02-1 自动控制原理基本概念.pptx

第1页：第二章数学模型本章要点

本章要点：传递函数结构图状态空间表达式第二章控制系统的数学模型(12学时)

第2页：数学模型的基本概念

本页以图示呈现数学模型的基本概念。

第3页：数学模型的定义

描述系统内部各物理量（变量）之间关系的数学表达式

• 桥梁：现实世界－数学世界
• 反映系统动态特性（相当好）
• 最简化的结构形式
• 某方面的属性
• 不唯一
• 精度VS可行性

第4页：数学模型的分类及形式

数学模型的分类及形式

• 分类
• 静态：
• 静态（稳态）下的代数方程（不含各阶导数，信号无变化率，无记忆）
• 动态：
• 动态条件下的微分方程（差分方程）
• 形式
• 时域：
• 微分方程（连续系统）
• 差分方程（离散或采样系统）
• 状态方程（有了内部状态）
• 复域：
• 传递函数
• 结构图
• 信号流图
• 频域:
• 频率特性

第5页：控制系统建模的特点与方法

建模特点

• 系统分解的思想
• 复杂系统简单化
• 系统模型的变量确定
• 只关心系统的输入量和输出量，微分方程反映输入量与输出量的关系，内部的中间变量应该消去（注意黑箱建模）
• 建立方法
• 解析法（机理模型）
• 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律，列出各变量之间的数学关系式
• 实验法（实验建模）
• 对系统施加典型测试信号（脉冲、阶跃或正弦信号），记录系统的时间响应曲线或频率响应曲线，从而获得系统的传递函数或频率特性（线性系统做法）

第6页：数学工具与建模目的

6建模目的由图可见，富氏变换和Laplace变换是分析和设计线性定常连续控制系统的主要数学工具线性常系数微分方程线性常系数差分方程频率特性传递函数时间响应性能指标Z传递函数分析法实验法富氏变换Laplace变换求解离散化求解计算估算估算评价系统离散化

第7页：建立合理的数学模型

建立合理的数学模型

• 指建立的数学模型既有准确性，又有简化性
• 一般应根据系统的实际结构参数及要求的计算精度，略去一些次要因素，使模型既能准确反映系统的动态本质，又能简化分析计算的工作。
• 除非系统含有强非线性或参数随时间变化较大，一般尽可能采用线性定常数学模型描述自动控制系统（分段线性）

第8页：常见的系统

常见的系统

• 1、集中参数系统
• 变量仅仅是时间的函数。这类系统建立的动态数学模型通常是常微分方程。
• 2、分布参数系统
• 变量不仅是时间函数，而且还是空间的函数。这类系统建立的动态数学模型通常是偏微分方程。如很大的蒸馏罐，温度随空间位置不同是有梯度变化的。在实际系统中，大多数系统都是分布式参数系统，但由于偏微分方程求解比较困难，因此在一定误差允许范围内，对系统作一个近似，近似为集中参数系统，这样就可以用常微分方程进行分析。

第9页：分布参数系统示例：催化棒

PhysicaA,CatalyticRod

第10页：分布参数系统示例：固定床反应器

JPC,FixedBedReactor

第11页：线性系统与叠加原理

常见的系统（续）

• 3、线性系统
• 一般地说，令f代表某种数学操作，如关系、变换、运算、方程或其他，x为数学操作的对象，f（x）表示对x施行操作f。如果f(x)满足叠加原理（可加性与齐次性），则称操作f为线性的。
• 对于控制系统，x对应于输入，f对应于系统，f（x）为输出
• 叠加原理——可加性和齐次性
• 可加性
• 齐次性

第12页：线性系统的定义与特性

常见的系统（续）

• 3、线性系统（续）
• 能够用线性数学模型(线性的代数方程、微分方程、差分方程等)描述的系统，称为线性系统。这类系统的基本特性，即输出响应特性、状态响应特性、状态转移特性等均满足线性关系。
• 对于控制系统而言，由线性元件构成的系统为线性系统，其运动方程一般为线性微分方程。若其各项系数为常数，则称为线性定常系统。
• 在动态研究中，如果系统在多个输入作用下的输出等于各输入单独作用下的输出和（可加性），并且当输入增大倍数时，输出相应增大同样的倍数（齐次性），就满足叠加原理，因而系统可以看成线性系统
• 非线性系统：描述系统的数学模型是非线性微分方程，其特性是不能应用叠加原理。

