07 王金城化工出版社现代控制理论习题答案.docx

第1页：习题 1-1 状态空间描述

第1章习题参考答案（王金城，化工出版社）

1-1（a）选 y1、y2、y3、v1、v2、v3 为状态变量，根据牛顿定律分别对 M1、M2、M3 列写受力方程，整理得状态空间描述；（b）选 y1、y2、v1、v2 为状态变量，同理列写方程并整理。

本页矩阵与微分方程以原课件图片为准，本处仅给出建模思路与变量选取。

第2页：习题 1-2 与 1-3(1)

1-2（a）取电感电流 i 和电容电压 u 为状态变量，列回路方程；（b）选择回路电流 ia 和电枢角速度 ω 为状态变量，其中含转矩常数，令 x1=ia、x2=ω，结合力矩平衡方程得状态空间描述。

1-3（1）传递函数为 G(s)=Y(s)/U(s)。

第3页：习题 1-3 能控与能观标准形

1-3：按梅逊公式构建系统的状态变量图，分别写出能控标准形与能观标准形。

• （1）传递函数对应能控标准形与能观标准形各一组
• （2）按同样方法写出两种标准形
• （3）将传递函数中的公因子提出后构建状态变量图

各矩阵元素以原课件图片为准。

第4页：习题 1-3(4) 至 1-4

1-3（4）将传递函数中的公因子提出，构建状态变量图并写出状态空间描述；（b）化简系统结构图得系统状态空间描述。

1-3（5）（6）由脉冲传递函数 G(z) 写出差分方程，选取状态变量后得离散系统状态空间描述。

1-4（a）化简系统结构图得系统状态空间描述。

第5页：习题 1-5 与 1-6

1-5（1）由传递函数 G(s) 写出能控标准形与能观标准形；（2）同理写出四阶系统的两种标准形。

1-6（1）G(s) 展成部分分式后写出对角线标准形；（2）含重根情形的约当标准形实现。

第6页：习题 1-6(2) 与 1-7

1-6（2）由 |λI−A|=0 求得特征值，进而得到变换阵 P 与变换后的状态空间描述。

1-7（1）求得三个特征值及对应特征向量 p1、p2、p3，构成变换阵 P 并求 P^(−1)B；（2）同理求得对角化变换后的系统矩阵。

第7页：习题 1-7(2) 与 1-8

1-7（2）由特征多项式求得特征值，计算特征向量并构成变换阵 P，得到变换后的状态空间描述。

1-8（1）因 A 为友矩阵，直接写出变换阵 P；（2）由特征值求变换阵并计算 P^(−1)B，得变换后的系统矩阵。

第8页：习题 1-9 与 1-10 不变性证明

1-9（1）给出变换阵 P 及变换后矩阵 P^(−1)AP、P^(−1)B、CP；（2）证明两点：① 由 |λI−P^(−1)AP|=|P^(−1)(λI−A)P|=|λI−A|，故特征值不变；② G(s)=C(sI−A)^(−1)B 经变换后保持不变，故传递函数不变。

第9页：习题 1-11 与 1-12

1-11G(s)=C(sI−A)^(−1)B，给出 (sI−A)^(−1) 与传递函数阵的计算结果。

1-12G(z)=c(zI−A)^(−1)b，给出 (zI−A)^(−1) 的计算过程与离散系统传递函数的结果。

第10页：习题 2-1 矩阵指数函数

第2章习题参考答案

2-1：（1）① 用约当标准形法求 e^(At)；② 用待定系数法求 e^(At)；（3）① 约当标准形法；② e^(At)=L^(−1)[(sI−A)^(−1)]；（4）给出含重根情形的 e^(At) 及级数求和法结果。

矩阵指数函数的具体元素以原课件图片为准。

第11页：习题 2-2 与 2-3

2-2（1）由 |λI−A|=(λ+3)(λ+1) 求得特征值，给出 e^(At) 与状态转移矩阵 Φ(t)；（2）三阶系统同理求得各元素。

2-3：② 用拉氏变换法求 e^(At)，并由 e^(At)=(α0(t))I+(α1(t))A 确定待定系数函数。

第12页：习题 2-4 至 2-6

2-4：验证状态转移矩阵的自身性 Φ(0)=I；2-5：给出 Φ(t) 的各元素；2-6：验证传递性与可逆性，并求时变系统 A(t) 对应的状态转移矩阵 Φ(t, 0)。

第13页：习题 2-7 至 2-11

2-7：由 e^(At)=L^(−1)[(sI−A)^(−1)] 求 x(t)=e^(At)x(0)；2-8：由 Φ(t) 反求系统矩阵 A；

2-9（1）x(t)=e^(At)x(0)+∫e^(A(t−τ))Bu(τ)dτ；（2）用拉氏变换法求 e^(At)；2-10、2-11 给出相应状态响应与由 x(t) 反求 x(0) 的结果。

