02-3 状态空间模型.pptx

第1页：状态空间模型

本页以图示呈现状态空间模型。

第2页：传递函数矩阵

传递函数矩阵：

第3页：状态空间分析法概述

状态空间分析法在状态空间中以状态向量或状态变量描述系统的方法称为状态空间分析法或状态变量法

• 优点
• 便于在计算机上求解
• 数学描述简单
• 容易考虑初始条件
• 能了解系统内部状态的变化特性
• 适用范围广
• 便于设计

第4页：预备知识：矩阵微分（一）

预备知识——矩阵微分

• 1、向量函数对数量函数的导数
• 2、矩阵函数对数量函数的导数
• 3、数量函数对向量的导数
• 4、向量函数对向量的导数
• 5、矩阵函数对向量的导数

第5页：预备知识：矩阵微分（二）

预备知识——矩阵微分

• 1、向量函数对数量函数的导数
• 2、矩阵函数对数量函数的导数

第6页：预备知识：矩阵微分（三）

预备知识——矩阵微分

• 3、数量函数对向量的导数
• 4、向量函数对向量的导数

第7页：预备知识：矩阵微分（四）

预备知识——矩阵微分

• 5、矩阵函数对向量的导数

第8页：一、状态空间和状态方程

一、状态空间和状态方程

• 1、状态变量表达式相关概念如图所示的RLC电路，其输入电压为ur(t)，该电路中的四个物理量i(t)、uR(t)、uL(t)、uC(t)反映着系统各方面的特征，根据线性电路知识，这个电路有两个储能元件，即电感L和电容C，因此只能有两个物理量是独立的，而其余的物理量必能用这两个独立的物理量来表示。当选i(t)、Uc(t)为独立变量时，则其它变量可表示为：由解微分方程可知，如果已知初始条件i(0)、uc(0)以及t>0的ur(t),那么在t>0后的任一时刻的解就完全被确定了。

第9页：状态方程的向量矩阵形式

如方程组采用状态向量表示时,令为系统输入，(状态方程)如果以uC(t)为系统输出，用y表示，则有(输出方程)系统输出也可能并不一定是状态变量，但前面提到，其它的量如uR(t)或uL(t)等一定能用状态变量来表示。即输出可以写成状态变量的线性组合,因此输出方程一定是代数方程

第10页：状态空间模型矩阵形式

写为矩阵形式如状态空间模型

第11页：

第12页：

第13页：状态空间方法的基本概念

一、状态空间和状态方程

状态

从过去无穷远时间积累到现在能完备的描述系统动态特征的最小数目的一组变量。

状态向量

若以n个状态变量做为向量的分量，则称为状态向量。

状态空间

以状态变量为基构成的n维空间。

状态方程

描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组称为状态方程。

1、状态空间方法的基本概念

第14页：线性系统的状态空间表达式

2、线性系统及其状态空间表达式

• 状态方程的一般形式
• 单输入线性定常连续系统式中常系数与系统特性有关。上式可以写成向量矩阵形式：其中

第15页：多输入系统的状态空间表达式

2、线性系统及其状态空间表达式（续）

• 多输入线性定常连续系统向量矩阵形式为：其中

第16页：输出方程与状态变量

2、线性系统及其状态空间表达式（续）

• 输出方程：系统输出量与状态变量、输入量的关系称为输出方程。输出量由系统任务确定或给定
• 单输出线性定常连续系统输出方程的一般形式为式中常系数与系统特性有关。其向量矩阵形式为：
• 多输入－多输出系统的输出方程的一般形式为其向量矩阵形式为：

第17页：状态空间表达式的一般形式

2、线性系统及其状态空间表达式（续）

• 状态空间表达式：状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称动态方程。
• 单输入－单输出系统状态空间表达式的一般形式为
• 多输入－多输出系统状态空间表达式的一般形式为
• A(t):系统矩阵（状态矩阵）
• B(t):控制矩阵（输入矩阵）
• C(t):观测矩阵（输出矩阵）
• D(t):输入输出矩阵

第18页：非线性系统的状态方程

2、线性系统及其状态空间表达式（续）

• 对于一般的非线性系统，其状态方程和输出方程可能还是状态和输入的非线性函数因此状态方程和输出方程可用如下向量方程表示仿射非线性：下三角仿射非线性：

第19页：线性定常系统的状态空间表达式

2、线性系统及其状态空间表达式(续)

• 对于本节主要讨论的线性定常系统来说，状态空间模型的标准形式是

第20页：线性系统的动态结构图

线性系统的动态结构图

• 状态空间表达式的结构示意图

第21页：由微分方程建立状态表达式

3、状态空间表达式的建立

• 由微分方程建立状态变量表达式
• 直接根据系统的物理机理建立相应的微分或差分方程
• 针对微分方程，定义一组状态变量，建立状态方程，并根据系统输出和状态之间的关系，建立系统的输出方程
• 由已知的该系统的其他数学模型（如传递函数）经过转化而得

