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本课件系统讲解频域分析方法：先由正弦输入下的稳态响应引出幅频特性与相频特性，随后逐一绘制放大、积分、惯性、振荡、微分、不稳定与滞后等环节的幅相曲线和对数频率特性曲线，进而说明开环伯德图的叠加绘制与由实验曲线反推传递函数，最后给出奈奎斯特稳定判据与稳定裕度的工程判稳方法。
第四章 频域响应：本章从线性系统的频率响应出发，依次介绍频率特性的图形表示（幅相曲线与对数频率特性曲线）、由伯德图反推系统开环传函，以及奈奎斯特稳定判据与控制系统的相对稳定性。
§4-1 线性系统的频率响应：设线性定常系统的传递函数为 G(s)，系统方框图输入为 X(s)、输出为 Y(s)。其输入信号为正弦信号。
则输入信号的拉氏变换已知；系统的传递函数通常可以写成极点分式的形式，由此得到输出信号的拉氏变换。
对上式进行拉氏反变换得到系统的输出。对稳定系统，s1, s2, …, sn 都具有负实部，当时间 t 趋于无穷大时，上式的暂态分量将衰减至零，因此系统的稳态响应即为剩余部分。
其中待定系数 b 和 b* 可按下式计算。
G(jω) 是一个复数，用模和幅角可表示为 |G(jω)|ej∠G(jω)；同样，G(−jω) 可以表示为相应的共轭形式。
则系统稳态响应可化为正弦形式。式中 Y=|G(jω)|X 为稳态输出信号的幅值，∠G(jω) 为稳态输出信号的相移。
系统的频率特性反映了在正弦输入信号作用下，系统的稳态响应与输入正弦信号的关系。
系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。
获取系统频率特性的途径
§4-2 频率特性的图形表示，包括：
4.2.1 幅相频率特性曲线：幅相频率特性曲线简称幅相曲线，又称极坐标图，是以角频率 ω 作自变量，把幅频特性和相频特性用一条曲线同时表示在复平面上。
注意：幅频特性是角频率的偶函数，相频特性是 ω 的奇函数，因此角频率从 0 变化到无穷大时的幅相曲线与从负无穷大变化到 0 的幅相曲线关于实轴对称，通常只画出从 0 变至 ∞ 时的幅相曲线，并在曲线上用箭头表示 ω 增大的方向。
（一）放大环节（比例环节）：放大环节的传递函数为 G(s)=K（K 为常数），对应的频率特性为 G(jω)=K。
幅频特性为 |G(jω)|=K，相频特性为 0°，其幅相曲线为实轴上距原点 K 的一点。
（二）积分环节：积分环节的传递函数为 G(s)=1/s，对应的频率特性为 G(jω)=1/(jω)。
幅频特性为 1/ω，相频特性为 −90°，其幅相曲线与负虚轴重合。
（三）惯性环节：惯性环节的传递函数为 G(s)=1/(Ts+1)，对应的频率特性为 G(jω)=1/(1+jωT)。
幅频特性为 1/√(1+ω2T2)，相频特性为 −arctan(ωT)。
当 ω 由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性在平面上是正实轴下方的半个圆周。
证明：将频率特性写成实部与虚部的形式，消去参数即可验证其为圆的方程。
推广：当惯性环节传递函数的分子是常数 K，即 G(s)=K/(Ts+1) 时，其频率特性是圆心为 (K/2, 0)、半径为 K/2 的实轴下方半个圆周。
（四）振荡环节：振荡环节的传递函数为 G(s)=1/(T2s2+2ξTs+1)，对应的频率特性可由此代入 s=jω 得到。
振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比 ξ 有关。
