08 第八章 根轨迹.pptx

第1页：第八章根轨迹法封面

第八章根轨迹法封面：控制理论基础(第八章根轨迹）

本页以图示与公式为主，文字部分为原课件提取的要点说明。

第2页：课程内容与章节导览

课程内容与章节导览：本页列出本节主要条目。

• 根轨迹与根轨迹方程
• 绘制根轨迹的基本法则
• 系统闭环零极点的分布与性能
• 典型开环零极点及其闭环根轨迹图

第3页：课程内容与章节导览·根轨迹

课程内容与章节导览·根轨迹：本页列出本节主要条目。

• 根轨迹与根轨迹方程
• 根轨迹
• 根轨迹方程及相角

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第4页：控制系统的动态性能

控制系统的动态性能：反馈控制系统的动态性能，主要由系统的极点分布所决定，但求解高阶系统特征方程很困难，这就限制了时域分析法在二阶以上的控制系统中的应用。

8.1.1根轨迹1948年，伊凡思（ ）根据反馈系统开、闭环传递函数之间的内在联系，提出了直接由开环传递函数求闭环特征根的新方法，并且建立了一套法则，这就是在工程上获得较广泛应用的根轨迹法

第5页：

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第6页：8.1.2根轨迹方程及相角

8.1.2根轨迹方程及相角：8.1.2根轨迹方程及相角、幅值条件1十 =0或写作G（ ） （ ）=-1相角条件幅值条件相角条件、幅值条件又可表示为

第7页：8.2绘制根轨迹的基本法

8.2绘制根轨迹的基本法：绘制根轨迹的基本法则

根轨迹的起点与终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如果开环零点数m小于开环极点数n,则有（ - ）条根轨迹终止于无穷远处。

当n& ;m时，当时

第8页：绘制根轨迹的基本法则根轨迹

绘制根轨迹的基本法则根轨迹

• 根轨迹的分支数这是因为n阶特征方程对应n个特征根，当开环增益K由零变到无穷大时，这n个特征根随K变化必然会出现n条根轨迹。
• 根轨迹s平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数n，也就是分支数与闭环极点的数目相同

第9页：根轨迹的对称性因为开环极

根轨迹的对称性因为开环极：根轨迹的对称性因为开环极点，零点或闭环极点都是实数或者为成对的共轭复数，它们在s平面上的分布对称于实轴，所以根轨迹也对称于实轴

第10页：绘制根轨迹的基本法则实轴上的根轨迹

绘制根轨迹的基本法则实轴上的根轨迹

• 实轴上的根轨迹由于成对的共轭复根在实轴上产生的相角之和总是等于360°，不会影响实轴上根轨迹的位置，故上述结论由相角条件很容易得出。
• 实轴上根轨迹区段的右侧，开环零极点数目之和应为奇数

第11页：绘制根轨迹的基本法则根轨迹

绘制根轨迹的基本法则根轨迹

• 根轨迹的渐近线如果开环零点数m小于开环极点数n，则当时，趋向无穷远处的根轨迹共有( - )条，这( - ）条根轨迹趋向于无穷远处的方位可由渐近线决定。
• 设系统开环传递函数为有( - )条渐近线。当s很大时，上式可近似为（ & ; ）