第13页：非线性系统的特点

常见的系统（续）

• 4、非线性系统
• 不满足叠加原理的系统，就是非线性系统。
• 求解比较困难，很难找到一般通用方法。
• 一定的工作范围内才保证线性的，如放大器，在小信号时可能出现“死区”，在大信号时，又可能出现饱和现象，如图所示即为几种常见的非线性的关系曲线。
• 非线性微分方程实例：
• 引入“等效”线性系统来代替非线性系统
• 有限的工作范围内正确

第14页：线性定常与线性时变系统

常见的系统（续）

• 5、线性定常系统
• 如果描述一个线性系统的微分方程的系数为常数，那么称系统为线性定常系统。
• 如
• 6、线性时变系统
• 如果描述一个线性系统的微分方程的系数为时间的函数，那么称系统为线性时变系统。
• 如

第15页：2.2 时域模型：微分方程

－微分方程

第16页：列写元件微分方程的步骤

列写线性元件微分方程的基本步骤

• 确定元件输入量和输出量
• 根据物理或化学定律，注意考虑负载效应，列出元件的原始方程
• 消去中间变量，得到描述元件输入和输出关系的微分方程
• 对微分方程进行标准化处理：与输出量相关的各项置于等号左侧，而与输入量相关的置于等号右边；等号左右各项均按降幂排列；将各项系数归化为具有一定物理意义的形式

第17页：弹簧-质量-阻尼器系统建模

例设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的微分方程。kf(t)MBy(t)

第18页：弹簧-质量-阻尼器系统求解

解：若弹簧恢复力f阻力f1(t)与外力f(t)不能平衡，则质量块将产生加速运动，其速度和位移发生变化。根据牛顿定理有:式中B—阻尼系数,K—弹性系数由以上所列方程中消去中间变量：

第19页：R-L-C电路微分方程

例R-L-C电路解：

• 设回路电流为,由克希霍夫定律写出回路方程为：
• 消去中间变量，得到描述网络输入输出关系的微分方程为i确定元件的输入、输出

第20页：RC电路的微分方程

例设RC电路如图所示，若以电压ur为输入，电压uc为输出，列写该电路的微分方程。urR1R2ucC2i1i2C1

第21页：双RC电路微分方程求解

解：设回路电流i1、i2如图中所示，从输入端开始，按信号传递顺序写出各变量间的微分方程式如下：由所得方程组消去中间变量得：令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2则有：urR1R2ucC2i1i2C1

第22页：电路的负载效应

注意电路虽然由两个RC电路组成，但不能把它看作是两个独立的RC电路的连接。因为第二级电路的i2要影响第一级电路的uc1，列写方程式应考虑这个影响。这种后一级对前一级的影响叫做负载效应。存在负载效应时，必须把全部元件作为整体来加以考虑。若不考虑负载效应时，有显然，与前面得到的结果不同。

第23页：电枢控制直流电动机建模

例2（开环）设电枢控制的它激直流电动机如图所示，若以电枢电压ua为输入量，以电动机的转角θm为输出量，写出该电动机的微分方程。解：if为固定的激磁电流，端电压ua，电枢电流ia，电磁转矩，电枢反电势，Ra、La分别为电枢电阻和电感，ML为负载转矩。RaIfMLiaLa+-ua

第24页：直流电动机微分方程推导

由输入端开始，按照信号传递顺序列写方程：为电动机反电势系数，为电动机力矩系数，J为电动机转动惯量。消去中间变量若以电机转速为输出量,则上式可改写为RaIfMLiaLa+-ua

第25页：直流电动机微分方程简化

考虑到电机中的La一般较小，可以忽略不计，上两式可简化为若令Tm=JRa/(fRa+)[秒]，Km＝Km/(fRa+)[弧度/秒伏]，并设ML=0,则

第26页：带测速发电机的闭环调速系统

例2-5（闭环系统）引入测速发电机，对速度进行测量，并加入比较和放大环节电位器放大器电动机测速电机urutekauawML

第27页：闭环调速系统微分方程

比较器将测速发电机的信号ut与参考输入ur进行比较有设放大器没有惯性，输出与输入成正比电枢电压与角速度的关系测速发电机输出为ut,输入为ω，有消去中间变量得

第28页：非线性特性的线性化

2.2.3、非线性特性的线性化

• 线性化就是将非线性数学模型在一定条件下，近似的用线性模型来代替
• 线性化的方法是小偏差(小信号)理论
• 小偏差
• 平衡点附近
• 小偏差理论的数学方法
• 解析法
• 切线法

