系统的闭环传递函数令 =0，此时在输入作用下系统的闭环传递函数为： ( ) 作用下的闭环系统
用下系统的偏差传递函数：输入作用下系统的偏差传递函数1 ( )偏差信号与输入信号之间的关系令 =0，此时系统输入与偏差 ( )之间的传递函数称为输入作用下的偏差传递函数。
作用下系统的闭环传递函数令：作用下系统的闭环传递函数令 =0，此时在扰动作用下系统的闭环传递函数（干扰传递函数）为： 作用下的闭环系统
用下系统的偏差传递函数：扰动作用下系统的偏差传递函数令 =0，此时系统在扰动作用下的偏差传递函数（称扰动偏差传递函数）。
-1 ( )偏差信号与干扰信号之间的关系 +
结论系统的闭环传递函数：结论系统的闭环传递函数、、及具有相同的特征多项式：1+ 其中为系统的开环传递函数。
闭环传递函数的极点相同。 系统的固有特性与输入、输出的形式、位置均无关
同一个外作用加在系统不同的位置上，系统的响应不同，但不会改变系统的固有特性
系统的总输出根据线性系：系统的总输出根据线性系统的叠加原理，系统在输入及扰动共同作用下的总输出为
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采用反馈控制的系统：若且，则：上式表明，采用反馈控制的系统，适当选择元部件的结构参数，可以增强系统抑制干扰的能力
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七、控制系统传递函数推导举例：七、控制系统传递函数推导举例机械传动系统电机驱动进给装置工作台m丝杠L电动机如右图，丝杠螺母装置将电机的旋转运动转变为工作台的直线运动
周工作台移动的直线距离：电机驱动进给装置等效系统J电动机等效转动惯量按等功原理，工作台等直线运动部件质量m的等效转动惯量为： —丝杠螺距，即丝杠每转一周工作台移动的直线距离
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齿轮副假设齿轮传动中无功率损耗：齿轮传动装置z1T1 1T2 2z2齿轮副假设齿轮传动中无功率损耗，且忽略齿轮转动惯量、啮合间隙与变形，则：T1、T2：转矩 1、 2：角位移 1、 2：角速度z1、z2：齿数r1、r2：齿轮分度圆半径
集中参数齿轮副模型：1z1T2 2z2J1D1J2D2T1集中参数齿轮副模型：J1、J2：齿轮（包括轴）的转动惯量D1、D2：啮合齿轮、支承粘性阻尼系数T：输入转矩
齿轮1齿轮2利用：齿轮1：齿轮2：利用：有
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折算到输入端的转动惯量：式中：——等效折算到输入端的转动惯量其中，动惯量折算到齿轮1一侧的等效转动惯量为齿轮2一侧的转
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到输入端的粘性阻尼系数：——等效折算到输入端的粘性阻尼系数显然，利用，齿轮2一侧的转矩、转速和角位移同样可等效折算到齿轮1一侧。
其中，性阻尼系数折算到齿轮1一侧的等效粘性阻尼系数为齿轮2一侧的粘
一侧的扭转刚度系数：考虑扭转弹性变形效应时，齿轮2一侧的扭转刚度系数等效到齿轮1一侧时，刚度系数也应乘以。
即若K1、K2分别为齿轮1和2的扭转刚度系数，则齿轮1一侧的等效刚度KI为
七、控制系统传递函数：当折合到主动轴上时，从动轴上的转动惯量和阻尼系数都要除以传动比的平方，负载转矩除以传动比。
因此，减速传动时，相当于电动机带的负载变小了，也可以说电动机带负载的力矩增大了。
反之，当折合到从动轴上时，主动轴上的转动惯量和阻尼系数都要乘以传动比的平方，输入转矩乘以传动比。
机床进给传动链工作台：机床进给传动链工作台m丝杠L伺服电机 J3,K3,D3J2,K2,D2J1,K1,D1Cmz1z2z3z4IIIIIIT iKm
轴上的等效当量转角：为工作台位移折算到I轴上的等效当量转角：空载时，I轴转矩平衡方程为：其中， 为I轴输入转角
L为丝杠螺距
轴上的等效总转动惯量：K分别为工作台及各轴折算到I轴上的等效总转动惯量、等效总粘性阻尼系数及等效总刚度系数
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可求得系统微分方程：根据上述关系，可求得系统微分方程为：传递函数
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轮胎的垂直位移作用：汽车悬挂系统当汽车行驶时，轮胎的垂直位移作用于汽车悬挂系统上，系统的运动由质心的平移运动和围绕质心的旋转运动组成。
车体车架质心汽车悬挂系统（垂直方向）
简化的悬挂系统：m2m1K2DK1 简化的悬挂系统（垂直方向）
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七、控制系统传递函数推导举例要点：K1
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现在的版本用：Matlab简介：•1980年前后，美国moler博士构思并开发；•最初的matlab版本是用fortran语言编写，现在的版本用c语言改写
•1992年推出了具有重要意义的matlab