第14页：习题 2-13 RC 电路响应

2-13：设 RC 电路参数 R=1Ω、C=1F，由 i=C·duC/dt 与回路方程得状态空间表达式 U̇c=−Uc+Ui，求得 A=−1、(sI−A)^(−1) 与 Φ(t)=e^(−t)。

当 ui(t)=10·1(t) 时，uc(t)=10(1−e^(−t))V；并给出电容电压与电流的响应结果。

第15页：习题 2-14 与 2-15

2-14：由 Φ(t)=e^(At) 求出 G(T) 与 H(T)=∫Φ(t)Bdt，得到离散化状态方程 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)，并给出状态转移矩阵 Φ(k)=Z^(−1)[z(zI−G)^(−1)]。

2-15（1）G=e^(AT)、H=∫Φ(t)Bdt，当 T=1s 时给出离散化状态方程；（2）给出相应 G、H 的表达式。

第16页：习题 2-16 与 2-17

2-16（1）由 G(s) 写出状态空间描述，求得 G=e^(AT)、H，给出 (zI−G)^(−1) 与 Φ(k)；（2）给出离散化结果与状态转移矩阵。

2-17：k=0 时 x(1)=Gx(0)+Hu(0)，k=1 时 x(2)=Gx(1)+Hu(1)，代入后解得 u(0)=5.35、u(1)=0.51。

第17页：习题 3-1 能控能观测判别

第3章习题参考答案

3-1（1）能控，能观测；（2）能控，能观测；（3）根据能控/能观测判别准则二知，系统能控但不能观测。

各小题给出能控性判别矩阵 Qc 与能观测性判别矩阵 Qo 及其秩。

第18页：习题 3-1(4)(5) 与 3-2

3-1（4）（5）：对时变系统定义 M0(t)=b(t)、Mi(t)=A(t)Mi−1(t)+Ḿi−1(t) 与 N0(t)=c(t)、Ni(t)=Ni−1(t)A(t)+Ṅi−1(t)，由判别矩阵的秩判别能控与能观测，结论为能观测但不能控。

3-2（1）矩阵 A 为约当标准形，对应于唯一特征值共有 3 个约当小块；系统完全能控的充要条件是 B 中对应于三个约当小块的末行线性无关。基此，不管待定参数 a 和 b 取何值，系统均不是能控且能观测的；（2）给出使系统完全能观测时 a 和 b 的取值范围。

第19页：习题 3-3 至 3-5

3-3（1）由 det[b Ab A²b] 与 det[c^T A^Tc^T (A^T)²c^T] 的表达式定出参数 a 的取值范围（如 a=0.5394 或 2.0856）；（2）给出 b 的取值范围。

3-4：系统能控的条件是 L≠CR²；不论 L、R、C 取何值，系统均为不能观测的。

3-5：由 C1=C2=1F、R1=R2=R3=1Ω 写出系统的状态空间描述及判别矩阵。

第20页：习题 3-6 至 3-8

3-6：能控性判别矩阵的秩为 n，所以系统的状态完全能控。

3-7：能观测性判别矩阵的秩小于 n，所以系统是不能观测的。

3-8：原系统能控能观测，取采样周期为 T 将系统离散化，求得 e^(AT) 与 G、H，由判别矩阵行列式得出使离散化系统能控且能观测的采样周期条件（T≠kπ/2）。

第21页：习题 3-9 与 3-10

3-9 证明：设系统经线性非奇异变换 x̄=P^(−1)x，则变换后系统的能控性判别矩阵 Q̄c=P^(−1)[B AB … A^(n−1)B]=P^(−1)Qc，因 P 可逆，故 Rank(Q̄c)=Rank(Qc)，即线性非奇异变换不改变系统能控性；同理可证不改变系统可观测性。

3-10：给出系统传递函数的计算结果。

第22页：习题 3-11 与 3-12

3-11（1）给出变换阵 P 及化得的能控标准形；（2）给出变换阵及化得的能观测标准形。

3-12：由传递函数写出能控标准形与能观测标准形。

第23页：习题 3-13 零极点对消

3-13：三个系统的传递函数均相同，存在零极点对消现象，故系统不是既能控又能观测的。

• （1）(A, b) 对为能控标准形，故能控不能观测
• （2）(A, c) 对为能观测标准形，故能观测不能控
• （3）因 A 阵为对角化阵，系统不能控且不能观测

第24页：习题 3-14 结构分解

3-14（1）给出能控性分解变换阵 Rc 及按能控性分解后的系统状态空间描述；（2）给出能观测性分解变换阵 Ro 及按能观测性分解后的状态空间描述。

第25页：习题 3-15 与 3-16

3-15：1）按照能控性分解；2）对不能控子系统按能观测性分解；3）对能控子系统按能观测性分解，最终得到按能控性和能观测性进行结构分解的表达式。

3-16（1）串联系统传递函数有零极点对消现象，且被对消的零点与 u 相连，所以该系统是不能控但能观测的；（2）并联系统传递函数没有零极点对消现象，所以系统是完全能控且能观测的。