第29页：小偏差线性化的切线法

切线法

• 当元件特性曲线图已知时，在其工作点处作切线输出输出y0x0

第30页：解析法

解析法

• 在其额定工作点处展成Taylor级数
• 忽略二次幂以上各项
• 获得变量偏差（或增量）的线性方程

第31页：小偏差线性化的几点说明

几点说明

• 小偏差线性化的数学方法要求非线性特性函数曲线连续可导，因此只适用于非本质非线性特性的元件。
• 有一些元件的非线性特性，如图（a）所示的继电器特性，不满足展开成泰勒级数的条件。对于此类非线性特性不能应用“小偏差”线性化的概念进行线性化。图(b)由于在坐标原点处的一阶导数不连续、所以研究在原点附近偏差信号的动态过程时同样不能应用小偏差线性化的概念。
• 运用小偏差理论时，线性化后的数学模型参数与所确定的工作点有关，不同的工作点，将有不同的线性系数
• 对于本质非线性问题，要用非线性控制理论来研究（eg：继电特性、间隙以及干摩擦等）X20X20图（a）图（b）

第32页：2.3 复域模型：传递函数

－传递函数

第33页：拉普拉斯变换的定义

一、Laplace变换的定义设有函数f(t),t为实变量，s=σ+jω为复变量。如果线性积分存在，则称它为函数f(t)的拉普拉斯变换。变换后的函数是复变量s的函数，记作F(s)或L[f(t)]即常称F(s)为f(t)的变换函数或象函数，f(t)为F(s)的原函数。上式，积分下限为零，严格说有0-和0+之分。对于在t=0处连续或只有第一类间断点的函数，0-和0+型的Laplace变换是相同的，但对于在t=0处有无穷跳跃的函数，两种Laplace变换的结果是不一致的。为了反映这些函数在[0-，0+]区间的表现，我们约定式中的积分下限为0-。

第34页：二、几种典型函数的Laplace变换

二、几种典型函数的Laplace变换

• 阶跃函数阶跃函数的定义是对系统输入阶跃函数就是在t=0时，给系统加上一个恒值输入量，如图所示。若A=1，称为单位阶跃函数，记作1(t)阶跃函数的Laplace变换为单位阶跃函数的Laplace变换为R(s)=1/s。A0t

第35页：斜坡函数的拉氏变换

斜坡函数斜坡函数也称等速度函数。其定义为输入斜坡函数相当于对系统输入一个随时间作等速变化的信号，其图形如图所示。若A=1,则称之为单位斜坡函数。斜坡函数等于阶跃函数对时间的积分。斜坡函数的Laplace变换为单位斜坡函数的Laplace变换为R(s)=1/s2A10t

第36页：抛物线函数的拉氏变换

抛物线函数抛物线函数也称加速度函数，其定义为输入抛物线函数相当于对于系统输入一个随时间做等加速变化的信号，其图形如图所示。若A=1/2,称之为单位抛物线函数。抛物线函数等于斜坡函数对时间的积分。抛物线函数的Laplace变换为单位抛物线函数的Laplace变换为R(s)=1/s3t1A0

第37页：脉冲函数的拉氏变换

脉冲函数脉冲函数的定义为脉冲函数在理论上（数学上的假设）是一个脉宽无穷小，幅值无穷大的脉冲。在实际中，只要脉冲宽度ε极短即可近似认为是脉冲函数。如图所示。脉冲函数的积分，即脉冲的面积为当A=1时，即面积为1的脉冲函数称为单位脉冲函数，记为δ(t)0tεA–ε

第38页：单位脉冲函数图形

δ（t）函数的图形如下图所示。脉冲函数的积分就是阶跃函数。脉冲函数的Laplace变换为单位脉冲函数的Laplace变换为R(s)=1。t0δ(t)1

第39页：正弦函数的拉氏变换

正弦函数正弦函数也称谐波函数，表达式为用正弦函数作输入信号，可求得系统对不同频率的正弦输入的稳态响应。正弦输入的Laplace变换为

第40页：常用拉普拉斯变换表

(六)重要的Laplace变换列表F(s)f(t)F(s)f(t)sinwt1δ(t)coswt1/s1(t)t1/(s+a)

第41页：三、Laplace变换的基本定理

三、Laplace变换的基本定理

• 线性定理设F1(s)=L[f1(t)],F2(s)=L[f2(t)],若a和b为常数，则有L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]=aF1(s)+bF2(s)
• 常数与原函数乘积的Laplace变换等于常数与该原函数的Laplace变换的乘积。
• 若干原函数之代数和的Laplace变换等于各原函数Laplace变换之代数和。利用Laplace变换的基本定义就可证明该定理。

第42页：微分定理

微分定理

第43页：积分定理

（三）积分定理

第44页：拉氏变换位移定理

（四）位移定理t0f(t)f(t)f(t-τ0)

