第1页：第四章根轨迹法封面
自动控制原理第四章根轨迹法
本页以图示为主，公式与曲线详见原课件对应页。
第2页：根轨迹法的基本思路
4.1控制系统的根轨迹
- 控制系统的稳定性和瞬态分量的运动模态都由特征方程的根即闭环极点决定。因此特征根的位置对系统性能有重要意义。
- 根轨迹法的思路：增加和调整开环极点和零点，使闭环特征根处于希望的位置，以满足性能指标。
- 根轨迹法的主要内容：当系统的某一参数变化时，利用已知的开环极点和零点，绘制闭环特征根的轨迹。
第3页：根轨迹的定义
根轨迹定义：
- 根轨迹：已知控制系统开环零极点，当系统的某一个参数由零变化到无穷大时，闭环系统的特征根（闭环极点)在[s]平面上形成的轨迹。
第4页：开环传函与闭环特征方程
开环传函与闭环特征方程：
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第5页：绘制根轨迹的引例
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第6页：直接求根法画根轨迹
直接求系统的根来画根轨迹，不适合高阶复杂系统。
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第7页：根轨迹的绘制条件
根轨迹的绘制：
- 绘制根轨迹依据的条件。
- 负反馈系统闭环特征方程为
- 幅值条件：
- 相角条件：
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第8页：幅值条件与相角条件
幅值条件和相角条件：
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第9页：开环传递函数的标准形式
4.2绘制根轨迹的基本规则
- 绘制根轨迹时开环传递函数的标准形式：系统开环放大系数
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第10页：根轨迹的分支数与对称性
4.2.1根轨迹的分支数
- 规则一根轨迹的分支数等于特征方程的阶次，即开环极点个数。4.2.2根轨迹的连续性与对称性
- 特征根为实数或共轭复数。
- 规则二根轨迹连续且对称于实轴。
第11页：根轨迹的起点和终点
4.2.3根轨迹的起点和终点
- 根轨迹的起点是指k=0时的特征根位置，根轨迹的终点是指时的特征根位置。
- 根轨迹起始于开环极点。此时开环极点就是闭环极点。
第12页：规则三：起点与终点
规则三根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。若n>m,则有(n-m)条根轨迹终止于[s]平面无穷远处。
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第13页：渐近线与实轴的夹角
4.2.4根轨迹的渐近线
- n>m，(n-m)条根轨迹沿什么方向趋于[s]平面无穷远处。渐近线可认为是时的根轨迹。①渐近线与实轴的夹角：
第14页：渐近线与实轴的交点
②渐近线与实轴的交点：
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第15页：规则四：渐近线条数
规则四如果m<n, k→∞时，根轨迹有渐近线n-m条。这些渐近线在实轴上交于一点，渐近线与实轴正方向的夹角是
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第16页：规则五：实轴上的根轨迹
4.2.5实轴上的根轨迹
- 规则五实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域是根轨迹。由相角条件可得：共轭零、极点相角对消；左侧零、极点相角为0；右侧零、极点相角为；
第17页：分离点和会合点
4.2.6根轨迹与实轴的交点(分离点和会合点)
- 图中的点A和点B分别是根轨迹在实轴上的分离点和会合点。
- 规则六根轨迹在实轴上的分离点和会合点的坐标应满足方程：
第18页：分离点与会合点的求法
- 两相邻极点间有根轨迹，则之间必有分离点，
- 两相邻零点间有根轨迹，则之间必有会合点。①开环无零点，实轴上只有分离点，无会合点。分离点的位置为：闭环特征方程表达式，对s求导：②有开环零点：
第19页：规则七：与虚轴的交点
4.2.7根轨迹与虚轴的交点
- 规则七根轨迹与虚轴相交，说明控制系统有位于虚轴上的闭环极点，即特征方程有纯虚根。
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第20页：求解虚轴交点的两种方法
两种方法求解：①将s=jω代入闭环特征方程，求满足方程的ω和k值
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第21页：用劳思表求虚轴交点
②用劳思表：
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第22页：例4-2-2临界增益求解
- 例4-2-2负反馈系统的开环传递函数为求系统根轨迹与虚轴交点的坐标及参数临界值。
