页数：89页文件大小：849.2 KB来源： 现代控制理论ppt课件
本课件从课程基本概况与现代控制理论的诞生讲起，沿状态与状态空间、状态变量图、状态空间描述的建立、化输入输出描述为状态空间描述、线性变换逐节展开，最后给出由状态空间描述求传递函数阵的方法，并附本章作业。
现代控制理论基础（Modern Control Theory）课程封面页，标示课程中英文名称与课程主题。
课程的基本概况：基本要求、教材及参考书。
教学内容：
问题的提出－控制的必要性
问题的提出－控制的必要性
问题的提出－控制的必要性
提出的方法－经典控制理论（1935-1950）
经典控制理论（Classical Control Theory）
面临的挑战：对象日益复杂化、控制性能要求不断提高。
对象日益复杂化带来的挑战，催生了新知识、新技术，即现代控制理论。
现代控制理论的奠基性成果：
1957 年成立了国际自动控制联合会（IFAC：International Federation of Automatic Control）。
现代控制理论篇章标题页，承接经典控制理论的发展脉络，引出其取得的成就与主要特点。
现代控制理论－取得的成就
现代控制理论－特点
课程的主要内容
1 控制系统的状态空间描述
1.1 引言
1.1 引言
1.1 INTRODUCTION：现代复杂系统可能有许多输入与输出，且以复杂方式相互关联。分析此类系统必须简化数学表达，并借助计算机完成大量繁琐计算，状态空间法正是最适合的途径。
1.1 INTRODUCTION：经典控制理论基于输入-输出关系即传递函数，现代控制理论基于 n 个一阶微分方程的系统方程描述，可合成为一阶向量矩阵微分方程，向量矩阵记号极大简化了方程组的数学表示。
1.1 INTRODUCTION：状态变量、输入或输出数目的增加并不增加方程的复杂度，复杂多输入多输出系统的分析步骤仅比一阶标量微分方程系统略复杂。
1.1 INTRODUCTION：现代控制理论适用于多输入多输出系统，可线性或非线性、时不变或时变；而经典控制理论仅适用于线性时不变单输入单输出系统。
1.1 INTRODUCTION：现代控制理论本质上是时域方法，经典控制理论是复频域方法。经典设计基于试凑，一般得不到最优控制系统；现代控制理论使工程师能针对给定性能指标设计最优控制系统。
1.1 INTRODUCTION：现代控制理论的设计可针对一类输入进行，而不必限定为脉冲、阶跃或正弦等特定输入函数，同时还能把初始条件纳入设计。
1.2.1 状态和状态空间（state and state space）
状态和状态空间在描述质点和刚体运动的经典动力学中早已广泛应用，经典控制理论中的相平面就是一个特殊的二维状态空间。
1.2 状态空间描述
状态变量是指能够完全描述系统运动状态的且数量最少的一组变量。
State variables 描述了系统的未来响应，最简单的例子是开关的通断两种状态。
1.2 状态空间描述
1.2 State space representations
1.2.2 被控过程的状态空间描述
1.2 状态空间描述：引入向量函数得到状态空间描述（状态空间表达式）。
1.2 状态空间描述：用矩阵方程表示状态空间描述，如果所描述过程是线性的，则可写成线性标准形式。
1.2 状态空间描述
简记为 Σ(A, B, C, D)；若系统是线性定常系统，则 A、B、C、D 均为常数矩阵。
1.2.3 非线性状态空间描述的线性化
实际的控制系统总是非线性的，即 f、g 是 x、u 的非线性函数。考察系统在 x0=x(t0) 附近的运动，将 f 和 g 在 x0、u0 处进行泰勒级数展开，得到线性化表达式。
1.2 状态空间描述：用增量表示状态与输入的偏差，令 Δx、Δu，忽略 α、β 高阶项后得到线性化的增量状态方程与输出方程。
例：试求下列非线性系统在 x0=0 和 u0=1 处的线性化方程。
解：由状态方程和输出方程求得各偏导数，代入后得到线性化后的增量状态空间描述（矩阵元素以原课件公式为准）。
1.3 状态空间描述的状态变量图
状态变量图的图形符号：加法器、比例器、积分器、带初始条件积分器，以及状态空间描述的一般形式与向量信号表示。
1.3 状态空间描述的状态变量图：一阶系统微分方程与三阶系统微分方程分别对应的状态变量图，图中积分器数目等于状态变量数。