第45页：拉氏变换终值定理

（五）终值定理若函数f(t)的Laplace变换为F(s)，且F(s)在复平面右半部及除原点外的虚轴上解析，则有终值定理注意：终值定理只适用于sF(s)在复平面右半部（包括虚轴上)没有极点的情况。

第46页：时间比例尺与卷积定理

（六）时间比例尺定理原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函数及其自变量都增加（或减小）同样倍数。即：（七）卷积定理两个原函数的卷积的Laplace变换等于两个象函数的乘积，即：

第47页：用拉氏变换求解微分方程

四.用Laplace变换求解微分方程用Laplace变换求解微分方程的一般步骤是：

• 对线性微分方程的每一项进行Laplace变换，使微分方程变成以s变量的代数方程；
• 求解代数方程，得到输出变量象函数的表达式；
• 将象函数展开成部分分式；
• 对部分分式进行Laplace反变换，得到微分方程的解。

第48页：例2-8：拉氏变换求解微分方程

例2－8已知系统的微分方程为解：对微分方程进行Laplace变换得用经典方法求解微分方程时，要利用初始条件确定积分时间常数，Laplace变换求解微分方程可省去这一步，因为初始条件已包含在变换中。若初始条件为零，则将s代替微分算子即可。

第49页：传递函数的引入

2-4线性系统的传递函数控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性能的数学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作用及初始条件下系统的输出响应，并可通过响应曲线直观地反映出系统的动态过程。但系统的参数或结构形式有变化，微分方程及其解都会同时变化，不便于对系统进行分析与研究。根据求解微分方程的Laplace变换法，可以得到系统的另一种数学模型——传递函数。它不仅可以表征系统的动态特性，而且可以方便地研究系统的参数或结构的变化对系统性能所产生的影响。在经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是在传递函数基础上建立起来的。

第50页：传递函数的定义

一、传递函数的定义线性定常系统在零初始条件下，输出量的Laplace变换与输入量的Laplace变换之比，称为该系统的传递函数。若线性定常系统的微分方程为在初始条件为零时，对上式进行Laplace变换，得

第51页：根据传递函数的定义

根据传递函数的定义，描述该线性定常系统的传递函数为可见，传递函数是由系统微分方程经Laplace变换而引出的。G(s)R(s)C(s)系统输入、输出及传递函数之间的相互关系可用下图表示，输出是由输入经过G(s)的传递而得到的，因此称G(s)为传递函数。因为传递函数是在零初始条件下定义的，故在初始条件为零时，它才能完全表征系统的动态性能。

第52页：传递函数的性质

二、传递函数的性质从线性定常系统传递函数的定义可知，传递函数具有以下性质：1.传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态特性，它只与系统的结构和参数有关，与输入信号和初始条件无关。2.传递函数是复变量s的有理分式函数，其分子多项式的次数m低于或等于分母多项式的次数n，即m≤n。且系数均为实数。3.在同一系统中，当选取不同的物理量作为输入、输出时，其传递函数一般也不相同。传递函数不反映系统的物理结构，物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数。4.传递函数的定义只适用于线性定常系统。

第53页：传递函数的零极点表达式

为了方便，常把传递函数分解为一次因式的乘积，式中的K称为传递函数的增益或传递系数（放大系数），而k则称为根轨迹增益。zj(j=1.2.…m)为分子多项式的根，称为传递函数的零点。Pi(1.2.…n)为分母多项式的根，称为传递函数的极点。传递函数的零、极点可以是实数、零或复数，由于传递函数分子、分母多项式的系数都是实数，故若有复数零极点时，它们必是成对共轭的。传递函数的分母多项式就是相应微分方程式的特征多项式，令该分母多项式等于零，就可得到相应微分方程的特征方程。在特征方程中，s的最高阶次等于输出量最高阶导数的阶次，如果s的最高阶次等于n，这种系统就称为n阶系统。

第54页：典型环节及其传递函数

三、典型环节的传递函数一个物理系统是由许多元件组合而成的，虽然元件的结构和作用原理多种多样，但若考察其数学模型，却可以划分成为数不多的几种基本类型，称之为典型环节。这些环节是比例环节、惯性环节、积分环节、振荡环节、微分环节和滞后环节。比例环节的输出量能够既不失真又不延迟地反映输入量的变化。比例环节的传递函数为比例环节又称放大环节。其数学方程为式中c(t)为输出量，r(t)为输入量，K为放大系数（或增益）。1.比例环节

