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本课件围绕控制系统的时域分析展开，给出典型输入信号与一阶、二阶系统的时域响应，推导二阶系统的超调量、上升时间、峰值时间与调节时间等瞬态性能指标，并讲解劳斯稳定判据与稳态误差的计算方法。
-1引言3-2一阶系统的时域响应3-3二阶系统的时域响应3-4控制系统的稳定性3-5控制系统的稳态误差
3-1引言分析和设计控制系统的首要任务是建立系统的数学模型。一旦获得合理的数学模型，就可以采用不同的分析方法来分析系统的性能。直接方法
时域分析法是在时间域内研究系统在典型输入信号的作用下，其输出响应随时间变化规律的方法。对于任何一个稳定的控制系统，输出响应含有瞬态分量和稳态分量。
工程实际中，有些系统的输入信号是已知的（如恒值系统），但对有些控制系统来说，常常不能准确地知道其输入量是如何变化的（如随动系统）。因此，为了方便系统的分析和设计，使各种控制系统有一个进行比较的基础，需要选择一些典型试验信号作为系统的输入，然后比较各种系统对这些输入信号的响应。常用的试验信号在第二章已经介绍，它们是阶跃函数、斜坡函数、抛物线函数、脉冲函数及正弦函数。这些函数都是简单的时间函数，并且易于通过实验产生，便于数学分析和试验研究。选择策略：
二、典型输入信号
斜坡信号斜坡函数也称等速度函数。其定义为输入斜坡函数相当于对系统输入一个随时间作等速变化的信号，其图形如图所示。若A=1,则称之为单位斜坡函数。斜坡函数等于阶跃函数对时间的积分。斜坡函数的Laplace变换为单位斜坡函数的Laplace变换为R(s)=1/s2A10t
抛物线信号抛物线函数也称加速度函数，其定义为输入抛物线函数相当于对于系统输入一个随时间做等加速变化的信号，其图形如图所示。若A=1/2,称之为单位抛物线函数。抛物线函数等于斜坡函数对时间的积分。抛物线函数的Laplace变换为单位抛物线函数的Laplace变换为R(s)=1/s3t1A0
脉冲信号脉冲函数的定义为脉冲函数在理论上（数学上的假设）是一个脉宽无穷小，幅值无穷大的脉冲。在实际中，只要脉冲宽度ε极短即可近似认为是脉冲函数。如图所示。脉冲函数的积分，即脉冲的面积为当A=1时，即面积为1的脉冲函数称为单位脉冲函数，记为δ(t)0tεA–ε
δ（t）函数的图形如下图所示。脉冲函数的积分就是阶跃函数。脉冲函数的Laplace变换为单位脉冲函数的Laplace变换为R(s)=1。作用：通过impulse响应可以研究任意形式外作用的响应（叠加原理）t0δ(t)1
正弦信号正弦函数也称谐波函数，表达式为用正弦函数作输入信号，可求得系统对不同频率的正弦输入的稳态响应。正弦输入的Laplace变换为
3-2一阶系统的时域响应由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统,典型闭环控制一阶系统如图所示.其中是积分环节，T为它的时间常数。一阶系统的结构图C(s)-R(s)典型的一阶系统是一个惯性环节,输出为在零初始条件下，利用拉氏反变换或直接求解微分方程，可以求得一阶系统在典型输入信号作用下的输出响应。
实际中，常以输出量达到稳态值的95%或98%的时间作为系统的响应时间（即调节时间），这时输出量与稳态值之间的偏差为5%或2%。在整个工作时间内，系统响应都不会超过起稳态值。由于该响应曲线具有非振荡特征，故也称为非周期响应，如下图所示。一、单位阶跃响应设系统的输入为单位阶跃函数r(t)=1(t),其拉氏变换为,则输出的拉氏变换为上式表明
图中指数响应曲线的初始（t=0时）斜率为.如果系统保持初始响应的变化速度不变，则当t=T时，输出量就能达到稳态值。实际上，响应曲线的斜率是不断下降的，经过T时间后，输出量C（T）从零上升到稳态值的63.2%。经过3T～4T时，C（t）将分别达到稳态值的95%～98%。可见，时间常数T反应了系统的响应速度，T越小，输出响应上升越快，响应过程的快速性也越好。斜率1C(t)0.95T3T0.632一阶系统的单位阶跃响应反推方法：如何由曲线形状判别其阶次？系统单位阶跃响应曲线可用实验的方法确定，将测得的曲线与上图作比较，就可以确定该系统是否为一阶系统或等效为一阶系统。如何求取一阶系统的时间常数？
