04-3 奈氏图.pptx

第1页：奈奎斯特稳定判据引入

4－3奈奎斯特稳定判据第三章已经介绍，闭环控制系统的稳定性由系统特征方程根的性质唯一确定。对于三阶以下系统，解出特征根就能判断系统是否稳定。三阶以上的高阶系统，求解特征根通常都很困难，前面介绍了基于特征方程的根与系数关系的劳斯判据。奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性与复变函数位于S平面右半部的零、极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法，它依据的是系统的开环频率特性。由于系统的开环特性可用解析法或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定性兼有方便和实用的优点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概念。

第2页：幅角定理（映射定理）

一、幅角定理(Kauthy幅角定理)幅角定理又称映射定理，它是建立在复变函数理论基础上的。由于奈氏判据是以幅角定理为依据的，因此有必要先简要地介绍幅角定理。设有一复变函数称之为辅助函数，其中是系统的开环传递函数.通常可写成如下形式式中是系统的开环极点，将式（4-106）代入式（4-105）得比较式（4—107）和式（4—106）可知，辅助函数的零点即闭环传递函数的极点，即系统特征方程的根。因此，如果辅助函数的零点都具有负的实部，即都位于S平面左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定。

第3页：幅角定理的前提条件

假设复变函数为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则函数,也就是说在S平面上除奇点外处处解析，那么，对于S平面上的每一个解析点，在平面上必有一点（称为映射点）与之对应。例如，当系统的开环传递函数为则其辅助函数是除奇点和外，在S平面上任取一点，如则（一）S平面与平面的映射关系

第4页：S平面到F平面的映射

如图4—37所示，在平面上有点与S平面上的点对应,就叫做在平面上的映射点。图4-37S平面上的点在F（S）平面上的映射

第5页：封闭曲线的映射

如图4—38所示，如果解析点在S平面上沿封闭曲线（不经过的奇点）按顺时针方向连续变化一周，那么辅助函数在平面上的映射也是一条封闭曲线，但其变化方向可以是顺时针的，也可以是逆时针的，这要依据辅助函数的性质而定。图4-38S平面到F(s)平面的映射

第6页：幅角定理的表述

（二）幅角定理（映射定理）设在S平面上，除有限个奇点外，为单值的连续正则函数，若在S平面上任选一封闭曲线Γs，并使Γs不通过的奇点，则S平面上的封闭曲线Γs映射到F(s)平面上也是一条封闭曲线ΓF。当解析点s按顺时针方向沿Γs变化一周时，则在平面上，ΓF曲线按逆时针方向绕原点的周数N等于封闭曲线Γs内包含F(s)的极点数P与零点数Z之差。即N=P-Z（4—108）式中，若N>0，则ΓF按逆时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；若N<0，则ΓF按顺时针绕F(s)平面坐标原点N周；且若N=0，则ΓF不包围F(s)平面坐标原点。在图4—38中,在S平面上有三个极点P1、P2、P3和三个零点Z1、Z2、Z3。被Γs曲线包围的零点有Z1、Z2两个，即Z=2，包围的极点只有P2，即P=1，由式（4—108）得N=P-Z=1-2=-1说明Γs映射到F(s)平面上的封闭曲线ΓF顺时针绕F(s)平面原点一周。由幅角定理，我们可以确定辅助函数被封闭曲线Γs所包围的极点数P与零点数Z的差值P-Z。

第7页：极点与开环传函的关系

前面已经指出，的极点数等于开环传递函数的极点数，因此当从平面上确定了封闭曲线ΓF的旋转周数N以后，则在S平面上封闭曲线Γs包含的零点数Z（即系统的闭环极点数）便可简单地由下式计算出来Z=P-N（4-109）封闭曲线Γs和ΓF的形状是无关紧要的，因为它不影响上述结论。关于幅角定理的数学证明请读者参考有关书籍，这里仅从几何图形上简单说明。设有辅助函数为（4-110）其零、极点在S平面上的分布如图4—39所示，在S平面上作一封闭曲线Γs,Γs不通过上述零、极点，在封闭曲线Γs上任取一点,其对应的辅助函数的幅角应为(4-111)

