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本课件进入状态空间法的分析与设计：先讨论非奇异线性变换下特征方程、特征根与传递函数阵的不变性，给出化对角阵与约当阵标准型的变换阵求法；再由状态转移矩阵求解状态方程；随后建立可控性与可观性的秩判据与对偶原理；最后说明状态反馈可任意配置闭环极点的条件与步骤。
第七章 状态空间分析设计：本章讨论状态空间的线性变换与规范化、线性定常系统状态方程的求解、系统的可控性与可观性分析，以及利用状态反馈进行极点配置的设计方法。
7.1 状态空间的线性变换——7.1.1 状态空间的线性变换：设给定 n 阶线性定常系统，若所选状态为 x，则其状态方程记作系统 {A，B，C，D}。选择另一组状态变量，其状态方程记作另一组系统。
若状态 x 可以用代数式线性表示，P 为 n×n 的常数非奇异矩阵，则 P 是坐标变换矩阵，也是状态空间的变换矩阵。
两边左乘 P−1 即得变换关系。称满足上式的系统 {A，B，C, D} 与变换后的系统为等价动态方程。
7.1.2 线性变换的不变性：考量一个系统的特征是传递函数、特征方程、特征根和特征向量，通过线性变换后这些系统的主要特征是否改变？
例：求矩阵 A 的特征值和特征向量。
解：解特征方程得 −1、−2 和 −3 为 A 的特征根。下面求 λ1＝−1 的特征向量 p1。
系数矩阵秩为 2，有无穷组解，有一个自由变量。令自由变量取某值可得 p1；若令其取另一值，显然 p1 和 p′1 线性相关，表明该特征根对应一个独立特征向量。
类似地求 λ2＝−2 的特征向量 p2，以及 λ3＝−3 的特征向量 p3。
通过线性变换后，系统的传递函数阵没有改变，这就是传递函数阵的不变性。
特征方程和特征值：系统的特征方程保持不变，系统的特征值也是不变的。
状态选取的不同不影响的是系统的输入输出关系，和系统的特征方程和特性；改变的是系统矩阵 A、输入矩阵 B 和输出矩阵 C。
线性变换的目的：通过选择合适的状态，使得变换后的系统矩阵、输入矩阵和输出矩阵具有特殊的形式，如对角阵标准型、可控标准型和可观标准型。
7.1.3 状态空间表达式的规范化——1、化对角阵标准型：若 n 阶线性定常系统的系统矩阵 A 有 n 个互不相等的实数特征值 λi（i＝1，2，…，n），那么系统一定可以通过线性变换将 A 变换为对角阵标准型，记为 Λ。
变换阵 P 是由 A 阵的特征向量 pi（i＝1, 2, …, n）组成的。
证明：因为 pi 为特征值 λi 对应的特征向量，将 A pi=λi pi 写成矩阵向量形式即可得证。
两边左乘相应矩阵即得变换后的系统矩阵。
例：将下列状态方程化为对角阵标准型，并求变换后的状态方程。
解：先解特征方程得到系统的特征根。
特殊情况：当系统矩阵 A 为友矩阵形式时，变换阵 P 可直接写为由特征值幂次构成的范德蒙德型矩阵。
由此可写出变换后的状态方程。
2、化约当阵标准型：若 n 阶线性定常系统的系统矩阵 A 的特征根有重根时，系统可变换为约当阵标准型的形式。
假设 λ1 是 A 的 m 重特征值，其他的特征根都互异。一般情况下，每一个特征根只有一个线性独立的特征向量，只有 n−m+1 个线性独立的特征向量；此时需借助广义特征向量产生 p2, …, pm，从而构成约当块。
由此得到约当阵标准型。若一个重特征根有两个独立的特征向量，那么会对应两个约当块。
例：将下列状态方程化为约当阵标准型。
解：先求特征根，再求各特征根对应的特征向量。
系数矩阵的秩为 1，说明有两个独立的特征向量。二重根有 2 个特征向量，所以不需要求广义特征向量。再求另一特征根的特征向量即可。
有重根的情况下，有时也可能出现对角阵。
特殊情况：若系统矩阵 A 的特征根有重根，且当系统矩阵 A 为友矩阵形式，那么变换阵 P 可直接写为相应的广义范德蒙德型矩阵。
