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本课件系统讲解状态空间分析方法，涵盖状态空间的线性变换与对角化、线性定常系统状态方程的求解与状态转移矩阵，并给出可控性与可观测性判据、对偶原理以及状态反馈极点配置与状态观测器设计。
17状态空间分析
引言
经典控制理论的黑箱模型：即外部模型传递函数等缺陷：0初始；不充分的模型，不能揭示系统内部运动状态
状态方程描述非线性系统
混沌：普遍的介于确定性和随机性之间的非线性现象，其行为复杂且类似随机，但存在精致的内在规律，具有随机性、遍历性和规律性。
状态方程优势之一
状态空间轨迹（揭示系统内部运动状态）IEEETrans.ControlSystemTechnology,submitted
状态空间的线性变换
多种状态空间－>同一个系统
线性变换
可推广至时变系统！！
线性系统的不变性
传递函数不变性?=
特征方程和特征值的不变性系统特征方程
线性系统的规范化
特例：（比较少见）系统有重根，该重根的重数＝其对应的线性独立的特征向量个数，则也可化为对角阵
例7-1：化为对角标准型解：求特征值
变换后的状态方程为注意：1）A阵其实不需求P，但是B阵是必须的2）特征向量不唯一，因此变换矩阵P不唯一
一个重要定理（见教材例7-2）对可控标准型的A阵（或称为友矩阵），有n个互异实根
化为Jordan阵标准型：条件：特征值有重根，且该根的重数不等于其对应的线性独立的特征向量的个数情况1：A的m重特征值，对应的线性独立向量仅有P1一个m阶Jordan块
情况2：A的m重特征值，对应的线性独立向量仅有k个，1<k<m。例如A阵有6重实根，其对应的线性独立特征向量只有两个，则Jordan阵可能为
例7－3，求的Jordan阵解：
注意：三阶矩阵的逆要会求，变换阵P不唯一
线性定常系统状态方程的解
线性定常系统齐次方程的解
线性定常系统非齐次方程的解（引入控制量）给定线性定常系统非齐次状态方程为其中，,且初始条件为.将上面方程改写为在上式两边左乘，可得将上式由0积分到t，得故可求出其解为或式中为系统的状态转移矩阵。
状态转移矩阵定义线性时变系统状态转移矩阵是满足如下矩阵微分方程和初始条件的解。状态转移矩阵性质：10条
状态转移矩阵的计算方法一直接计算法(状态转移矩阵)可以证明，对所有常数矩阵A和有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的。方法二对角线标准形与Jordan标准形法若可将矩阵A变换为对角线标准形，那么可由下式给出式中，P是将A对角线化的非奇异线性变换矩阵。类似地，若矩阵A可变换为Jordan标准形，则可由下式确定出
状态转移矩阵的计算例1【例】考虑如下矩阵A，【解】该矩阵的特征方程为因此，矩阵A有三个相重特征值λ=1，则矩阵A具有三重特征向量。从而，将矩阵A变换为Jordan标准形的变换矩阵为,矩阵P的逆为则
状态转移矩阵的计算例1则，从而可得即
状态转移矩阵的计算方法三拉氏变换法为了求出，关键是必须首先求出（sI-A）的逆。
状态转移矩阵的计算例2【例】考虑如下矩阵,试用对角矩阵法和拉氏变换两种方法计算。A【解】对角矩阵法由于A的特征值为0和-2（），故可求得所需的变换矩阵P为P=因此，由可得
状态转移矩阵的计算例2拉氏变换法由于可得因此
状态转移矩阵例1【例】试求如下线性定常系统的状态转移矩阵Ф(t)和状态转移矩阵的逆。【解】对于该系统，其状态转移矩阵由下式确定由于其逆矩阵为因此=由于,故可求得状态转移矩阵的逆为
状态转移矩阵例2【例】求下列系统的时间响应，其中，u(t)为t=0时作用于系统的单位阶跃函数，即u(t)=1(t)。【解】对该系统状态转移矩阵为因此，系统对单位阶跃输入的响应为：即如果初始状态为零，即x(0)=0,可将x(t)简化为
线性定常系统的可控性与可观测性分析
