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本课件介绍采样控制系统的分析方法，从信号的采样与保持过程出发，讲解采样定理与零阶保持器，给出脉冲传递函数与采样系统数学模型的建立方法，并分析离散系统的稳定性、稳态误差与瞬态响应。
1第七章采样控制系统
信号的采样与保持信号的采样过程：通过采样开关将连续信号离散化，转变为脉冲序列信号；信号的保持过程：通过信号保持器将离散信号连续化；两者互为逆过程；离散信号与采样信号区别：1）客观存在vs人为得到2）定义域：孤立点集vs一维数集
信号的采样采样和采样器将连续信号变为离散信号（脉冲序列）的过程称为采样；实现采样的装置称为采样器。采样器是离散系统的基本元件，每隔一段时间，开关闭合一次，使输入信号通过。采样过程
相关定义离散控制系统在控制系统中，如果有某处传输或加工的信号是时间的离散函数或者数码信号，则称该控制系统为采样控制系统，或者数字控制系统。二者统称为离散控制系统。采样系统、数字控制系统与连续系统的区别是：系统中的一处或几处的信号是一脉冲或数码。离散控制特点
相关定义均匀采样过程每隔一个固定时间T，采样开关闭合一次所实现的采样过程称为均匀采样过程。随机采样过程如果采样开关闭合断开时刻是随机的，称为随机采样过程。本章讨论均匀采样过程。
采样信号1、几点假定（理想化）采样开关应能立即开或闭；通过采样开关的输出不发生畸变；采样时间(即采样装置闭合的时间)τ远小于采样周期T，分析时可以近似认为趋近于零；开关闭合时，其输出为常数；等采样周期，即采样周期T为常数。
采样信号2、单位脉冲函数单位理想狄拉客函数。单位脉冲序列函数3、单位脉冲序列函数下式为单位脉冲序列函数，它是单位脉冲函数的序列。
采样信号4、断续信号将连续的信号离散化得到断续信号，利用单位脉冲序列函数可以描述断续信号为：对于实际的采样控制系统，总有一个工作起始时间，因此假定当t<0时e(t)=0。则断续信号描述为（时域描述）连续信号与断续信号
采样信号对e(t)取拉氏变换，得上式可以将E*(s)与离散时域信号e*(kT)联系起来，可以直接看出e*(t)的时间响应。但是e*(t)仅描述了e(t)在采样时刻的值，所以E*(s)不可能给出e(t)在两个采样时刻之间的任何信息。采样周期为T，则采样频率为，采样角频率为，但一般简称后者为采样频率。
采样信号例1【例】设e(t)=1(t)，试求e*(t)的拉氏变换。【解】【例】设e(t)=e-at，t≥0，a为常数，试求e*(t)的拉氏变换。【解】上例表明，用拉氏变换法来对离散信号进行变换时，得到的式子是有关s的超越函数，不利于分析。因此要引入z变换。
由于单位脉冲序列函数为周期函数，因此可以将其展开成傅里叶级数频谱分析其中称为系统的采样频率。则上式描述了采样过程的复频域特征，是s的周期性函数，与连续函数不同。
频谱分析如果连续信号e(t)的频谱|E(jw)|是单一的连续频谱，则离散信号e*(t)的频谱除包含原连续信号主频谱外（幅值为1/T），还包含无穷多个高频频谱。连续信号e(t)的频谱离散信号的频谱
由于，则，所以。香农采样定理采样定理：为使离散信号不失真的还原成原来的连续信号，采样频率必须大于等于原连续信号所含最高频率的两倍。即如果采样频率满足上面条件，则两相邻信号间无交叉部分。因此可设计如下理想滤波特性的滤波器，即可不失真地恢复原连续信号。理想滤波器的频率特性
香农采样定理由于实际的非周期连续信号的频率特性中最高频率是无穷大的，因此离散信号频谱必然相互交叉，采样频率的选取发生困难，此时必须作近似处理：连续信号频谱特性的频带宽度（即当频率特性的幅值为零频幅值e(0)的5%时所对应的频率）为连续信号所含的最高频率。近似处理得到后，即可利用采样定理得到采样频率。非周期连续信号的频谱
香农采样定理【例】设e(t)=e-t，试按采样定理选择采样频率。【解】首先求连续信号的拉氏变换其频率特性为幅频特性为若在处截断，可求频带宽度为则由采样定理可求得采样频率
采样周期的选择采样定理给出了采样周期选择的基本原则，但是由于采样周期影响着采样系统的稳定性、稳态误差，以及动态响应，因此在选择采样周期时，必须综合各种因素，根据特定的控制目标来确定。1、从频域性能指标来说，控制系统的闭环频率响应通常具有低通滤波特性，因此可以认为系统的最高频率为其闭环幅频特性的谐振频率ωr。而在随动系统中，一般认为开环系统的截止频率ωc与闭环系统的谐振频率ωr近似，在工程中，随动系统的采样角频率可近似取为ωs=10ωc，由于T=2π/ωs，所以采样周期为T=π/5ωc。2、从时域性能指标来说，采样周期T可通过单位阶跃响应的上升时间tc或调整时间ts按T=tc/10或T=ts/40选取。
信号的保持需要保持的原因：被控对象、执行机构（执行电机、调节阀等）都是依靠模拟信号工作。采样信号经过计算机控制器后，必须变成模拟信号才能使用。保持器的任务：解决两个采样点之间插值的问题主讲：零阶保持器