7.2 线性定常系统状态方程的解——7.2.1 线性定常系统齐次方程的解：齐次方程就是没有外加输入的情况下，状态方程在初始条件作用下的解。
在 t=0 时初始状态为 x(0)。对标量的指数函数 eat 在 (x−a) 处泰勒展开，矩阵情形也有相应的展开式。
由此定义矩阵指数 eAt，那么齐次方程的解为 x(t)=eAtx(0)。
若初始时刻为 t0，则通过相应矩阵将初始状态 x(t0) 转移到 x(t)，通常用 Φ(t−t0) 表示。当 t0=0 时即为 eAt。
7.2.2 状态转移矩阵性质：
例：已知状态转移矩阵，求 A 阵。
解：利用性质 2，对 Φ(t) 求导后令 t=0 即得 A 阵；利用性质 1 可验算 Φ(t) 是否正确。
2、状态转移矩阵的求取
7.2.3 非齐次状态方程的解：对非齐次状态方程两边积分，可把解分为两部分。
7.3 线性连续系统的可控性与可观性分析——1、线性连续系统的状态可控性
2、线性连续系统的输出可控性：系统 {A(t)，B(t)，C(t)，D(t)} 及某一个特定的初始输出 y(t0)，若对每一个 tf＞t0，总存在定义在时间域 [t0, tf] 上的控制函数 u(·) 能把系统从初始输出 y(t0) 转移到任意输出 y(tf)，则称该系统为输出完全可控的。
物理意义是：不论初始输出在何处，通过控制函数 u(t) 可以将初始输出转移到指定位置。
3、线性连续系统的状态可观测性——（1）状态可观测性：系统 {A(t)，C(t)} 及某一个特定的初始状态 x(t0)，若可由有限时间区间 [t0, tf] 量测到的输出 y(t) 来确定，那么称状态 x(t0) 是 t0 时刻可观测的。若状态 x(t0) 在所有时刻都是可观的，则又称该状态为一致可观测的。
（2）系统状态完全可观测：若系统 {A(t)，C(t)} 的状态空间中每一个状态都是可观测的，则称该系统是状态完全可观测的，或简称状态可观测的。
物理意义：当系统状态不可测量时，可以通过测量到的系统输出估计出状态值。
可控性和可观性是状态空间法设计问题完全解存在性的条件：可控性是状态反馈实现的必要条件，可观性是状态估计的必要条件。在进行系统设计之前，必须判断系统是否可控和可观。
7.3 2 线性连续系统的可控性判据——1、线性定常连续系统可控性的秩判据：线性定常连续系统 {A，B} 状态完全可控的充要条件是可控性矩阵 Pc满秩，其中 Pc=[B AB … An−1B] 为可控性矩阵（证明需利用凯莱—哈密尔顿定理）。
例：判断系统的状态可控性。解：此为 3 阶系统，n＝3，计算可控性矩阵的秩后可知系统状态不完全可控。
例：若系统为可控标准型，判断状态可控性。
解：可控性矩阵为下三角阵，所以满秩，系统状态完全可控。可控标准型一定状态可控。
2、线性变换不会改变系统状态的可控性：因为 P 为非奇异矩阵，不影响矩阵的秩，所以线性变换前后系统的可控性保持不变。
3、系统输出的可控性判据：线性定常连续系统 {A，B，C，D} 输出可控的充要条件是输出可控性矩阵 Pk 满秩。
线性变换不会改变系统输出的可控性。
7.3 3 线性定常连续系统的可观测性判据——1、线性定常连续系统可观性的秩判据：线性定常连续系统 {A，C} 状态完全可观的充要条件是可观性矩阵 Po 满秩，其中 Po=[C CA … CAn−1]T 为可观性矩阵。
例：判断系统的状态可观性。
解：此为 2 阶系统，n＝2，计算可观性矩阵的秩后可知系统状态不完全可观。可观测标准型一定可观测。
因为 P 为非奇异矩阵，不影响矩阵的秩，所以线性变换不会改变系统状态的可观性。
7.3.4 对偶原理：线性系统 S1 与线性系统 S2 满足相应矩阵互为转置的关系，二者为对偶系统。可控标准型和可观测标准型就是一对对偶系统。
对偶原理：当且仅当系统 S2 完全可控（完全可观测）时，系统 S1 才是完全可观测（完全可控）的。