版本；并于1993年推出了其windows平台下的微机版，目前
版是比较新的版本。
八、系统数学模型的MATLAB实现
传递函数的形式描述系统：要分析系统，首先需要能够描述这个系统。例如用传递函数的形式描述系统控制系统数学模型
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MATLAB中，多项式通过系数行向量表示：在MATLAB中，多项式通过系数行向量表示，系数按降序排列。如要输入多项式：x4-12x3+25x+126& ;& ; =[1-12 0 25 126] =1-12 0 25 126
然后利用下面的语句就可以表示这：在MATLAB中，用num和den分别表示的分子和分母多项式，即：num= [b0b1 … ]den= [a0a1 … ]然后利用下面的语句就可以表示这个系统sys= (num,den)其中tf()代表传递函数的形式描述系统，还可以用零极点形式来描述，语句为z=[12]; =[-1-2-3]; =4;sys=zpk( , , )4 ( -1) ( -2)-----------------( +1) ( +2) ( +3)
且传递函数形式和零极点形式之间：而且传递函数形式和零极点形式之间可以相互转化，语句为[ , , ] = tf2zp(num,den)[num,den] = zp2tf( , , )den1 =1 2 2den2 =2 3 3 2den =2 7 13 14 10 4z=[1;2]; =[-1;-2;-3]; =4;[num,den]=zp2tf( , , )当传递函数复杂时，应用多项式乘法函数conv()等实现。
例如den1=[1,2,2]den2=[2,3,3,2]den=conv(den1,den2)
传递函数系统：计算闭环传递函数系统的基本连接方式有三种：串连、并联和反馈串连：sys=series(sys1,sys2)并联：sys=parallel(sys1,sys2)反馈：sys=feedback(sys1,sys2,-1)如果是单位反馈系统，则可使用cloop()函数，sys=cloop(sys1,-1)
的分子和分母多项式：用MATLAB展开部分分式设： 应用举例用num和den分别表示的分子和分母多项式，即：num= [b0b1… ]den= [a0a1… ]
分别为展开后的留数及极点构成：MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展开，其句法为：[ , , ] = residue(num, den)其中， , p分别为展开后的留数及极点构成的列向量、k为余项多项式行向量
展开后的一般形式：若无重极点，MATLAB展开后的一般形式为：若存在q重极点 ，展开式将包括下列各项
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求的部分分式展开。&;&：例：求的部分分式展开。& ;& ; num=[1 11 39 52 26];& ;& ; den=[1 10 35 50 24];& ;& ; [ , , ]=residue(num,den) =1.00002.5000-3.00000.5000p =-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000k =1展开式为
求的部分分式展开。&;&·例求的部分分：例：求的部分分式展开。& ;& ; num=[1 0 0 10 5 6];& ;& ; den=[1 5 9 7 2];& ;& ; [ , , ]=residue(num,den) =-4.000020.0000-20.000010.0000p =-2.0000-1.0000-1.0000-1.0000k =1-5展开式为
也可用于将部分分式合：[num, den] = residue( , , )函数residue也可用于将部分分式合并，其句法为：& ;& ; = [1 2 3 4]'; = [-1-2-3-4]'; = 0;& ;& ; [num, den] = residue( , , )num = 10 70 150 96den = 1 10 35 50 24例
联连接时的系统传递函数：用MATLAB求系统传递函数已知两个系统分别求两者串联、并联连接时的系统传递函数，并求负反馈连接时系统的零、极点增益模型。
num1=[1];den1=[1,0];num2=[1];den2=[1,2];[numc,denc]=series(num1,den1,num2,den2);[numb,denb]=parallel(num1,den1,num2,den2);[numf,denf]=feedback(num1,den1,num2,den2,-1);[ , , ]=tf2zp(numf,denf)
九、小结：九、小结数学模型基本概念数学模型形式微分方程传递函数控制系统的图形化描述方框图信号流图闭环控制系统的传递函数
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课件编著者署名：本页列出本节主要条目。
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