第1页：第五章频率特性法(A)封面
自动控制原理第五章频率特性法(A)
本页以图示为主，公式与曲线详见原课件对应页。
第2页：频域变换的引入
频域变换
- 例如我们看到一个复杂的时序信号，我们希望能够对它进行描述，特别是希望用一些经济有效的方式进行描述。描述事物的基本方法之一是将复杂的事物化成简单事物的组合，或对其进行分解，分析其组成的成分。
- 例如看一波形，我们希望知道它是快速变化的(高频)，还是缓慢变化的(低频)，或是一成不变的(常量)。如它既有快变化的成分，又有缓慢变化的成分，又有常量部分，那么我们往往希望将它的成分析取出来，这时候我们就要用到变换。
第3页：变换的实质
- 变换的实质是一套度量用的工具，例如用大尺子度量大的东西，用小尺子度量小的东西，在信号处理中用高频，低频或常量来衡量一个信号中的各种不同成分。
- 对某一套完整的工具就称为某种变换，如傅立叶变换就是用一套随时间正弦、余弦信号作为度量工具，这些正弦、余弦信号的频率是各不相同的，才能度量出信号中相应的不同频率成分。=+
第4页：频率特性法的优点
- 频率特性法
- 用频率特性作为数学模型来分析和设计系统的方法。
- 优点
- ①具有明确的物理意义；②计算量很小，采用近似作图法，简单、直观，易于在工程技术中使用；③可以采用实验的方法求出系统或元件的频率特性。
第5页：频率特性的定义
5.1频率特性
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第6页：幅频特性与相频特性
- 频率特性：幅频特性：相频特性：
- 负相角称为相位滞后，正相角称为相位超前。
- 正弦输入信号的频率很高时，输出信号的幅值一定很小。
- 实际系统中传递函数分子阶次低于分母阶次
第7页：一阶RC电路频率特性
一阶RC电路频率特性幅频特性相频特性
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第8页：频率高低对幅相的影响
频率低时，幅频特性A(ω)率减少，相位落后也较少；频率高时，幅值衰减大，相位落后大。
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第9页：极坐标图与奈奎斯特图
5.2典型环节的频率特性
- 频率特性G(jω)是复数，使用很不方便。常用图形表示G(jω)的幅值和相角与频率的关系。5.2.1极坐标图
- 极坐标图：在复数的直角坐标或极坐标平面上，以角频率ω为参量，当ω由0→∞时，在极坐标图上绘制G(jω)的轨迹。又称Nyquist(奈奎斯特图)。极坐标图优缺点：能在全部频域范围内对系统进行定性分析；不能明显的表示出个环节对系统的影响和作用。
第10页：惯性环节的极坐标图
1.惯性环节
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第11页：
第12页：积分环节的极坐标图
- 2.积分环节
- 积分环节频率特性的极坐标图是虚轴。V(ω)U(ω)│G(jω│∠G（jω）ω-∞0∞-90º0-101-90º1000-90º∞
第13页：纯微分与一阶微分环节
- 纯微分环节
- 一阶微分环节V(ω)U(ω)│G(jω│∠G（jω）ω00090º010190º1∞0∞90º∞V(ω)U(ω)│G(jω│∠G（jω）ω0110º01145º1/∞1∞90º∞
- 3.纯微分环节和一阶微分环节
第14页：振荡环节的极坐标图
- 4振荡环节V(ω)U(ω)│G(jω│∠G（jω）ω0110º0-1/2ζ01/2ζ-90º1/T000-180º∞
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第15页：
第16页：延迟环节的极坐标图
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第17页：例5-2-1开环极坐标图
- 例5-2-1已知开环传递函数绘制开环频率特性极坐标图解:V(ω)U(ω)│G(jω│∠G（jω）ω-∞-KT∞-90º0000-180º∞
第18页：例5-2-2与例5-2-3
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第19页：对数频率特性图（Bode图）
5.2.2对数频率特性图(Bode图)
- 伯德(Bode)图：容易绘制，分析直观，应用最广。包括幅频特性图和相频特性图。横轴坐标实际是lgω，但标注的是角频率ω(rad/s)，对数分度，可展现很宽的频率范围。
- ω→2ω的频带宽度称2倍频程，ω→10ω的频带宽度称10倍频程或10倍频，记dec。ω为0.1、1、10、100、1000的各点间横轴间的距离相等。lg0=-∞,横轴上画不出ω=0的点。
第20页：Bode图的坐标分度
- 幅频特性图纵坐标表示20lg│G(jω)│,单位dB（分贝），线性分度。0dB表示│G(jω)│=1，无│G(jω)│=0点。
- 相频特性图纵坐标∠│G(jω)│，单位是（º）或rad,线性分度。
- 传递函数可写成基本环节传递函数相乘的形式幅频特性由相应的基本环节幅频特性的代数和得到。
第21页：放大环节的对数频率特性
- 1.放大（比例）环节G(s)=K, G(jω)=K20lg│G(jω)│= 20lgK∠G(jω)=0º
- 对数幅频特性是平行于横轴的直线，相距20lgKdB。K>1,直线位于横轴上方；K<1,直线位于横轴下方。