式中，t-T为稳态分量，为瞬态分量，当t→∞时，瞬态分量衰减到零。一阶系统的单位斜坡响应曲线如图所示。（t≥0）TtTC(t)r(t)=to一阶系统的单位斜坡响应二、单位斜坡响应设系统的输入为单位斜坡函数r(t)=t，其拉氏变换为则输出的拉氏变换为
显然，系统的响应从t=0时开始跟踪输入信号而单调上升，在达到稳态后，它与输入信号同速增长，但它们之间存在跟随误差。即且可见，当t趋于无穷大时，误差趋近于T，因此系统在进入稳态以后，在任一时刻，输出量c(t)将小于输入量r(t)一个T值，时间常数T越小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小。
系统的单位脉冲响应就是系统闭环传递函数的拉氏反变换三、单位脉冲响应设系统的输入为单位脉冲函数r(t)=δ(t),其拉氏变换为R(s)=1,则输出响应的拉氏变换为（t≥0）对上式进行拉氏反变换，求得单位脉冲响应为0.368C(t)3T斜率C(t)T2Tt一阶系统的脉冲响应响应曲线如图所示。
按照脉冲函数，阶跃函数、斜坡函数的顺序，前者是后者的导数，而后者是前者的积分。脉冲响应、阶跃响应、斜坡响应之间也存在同样的对应关系。表明：0.368C(t)3T斜率C(t)T2Tt一阶系统的脉冲响应线性定常系统的一个重要特征系统对某种输入信号导数的响应，等于对该输入信号响应的导数；对某种输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分。
（t≥0）（t≥0）不仅适用于一阶线性定常系统，也适用于高阶线性定常系统。
3-3二阶系统的时域响应由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。在控制工程实践中，二阶系统应用极为广泛，此外，许多高阶系统在一定的条件下可以近似为二阶系统来研究，因此，讨论和分析二阶系统的特征具有重要的实际意义。C(t)R(t)_C(t)二阶系统结构图设二阶系统的结构图如图所示。系统的闭环传递函数为其中K为系统的开环放大系数，T为时间常数。
式中，称为无阻尼自然振荡角频率，（简称为无阻尼自振频率），称为阻尼系数（或阻尼比）。为了分析方便，将系统的传递函数改写成如下形式它的两个根为二阶系统特征根（即闭环极点）的形式随着阻尼比取值的不同而不同。系统的闭环特征方程为
1.二阶系统的阶跃响应设系统的输入为单位阶跃函数，则系统输出响应的拉氏变换表达式为对上式取拉氏反变换，即可求得二阶系统的单位阶跃响应。（一）过阻尼（）的情况系统具有两个不相等的负实数极点j0[s]过阻尼时极点分布
C(t)to1过阻尼响应稳态分量为1，瞬态分量包含两个衰减指数项，曲线单调上升。分析：当时，极点比距虚轴远得多，故比衰减快的多，可将二阶系统近似成一阶系统来处理。阻尼比时二阶系统的运动状态为过阻尼状态。
[s]o欠阻尼时的极点分布(二)欠阻尼（）的情况系统具有一对在S平面的左半部的共轭复数极点，式中，称为阻尼自振频率
[s]o欠阻尼时的极点分布
系统的稳态响应为1，瞬态分量是一个随时间t的增大而衰减的正弦振荡过程。振荡的角频率为，它取决于阻尼比和无阻尼自然频率。衰减速度取决于的大小。此时系统工作在欠阻尼状态。输出响应如图所示。tC(t)10欠阻尼响应
（三）临界阻尼（）的情况系统具有两个相等的负实数极点，如图所示。o[s]临界阻尼时极点的分布t1oC(t)临界阻尼响应系统的输出响应由零开始单调上升，最后达到稳态值1，响应曲线如图。是输出响应的单调和振荡过程的分界，通常称为临界阻尼状态。调整时间最短
系统有一对共轭纯虚数极点,它们在S平面上的位置如图所示。（四）无阻尼（）的情况[s]o(a)无阻尼时的极点分布和响应C(t)(b)1to系统的输出响应是无阻尼的等幅振荡过程，其振荡频率为将代入