当阻尼比较小时会产生谐振，谐振峰值 Mr（Mr>0）和谐振频率 ωr 由幅频特性的极值方程解出。
其中 ωn=1/T 称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率，是振荡环节频率特性曲线与虚轴交点处的频率。本页同时给出谐振峰值与谐振相移的表达式。
振荡环节的幅值特性曲线：当 ω<ωr 时，随着 ω 的增加幅值缓慢增大；当 ω=ωr 时，幅值达到最大值；当 ω>ωr 时，幅值迅速减小。ω=ωb 时的频率称为截止频率；频率大于 ωb 后，输出幅值衰减更快。
推广：当振荡环节传递函数的分子是常数 K，即 G(s)=K/(T2s2+2ξTs+1) 时，其对应频率特性的起点为实轴上的 K 点。
（五）一阶微分环节：一阶微分环节的传递函数为 G(s)=Ts+1，对应的频率特性为 G(jω)=1+jωT。
幅频特性为 √(1+ω2T2)，相频特性为 arctan(ωT)。
（六）二阶微分环节：二阶微分环节的传递函数为 G(s)=T2s2+2ξTs+1，对应的频率特性可代入 s=jω 得到。
幅频特性与相频特性分别为相应的模与幅角。
（七）不稳定惯性环节：不稳定惯性环节的传递函数为 G(s)=1/(Ts−1)，对应的频率特性为 G(jω)=1/(jωT−1)。
幅频特性为 1/√(1+ω2T2)，相频特性为 −180°+arctan(ωT)。
本页图示不稳定惯性环节与惯性环节的频率特性对比，二者在复平面上所处象限不同。
（八）滞后环节：滞后环节的传递函数为 G(s)=e−τs，对应的频率特性为 G(jω)=e−jωτ。
幅频特性为 1，相频特性为 −ωτ，其幅相曲线为单位圆。
二、系统的开环幅相曲线：线性系统的开环频率特性通常可写成若干典型环节相乘的形式。
例：系统开环频率特性已知，由幅频特性与相频特性可确定曲线的起点、终点以及与负虚轴的交点。
若在例 4-1 系统中增加一个积分环节，则系统为 1 型系统，其开环传函相应改变。由于起点或终点存在无穷大，需要先求出渐近线再绘制曲线。
起点存在无穷大，求渐近线的方法：将频率特性写成实部与虚部的形式，得到实频特性与虚频特性。
若在例 4-1 系统中再增加一个积分环节，则系统为 2 型系统，其开环传函相应改变。由于起点或终点存在无穷大，需求渐近线；与实轴交点则令虚频特性为零求得。
例 4-2：系统的开环传递函数已知，试绘制概略的开环幅相曲线。
解：系统开环频率特性的起点存在无穷大，需要先求出渐近线。
根据渐近线的位置可知：曲线可能起始于负虚轴左侧无穷远处、起始于负虚轴右侧无穷远处，或起始于负虚轴上侧无穷远处。
求曲线与负实轴的交点：令虚频特性为零求解。由于不等式方程组无解，故只有当幅相曲线从负虚轴左侧无穷远处起始时，才与负实轴有交点。
方程组无解，故只有当幅相曲线从负虚轴左侧无穷远处起始时，才与负实轴有交点。开环幅相曲线如图 4-15 所示。
对于开环传递函数只含有左半平面的零点和极点的系统，其幅相曲线的起点和终点具有如下规律：
注：若系统开环传递函数含有右半平面极点或零点（不稳定环节），则幅相曲线的起点和终点不具有以上规律，作图时应根据相频特性的表达式分析曲线的起点、终点位置以及相角的变化范围。
4.2.2 对数频率特性曲线——一、伯德图：伯德（Bode）图又称对数频率特性曲线，包括对数幅频特性和对数相频特性两条曲线。
伯德图优点
（一）放大环节（比例环节）：放大环节的频率特性为 G(jω)=K，幅频特性为 K，对数幅频特性为 20lgK。
当 n 个放大环节串联时，其增益相乘，对数幅频特性相加。