SISO系统状态空间描述的标准形设单输入/单输出系统的传递函数如下所示可控标准形
可观测标准形设单输入/单输出系统的传递函数如下所示可观测标准形
对角线标准形设单输入/单输出系统的传递函数如下所示，考虑分母多项式只含相异根的情况：对角线标准形
Jordan标准形设单输入/单输出系统的传递函数如下所示，考虑分母多项式含有重根的情况：Jordan标准形u,
状态空间标准形例1【例】考虑由下式确定的系统，试求其状态空间表达式之可控标准形、可观测标准形和对角线标准形。【解】可控标准形为：可观测标准形为：对角线标准形为：
线性连续系统的可控性
可控性定义考虑线性连续时间系统初始条件为。如果存在一个控制信号，在有限的时间间隔内，使初始状态转移到任一终止状态，则称由上式描述的系统状态x(t)在时为可控的。如果x(t)对所有时刻都可控，则称该系统状态x(t)为一致可控的。
举例说明:不能控也不能观
线性系统状态可控性的代数判据
定常系统状态可控性的代数判据状态可控性的代数判据对线性连续时间系统，当且仅当n×n维矩阵满秩，即时，该系统状态可控。证明：下面推导状态可控的条件。不失一般性，设终止状态为状态空间原点，并设初始时刻为零，即。由上一节的内容可知，该线性连续时间系统的解为利用状态可控性的定义，可得或将写为A的有限项的形式，并带入上式得：
定常系统状态可控性的代数判据记，则如果系统是状态可控的，那么给定任一初始状态x(0)，都应满足上式。这就要求n×n维矩阵的秩为n。上述结论也可推广到控制向量u为r维的情况。此时，如果系统的状态方程为式中，，那么可以证明，状态可控性的条件为n×nr维矩阵的秩为n，或者说其中的n个列向量时线性无关的。通常称该矩阵为可控性矩阵。■
定常系统状态可控性例1【例】考虑由下式确定的系统：【解】由于即Q为奇异，所以该系统是状态不可控的。【例】考虑由下式确定的系统：【解】由于即Q为非奇异，因此系统是状态可控的。
传递函数矩阵表达的状态可控性条件状态可控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。状态可控性的充要条件是在传递函数或传递函数矩阵中不出现相约现象。如果发生相约，那么在被约去的模态中，系统不可控。【例】考虑下列传递函数：显然，在此传递函数的分子和分母中存在可约的因子（s+2.5）(因此少了一阶)。由于有相约因子，所以该系统状态不可控。将该传递函数写为状态方程，可得到同样的结论。状态方程为则即可控性矩阵的秩为1，所以状态不可控。
定义，则可将上式重写为对角阵标准型可控性判据考虑如下的线性系统如果A的特征向量互不相同，则可找到一个非奇异线性变换矩阵P，使得注意，如果A的特征值相异，那么A的特征向量也互不相同。设x=Pz并代入上面线性系统中，可得当且仅当输入矩阵没有一行的所有元素均为零时，系统才是状态可控的。注意矩阵P必须将矩阵A转换成对角线形式。
Jordan标准型可控性判据如果矩阵A不具有互异的特征向量，则无法化为对角线形式，此时可将A化为Jordan标准形，假设能找到一个变换矩阵S，使得利用x=Sz定义一个新的状态向量z，并代入线性系统中，可得到则系统的状态可控性条件为：当且仅当
Jordan标准形其中，在主对角线上的3×3和2×2子矩阵称为Jordan块。
状态可控的标准形判据例1【例】下列系统是状态可控的：
状态可控的标准形判据例2【例】下列系统是状态不可控的：
能控标准型的判定
输出可控性考虑下列状态空间表达式所描述的线性定常系统其中如果能找到一个控制向量,在有限的时间间隔内，使任一给定的初始输出转移到任一最终输出,那么称由上式所描述的系统为输出可控的。系统输出可控的充要条件为：当且仅当m×(n+1)r维输出可控性矩阵的秩为m时（即行满秩），由上式所描述的系统为输出可控的。注意：在输出方程中存在Du项，对确定输出可控性是有帮助的。
线性定常连续系统的可观测性