输出响应是发散的，此时系统已无法正常工作。——无阻尼自然振荡频率，此时系统输出为等幅振荡——阻尼振荡频率。系统输出为衰减正弦振荡过程。综上所述，不难看出频率和的物理意义。根据上面的分析可知，在不同的阻尼比时，二阶系统的响应具有不同的特点。因此阻尼比是二阶系统的重要特征参数。分析系统具有实部为正的极点，若选取为横坐标，可作出不同阻尼比时二阶系统单位阶跃响应曲线。
系统无振荡时，以临界阻尼时过渡过程的时间最短，此时，系统具有最快的响应速度。
在实际应用中，控制系统性能的好坏是通过系统的单位阶跃响应的特征量来表示的。为了定量地评价二阶系统的控制质量，必须进一步分析和对系统单位阶跃响应的影响，并定义二阶系统单位阶跃响应的一些特征量作为评价系统的性能指标。2．二阶系统瞬态性能指标此时，系统在具有适度振荡特性的情况下，能有较短的过渡过程时间，因此下面有关性能指标的定义和定量关系的推导，主要是针对二阶系统的欠阻尼工作状态进行的。控制系统的单位阶跃响应一般与初始条件有关，为了便于比较各种系统的控制质量，通常假设系统的初始条件为零。除了一些不允许产生振荡的系统外，通常希望二阶系统工作在的欠阻尼状态下。
系统在欠阻尼情况下的单位阶跃响应为对应的响应曲线如图所示。由上式和图所示曲线来定义系统的瞬态性能指标，同时讨论性能指标与特征量之间的关系。超调量C(t)上升时间峰值时间调节时间误差带稳态误差o
(一)上升时间响应曲线从零开始上升，第一次到达稳态值所需的时间，称为上升时间。根据上述定义，当时，，由式可得（k=0,1,2……）当一定时，阻尼比越大，上升时间越长，当一定时，越大，越小。
（二）峰值时间响应曲线C（t）从零开始到达第一个峰值所需时间，称为峰值时间。由定义，令得所以即（k=1,2，……）分析、与的关系。且闭环极点到实轴的距离越远，峰值时间越短。因为峰值时间是C(t)到达第一个峰值的时间，故取=1,
（三）超调量在响应过程中，输出量C（t）超出其稳态值的最大差量与稳态值之比称为超调量。根据超调量的定义，并考虑到输出量的最大值为所以超调量可表示为式中为输出量的最大值，为输出量的稳态值。
上式表明，只是的函数，与无关，越小,则越大。当二阶系统的阻尼比确定后，即可求得对应的超调量。反之，如果给出了超调量的要求值，也可求得相应的阻尼比的数值。一般当时，相应的超调量为10090807060504030201000.20.40.60.81.0欠阻尼二阶系统超调与阻尼比关系曲线与的关系曲线如图所示。
（四）调节时间响应曲线到达并停留在稳态值的（或)误差范围内所需的最小时间称为调节时间（或过渡过程时间）。由定义下式成立式中（或0.02）采用近似的计算方法，忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到0.05（或0.02）时，过渡过程即进行完毕，得到
在时，上面两式可分别近似为和可以近似认为调节时间与闭环极点到虚轴的距离成反比。在设计系统时，通常由要求的超调量所决定，而调节时间则由自然振荡频率所决定。即在不改变超调量的条件下，通过改变的值可以改变调节时间。由此可求得
（五）振荡次数N响应曲线在0～时间内波动的次数称为振荡次数。式中称为系统的阻尼振荡周期。振荡次数只与阻尼比有关。
阻尼比和无阻尼自振频率是二阶系统两个重要特征参数，它们对系统的性能具有决定性的影响。
R(s)E(s)-C(s)(a)(b)R(s)E(s)C(s)--例3-1系统结构图（秒）解系统（a）的闭环传递函数为例3-1设控制系统如图3-16所示。其中（a）为无速度反馈系统，（b）为带速度反馈系统，试确定是系统阻尼比为0.5时的值，并比较系统（a）和(b)阶跃响应的瞬态性能指标。（秒）（秒）（次）
系统（b）的闭环传递函数为结论：采用速度反馈后，可以明显地改善系统的动态性能。（秒）（秒）（秒）由和可求得将代入，解得
例3-2设单位反馈系统的开环传递函数为若要求系统的阶跃响应的瞬态性能指标为试确定参数K和a的值。解系统的闭环传递函数为（秒）
45工程实例：电缆挤压注塑成型过程
46
47模型(ARMAX）：
3-5控制系统的稳定性在控制系统的分析研究中，最重要的问题是系统的稳定性问题。不稳定的系统在受到外界或内部的一些因素扰动时，会使被控制量偏离原来的平衡工作状态，并随时间的推移而发散。因此，不稳定的系统是无法正常工作的。在这一节中将讨论稳定性的定义，稳定的充要条件及判别稳定性的基本方法。一、稳定的概念和定义在自动控制理论中，有多种稳定性的定义，这里只讨论其中最常用的一种，即渐近稳定性的定义。