第22页：机械位移系统状态方程

例：由质量块、弹簧、阻尼器组成的机械位移系统如图示

• 有力F及阻尼器汽缸速度V两种外作用，另输出量为：质量块位移、速度和加速度。试写出该双输入－三输出机械位移系统的状态空间表达式。图中m、k、f分别为质量、弹簧的弹性模量、阻尼系数，x为位移。
• 解：根据牛顿力学得到该系统的微分方程为：
• 它是二阶系统，选择质量块的位移和速度为状态变量。令
• 系统的三个输出量为，

第23页：机械位移系统的状态方程

由系统的微分方程可导出下列状态方程：

• 其向量－矩阵形式为

第24页：状态变量选取的说明

说明：

• 状态变量个数等于系统中独立储能元件的个数
• 状态变量一般选可反映储能元件能量变化的量（eg：电感电流、电容电压、位置、速度）

第25页：不含输入导数项的微分方程

二、由微分方程建立状态变量表达式

选取状态变量

则有

1、线性微分方程中不含有输入函数导数项的系统的状态空间表达式

第26页：系统状态空间表达式

二、由微分方程建立状态变量表达式

• 系统状态空间表达式为：

第27页：状态变量关系方块图

二、由微分方程建立状态变量表达式

• 根据上式绘制的状态变量之间关系的方块图如图所示，每个积分器的输出都是对应的一个状态变量，状态方程由积分器的输入输出关系确定，输出方程在输出端给出：

第28页：由微分方程建立状态表达式例题

例：

• 设一控制系统的动态过程用微分方程表示为
• 式中u,y分别为系统的输入和输出信号，试求系统的状态空间描述。
• 解：选取状态变量为
• 则有：

第29页：状态方程的矩阵形式

例：

• 将上式写成矩阵微分方程形式

第30页：输入量含导数项的情形

2、系统输入量中含有导数项

• 其一般形式为：
• 若选取状态变量
• 则得到在状态方程中将会出现输入导数项

第31页：输入量含导数项（续）

2、系统输入量中含有导数项（续）

• 应选择以下n个变量作为一组状态变量
• 则状态变量如下

第32页：含导数项的状态变量选取

2、系统输入量中含有导数项（续）

• 式中是n个待定常数输出方程状态方程

第33页：含导数项的待定系数法

2、系统输入量中含有导数项（续）对最后一个方程求导，并将y(n）用下式代入得到：

第34页：含导数项求解步骤（续）

2、系统输入量中含有导数项（续）将上式中所有的输出项以及输出的导数项都用状态和输入的各阶导数项表示有

第35页：含导数项系数为零的推导

2、系统输入量中含有导数项（续）令上式中u的各阶导数项的系数为零，则有令则有

第36页：含导数项的矩阵向量形式

2、系统输入量中含有导数项（续）

• 将上式改为矩阵向量形式为：
• 其中d=h0＝bn

第37页：含导数项的状态变量方块图

2、系统输入量中含有导数项（续）绘制出状态变量之间关系的方块图如图所示

第38页：含导数项建模例题

例：

• 设一控制系统的动态过程用微分方程表示为式中u,y分别为系统的输入和输出信号，试求系统的状态空间表达式。
• 解：选择状态变量为

第39页：

第40页：控制系统状态空间表达式

根据上式写出控制系统空间表达式为d=0

第41页：系统结构图绘制例题

例：

• 设一控制系统的动态过程用微分方程表示为
• 式中u,y分别为系统的输入和输出信号，试求系统的状态空间表达式。画出系统的结构图
• 解：由题得

第42页：系统结构图与状态表达式

写出状态空间表达式为

• 系统结构图如下

第43页：含导数项情形（续）

2、系统输入量中含有导数项（续）

• 函输入导数项的系统一般形式为：
• 当式中bn=0时，还可以按如下规则选择另一组状态变量（关键，方法巧妙）。设
• 则得到

第44页：含导数项情形（续二）

2、系统输入量中含有导数项（续）

• 则得到

第45页：含导数项情形（续三）

2、系统输入量中含有导数项（续）

• 因此可以得到（n-1）个状态方程输出方程为

第46页：含导数项求导与代入

2、系统输入量中含有导数项（续）对下式求导并将y(n)用式代入后经整理得（巧妙在这！）状态方程为

第47页：含导数项情形（续四）

2、系统输入量中含有导数项（续）d=0

第48页：含导数项情形（续五）

2、系统输入量中含有导数项（续）

第49页：状态空间表达式求解例题

例

• 试求的状态空间表达式。因为此系统为三阶系统，而b3=0，所以可以选择状态变量