第8页：幅角定理的几何解释

当解析点s1沿封闭曲线Γs按顺时针方向旋转一周后再回到s1点，从图中可以发现，所有位于封闭曲线Γs外面的辅助函数的零、极点指向s1的向量转过的角度都为0，而位于封闭曲线Γs内的辅助函数的零、极点指向s1的向量都按顺时针方向转过2pi弧度（一周）。这样，对图4—39（a），Z=1，P=0，，即N=－1，绕平面原点顺时针旋转一周；对图4—39（b），Z=0，P=1，，即N=1，绕平面原点逆时针旋转一周；对图4—39（c），Z=1，P=1，，即N=0，不包围平面原点。将上述分析推广到一般情况则有（4-112）由此得到幅角定理表达式为N=P-Z（4-113）图4-39ΓFΓs

第9页：幅角定理映射示意图

图4-39图4-39

第10页：辅助函数的引入

二、基于辅助函数的奈氏判据为了分析反馈控制系统的稳定性，只须判断是否存在S平面右半部的闭环极点。为此，在S平面上作一条完整的封闭曲线Γs，使它包围S平面右半部且按顺时针环绕。如图4—40所示，该曲线包括S平面的整个虚轴（由到）及右半平面上以原点为圆心，半径为无穷大的半圆弧组成的封闭轨迹。这一封闭无穷大半圆称作奈氏轨迹。显然，由奈氏轨迹包围的极点数P和零点数Z，就是F(s)位于S平面右半部的极点数和零点数。图4-40Nyquist轨迹前面已经指出，辅助函数的极点等于系统的开环极点，的零点等于系统的闭环极点。因此，如果奈氏轨迹中包围的零点数Z=0，系统是稳定的，此时由映射到平面上的封闭曲线ΓF逆时针绕坐标原点的周数应为N=P（4-114）由此得到应用幅角定理分析系统稳定性的判据如下：Γs

第11页：基于辅助函数的奈氏判据

若辅助函数的解析点s沿奈氏轨迹Γs按顺时针连续环绕一周，它在平面上的映射ΓF按逆时针方向环绕其原点P周，则系统是稳定的，否则是不稳定的。若开环系统是稳定的，即S平面右半部的开环极点数P=0。此时系统稳定的充分条件是不包围平面坐标原点，即N=0。三、基于开环传递函数的奈氏判据用辅助函数来分析系统的稳定性仍然不大方便，实际上，开环传递函数与辅助函数之间的关系非常简单，即（4-115）上式意味着将平面的纵轴向右平移一个单位后构成的平面即为GH平面（如图4-41）。平面的坐标原点是GH平面的点。因此，ΓF绕平面原点的周数等效于绕GH平面点的周数。(-1,j0)00[GH][F]1图4-41

第12页：奈氏判据的表述

由分析，得到基于开环传递函数的奈氏判据如下：闭环系统稳定的充分必要条件是奈氏轨迹映射在GH平面上的封闭曲线逆时针包围点P周，其中P为开环传递函数在S平面右半部的极点数。当在S平面右半部没有极点时，即P=0，闭环系统稳定的充分必要条件是在GH平面上不包围点。

第13页：开环频率特性与奈氏判据

四、基于开环频率特性的奈氏判据（一）与之间的关系前面曾经指出，频率特性是特定情况下的传递函数。下面分两种情况来研究与之间的关系。1、当在S平面虚轴上（包括原点）无极点时，奈氏轨迹可分成三个部分如图4—42所示，（1），s沿负虚轴变化；（2），s沿正虚轴变化；（3），s沿以原点为圆心，半径为无穷大的右半圆弧变化，其中，对应由顺时针绕。图4-42Nyquist轨迹Γs（1）当s在S平面负虚轴上变化时，，（4-117）在[GH]平面上的映射如图4—43中曲线（1）。

第14页：奈氏轨迹的映射

图4-43Γs在GH平面上的映射（2）当s在S平面正虚轴上变化时，如图4-43中的曲线（2），这正是系统的开环频率特性。由于正负虚轴在S平面上以实轴为对称，它们在GH平面上的映射曲线（1）、（2）两部分也对称于实轴。