稳定与不稳定系统的示例图aAf图b图cdfcA图c中，小球在C、D范围内，系统是稳定的，故可以认为该系统是条件稳定系统。图a为稳定的系统。图b为不稳定系统。
二稳定的充要条件稳定性是系统在扰动消失后，自身具有的一种恢复能力，它是系统的一种固有特性，这种特性只取决于系统的结构和参数，与外作用无关。线性定常系统的稳定性的定义：如果线性定常系统受到扰动的作用，偏离了原来的平衡状态，而当扰动消失后，系统又能够逐渐恢复到原来的平衡状态，则称该系统是渐近稳定的（简称为稳定）。否则，称该系统是不稳定的。针对非线性情况：在下面的讨论中，如果系统的数学模型是建立在小偏差线性化的基础上，则认为系统中各信号的变化均不超出其线性范围。此时，该系统采用上述的稳定性的定义。
设线性定常系统在初始条件为零时，输入一个理想单位脉冲，这相当于系统在零平衡状态下，受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于时，系统的输出响应C(t)收敛到原来的零平衡状态，即该系统就是稳定的。根据上述稳定性的定义，可以用函数作为扰动来讨论系统的稳定性。根据这一思路分析系统稳定的充要条件。设系统的闭环传递函数为
特征方程为如果特征方程的所有根互不相同，且有q个实数根和r对共轭复数根,则在单位脉冲函数的作用下，系统输出量的拉氏变换可表示为将上式用部分分式法展开并进行拉氏反变换得式中
上式表明
三劳斯稳定判据由以上讨论可知，控制系统的稳定的充要条件是其特征方程的根均具有负实部。因此，为了判别系统的稳定性，就要求出系统特征方程的根，并检验它们是否都具有负实部。但是，这种求解系统特征方程的方法，对低阶系统尚可以进行，而对高阶系统，将会遇到较大的困难。因此，人们希望寻求一种不需要求解特征方程就能判别系统稳定性的间接方法。劳斯判据就是其中的一种。劳斯判据利用特征方程的各项系数进行代数运算，得出全部特征根具有负实部的条件，以此作为判别系统是否稳定的依据。因此，这种判据又称为代数稳定判据。
1、稳定的必要条件设系统的特征方程为式中（当时，可将方程两边同乘以-1）。若该方程的特征根为（1,2,….n）,该n个根可以是实数也可以是复数，则上式可改写成为将上式展开……
由此可见，如果特征方程的根都具有负实部，则上式的所有系数必然都大于零。故系统稳定的必要条件是其特征方程的各项系数均为正，即根据必要条件，在判别系统的稳定性时，可事先检查系统特征方程的系数是否都大于零，若有任何系数是负数或等于零，则系统是不稳定的。但是，当特征方程满足稳定的必要条件时，并不意味着系统一定是稳定的，为了进一步确定系统的稳定性，可以使用劳斯判据。
2.劳斯判据
计算劳斯表的各系数……系数的计算一直进行到其余的b值全部等于零为止。用同样的前两行系数交叉相乘的方法，可以计算c,d,……e,f,g各行的系数。
这个计算过程一直进行到n+1行为止。为了简化运算，可以用一个正整数去乘或除其一行的各项，不改变稳定性的结论。……………………劳斯稳定判据（1）劳斯表第一列所有系数均不为零的情况如果劳斯表中第一列的系数都具有相同的符号，则系统是稳定的，否则系统是不稳定的。且不稳定根的个数等于劳斯表中第一列系数符号改变的次数。
2例3-6已知系统的特征方程为试用劳斯判据分析系统的稳定性。解列劳斯表114106172
劳斯表第一列的系数符号相同，故系统的是稳定的。由于判别系统是否稳定只与劳斯表中第一列系数的符号有关，而把劳斯表中某一行系数同乘以一个正数不会改变第一列系数的符号，所以为简化运算，常把劳斯表的某一行同乘以以一个正数后，再继续运算。本例中，劳斯表可按如下方法计算：1141061726758(同乘以6)791134（同乘以67）36900（同乘以791）134由于第一列系数的符号相同，故系统稳定，结论与前面一致。