放大环节的 Bode 图中，对数幅频特性为一条水平直线，相频特性恒为 0°。
（二）积分环节：积分环节的频率特性为 G(jω)=1/(jω)，幅频特性为 1/ω，对数幅频特性为 −20lgω，是一条直线，其斜率为 −20dB/dec。
积分环节的相频特性为 −90°，与频率无关。Bode 图中对数幅频为过 ω=1、0dB 点的 −20dB/dec 直线。
当有 n 个积分环节串联时，幅频特性为 1/ωn，对数幅频特性为 −20n lgω，相频特性为 −n×90°。本页图示两个积分环节串联的 Bode 图。
（三）惯性环节：惯性环节的频率特性为 G(jω)=1/(1+jωT)，幅频特性为 1/√(1+ω2T2)。
对数幅频特性：低频段（ωT≪1）近似为 0dB；高频段（ωT≫1）近似为 −20lg(ωT)。
在交接频率处误差最大，最大误差为 −3dB。
本页给出若干典型频率处的误差数值。
本页给出惯性环节对数幅频特性的误差修正曲线，可据此对渐近特性进行修正以得到精确曲线。
惯性环节的相频特性为 −arctan(ωT)：ω=0 时为 0°，ω=1/T 时为 −45°，ω→∞ 时趋于 −90°，曲线关于交接频率呈对称的反正切形状。
（四）一阶微分环节：其频率特性为 G(jω)=1+jωT，幅频特性为 √(1+ω2T2)。
对数幅频特性：低频段近似为 0dB，高频段近似为 20lg(ωT)。
一阶微分环节的 Bode 图中，对数幅频特性在交接频率后以 +20dB/dec 上升，相频特性由 0° 增至 90°。
（五）振荡环节：其频率特性由 G(s)=1/(T2s2+2ξTs+1) 代入得到，幅频特性随阻尼比而变。
对数幅频特性：低频段近似为 0dB，高频段近似为 −40lg(ωT)。
本页图示振荡环节的渐近线对数幅频特性图，低频渐近线为 0dB 水平线，高频渐近线为 −40dB/dec 的斜线，二者相交于交接频率 ω=1/T。
渐近线与精确对数幅频特性曲线的误差分析：误差随阻尼比而变。
| 阻尼比 ξ | 交接频率处误差（dB） |
|---|---|
| ξ=1 | −6 |
| ξ=0.5 | 0 |
| ξ=0.25 | +6 |
振荡环节误差性质
其中 ωn=1/T 称为振荡环节的无阻尼（ξ=0）自然振荡频率。本页给出谐振频率与谐振峰值的计算公式。
振荡环节的相频特性由 0° 单调变化至 −180°，交接频率处为 −90°，阻尼比越小相角变化越陡峭。
（六）二阶微分环节：其频率特性由 G(s)=T2s2+2ξTs+1 代入得到。
对数幅频特性：低频段近似为 0dB，高频段近似为 40lg(ωT)。
二阶微分环节的相频特性由 0° 增至 180°，其 Bode 图与振荡环节关于横轴镜像对称。
（七）不稳定环节：其频率特性为 G(jω)=1/(jωT−1)，幅频特性与稳定惯性环节相同，但相频特性不同。
对数幅频特性：低频段与高频段的近似式与稳定惯性环节一致，区别在于相频特性。
不稳定惯性环节的相频特性为 −180°+arctan(ωT)，其 Bode 图幅频与稳定环节相同而相频相差 180°。
（八）滞后环节：其频率特性由传递函数 G(s)=e−τs 代入 s=jω 得到。
滞后环节的频率特性为 G(jω)=e−jωτ；对数幅频特性为 20lg|G(jω)|=0dB，即与频率无关的 0dB 水平线；对数相频特性为 −ωτ（弧度），随角频率的增大而无界地滞后。
本页图示滞后环节的 Bode 图：对数幅频特性为与横轴重合的 0dB 水平线，对数相频特性随 ω 增大而无界地滞后。