7.3 5 传递函数阵与可控性、可观性的关系：若系统是不可控或不可观的，则该系统的传递函数矩阵中一定会出现零极点对消。
对单输入—单输出系统，若传递函数 g(s)＝c(sI−A)−1b+d 中出现零极点对消（即传递函数的既约分母的阶次小于系统的状态维数），则该系统的可控性和可观性至少有一个被破坏。
例：分析下列系统的可控性、可观性，并求传递函数：分别存在可控但不可观、可观但不可控两种情形。
同一系统，可控性和可观性的差异是由于系统出现了零极点相消现象。系统是不可控还是不可观，取决于状态的选取。
只有当传递函数没有零极点对消时，系统才既可控又可观。
凡是系统完全可控的状态方程，一定可以通过线性变换变为可控标准型。对于可控的单输入单输出系统，单输入单输出系统可控标准型的变换阵是唯一的。
凡是系统完全可观的状态空间表达式，一定可以通过线性变换变为可观标准型。作线性变换即可得到。
7.4 线性定常系统的状态反馈和极点配置——7.4.1 状态反馈和输出反馈：考虑一个线性定常系统 {A，B，C}，前面几章介绍的是输出反馈。
1、输出反馈：当系统为 n 阶状态、m 个输入、l 个输出时，H 叫做输出反馈增益矩阵。
此时系统矩阵变为 A−BHC，输入矩阵和输出矩阵没变，闭环系统（y 对 r）的传递函数矩阵随之改变。
通过输出反馈改变了系统的系统矩阵，即系统闭环的特征方程也改变了，以达到改变系统闭环极点的目的。可以证明，通过输出反馈不会改变系统的可控性和可观测性。
例：已知系统传递函数，希望将闭环极点配置在指定位置，试用输出反馈进行设计，确定输出反馈增益阵。
解：首先选择状态变量，为了方便建立可控标准型。因为是单输出，所以令反馈阵 H＝h，闭环后的特征方程应该等于希望的特征方程。
求解结果无解，即表明通过输出反馈不能实现极点的任意配置。
2、状态反馈：K 称为状态反馈增益矩阵。此时系统矩阵变为 (A−BK)，输入矩阵和输出矩阵没变，所以闭环系统（y 对 r）的传递函数矩阵随之改变。
通过状态反馈改变了系统的系统矩阵，达到改变系统闭环极点的目的。可以证明，通过状态反馈不会改变系统的可控性，但有可能改变系统的可观测性。
| 比较项目 | 输出反馈 | 状态反馈 |
|---|---|---|
| 闭环系统矩阵 | A−BHC | A−BK |
| 对可控性的影响 | 不改变 | 不改变 |
| 对可观测性的影响 | 不改变 | 有可能改变 |
| 极点配置能力 | 不能任意配置 | 完全可控时可任意配置 |
例：试用状态反馈进行设计，确定状态反馈增益阵。
解：设状态反馈增益阵为 K，闭环后的特征方程应该等于希望的特征方程，由此可解出各元素——状态反馈可以任意配置极点。
7.4.2 状态反馈进行极点的任意配置——1、任意配置极点的充要条件：状态反馈可以任意配置闭环系统极点的充要条件是系统 {A，B，C} 状态完全可控。
证明（充分性）：状态反馈系统可控，则一定可以将系统化为可控标准型。
化可控标准型并令状态反馈阵的相应元素代入后，闭环系统矩阵仍然是友矩阵的形式，直接写出状态反馈后的特征方程即可。
希望的特征方程有 n 个待定系数，有 n 个方程，可以唯一确定，从而任意配置闭环系统极点。这提供了求状态反馈阵的一种方法（必要性同理可证）。
2、单输入单输出系统的极点配置步骤
例：设被控系统的状态方程已知，可否用状态反馈任意配置闭环极点？若可以，求状态反馈阵使闭环极点位于指定位置。
解：首先判断是否可控——可控性矩阵满秩，系统可控，可以任意配置极点。
方法 1：化可控标准型，作线性变换。
引入状态反馈后，原系统特征方程与希望的特征方程分别为两个多项式，比较同次幂系数即可求解反馈阵元素。
方法 2：直接法——引入状态反馈阵，其中各元素待定，使闭环极点位于指定位置；写出希望特征方程后用待定系数法求出各元素。
小结
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