例3－7已知系统的特征方程为s4+2s3+s2+s+1=0试用劳斯判据判断系统的稳定性。解列劳斯表如下S4111S3210S2(2*1－1*1)/2=1/2(2*1－1*0)/2=1S1(1*1－2*2)/1=－3S0(－3*2－1*0)/－3=2由于劳斯表第一列的系数变号两次，一次由1/2变为-3，另一次由-3变为2，故特征方程有两个根在S平面右半部分，系统是不稳定的。
(2)劳斯表某行的第一列系数等于零，而其余各项不全为零的情况当劳斯表某一行的第一列系数为零，而其余项不全为零，可用一个很小的正数代替第一列的零项，然后按照通常方法计算劳斯表中的其余项。
例3-8已知系统的特征方程为试判别系统的稳定性。解：由特征方程列出劳斯表12512055当的取值足够小时，将取负值，故劳斯表第一列系数变号两次，由劳斯判据可知，特征方程有两个根具有正实部，系统是不稳定的。对于这种情况，也可以用(s+1)因子乘以原特征方程，然后按新的特征方程计算劳斯表。例如在上例中用(s+1)乘以原特征方程得
劳斯表为13724529（同乘以2）-10101110显然，劳斯表第一列系数变号两次，其结论与前面是一致的。
例如，，等等。显然，系统是不稳定的。此时，为了确定根的分布情况，可按下列步骤处理：(3)劳斯表某行所有系数均为零的情况如果劳斯表中某一行（如第K行）各项为零，这说明在S平面内存在以原点为对称的特征根（不是共轭）。*利用第K-1行的系数构成辅助方程。*求辅助方程对s的导数，将其系数代替原全部为零的K行，继续计算劳斯表。*特征方程中以原点为对称的根可由辅助方程求得。
182016212162121600由上表看出，行的各项全为零，为了求出～各行，由行的各项系数构成辅助方程将辅助方程对s求导得用上式各项系数作为行的各系数继续计算劳斯表得例3-9已知系统的特征方程为分析系统的稳定性。解由特征方程列劳斯表
18201621216212168246168/316由于劳斯表第一列系数符号都相同，因此，可以确定没有特征方程根分布在S平面的右半部分。但由于行的各项均为零，这表明系统有共轭虚根，所以系统是不稳定的，共轭虚根可由辅助方程求得，即由
综上所述，应用劳斯表判据分析系统的稳定性时，一般可以按如下顺序进行：1、确定系统是否满足稳定的必要条件。当特征方程的系数不满足(i=0,1,2,……n)时，系统是不稳定的。2、当特征方程的系数满足(i=0,1,2,……n)时，计算劳斯表。当劳斯表的第一列系数都大于零时，系统是稳定的。如果第一列出现小于零的系数，则系统是不稳定的。3、若计算劳斯表时出现情况（2）和（3），此时为确定系统极点的分布情况，可按情况（2）和（3）的方法处理。运用劳斯判据，不仅可以判定系统是否稳定，还可以用来分析系统参数的变化对稳定性产生的影响，从而给出使系统稳定的参数范围。
例3-10已知系统的结构图如图所示。当时,试确定K为何值时，系统稳定。R(s)-E(s)1+C(s)2解开环传递函数为其闭环传递函数为
特征方程为将，代入特征方程得由特征方程列劳斯表1750034.67500K7500K要使系统稳定，必须满足解不等式得参数K的取值范围是
例3-11已知系统的结构图如图所示，求系统临界稳定时的放大系数及它与参数、、之间的关系R(s)-C(s)解系统的开环传递函数为其中，为系统的开环放大系数。系统的闭环传递函数为
特征特征方程为要使系统稳定，必须满足K+1由特征方程列劳斯表
通常，系统的时间常数及放大系数都大于零，或当系统临界稳定时由此可见，、、中只要有一个足够小，则就可以增大，决定大小的，实际上并不是各时间常数的绝对值，而是其相对值，即决定于各时间常数的比值。当时，，若取，则，所以把时间常数错开，可使系统的临界放大系数增大。有些文献上称之为“错开原理”。
例3-12检验特征方程式是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线s=-１的右边。解劳斯阵列表为s3213s2104s112.2s04第一列无符号改变，故没有根在S右半平面。令s=z-1，代入特征方程式，得即z32-1z24-1z1-1/2z0-1第一列符号改变一次，故有一个根在直线s=-1(即新座标虚轴)的右边，因此稳定裕量不到1。[s][z]00