三、系统的开环对数频率特性曲线（伯德图）：将系统开环传函化为 n 个典型环节乘积（串联）的形式，则对数幅频特性与对数相频特性分别由各环节对应量相加得到。
结论：控制系统的对数频率特性曲线可由各分解典型环节相应的对数频率特性曲线叠加得到。
各典型环节对数幅频渐近特性曲线的斜率如下。
| 典型环节 | 渐近线斜率 |
|---|---|
| 比例环节 | 0 dB/dec |
| 积分环节 | −20 dB/dec |
| 惯性环节 | −20 dB/dec |
| 一阶微分环节 | +20 dB/dec |
| 振荡环节 | −40 dB/dec |
| 二阶微分环节 | +40 dB/dec |
系统对数幅频渐近特性曲线的绘制步骤
例 5-3：已知系统开环传递函数，试绘制系统开环对数幅频渐近特性曲线。
本页给出绘制结果：低频段由积分环节决定斜率，各交接频率处斜率依次变化，并标出（1, 20logK）等关键点的位置。
问题：如果系统开环传函（G）存在两个转折频率相同的典型环节（G1 和 G2，转折频率为 1/T），那么在转折频率 1/T 处，系统对数幅频渐近特性曲线斜率的变化量为多少？
处理方法：两个环节在该频率处的斜率变化量应相加。
小结
四、根据系统伯德图推导系统开环传函
1、根据频域响应实验获取对数频率渐进特性曲线：频率响应实验原理图由信号源、对象与记录仪表组成，输入端加 A sin ωt，测出不同频率下的输出幅值与相移即可绘制曲线。
2、根据对数频率渐进特性曲线确定系统开环传函：在最小相位条件下，根据对数幅频渐进特性曲线就可以确定系统的传递函数。
例 5-4：已知系统为最小相位系统，根据频率响应实验获得系统的对数幅频特性曲线和对数幅频渐进特性曲线，试确定系统的传递函数。
曲线低频段斜率为 +20dB/dec，中段为 0dB/dec，高频段为 −40dB/dec，交接频率为 ω1、ω2。
（1）根据对数幅频渐进特性曲线的起始段确定系统积分或微分环节的个数：低频段斜率为 +20dB/dec，说明系统含有一个一阶微分环节。
（2）根据对数幅频渐进特性曲线各段转折频率和转折频率处的斜率变化，确定系统开环传函的形式：各转折频率处的斜率变化量分别为 Δk1=−20dB/dec、Δk2=−40dB/dec，据此确定各环节的时间常数形式。
（3）根据给定的已知条件，确定系统开环传函各典型环节的参数：利用曲线上的已知点（1, 0）代入渐近特性方程求解参数。
继续利用曲线上的已知点（ω1, 12）与 +20dB/dec 段的斜率关系，求解一阶微分环节的时间常数。
利用曲线上的已知点（100, 0）与（ω2, 12）以及 −40dB/dec 段，求解振荡环节的时间常数与阻尼比。
由曲线上给出的谐振峰值 20lgMr，可反解出振荡环节的阻尼比 ξ，完成全部参数的确定。
最小相位条件下，根据对数幅频渐进特性曲线确定系统的传递函数的步骤
§5-4 奈奎斯特稳定判据：判断系统稳定性的常用方法有：
一、幅角定理（映射定理）：G(s)H(s) 是系统的开环传递函数，设有一复变函数 F(s)=1+G(s)H(s)，称之为辅助函数。
假设复变函数 F(s) 为单值，且除了 S 平面上有限的奇点外处处都为连续的正则函数，也就是说 F(s) 在 S 平面上除奇点外处处解析，那么对于 S 平面上的每一个解析点，在 F(s) 平面上必有一点（称为映射点）与之对应。
例如，当系统的开环传递函数已知时，其辅助函数也随之确定。除奇点 s′=0 和 s″=−1 外，在 S 平面上任取一点 s1=1+j2，则 F(s) 平面上的点为 F(s1)=0.95−j0.15。