- 解特征方程是
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第23页：出射角与入射角
4.2.8根轨迹的出射角与入射角
- 出射角
- 根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与实轴正方向的夹角，如。
- 入射角
- 根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角，如。极点零点
第24页：出射角的试验点推导
4.2.8根轨迹的出射角与入射角
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第25页：规则八：出射角与入射角公式
- 出射角表达式
- 同理可求出入射角表达式
- 规则八始于开环复数极点处的根轨迹的出射角和止于开环复数零点处的入射角按上两式计算。
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第26页：例4-1：绘制根轨迹
例4-1：已知系统开环传函绘制其根轨迹：
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第27页：例4-2：三极点根轨迹
- 例4-2负反馈系统的开环传递函数为：绘制系统的根轨迹。解：开环极点为：1）根轨迹的分支数等于3。2）根轨迹起点为0，-1，-2。终点均为无穷远。
第28页：例4-2渐近线与分离点
- 3）渐近线三条，实轴上交点坐标是：
- 渐近线与实轴正方向夹角：
- 4）实轴上的根轨迹：（-∞，-2]段及[-1，0]段。
- 5）求实轴上的分离点坐标是根轨迹与实轴分离点的坐标，不是根轨迹上的点。
第29页：例4-2与虚轴的交点
6）根轨迹与虚轴的交点
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第30页：例4-3：带零点根轨迹
- 例4-3负反馈系统的开环传递函数为绘制系统的根轨迹。解：1）根轨迹的分支数等于2。2）根轨迹起点是。终点是及无穷远。3）因为n=2,m=1,所以只有一条渐近线，是负实轴。4）实轴上的根轨迹是（-∞，-１]。
第31页：例4-3会合点与出射角
- 5）根轨迹在实轴上的会合点坐标是根轨迹与实轴分离点，不是根轨迹上的点，舍去。
- ６）出射角
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第32页：闭环极点的和与积
4.2.9闭环极点的和与积
- 根据代数式方程根与系数的关系可写出
- 对于稳定的系统：
- 例4-2-4系统开环传递函数为，与虚轴交点对应的极点为求对应的。
第33页：放大系数的求取
- 根轨迹放大系数
- 开环放大系数4.2.10放大系数的求取
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第34页：例4-4：放大系数计算
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第35页：例4-5：根轨迹与虚轴交点
- 例4-5绘系统的根轨迹图并求与虚轴交点对应的放大系数和闭环极点，开环传递函数为
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第36页：例4-5分离点与出射角
- 4）实轴上的根轨迹（-2.73，0）。
- 5）根轨迹与实轴的分离点坐标。
- 6）根轨迹的出射角。
- 7）根轨迹与虚轴的交点。
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第37页：
第38页：增加开环零极点的影响
增加开环零极点对根轨迹的影响
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第39页：不同位置增加开环零点
在不同位置增加开环零点
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第40页：开环零极点的影响结论
1、增加开环极点，可使根轨迹向右方移动，降低系统稳定性，增加系统响应的调剂时间；2、增加开环零点，可使根轨迹向左移，增加系统稳定性，减小系统响应的调节时间，加快瞬态响应。
3、若原系统稳定，增加开环极点会使系统趋于不稳定，增加开环零点系统仍是稳定的。
第41页：课堂习题：绘制根轨迹
课堂习题：1.已知负反馈系统开环传函，试画其闭环根轨迹。2.已知负反馈系统开环传函，试求k=1时，以T为参变量的根轨迹。
第42页：课堂习题答案（一）
课堂习题答案：1.已知系统开环传函，试画其闭环根轨迹。解：
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第43页：
第44页：课堂习题答案（二）
2.已知负反馈系统开环传函，试求k=1时，以T为参变量的根轨迹。
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第45页：
第46页：结束语
本页为本章课件结束页。