可观性定义考虑零输入时的状态空间表达式式中。如果每一个状态都可通过在有限时间间隔内，由观测值确定，则称系统为(完全)可观测的。本节仅讨论线性定常系统。不失一般性，设。为何只需考虑零输入系统？原因：若采用如下状态空间表达式则从而由于矩阵A、B、C和D均为已知，u(t)也已知，所以上式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被量测值y(t)中消去。因此，为研究可观测性的充要条件，只考虑零输入系统就可以了。
线性系统状态可观性的代数判据
定常系统状态可观测性的代数判据考虑以下线性定常系统易知，其输出向量为将写为A的有限项的形式，即因而或显然，如果系统是可观测的，那么在时间间隔内，给定输出y(t)，就可由上式唯一地确定出x(0)。可观性判据（充要条件）当且仅当n×nm维可观测性矩阵的秩为n，即时，上面线性定常系统是可观测的。
对角线标准形判据考虑线性定常系统设非奇异线性变换矩阵P可将A化为对角线矩阵，设x=Pz并代入上面线性系统中，可得则或如果m×n维矩阵CP的任一列中都不含全为零的元素，则系统是可观测的。该判断方法只适用于能将系统的状态空间表达式化为对角线标准形的情况。
从而则系统可观测的充要条件为：
Jordan标准形其中，在主对角线上的3×3和2×2子矩阵称为Jordan块。
状态可观测性的标准形判据例1【例】下列系统是可观测的：
状态可观测性的标准形判据例2【例】下列系统是不可观测的：
可观标准型判定
定常系统状态可观测性例1【例】试判断由下式所描述的系统的可控性和可观测性。【解】由于可控性矩阵秩为2，即，故该系统是状态可控的。由于输出可控性矩阵的秩为1，即，故该系统是输出可控的。由于可观测性矩阵的秩为2，，故此系统是可观测的。
用传递函数矩阵表达的可观测性条件可观测性条件也可用传递函数或传递函数矩阵表达。可观测性的充要条件是：在传递函数或传递函数矩阵中不发生相约现象。如果存在相约，则约去的模态其输出就不可观测了。当且仅当系统是状态可控和可观测时，其传递函数才没有相约因子。这意味着，可相约的传递函数不具有表征动态系统的所有信息。
定常系统状态可观测性例2【例】证明下列系统是不可观测的。【解】方法一由于可观测性矩阵其行列式值为0，故该系统是不可观测的。方法二在该系统的传递函数中存在相约因子。显然，分子、分母多项式中的因子（s+1）可以约去。则该系统是不可观测的，一些不为零的初始状态x(0)不能由y(t)的量测值确定。
对偶原理下面介绍由R.E.Kalman提出的对偶原理，该原理揭示了可控性和可观测性之间的关系。考虑由下述状态空间表达式描述的系统S1：以及由下述状态空间表达式定义的对偶系统S2：对偶原理当且仅当系统S1状态可观测（状态可控）时，系统S2才是状态可控（状态可观测）的。
对偶原理证明对于系统S1：状态可控的充要条件是n×nr维可控性矩阵的秩为n。状态可观测的充要条件是n×nm维可观测性矩阵的秩为n。对于系统S2：状态可控的充要条件是n×nm维可控性矩阵的秩为n。状态可观测的充要条件是n×nr维可观测性矩阵的秩为n。对比这些条件，可以很明显地看出对偶原理的正确性。利用此原理，一个给定系统的可观测性可用其对偶系统的状态可控性来检检和判断。简单地说，对偶性有如下关系：
离散系统的可控性和可观性判据当离散系统用下面状态空间表达式描述时，状态完全可控性判据为输出完全可控性判据为行满秩状态可观性判据为m
线性变换将单输入系统转化为能控、能观标准型
故不影响可控性，类似的可证明不影响可观性
能控标准型转化方法＋
存在性若{A,b}能控，则一定存在一个线性变换x=P使得
能观标准型转化方法
存在性若{A,c}能观，则一定存在一个线性变换x=P使得
例：
线性定常系统的状态反馈和状态观测器
问题的提法给定单输入单输出线性定常被控系统状态反馈控制律为式中K∈R1×n为状态反馈增益矩阵或线性状态反馈矩阵。下图分别给出了开环控制系统、输出反馈和状态反馈的系统的结构图。(a)开环控制系统输出反馈控制律为