状态变量图的绘制方法：积分器的数目等于状态变量数，将它们画在适当位置，每个积分器的输出为相应的某个状态变量；再根据状态方程和输出方程画出加法器和放大器，最后用箭头将这些元件连接起来。
1.4 状态空间描述的建立
建立方法：从系统机理出发推导、由系统结构图建立、由微分方程或传递函数转换。
例（1.4.1 从系统的机理出发）：试列写 RLC 网络的状态空间描述，以电流 i2 为输出。此网络的贮能元件有电感 L1、L2 和电容 C，i1、i2 和 uc 三个变量独立，可选为状态变量，根据网络回路和节点方程求解。
1.4 状态空间描述的建立：令 x1=i1，x2=i2，x3=uc，整理得状态方程与输出方程的标准形式。
例：列写以 M1 和 M2 的位移 y1 和 y2 为输出的状态空间描述。弹簧和质量块是贮能单元，可选择位移 y1、y2 和速度 v1、v2 为状态变量。
1.4 状态空间描述的建立：令 x1=y1，x2=y2，以及 u=f，式中 x^T=[x1 x2 x3 x4]，y^T=[y1 y2]，整理得状态空间描述。
机理分析方法的一般步骤
1.4.2 从系统结构图出发建立状态空间描述：一阶系统和二阶系统的结构图和相对应的状态变量图如下图所示，可由结构图直接读出状态变量图并写出状态空间描述。
例：某系统的结构图如下，试求其状态空间描述（结构图与求解过程以原课件图示为准）。
1.4 状态空间描述的建立：对于传递函数中含有零点的环节，需先变换成真分式，再按真分式建立状态空间描述。
1.5 化输入-输出描述为状态空间描述
考虑一个单输入-单输出线性定常系统，运动方程由 n 阶线性常微分方程描述，其传递函数已知。目的是寻求一个状态空间描述与之对应。
1.5.1 能控标准形实现（Controllable canonical form）
设单输入-单输出控制系统由传递函数描述，因 m=n-1，即 d=0，用状态变量图建立系统的状态空间描述，将上式改写后得到能控标准形。
1.5 化输入-输出描述为状态空间描述：将传递函数改写后构造状态变量图，得到能控标准形的矩阵表达（具体矩阵元素以原课件公式为准）。
能控标准形实现
例：试将左侧二阶系统化为状态空间描述的能控标准形。解：将传递函数改写后写成友矩阵形式。
1.5 化输入-输出描述为状态空间描述
（1）不包含输入导数项的情况：设系统的微分方程为……，令状态变量为各阶导数形式，可直接写出能控标准形。
1.5 化输入-输出描述为状态空间描述
（2）包含输入导数项的情况：系统的传递函数可分解为两部分串联，并引入中间变量 Z(s)，据此构造状态空间描述。
1.5.2 能观测标准形实现（Observable canonical form）
将系统的传递函数改写为另一种形式，构造相应的状态变量图，得到能观测标准形实现。
1.5 化输入-输出描述为状态空间描述：能观测标准形与能控标准形互为对偶关系，两者矩阵互为转置，输入输出关系保持不变。
1.5.3 约当标准形实现（Jordan canonical form）
（1）特征根互异情况：系统的传递函数中 λ1、λ2、…、λn 互异，将上式展开成部分分式，对应对角线形状态空间描述。
1.5 化输入-输出描述为状态空间描述：约当标准形实现，系统矩阵为以特征根为对角元素的对角阵。
1.5 化输入-输出描述为状态空间描述
（2）特征根有重根情况：设系统只有 λ1 是重根，且重数为 k，其余 n-k 个特征根是单根，此时系统的传递函数可写成相应部分分式形式。
1.5 化输入-输出描述为状态空间描述：重根 λ1 对应一个 k 阶约当块，其余单根对应对角元素（矩阵结构以原课件公式为准）。
1.5 化输入-输出描述为状态空间描述：写成一般形式，其中约当块与对角块按特征根的重数排列。
1.5.4 多输入-多输出系统的实现
以双输入-双输出二阶系统为例，设系统的微分方程为……，对上式积分后得到状态空间描述。
1.5 化输入-输出描述为状态空间描述：双输入-双输出系统实现的状态方程与输出方程矩阵形式（以原课件公式为准）。
1.6 离散系统状态空间描述的建立
周期性采样线性定常系统的差分方程一般具有如下形式，进行 Z 变换可导出脉冲传递函数，分别适用于单输入单输出系统与多输入多输出系统。
1.7.1 线性非奇异变换（Linear nonsingular transformation）