F(s1)=0.95−j0.15 就叫做 s1=1+j2 在 F(s) 平面上的映射点。本页图示 S 平面上的点在 F(s) 平面上的映射关系。
如果解析点 s1 在 S 平面上沿封闭曲线 Γs（Γs 不经过 F(s) 的奇点）按顺时针方向连续变化一周，则辅助函数 F(s) 在 F(s) 平面上的映射也是一条封闭曲线 ΓF，但其变化方向可以是顺时针的，也可以是逆时针的，这要依据辅助函数的性质而定。
（二）幅角定理（映射定理）：设 F(s) 在 S 平面上除有限个奇点外为单值的连续正则函数，若在 S 平面上任选一封闭曲线 Γs 且不通过 F(s) 的奇点，则 S 平面上的封闭曲线 Γs 映射到 F(s) 平面上也是一条封闭曲线 ΓF。
当解析点 s 按顺时针方向沿 Γs 变化一周时，在 F(s) 平面上 ΓF 曲线按顺时针方向旋转的周数 N（每旋转 2π 弧度为一周），即 ΓF 按顺时针方向包围 F(s) 平面原点的次数，等于封闭曲线 Γs 内包含 F(s) 的零点数 Z 与极点数 P 之差，即 N=Z−P。
在图示例子中，S 平面上有三个极点 P1、P2、P3 和三个零点 Z1、Z2、Z3。被 Γs 曲线包围的零点有 Z1、Z2 两个，即 Z=2；包围的极点只有 P2，即 P=1。根据幅角定理得 N=Z−P=2−1=1，说明 Γs 映射到 F(s) 平面上的封闭曲线 ΓF 顺时针绕原点一周。
结论：由 ΓF 的旋转周数 N 可确定 Z−P，则 S 平面上封闭曲线 Γs 包含的零点数（即系统的闭环极点数）可由 Z=N+P 算出。注意：封闭曲线 Γs 和 ΓF 的形状是无关紧要的，不影响上述结论。
二、基于辅助函数 F(s) 的奈氏判据：为了分析反馈控制系统的稳定性，只须判断是否存在 S 平面右半部的闭环极点。在 S 平面上作一条完整的封闭曲线 Γs，使之包围 S 平面右半部且按顺时针环绕，包括 S 平面的虚轴（由 ω→−∞ 到 ω→∞）与右半平面上以原点为圆心、半径为无穷大的半圆弧。这一封闭无穷大半圆称作奈氏轨迹。
奈氏轨迹中包围 F(s) 的零点数 Z=0 时系统稳定。此时 ΓF 顺时针绕 F(s) 平面坐标原点的周数 N=Z−P=0−P=−P，式中负号表示 ΓF 逆时针绕原点。
基于辅助函数 F(s) 的奈氏判据：若辅助函数 F(s) 的解析点 s 沿奈氏轨迹 Γs 按顺时针连续环绕一周，它在 F(s) 平面上的映射 ΓF 按逆时针方向环绕其原点 P 周，则系统是稳定的，否则是不稳定的。
三、基于开环传递函数 G(s)H(s) 的奈氏判据：开环传递函数与辅助函数之间的关系为 G(s)H(s)=1−F(s)，即将 F(s) 平面的纵轴向右平移一个单位后的平面即为 GH 平面，F(s) 平面的坐标原点是 GH 平面的 (−1, j0) 点。
因此，ΓF 绕 F(s) 平面原点的周数等效于 ΓGH 绕 GH 平面 (−1, j0) 点的周数。
基于开环传递函数 G(s)H(s) 的奈氏判据：闭环系统稳定的充分必要条件是，奈氏轨迹映射在 GH 平面上的封闭曲线 ΓGH 逆时针包围 (−1, j0) 点 P 周，其中 P 为开环传递函数 G(s)H(s) 在 S 平面右半部的极点数。
四、基于开环频率特性 G(jω)H(jω) 的奈氏判据：（一）G(s)H(s) 与 G(jω)H(jω) 之间的关系：传递函数中令 s=jω 即得频率特性。
1、G(s)H(s) 在 S 平面虚轴上（包括原点）无极点时，奈氏轨迹可分为三个部分：（1）s 沿负虚轴变化；（2）s 沿正虚轴变化；（3）s 沿以原点为圆心、半径为无穷大的右半圆弧上变化，对应由 +∞ 到 −∞ 的顺时针环绕。