(3)判断延滞系统的稳定性劳斯判据适用于系统特征方程式是s的高阶代数方程的场合。而包含有延滞环节的控制系统，其特征方程式带有指数e-ts项。若应用劳斯判据来判别延滞系统的稳定性，需要采用近似的方法处理。(1)用有限项简单有理函数的乘积近似(2)用有理分式近似指数函数的泰勒级数为可用一个有理分式p(s)/q(s)来近似e-ts。
在系统的分析中，劳斯判据可以根据系统特征方程的系数来确定系统的稳定性，同时还能给出系统的某些参数的取值范围。但是，它的应用也具有一定的局限性，通常它只能提供系统绝对稳定性的结论，而不能指出系统是否具有满意的动态过程。此外，当系统不稳定时，它不能提供改善系统稳定性的方法和途径。
3-6控制系统的稳态误差系统的稳态性能反映系统跟踪控制信号的准确度或抑制扰动信号的能力，这种能力用稳态误差来描述。在系统的分析、设计中，稳态误差是一项重要的性能指标，它与系统本身的结构、参数及外作用的形成有关，也与元件的不灵敏、零点漂移、老化及各种传动机械的间隙、摩擦等因素有关。本节只讨论由于系统结构、参数及外作用等因素所引起的稳态误差。
一、稳态误差的定义系统的误差e(t)一般定义为输出量的希望值与实际值之差。对图示典型系统，其误差定义有两种形式：R(s)-B(s)N(s)+C(s)反馈系统结构图（1）从系统输出端定义式中，为系统输出量的希望值，C(t)为输出量的实际值。R(s)-E(s)N(s)+C(s)
（2）从输入端定义系统输出量的希望值是给定输入r(t)，输出量的实际值为系统主反馈信号b(t)。通常H（s）是测量装置的传递函数，此时误差是给定输入与测量装置输出量之差。b(t)可以测量，因而具有实用性。对于单位反馈系统，要求输出量C(t)的变化规律与给定输入r(t)的变化规律完全一致，所以给定输入r(t)也就是输出量的希望值，即R(s)-B(s)N(s)+C(s)E(s)
R(s)-E’(s)N(s)+C(s)R(s)-B(s)N(s)+C(s)E(s)对于非单位反馈系统，若设第（1）种形式的误差为E’(s),第（2）种形式的误差为E(s)，则有对于单位反馈系统，两种误差定义形式是一致的。R(s)-B(s)N(s)+C(s)E(s)
从本质上看，两种定义的误差都能反映控制系统的控制精度。在下面的讨论中，采用第二种误差定义。E(t)通常也称为系统的误差响应，它反映了系统在输入信号和扰动信号作用下整个工作过程中的精度。误差响应中也包含有瞬态分量和稳态分量两个部分，如果所研究的系统是稳定的，那么当时间t趋于无穷大时，瞬态分量趋近于零，剩下的只是稳态分量。稳态误差的定义：稳定系统误差信号的稳态分量称为系统的稳态误差，以表示。
二、输入作用下的稳态误差如果不计扰动输入的影响，可求得系统的给定稳态误差。此时，系统的结构图为E(s)R(s)B(s)G(s)H(s)C(s)-由误差的定义可知称为给定输入作用下系统的误差传递函数。
它表明，在给定输入作用下，系统的稳态误差与系统的结构、参数和输入信号的形式有关，对于一个给定的系统，当给定输入的形式确定后，系统的稳态误差将取决于以开环传递函数描述的系统结构.给定稳态误差的基本公式为为了分析稳态误差与系统结构的关系，可以根据开环传递函数G(s)H(s)中串联的积分环节来规定控制系统的类型。
设系统的开环的传递函数为分母中的表示开环传递函数在原点处有重极点，或者说有个积分环节串联。当……时，分别称系统为0型、1型、2型……系统。分类是以开环传递函数中串联的积分环节数目为依据的，而C(s)H(s)中其它零、极点对分类没有影响。下面分析系统在不同典型输入信号作用下的稳态误差。式中称为系统的开环放大环节或开环增益。
1、单位阶跃输入时的稳态误差对于单位阶跃输入，R(s)=1/s,求得系统的稳态误差为令称为稳态位置误差系数。稳态误差可表示为因此，在单位阶跃输入下，给定稳态误差决定于系统的位置误差系数。对于0型系统，