(c)闭环状态反馈控制系统(b)闭环输出反馈控制系统
输出反馈矩阵的闭环状态方程：
状态反馈矩阵的闭环状态方程：
共同点：两种反馈均能改变系统的极点不同点：较之输出反馈，状态反馈信息量大、完整，调节系统能力强
例：传函为希望极点为－1，－3，试用状态反馈和输出反馈设计解：能控标准型为单输出，因此可以设输出反馈阵H=h，则闭环系统矩阵为
闭环特征方程等于希望特征方程，故有待定系数为：为矛盾方程，即输出反馈不能达到控制目的。若采用状态反馈，闭环系统矩阵为闭环特征方程等于希望特征方程，故有待定系数为：解之：状态反馈可以配置
问题的提法将控制代入系统，得到由此可见，系统的响应特性将由闭环系统矩阵A-BK的特征值决定。如果矩阵K选取适当，则可使矩阵A-BK构成一个Hurwitz矩阵。矩阵A-BK的特征值即为闭环系统的极点。1、这种使闭环系统的极点任意配置到所期望位置的问题，称为极点配置问题。
问题解答：
方块图化简求传函如果不需要中间过程，则可以用信号流图的Mason公式
可配置条件－极点配置定理考虑线性定常系统假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为式中K为线性状态反馈矩阵。定理(极点配置定理)线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全可控。该定理对多变量系统也成立。证明(对单输入单输出系统)1、充分性2、必要性
极点配置定理_充分性1.充分性。如果线性系统状态完全可控，一定存在非奇异变换，使其变换为可控标准形。变换后的系统，状态矩阵和输入矩阵分别为引入状态反馈：
闭环特征方程为：
2.必要性即已知闭环系统可任意配置极点，证明被控系统状态完全可控。现利用反证法证明。先证明如下命题：如果系统不是状态完全可控的，则矩阵A-BK的特征值不可能由线性状态反馈来控制。假设原线性系统状态不可控，则其可控性矩阵的秩小于n，即则必有状态变量与控制u无关，因此，不可能实现全状态反馈，则不可控子系统的特征值就不能任意配置。所以，为了任意配置矩阵A-BK的特征值，此时系统必须是状态完全可控的。必要性得证。
极点配置的算法给定线性定常系统若线性反馈控制律为，则可由下列步骤确定线性反馈矩阵K，使A-BK的特征值为μ1,μ2,…μn，即闭环系统的期望极点值(如果μi是复数特征值，则其共轭必定也是A-BK的特征值)。
利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为从而确定a1*,a2*,…an*的值
极点配置例1【例】考虑如下线性定常系统利用状态反馈控制，希望该系统的闭环极点为s=-2±j4和s=-10。试确定状态反馈增益矩阵K。【解】该系统已是可控标准形。首先需检验该系统的可控性矩阵。由于可控性矩阵为得出detQ=-1。因此，rankQ=3。因而该系统是状态完全可控的，可任意配置极点。下面用两种方法求解。
极点配置例1方法1：利用刚才介绍的求解步骤，计算系统矩阵A的特征多项式，求特征值。则期望的特征方程为则由可得
极点配置例1方法2：设期望的状态反馈增益矩阵为并使[sI-A+BK]和期望的特征多项式相等，可得令对应系数相等得即
状态估计
状态空间轨迹（揭示系统内部运动状态）
Separationproperty（forLTIsystems）1)Insertingthestateestimateor,sayl,doesnotaffecttheeigenvaluesoftheoriginalstatefeedback2)Noraretheeigenvaluesofthestateestimatoraffectedbytheconnection
本课程结束谢谢大家！
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