- 对数相频特性是与横轴相重合的直线。
- K的数值变化时，幅频特性图中的直线20lgK向上或向下平移，相频特性不变。
第22页：积分环节的对数频率特性
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第23页：
第24页：惯性环节的对数频率特性
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第25页：
第26页：纯微分环节的对数频率特性
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第27页：一阶微分环节的对数频率特性
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第28页：振荡环节的对数频率特性
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第29页：
第30页：二阶微分环节的对数频率特性
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第31页：延迟环节的对数频率特性
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第32页：开环频率特性的绘制
- 直线相加仍是直线，和的斜率为各斜率之和。9.开环频率特性的绘制
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第33页：开环Bode图的绘制步骤
- 步骤：1）写成基本环节相乘的形式。2）从低频到高频，计算转折频率与斜率。3）绘最低频段，。4）从低频到高频绘折线渐近线，在转折频率处加上基本环节的斜率。5）必要时在转折频率处修正曲线。
第34页：复杂传递函数的Bode图
- 复杂传递函数分子、分母分解为基本环节的乘积。
- Bode图各基本环节相加减
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第35页：例：绘制Bode图（一）
例：已知开环传递函数，绘制其Bode图。
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第36页：-40dB/dec斜率段说明
-40dB/dec
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第37页：
第38页：例：绘制Bode图（二）
例：已知开环传递函数，绘制其Bode图。
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第39页：
第40页：转折频率处的幅值与相角
转折频率处的幅频特性值：转折频率处的相角：
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第41页：例：开环Bode图绘制
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第42页：
第43页：
第44页：
第45页：最小相位系统
- 最小相位系统：传递函数的极点和零点的实部全部小于或等于零。闭环系统，看开环传递函数的极点和零点。
- 非最小相位系统：传递函数中具有正实部的极点或零点，或有延迟环节。
- 幅频特性相同的环节之间存在不同的相频特性，最小相位环节的相位移最小，最容易控制。
- 设系统（或环节）传递函数分母的阶次是n，分子的阶次是m,串联积分环节的个数是v。最小相位系统，当ω→∞时，幅频特性斜率为-20（n-m）dB/dec,相位等于-(n-m)90º；当ω→0时，相位等于-v90º。
- 最小相位系统，对数幅频特性和相频特性不是相互独立的，存在严格的确定关系。5.2.3最小相位系统
第46页：课堂作业：绘制Bode图
课堂作业：已知单位负反馈系统的开环传递函数绘制其Bode图。
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第47页：
第48页：
第49页：Nyquist稳定判据概述
5.3 Nyquist稳定判据
- 判据特点：利用开环频率特性判定闭环系统的稳定性。
- 系统开环传递函数为
- 开环稳定：开环极点实部不是正数。5.3.1完整的频率特性极坐标图
第50页：完整的频率特性极坐标图
- Nyquist围线：封闭曲线。v=0，右半平面。v≠0，绕过原点的右半平面。
- 完整的频率特性极坐标图：s沿Nyquist围线顺时针转一周，G(s)H(s)平面对应的封闭曲线。
- 频率特性新定义：G(jω)H(jω),ω可正可负。
- G(jω)H(jω)和G(-jω)H(-jω)是共轭复数。G(jω)H(jω)图形关于实轴对称。
- 实际物理系统，G(s)H(s)分母次数高于分子。故有
第51页：开环极坐标图（v=0）
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第52页：开环极坐标图（v不等于0）
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第53页：柯西幅角原理
柯西(Cauchy)幅角原理：5.3.2 Nyquist稳定判据
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第54页：