对实际系统来说，通常是允许存在稳态误差的，但不允许超过规定的指标。为了降低稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大系统的开环放大系数，若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则必须选用1型或高于1型的系统。对于1型系统（或高于1型的系统），由于0型系统中没有积分环节，它对阶跃输入的稳态误差为一定值，误差的大小与系统的开环放大系数K成反比，K越大，越小，只要K不是无穷大，系统总有误差存在。
2、单位斜坡输入时的稳态误差对于单位斜坡输入，此时系统的稳态误差为令称为稳态速度误差系数。于是稳态误差可表示为因此，在单位斜坡输入下，给定稳态误差决定于速度误差系数。
对于0型系统，对于1型系统，
对于2型系统（或高于2型的系统）计算表明，在单位斜坡输入作用下，0型系统的稳态误差为，而1型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。为了使稳态误差不超过规定值，可以增大系统的K值。2型或高于2型系统的稳态误差总为零。因此，对于单位斜坡输入，要使系统的稳态误差为一定值或为零，必需，也即系统必须有足够积分环节。
3、单位抛物线输入时的稳态误差对于单位抛物线输入，此时系统的稳态误差为令称为稳态加速度误差系数。稳态误差可表示为对于0型系统，稳态误差可表示为
对于1型系统，对于2型系统，
对于3型系统（或高于3型的系统），以上计算表明，在单位抛物线输入作用下，0型和1型系统的稳态误差为，2型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。对3型或高于3型的系统，其稳态误差为零。但是，此时要使系统稳定则比较困难。
在各种典型输入信号作用下，不同类型系统的给定稳态误差如下表所示。输入信号作用下系统的稳态误差III系统类别静态误差系数阶跃输入斜坡输入r(t)=Rt加速度输入III
若给定的输入信号不是单位信号时，则将系统对单位信号的稳态误差成比例的增大，就可以得到相应的稳态误差。若给定输入信号是上述典型信号的线性组合，则系统相应的稳态误差可由叠加原理求出。综上，稳态误差系数、、和描述了系统对减小和消除稳态误差的能力，可表示系统的稳态特性。提高开环放大系数K或增加开环传递函数中的积分环节数，都可以达到减小或消除系统稳态误差的目的。但是，这两种方法都受到系统稳定性的限制。因此，对于系统的准确性和稳定性必须统筹兼顾、全面衡量。则系统的总稳态误差为例如，若输入信号为
例3-13设图示系统的输入信号r(t)=10+5t，分析系统的稳定性并求出其稳态误差。R(s)-C(s)例3-13系统结构图由以上讨论可知，当时，系统相对的稳态误差为零，当时，系统相对的稳态误差为零；当时，系统相对的稳态误差为零。因此，当开环系统含有个串联积分环节时，称系统对给定输入r(t)是阶无差系统，而称为系统的无差度。
解由图求得系统的特征方程为23要使系统稳定，必须解得所以，当，系统是稳定的。
上述结果表明，系统的稳态误差与K成反比，K值越大，稳态误差越小，但K值的增大受到稳定性的限制，当K>6时，系统将不稳定。系统的稳态误差系数分别为由图可知，系统的开环传递函数为所以，系统的稳态误差为
三、扰动稳态误差——扰动输入作用下系统的误差传递函数。扰动稳态误差的大小，反映了系统的抗干扰能力。系统对于某种形式的给定输入的稳态误差为零，但对同一形式的扰动输入其稳态误差则不一定为零。R(s)-B(s)N(s)+C(s)E(s)由前面误差信号的定义可得扰动输入引起的误差为
例3-14设控制系统如图所示，其中给定输入，扰动输入（和均为常数），试求系统的稳态误差。解当系统同时受到给定输入和扰动输入的作用时，其稳定误差为给定稳态误差和扰动稳态误差的叠加。令n(t)=0时，求得给定输入作用下的误差传递函数为R(s)-+N(s)C(s)所以给定稳态误差为
令r(t)=0时，求得扰动输入作用下的误差传递函数为所以扰动稳态误差为由上式计算可以看出，r(t)和n(t)同是阶跃信号，由于在系统中的作用点不同，故它们产生的稳态误差也不相同。由扰动稳态误差的表达式可知提高系统前向通道中扰动信号作用点之前的环节的放大系数，可以减小系统的扰动稳态误差。该系统总的稳态误差为