第50页：状态变量选取的非唯一性

所以状态空间表达式为对于一个给定的系统而言，状态变量的选取并不是唯一的。关于同一系统的不同状态变量之间的关系，将在第七章中介绍。

第51页：由传递函数求状态空间表达式

三、由传递函数求状态空间表达式

• 1、直接法：
• 设线性定常系统的传递函数如下：（为有理真分式）

第52页：直接法的基本思路

直接法：

第53页：非有理真分式的处理

直接法（续）：

• 为非有理真分式时：（bn不为零）由可知：bn就等于状态方程中的直接矩阵d而为有理真分式因此我们只要能由一个有理真分式的传递函数求相应的状态空间表达式的话，那么对非有理真分式求状态空间表达式，只需增加一个直接矩阵d即可

第54页：直接法求解步骤图

直接法（续）：uZybn

第55页：可控标准型

直接法（续）

• 这种形式的状态空间表达式被称为可控标准型。可控（能控）：状态空间方程能否被输入所控制。

第56页：可控（能控）的定义

可控（能控）：状态方程（A,B），若对于任何初始状态以及任意最终状态，都存在输入u能在有限时间内将转移到简言之：状态空间方程的状态能否被输入所控制。可观（能观）：状态方程（A,B,C,D），若对于任何未知的初始状态存在有限的时间使得在时间区域内的输入u和输出y足以确定系统初始状态简言之：系统初始状态是否能被输出所观测.举例说明:

第57页：直接法（续）：可观测标准型

直接法（续）

• 由于为有理真分式，即对应的微分方程中输入导数项的最高阶等于零因此也可以采用式(2-45)的方式选择状态变量，那么状态空间表达式就如式（2-49）所示。这样向量矩阵形式的状态空间表达式为

第58页：可观测标准型

直接法（续）

• 这种形式的状态空间表达式被称为可观测标准型

第59页：由传递函数求状态描述例题

例:

• 已知控制系统传递函数，试求该系统的状态空间描述。

第60页：可控与可观测标准型例题

例：

• 试求下式的可控标准型和可观测标准型解：系统传递函数为有可控标准型为

第61页：同一系统的两种标准型

例：有可观测标准型为对于同一系统，状态变量不同，状态空间表达式也不一样。

第62页：传递函数的并联实现

2、并联实现

• 例

第63页：传递函数的串联实现

3、串联实现

• 例

第64页：极点形式传递函数的实现

4、传递函数以极点形式给出

• a、系统传递函数只有单实极点（没有重极点）系统特征方程可表示为通过部分分式展开成下列形式

第65页：单实极点的状态变量选取

a、系统传递函数只有单实极点为G(s)在极点λi处的留数因此有选择状态变量为输出为以上两式整理后，取拉氏反变换得：

第66页：对角阵标准型

对角阵标准型

• 写成矩阵形式有对角阵标准型

第67页：对角阵标准型（续）

对角阵标准型

• 如果状态变量选择为那么系统输出则为同样，经过反拉氏变换并展成矩阵形式有对角阵标准型

第68页：可控与可观测标准型的对偶关系

对偶关系称满足上式关系的两个状态空间表达式为对偶关系

第69页：对偶关系示意图

对偶关系可控标准型可观测标准型

第70页：含重实极点的传递函数

b、系统传递函数含有重实极点情况

• 假设极点λ1为三重极点，其它均为单实极点，即λ4、λ5、…λn，那么系统特征方程可表示为传递函数可以通过部分分式展开成下列形式那么系统输出为

第71页：重实极点的状态变量选取

b、系统传递函数含有重实极点情况如果选择状态变量为输出为

第72页：重实极点情况求解（续）

b、系统传递函数含有重实极点情况

• 整理得对上式拉氏反变换并整理得

第73页：约当标准型与约当块

约当（Jordan）标准型称重极点对应的为约当块

第74页：由状态空间表达式求传递函数阵

四、由状态空间表达式求传递函数阵

• 状态空间表达式若对上式求拉氏变换，并令初始条件为零，则有整理式得根据传递函数阵的定义有

第75页：由标准型求传递函数例题

例

• 求上例中可控标准型式和可观测标准型式的传递函数。可控标准型有与原传递函数完全一样

第76页：可观测标准型的传递函数

可观测标准型式有与原传递函数完全一样。

第77页：第二章数学模型小结

小结

• 微分方程、传递函数（Laplace变换和反变换）、方块图和状态空间模型
• 线性化处理
• 建立系统或元件的微分方程是建立所有系统数学模型的基础
• 方块图变换和简化