第12页：绘制根轨迹的基本法则公式推导

绘制根轨迹的基本法则公式推导：由上两式中项系数相等，得渐近线与实轴交点的坐标为即其分子是极点之和减去零点之和。

渐近线与实轴正方向的夹角为式中k依次取0，±1，±2，…,一直到获得（ - ）个倾角为止

第13页：根轨迹的起始角与终止角

根轨迹的起始角与终止角：根轨迹的起始角与终止角

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第14页：起始角为终止角

起始角为终止角：起始角为终止角（或入射角）为

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第15页：根轨迹的分离点

根轨迹的分离点

条根轨迹在s平面上相遇后又分开（或分开后又相遇）的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）

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第16页：绘制根轨迹的基本法则公式推导

绘制根轨迹的基本法则公式推导：由上两式可得即根据该式，即可确定分离点（或会合点）的参数。例2某系统开环传递函数为解之，得相应的增益为

第17页：系统开环传递函数为由系统闭环特征方程

系统开环传递函数为由系统闭环特征方程：方法2设系统开环传递函数为由系统闭环特征方程，得求极值

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第18页：得相应的增益

得相应的增益：即可确定分离点（或会合点）的参数。仍以例2为例解之，得相应的增益为

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第19页：方法3分离点（或会合点）的坐标

方法3分离点（或会合点）的坐标：方法3分离点（或会合点）的坐标可由方程解出，其中为开环极点，为开环零点。

例3已知系统开环传递函数为试求系统闭环根轨迹的分离点坐标。解：得

第20页：方程得d1=-2.12

方程得d1=-2.12：解此方程得d1=-2.12，d2=

0.12d1在根轨迹上，是所求的分离点。d2不在根轨迹上，则舍弃。根轨迹如图所示

第21页：绘制根轨迹的基本法则实轴上分离点的分离

绘制根轨迹的基本法则实轴上分离点的分离

• 实轴上分离点的分离角恒为 90°根轨迹离开分离点时，轨迹切线的倾角称分离角。
• 由相角条件可推出，当根轨迹从实轴二重极点上分离时，其右边为偶数个零极点，因此该二重极点相角之和为士(2n+1)×180°，即实轴上分离点的分离角恒为士90°。
• 同理，实轴上会合点的会合角也恒为士90

第22页：根轨迹与虚轴相交

根轨迹与虚轴相交：根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中有极点位于虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根，系统处于临界稳定状态。

根轨迹与虚轴的交点方法1将s=代入特征方程中得或令则可解出值及对应的临界开环增益及K来

第23页：迹与虚轴的交点

迹与虚轴的交点：例已知系统开环传递函数求根轨迹与虚轴的交点。解:系统闭环特征方程为令s=，代入上式得即联立得

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第24页：方法2根轨迹与虚轴交点坐标也可通

方法2根轨迹与虚轴交点坐标也可通：方法2根轨迹与虚轴交点坐标也可通过劳斯判据求出。仍以上例为例，其劳斯表为解得即为所求

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第25页：8.3典型开环零极点及其闭环根轨迹图

8.3典型开环零极点及其闭环根轨迹图：典型开环零极点及其闭环根轨迹图

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第26页：

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第27页：了根轨迹的分布

了根轨迹的分布：加入校正，即改变了根轨迹的分布。分母加入一阶环节，将使根轨迹推向s右半平面，使系统稳定的K值范围减小。

下图所示为二阶系统，分母加入一阶环节，变成三阶系统的情况。

零点、极点的分布与性能关系

第28页：变成稳定的情况

变成稳定的情况：分子加入一阶环节，将使根轨迹推向s左半平面，使系统趋于稳定。下图所示为三阶系统，分子加入一阶环节，系统变成稳定的情况

第29页：通常使系统稳定裕量增加

通常使系统稳定裕量增加：加入局部硬反馈（即比例反馈），如下图所示系统，通常使系统稳定裕量增加，提高系统相对稳定性，而放大倍数有所降低

第30页：不影响放大倍数及静态精度

不影响放大倍数及静态精度：加入局部软反馈（即近似微分反馈），如下图，通常也使系统稳定裕量增加，提高系统相对稳定性，过渡过程完成后，反馈不起作用，不影响放大倍数及静态精度

第31页：如下图所示

如下图所示：加入比例-积分（ ）校正，如下图所示，其中， & ;0, & ;0

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第32页：如下图所示·加入比例微分

如下图所示·加入比例微分：加入比例-微分（ ）校正，如下图所示，其中， & ;0, & ;0

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第33页：课件编著者署名

课件编著者署名：本页列出本节主要条目。

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