为了分析系统中串联的积分环节对稳态误差的影响，假设图中系统总的稳态误差为给定输入和扰动输入保持不变。这时，系统的稳态误差可按上述相同的方法求出，
比较以上两次计算的结果可以看出，
四、减小或消除稳态误差的方法前面分析表明，为了减小系统的稳态误差，可以增加开环传递函数中的串联积分环节的数目或提高系统的开环放大系数。但是，串联的积分环节一般不超过2，而开环放大系数也不能任意增大，否则系统将可能不稳定，为了进一步减小系统稳态误差，可以采用加前馈控制的复合控制方法，即从给定输入或扰动输入处引出一个前馈控制量，加到系统中去，通过适当选择补偿装置和作用点，就可以达到减小或消除稳态误差的目的。
在图示系统中，为了消除由r(t)引起的稳态误差，可在原反馈控制的基础上，从给定输入处引出前馈量经补偿装置对系统进行开环控制。按给定输入补偿的复合控制整理得如果选择补偿装置的传递函数为则系统的给定稳态误差为零。此时系统误差信号的拉氏变换式为R(s)E(s)C(s)-+
在图示系统中，为了消除由n(t)引起的稳态误差，可在原反馈控制的基础上，从扰动输入引出前馈量经补偿装置加到系统中，R(s)N(s)E(s)--+C(s)A按扰动输入补偿的复合控制若设r(t)=0，则系统的输出C(s)就是系统的误差信号。系统输出的拉氏变换式为整理得如果选择补偿装置的传递函数为可使输出不受扰动n(t)的影响，故系统的扰动稳态误差为零。
从结构上看，当满足时，扰动信号经两条通道到达A点，两个分支信号正好大小相等，符号相反，因而实现了对扰动的全补偿。由于物理上可实现系统的传递函数总是满足分母的阶次大于或等于其分子的阶次，要求构造出分子的阶次大于或等于其分母阶次的补偿装置，这通常是不可能的。此外，由于传递函数的元件参数随着时间的推移也会发生变化，这就使得全补偿条件不可能成立。所以，实际上只能实现近似补偿。前馈控制加入前后，系统的特征方程保持不变，因此，系统的稳定性不会发生变化。
例3-15控制系统如图所示(1)计算扰动引起的稳态误差；(2)选择合适的K值，使系统在输入作用下无稳态误差。E(s)--KK1K3
（2）由求闭环传递函数等效单位反馈系统的开环传递函数解（1）要使系统在作用下稳态误差为0，系统应为2型系统课堂练习
高阶系统的时域响应若描述系统的微分方程高于二阶，则该系统为高阶系统。控制工程中，大多数控制系统都是高阶系统。理论上，高阶系统也可以直接由传递函数求出它的时域响应，然后按上述二阶系统的分析方法来确定系统的瞬态性能指标。但是，高阶系统的分布计算比较困难，同时，在工程设计的许多问题中，过分讲究精确往往是不必要的，甚至是无意义的。因此，工程上通常把高阶系统适当地简化成低阶系统进行分析。下面简单地介绍高阶系统时域响应的确定方法及研究高阶系统性能的思路和途径。
设高阶系统的闭环传递函数为假设系统所有零点、极点互不相同，且极点中q个实数极点和r对复数极点，零点中只有实数零点，则系统单位阶跃响应的拉氏变换为式中将上式展开成部分分式，得
对上式进行拉氏反变换，求得系统在零初始条件下的单位阶跃响应为高阶系统的时域响应是由稳态值和一些惯性环节及振荡环节的瞬态响应分量所组成。各瞬态分量在过渡过程中所起作用的大小，将取决于它们的指数、的值和相应项的系数、、的大小。如果系统所有极点都分布在S平面的左半部分，即所有极点均具有负实部，那么，当t趋于无穷大时，式中的指数项都趋于零，系统的响应达到稳态值。
在瞬态过程中，某衰减项的指数或的值越大，则该项衰减越快，反之亦然。而和就是系统的极点到虚轴的距离，因此，如果分布在S平面左半部分的极点离虚轴越远，则它对应的分量衰减越快。显然，对系统过渡过程影响最大的，是那些离虚轴最近的极点。
高阶系统的瞬态特性主要由系统传递函数中那些靠近虚轴而又远离零点的极点来决定。如果高阶系统有一个极点（或一对共轭复数极点）离虚轴最近，且其附近又无零点存在，而其他所有极点与虚轴的距离都在此极点与虚轴的距离的五倍以上，则可近似的认为系统的瞬态特性由这个（或这对）极点来确定，而其它极点的影响可以忽略不计，这个（或这对）极点就称为高阶系统的主导极点。
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