例：将如下系统变换为对角线标准形。解：选取非奇异变换阵 P，新的状态变量是原状态变量的线性组合。
1.7 线性变换：将一般形式的状态空间描述变换为对角线标准形，变换后系统矩阵为特征根组成的对角阵。
1.7.2 系统的特征值和特征向量
1.7 线性变换：对于友矩阵，特征多项式为 |λI−A|=λ^n+a1λ^(n−1)+…+a(n−1)λ+an，并给出相应例题。
1.7 线性变换
（2）系统的不变量与特征值的不变性：系统经线性变换后，其特征多项式不变，特征多项式的系数 a1、a2、…、an 称为系统的不变量。
（3）特征向量的计算 Ap=λp
例：试求矩阵的特征向量。解：① 由 |λI−A|=0 计算出 λ1=−1，λ2=−2，λ3=−3；② 按定义 Ap1=λ1p1 计算对应于 λ1=−1 的特征向量 p1。
1.7 线性变换：解出 p12=0，p11=p13，令 p11=1，则 p13=1；同理可算出 λ2=−2，λ3=−3 对应的特征向量。
代数余子式法求特征向量
设特征矩阵，则对应的特征向量的各元素为对其按某一行展开的各代数余子式。若按某行展开的代数余子式全部为零即特征向量为零向量、不符合要求，则按另一行展开重新计算。
代数余子式法求特征向量
1.7.3 将状态空间描述变换为约当标准形
（1）A 阵为任意形式：采用线性变换，特征值互异时求出 λi 的特征向量 pi（i＝1,2,…,n），由 pi 构成变换矩阵 P。
1.7 线性变换：对状态方程两边左乘 P^(−1)，得到变换后的约当标准形状态空间描述。
1.7 线性变换：（Ⅱ）特征值有重根时，设 A 有 n 个特征值，其中 λ1 为 k 重根，其余为互异根，需构造广义特征向量。
1.7 线性变换：即 k 个重根形成一个 k 阶约当块，n−k 个单根各成一个一阶块；也可根据 A 矩阵特征方程的第 k 行的代数余子式求。
例：试将矩阵变换为约当标准形。解：矩阵 A 的特征方程求得特征值为 λ1=λ2=1，λ3=5，下面分别用两种方法求变换阵 P：① 递推方法；② 根据 A 矩阵特征方程的代数余子式求解。
① 根据递推方法求解：p13=8 为任选值。对于重根 λ1=λ2=1，先计算特征向量 p1，即 Ap1=λ1p1。
1.7 线性变换：再由 Ap2=λ1p2+p1 计算 p2；最后计算 λ3=5 对应的特征向量 p3，即 Ap3=λ3p3，由此得到变换阵 P。
② 根据矩阵 A 特征方程的代数余子式求解
将行列式按第一行展开得代数余子式，将 λ1=1 代入得 p11=p12=p13=0，这样 p1=0 不符合要求，故改为按第二行展开，得 p11=0，p12=0，p13=−32。
1.7 线性变换：由①法得到重根 λ2=1 对应的特征向量，将 λ3=5 代入代数余子式求得 p3，③ 将 A 阵变换成约当标准形。
1.7 线性变换：考虑如下系统，问题是如何求变换阵 P、得到什么样的标准形（取决于特征值的分布与重数）。
1.7 线性变换
（2）A 阵为友矩阵：（Ⅰ）特征值互异时变换阵 P 为范德蒙德形式；（Ⅱ）特征值有重根时以 λ1 是三重根为例给出变换阵。
1.8.1 单输入-单输出系统
对状态空间描述作拉氏变换，得到标量传递函数。式中 adj(A)（adjoint，伴随矩阵）是 A 相应元素的代数余子式，det(A)（determinant，行列式）即 A 的特征多项式。
例：已知三阶系统的状态空间描述为……，求其传递函数。解：由 G(s)=C(sI−A)^(−1)B+d 得到传递函数（具体表达式以原课件公式为准）。
1.8.2 多输入-多输出系统
式中 x 为 n 维状态向量，u 为 r 维输入向量，y 为 m 维输出向量。作拉氏变换后，u−x 间的传递函数阵与 u−y 间的传递函数阵分别给出。
例：求系统的传递函数阵。解：按 G(s)=C(sI−A)^(−1)B+D 计算得到各元素（表达式以原课件公式为准）。
1.8 由状态空间描述求传递函数阵：该传递函数阵也可写成分子多项式的系数不是标量而是矩阵的形式，称为矩阵多项式。
1.8.3 传递函数阵的不变性：系统经线性非奇异变换后，传递函数阵保持不变。
作业
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