特殊：当 Γs 过平面原点时（s=j0），在 GH 平面上的映射为常数 K（K 为系统开环放大系数）。
本页图示 Γs 在 GH 平面上的映射，包含正虚轴、负虚轴两段对称曲线与无穷大半圆弧的映射。
奈奎斯特曲线（奈氏曲线）：奈氏轨迹 Γs 在 GH 平面上的映射 ΓGH。
2、G(s)H(s) 在 S 平面的虚轴上（包括原点）有极点：奈氏轨迹不能经过开环极点，ΓGH 必须避开虚轴上的所有开环极点。图示表示当有开环极点为零时的奈氏轨迹，其中（1）、（2）和（3）的定义与前面相同。
（4）当 s 沿以原点为圆心、半径为无穷小的右半圆弧上逆时针变化时，Γs 既绕过了 G(s)H(s) 原点上的极点，又包围了整个右半 S 平面。如果在虚轴上还有其它极点，亦可采用同样的方法，将 Γs 绕过这些虚轴上的极点。
设系统的开环传递函数中 v 为无差度，即系统积分环节个数（位于原点的开环极点数）。Γs 的第（4）部分无穷小半圆弧在 GH 平面上的映射为顺时针旋转的无穷大圆弧，旋转的弧度为 vπ 弧度。
本页图示当 v=1 和 v=2 时系统的奈氏曲线，其中的虚轴部分是 Γs 的无穷小半圆弧在 GH 平面上的映射。
（二）基于 G(jω)H(jω) 的奈氏判据：闭环系统稳定的充分必要条件是，GH 平面上的开环频率特性 G(jω)H(jω) 当 ω 从 −∞ 变化到 ∞ 时，按逆时针方向包围（−1, j0）点 P 周。
当位于 S 平面右半部的开环极点数 P=0 时，即当系统的开环传递函数的全部极点均位于 S 平面左半部（包括原点和虚轴）时，闭环系统稳定的充分必要条件是奈氏曲线 ΓGH 不包围 GH 平面的（−1, j0）点。
应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下列三种情况。
| 情况 | 开环右半平面极点数 P | 奈氏曲线包围情况 | 闭环稳定性结论 |
|---|---|---|---|
| I | P=0 | 不包围 (−1, j0) 点（N=0） | 稳定（Z=P+N=0），否则不稳定 |
| II | P≠0 | 逆时针包围 (−1, j0) 点 N=−P 周 | 稳定（Z=P+N=0），否则不稳定 |
| III | 任意 | 顺时针包围 (−1, j0) 点（N>0） | 不稳定（Z=P+N>0） |
在有些情况下，ΓGH 曲线恰好通过 GH 平面的 (−1, j0) 点（注意不是包围），此时如果系统无位于 S 平面右半部的开环极点，则系统处于临界稳定状态。
例 5-6：试用奈氏判据分析例 5-1 系统的稳定性。
解：该系统的开环传递函数已知，其对应的频率特性随之确定，开环频率特性的极坐标图如图 5-24 所示，当 ω 由 −∞ 变至 +∞ 时系统的奈氏曲线如图 5-46 所示。
由该系统的两个开环极点均在 S 平面左半部，即 S 平面右半部的开环极点数 P=0；由图可知系统的奈氏曲线不包围 (−1, j0) 点（N=0），根据奈氏判据，位于 S 平面右半部的闭环极点数 Z=P+N=0，该闭环系统是稳定的。
上述结论可从根轨迹图得到证明：无论 K 为何值，根轨迹都在 S 平面左半部，系统总是稳定的。
例 5-7：试用奈氏判据分析例 5-3 所给系统的稳定性。
解：该系统的开环传递函数已知，其对应的频率特性随之确定。由于系统含有一个积分环节（v=1），当 ω 由 −∞ 变至 +∞ 时，对应奈氏曲线为顺时针环绕坐标原点的无穷大半圆（图中虚线所示）。