第55页：由开环传函判闭环稳定
- 线性定常系统，若已知闭环传递函数，此幅角定理意义不大，希望已知开环传函得到闭环稳定性。
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第56页：基于极坐标图的Nyquist判据
基于极坐标图的Nyquist判据开环特征多项式闭环特征多项式
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第57页：Nyquist稳定判据的表述
- Nyquist稳定判据1(闭环稳定充要条件)闭环系统的开环传递函数G(s)H(s)有No个正实部极点，闭环系统稳定的充要条件是：当s按顺时针方向沿Nyquist围线变化1周时（或，），G(s)H(s)曲线（开环极坐标图）应按逆时针方向包围原点No周：Nyquist稳定判据2
第58页：Nyquist判据的推论
- Nyquist稳定判据推论1）开环极坐标图顺时针方向包围(-1, j0)点，闭环不稳。2）开环稳定，闭环的稳定的充要条件是，开环极坐标图不包围(-1, j0)点。
第59页：包围(-1,j0)点的稳定性判断
例：设开环稳定。图(a)不包围，闭环稳定。图(b)顺时针方向包围(-1,j0)点2周，闭环不稳。
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第60页：半次包围与稳定条件
- 包围次数是前者一半。
- 闭环系统稳定的充要条件是：开环极坐标图逆时针方向包围(-1,j0)点p/2周。
- 包围周数：从（-1,j0）引出的向量绕该点转动的总圈数。
- 例：图a,b,c不包围，若开环稳定，则闭环稳定。
第61页：例5-3-1极坐标图判稳
- 例5-3-1由开环极坐标图判定闭环系统的稳定性。
- 解：图(a)逆时针方向包围(-1,j0)点1周，图b不包围，故闭环系统稳定。
第62页：用穿越确定包围周数
- 用“穿越”来确定包围周数：
- 正穿越：逆时针方向（从上向下）穿过负实轴，相角增加。
- 负穿越：顺时针方向（从下向上）穿过负实轴，相角减小。
- 开环极坐标图逆时针方向包围(-1,j0)点的周数等于在(-1，j0)以左正、负穿越次数之差。
第63页：例5-3-2穿越次数判稳
- 稳定判据闭环系统稳定的充要条件是：当ω由0→∞，开环极坐标图在（-1，j0）左方正、负穿越负实轴次数之差为p/2。例5-3-2系统有两个正实部开环极点，判定闭环稳定性。解：p=2，当ω由0→∞，开环极坐标图在点（-1，j0）左方正、负穿越负实轴次数之差为2-1=1(p/2)，闭环稳定。
第64页：例5-3-3与例5-3-4
- 例5-3-3判定闭环稳定性。解
- p=0图a无穿越，稳定。图b 2次负穿越，不稳定。
- 例5-3-4判定闭环稳定性。解
- p=0图a无穿越，稳定。图b 2次负穿越，不稳定。
第65页：用开环Bode图判定稳定性
5.3.3用开环伯德图判定闭环稳定性
- 负实轴——对数相频特性-180°线。
- 单位圆以外区域——对数幅频特性0 dB以上区域。
- (-1,j0)左方穿越负实轴——Bode图，对数幅频特性0 dB线以上区域，相频特性曲线穿越-180°线。
- 稳定判据闭环系统稳定的充要条件是：在开环幅频特性大于0 dB的所有频段内，相频特性曲线对-180°线正、负穿越次数之差为p/2。
- 注意：开环系统有积分环节时，相频特性应增补ω由0-→0+部分。ω→0，在正实轴上。
第66页：例5-3-5Bode图判稳
解：(a)没穿越-180°线，稳定。(b)正、负穿越次数之差=1-1=0，稳定。(c)正、负穿越次数之差=1-2=-1，不稳定。例5-3-5判定闭环稳定性。
第67页：控制系统的相对稳定性
5.4控制系统的相对稳定性
- 参数变化，系统可能由稳定变为不稳定。
- 要求系统具有足够的稳定裕度。动态性能与稳定裕度也有关。
- 稳定裕度——相对稳定性。
- 开环极坐标图离（-1,j0）越远，稳定裕度越大。
第68页：相位裕度
5.4.1相位裕度
- 幅值穿越(剪切)频率
- 幅频特性与0分贝线(横坐标)交点处的频率，也是开环极坐标图与单位圆的交点处的频率。
- 相位裕度
- 表示：幅频为1时，相频距离-180o的距离；开环极坐标图与单位圆的交点与（-1,j0）的远近程度。开环稳定的系统，相位裕度为正时闭环稳定，相位裕度为负时闭环不稳定。通常要求。
第69页：
第70页：幅值裕度
5.4.2幅值裕度
- 相位穿越频率
- 开环频率特性相位为-180º时的频率。
- 幅值裕度
- 极坐标图：Bode图：幅值裕度表示：当相频为-180o时，幅频距离幅值1的距离；开环极坐标图与负实轴的交点与点（-1,j0）的远近程度。
第71页：
第72页：稳定裕度的结论
- 开环稳定的系统，相位裕度为正时闭环稳定，相位裕度为负时闭环不稳定。
- 相位裕量越大，幅值裕量越大，系统的稳定裕量越大。
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第73页：闭环频率特性图
5.5.1闭环频率特性图
- 闭环频率特性
- 闭环幅频特性A(ω),闭环相频特性θ(ω)。
- 谐振：A(ω)>A(0)；谐振频率，
- 截止频率（带宽）。谐振峰值5.5闭环频率特性
第74页：结束语
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