第55页：比例环节的实例

比例环节的实例u测速发电机，在不计所接负载的影响时，其输出端电压u与输入转速n的关系为u=Kn式中K为测速发电机的比例系数-+Ai0R0R1i1uruc运算放大器具有很大的开环放大系数，且其输入电流很小，可以忽略，因此A点对地电位近似为零，于是有i0=i1=ur/R0，而电压uc又近似等于R1两端电压，故有K=R1/R0为比例系数。

第56页：惯性环节及其微分方程

2.惯性环节惯性环节又称非周期环节，其输入、输出间的微分方程为式中T为时间常数，K为比例系数惯性环节的输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上延迟，时间常数愈大惯性愈大，延迟时间也愈长，时间常数T表征了该环节的惯性。若在零初始条件下对惯性环节输入单位阶跃信号，则有

第57页：惯性环节的阶跃响应

在单位阶跃输入时惯性环节的输出量是按指数函数变化的。当t=3T～4T时，输出才能接近其稳态值。如下图所示:Tt0c(t)1

第58页：惯性环节的两个实例

惯性环节的两个实例(b)ufRfLfif图(b)所示的直流电机的激磁电路中，当以激磁电压uf为输入量、以激磁电流if为输出量时，其电路方程为式中为激磁绕组的电磁时间常数。RCur(a)uc图(a)所示的电路中，输出电压uc与输入电压ur间的微分方程为式中T=RC，为电路的时间常数。

第59页：积分环节及其阶跃响应

3.积分环节积分环节的微分方程是积分环节的输出量是与其输入量的积分成比例的。由积分环节的微分方程求得其单位阶跃响应为c(t)=Kt单位阶跃响应的斜率为K，如右图所示。c(t)t0式中K=1/T，称为积分环节的放大系数，T称为积分时间常数。

第60页：积分环节的实例

积分环节的实例-+Ruruc(a)iicC(b)nθur在图(b)中，以电动机的转速n(转/分)为输入量，以减速齿轮带动负载运动的轴的角位移θ为输出量，可得微分方程式中T为计及转速、转角单位关系的常数。在图(a)中，因为而输出电压uc近似等于电容两端电压，所以有

第61页：振荡环节及其微分方程

4.振荡环节振荡环节的微分方程是式中T--时间常数，ζ--阻尼比，对振荡环节有0≤ζ<1

第62页：振荡环节的实例

振荡环节的实例F(t)Kmfy(t)(b)图(b)中，输出位移y(t)与输入作用力F(t)之间的微分方程为可见它们都是典型的振荡环节。RLCuruc(a)图(a)中，输出电压uc和输入电压ur之间的微分方程为

第63页：微分环节及其响应

5.微分环节理想微分环节的微分方程为式中τ为微分时间常数。理想微分环节的单位阶跃响应为这是一个强度为τ的理想脉冲。在实际物理系统中得不到这种理想微分环节。

第64页：微分环节的实例

微分环节的实例图(a)中，选取直流测速发电机的输入量为转角θ，输出量为电枢电压u(t)，则其输入、输出间的微分方程为u(t)(a)θif

第65页：纯滞后环节及其响应

6.纯滞后环节当输入作用到环节以后，其输出量要等待一段时间τ后，才能复现输入信号，在时间0到τ的时间内，输出量为零，这种具有延时效应的环节称为纯滞后环节。纯滞后环节的数学表达式为式中τ为纯滞后时间。当输入信号为下图(a)所示的单位阶跃函数时，其响应曲线如下图(b)所示。r(t)1t0(a)tc(t)10τ(b)

第66页：典型环节与实际元件的对应关系

典型环节是按数学模型的共性来划分的，与系统中的元件并非一一对应，一个元件的数学模型可能是若干个典型环节的数学模型的组合。而若干个元件的数学模型的组合也可能就是一个典型的数学模型。

• 同一装置（元件），如果选取的输入、输出量不同，它可以成为不同的典型环节。如直流电动机以电枢电压为输入、转速为输出时，是一个二阶振荡环节。若以电枢电流为输入、转速为输出时，它却是一个积分环节。
• 在分析和设计系统时，将被控对象（或系统）的数学模型进行分解，就可以了解它是由哪些典型环节所组成的。因而，掌握典型环节的动态特性将有助于对系统动态特性的分析研究。
• 典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述的系统。典型环节是构成系统传递函数的最基本的因子。在和实际元件相联系时，应注意以下几点：

第67页：电枢控制直流电动机传递函数

例：求电枢控制直流电动机的传递函数和直流电动机微分方程：利用叠加原理，令有：Laplace变换得整理得：

第68页：电枢控制直流电动机传函（续）

同理，令