第15页：奈氏轨迹过原点的映射

当Γs过平面原点时，，它在GH平面上的映射为（4-118）即S平面的原点在GH平面上的映射为常数K（K为系统开环增益）。（3）当s在Γs的第三部分上的变化时，，当n=m时，奈氏轨迹的第三部分（无穷大半圆弧）在GH平面上的映射为常数k（根轨迹增益），如图4—43（a）所示。当n>m时，（4-121）Γs的第三部分在GH平面上的映射是它的坐标原点（图4—43（b））。奈氏轨迹Γs在GH平面上的映射称为奈奎斯特曲线或奈氏曲线。(4-120)(4-119)

第16页：虚轴上有开环极点的处理

2、当在S平面的虚轴上（包括原点）有极点时，由于奈氏轨迹不能经过开环极点，Γs必须避开虚轴上的所有开环极点。增加第4部分曲线，如图4-44所示。其中（1）（2）和（3）部分的定义与图4—42相同.第（4）部分的定义是：表明s沿以原点为圆心，半径为无穷小的右半圆弧上逆时针变化（）。这样，Γs既绕过了原点上的极点，又包围了整个右半S平面，如果在虚轴上还有其它极点，亦可采用同样的方法，将Γs绕过这些虚轴上的极点。设系统的开环传递函数为（4-122）其中v称为无差度，即系统中含积分环节的个数或位于原点的开环极点数。当时，(4-123)

第17页：无穷小半圆弧的映射

式(4-123)表明，Γs的第（4）部分无穷小半圆弧在GH平面上的映射为顺时针旋转的无穷大圆弧，旋转的弧度为弧度。图4—45（a）、（b）分别表示当v=1和v=2时系统的奈氏曲线，其中虚线部分是Γs的无穷小半圆弧在GH平面上的映射。图4-44虚轴上有开环极点时的奈氏轨迹图4-45时的奈氏曲线Γs

第18页：奈氏判据的三种情况

应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下列三种情况：(i)当系统开环传递函数的全部极点都位于S平面左半部时（P=0），如果系统的奈氏曲线不包围GH平面的点（N=0），则闭环系统是稳定的（Z=P-N=0），否则是不稳定的；（ii)当系统开环传递函数有p个位于S平面右半部的极点时，如果系统的奈氏曲线逆时针包围点的周数等于位于S平面右半部的开环极点数（N=P），则闭环系统是稳定的（Z=P-N=0），否则是不稳定的；(iii)如果系统的奈氏曲线顺时针包围点（N<0），则闭环系统不稳定（Z=P-N>0）。（iv）当曲线恰好通过GH平面的点（注意不是包围），此时如果系统无位于S平面右半部的开环极点，则系统处于临界稳定状态。综上，奈氏曲线是否包围GH平面的点是判别系统是否稳定的重要依据。

第19页：例4-6 奈氏判据判稳

五、奈氏判据的应用例4—6试用奈氏判据分析例4—1系统的稳定性。解该系统的开环传递函数为其对应的频率特性是当时系统的奈氏曲线如图4-46所示。该系统的两个开环极点和均在S平面左半部，即S平面右半部的开环极点数P=0，由图4-46可知，系统的奈氏曲线不包围点（N=0），根据奈氏判据，位于S平面右半部的闭环极点数Z=P－N=0，该闭环系统是稳定的确定幅相曲线起点和终点，正确作出幅相曲线对于判断系统的稳定性很重要!!!。

第20页：例4-6的奈氏曲线

图4-46例4-6奈氏曲线

第21页：例4-7 奈氏判据判稳

例4—7试用奈氏判据分析例4—3系统的稳定性。解该系统的开环传递函数为其对应的频率特性是当时，系统的奈氏曲线如图4—48所示。由于系统含有一个积分环节（v=1），当对应奈氏曲线为顺时针环绕坐标原点的无穷大半圆（图4—48中虚线所示）。

第22页：例4-7的奈氏曲线

图4-48例4-7奈氏曲线开环传递函数无右半S平面的极点，即P=0，系统是否稳定取决于奈氏曲线与负实轴的交点坐标值的大小，当时，不包围点，即N=0图4-48（a），系统是稳定的；当时,奈氏曲线顺时针包围点两周，即,图4-48（b），系统不稳定。

第23页：例4-8 奈氏判据判稳

例4—8已知反馈控制系统的开环传递函数为试用奈氏判据分析当时系统的稳定性。解系统的开环频率特性是其幅频特性和相频特性分别是

第24页：例4-8的奈氏曲线

图4-50例4-8系统的奈氏曲线