开环传递函数无右半 S 平面的极点，即 P=0，系统是否稳定取决于奈氏曲线与负实轴的交点坐标值的大小。
本页图示例 5-7 系统的奈氏曲线，分别对应稳定与不稳定两种情形。
例 5-8：已知反馈控制系统的开环传递函数，试用奈氏判据分析当参数取不同值时的系统稳定性。
解：系统的开环频率特性已知，其幅频特性和相频特性分别给出。
（a）当参数取某值时，ω 由 0 变至 +∞ 时幅值由 ∞ 变至 0，相角由 −180° 在第 III 象限内变化后回到 −180°，其对应的奈氏曲线如图 5-50（a）所示。图中虚线表示的顺时针旋转的无穷大圆弧是开环零重极点在 GH 平面上的映射。
由于奈氏曲线左端无穷远处是开口的，它没有包围 (−1, j0) 点（N=0），系统无 S 平面右半部的开环极点（P=0），由奈氏判据知该系统是稳定的。
（b）当参数取另一值时，系统的相频特性与角频率无关，幅频特性随 ω 由 ∞ 变至 0。除无穷大圆弧外，奈氏曲线是穿过 (−1, j0) 点且与负实轴重合的，系统是临界稳定状态。
此时系统的根轨迹有两条位于 S 平面的虚轴上，系统是等幅振荡的临界稳定状态。
（c）当参数取第三种值时，ω 由 0 变至 ∞ 时幅值由某值变至 0，相角在第 II 象限内变化后再次变为 −180°，其对应的奈氏曲线如图 5-50（c）所示。
由于奈氏曲线左端是封口的，它顺时针包围了 (−1, j0) 点两周（N=2），由奈氏判据知该系统是不稳定的。此时系统的根轨迹有两条全部位于 S 平面右半部，无论 K 为何值该系统都是不稳定的。
本页图示例 5-8 系统的奈氏曲线（图 5-50）与根轨迹图（图 5-51），三种参数情形分别对应稳定、临界稳定与不稳定。
§5-5 控制系统的相对稳定性——一、相对稳定性：在工程应用中，由于环境温度的变化、元件的老化以及元件的更换等，会引起系统参数的改变，从而有可能破坏系统的稳定性，使系统不能正常工作。因此在选择元件和确定系统参数时，不仅要考虑系统的稳定性，还要求系统有一定的稳定程度，这就是所谓自动控制系统的相对稳定性问题。
本页图示系统的相对稳定性：奈氏曲线离 (−1, j0) 点越远，系统的稳定程度越高。
二、稳定裕度：通常用稳定裕度来衡量系统的相对稳定性或系统的稳定程度，其中包括系统的相角裕度和幅值裕度。
（一）相角裕度：
注意
注意：相角裕度的含义是使系统达到稳定的临界状态时的开环频率特性的相角减小（对应稳定系统）或增加（对应不稳定系统）的数值。
（二）幅值裕度
注意
最小相位系统的稳定裕度由相角裕度 γ 与幅值裕度 Kg 共同表征，二者都从开环频率特性曲线与 (−1, j0) 点的相对位置出发进行度量。
注意：幅值裕度的含义是使系统到达稳定的临界状态时的开环频率特性的幅值增大（对应稳定系统）或缩小（对应不稳定系统）的倍数。
系统相对稳定性的好坏不能仅从相角裕度或幅值裕度的大小来判断，必须同时考虑相角裕度和幅值裕度。
图示的两个系统中，(a) 所示系统的幅值裕度大但相角裕度小，相反 (b) 所示系统的相角裕度大但幅值裕度小，这两个系统的相对稳定性都不好。对于一般系统，通常要求相角裕度 γ=30°～60°，幅值裕度 Kg≥2（6 分贝）。
三、相角裕度和幅值裕度的求解方法——解析法：根据系统的开环频率特性和稳定裕度的概念，计算相角裕度和幅值裕度。
例：已知最小相位系统的开环传递函数，试求出该系统的幅值裕度和相角裕度。
解：系统的开环频率特性已知，其幅频特性和相频特性分别给出，再由 ωc 与 ωg 的定义求解。
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