零阶保持器保持器的作用是将采样信号转换为连续信号，这个连续信号近似的重现作用在采样器上的信号。零阶保持器能将采样信号转变成在两个连续采样时刻之间保持常量的信号，即在区间内，零阶保持器的输出值一直保持为x(nT)。如下图所示。零阶保持器的输出xb(t)为阶梯信号。因为在每个采样区间的值均为常数，其导数为零，故称为零阶保持器。原连续信号零阶保持器的恢复信号零阶保持器
零阶保持器1、零阶保持器的传递函数考察保持器的输出xh(t)与连续输入信号x(t)之间的关系。将上面结果求拉氏变换，得从而可以得到保持器的输出xh(t)与断续输入信号x*(t)之比，即零阶保持器的传递函数为
当时，。零阶保持器1、零阶保持器的频率特征用代替式中s的，得零阶保持器的频率特性当很小近似为0时，，只要是的整数倍，则，此时相频特性为：
零阶保持器零阶保持器的幅频特征和相频特性如下图所示。
零阶保持器由于幅频特性的幅值随频率的增加而衰减，零阶保持器是一个低通滤波器，但不是一个理想滤波器。它除了允许的主要频谱分量通过以外，还通过一部分高频分量，从而造成数字控制系统的输出中存在纹波（畸变）。另外，从相频特性还可以看到，零阶保持器还会产生负相移（滞后相移），因此，零阶保持器的引入，会导致稳定性变差。除了零阶保持器外，还有一阶、二阶等高阶保持器。由于他们实现起来比较复杂，而且相角滞后比零阶保持器更大，所以很少使用。
z变换理论由于采样信号的拉氏变换是s的超越函数，出现指数项，无法得到象线性连续系统中那样的特征方程为线性代数方程。z变换将复平面问题转化为Z平面上的问题：断续信号的拉氏变换为s平面：引入变量，，则得z变换的定义式：z平面：x*(t)的z变换记为Z[x*(t)]，Z[x*(t)]=
算子的作用：单位后移算子
采样系统的数学模型
开环脉冲传递函数脉冲传递函数的定义脉冲传递函数是在零初始条件下，输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比。零初始条件是指：在t<0时，输入脉冲序列各采样值r(－T)，r(－2T)，…以及输出脉冲序列各采样值c(－T)，c(－2T)，…均为零。
开环脉冲传递函数脉冲传递函数与连续系统传递函数的区别：前者是在两个采样开关之间定义的,后者是在输入输出拉氏变换的比值1、脉冲传递函数的物理意义：连续系统脉冲响应序列的z变换
脉冲传递函数求法对连续部分的传递函数G(s)进行反拉氏变换求得相应g(t)，然后再求出g*(t)的z变换即为脉冲传递函数G(z)。（例6-10）直接从G(s)的部分分式各项求出对应的G(z)中的各项（例6-11）
开环脉冲传递函数1、开环脉冲传递函数与连续系统不同之处：采样开关的数目和位置不同，求出的开环脉冲传函也不一样两个环节串联，有两种方式：1）串联环节之间有采样开关。（假设采样开关是同步采样）
根据脉冲传递函数定义，两环节的脉冲传递函数分别为2）串联环节之间无采样开关。（假设采样开关是同步采样）
串联环节的脉冲传递函数例1【例】已知，，求脉冲传递函数。【解】若无采样开关，则若有采样开关，则注：此两环节不同，虽然极点相同，但零点不同。
令，则带零阶保持器的开环脉冲传函实际的离散控制系统中，都有1个将离散信号变为连续信号的零阶保持器。如下图所示。
闭环脉冲传函下图为闭环离散控制系统。r(t)为系统输入，d(t)为扰动输入。其中采样开关S2为实际采样开关，由于误差为输入信号与反馈信号的差值，所以对输入信号r(t)和反馈信号b(t)实际起到采样的作用，因此可以认为在输入端、输出端和反馈端虚设同步采样
注意1）2）在求解复杂离散系统的脉冲传递函数时，由于采样开关处在不同的位置，即使各动态环节的传递函数相同，脉冲传递函数也可能不同（见表6-2，不作要求）。有时采样开关的位置可能导致无法求出脉冲传函，而只能求出输出z变换表达式。
离散系统分析
稳定性分析线性离散控制系统稳定的充要条件：线性离散闭环控制系统特征方程的根的模小于1，则系统是稳定的。分析：离散系统的特征方程实际上是将s平面的信息，通过z变换转移到了z平面。考察线性离散闭环控制系统脉冲传递函数为则其特征方程为
稳定性分析例1【例】已知离散系统结构如下图示，当T=1时，分析稳定性。【解】所以系统不稳定。
稳定性判据劳斯代数判据无法直接应用在z平面上，因此引入双线性映射,将z平面的点映射到w平面上研究。假定z平面上一点对应w平面上一点令
稳定性判据
稳定性判据例2【例】已知离散系统结构如下图示，当T=0.1时，分析稳定性。【解】劳斯表中第一列为正，系统稳定。
稳定性判据
稳定性分析稳定性分析的几个特殊问题：
连续系统，，则系统稳定；离散系统，，则系统稳定。稳定性分析例3【例】当T=0.1时，分析稳定性。求使系统稳定的K取值范围。【解】
令由稳定性分析例4【例】已知系统结构如图，分析稳定性与采样周期的关系。【解】令得2
稳态误差分析如图所示的单位反馈的闭环离散系统的误差脉冲传递函数为系统误差终值定理
稳态误差分析与连续系统类似，根据系统开环脉冲传递函数在z=1的极点的个数，离散控制系统可分为0型、1型……系统。1、单位阶跃输入定义位置误差系数则对0型系统，不含z=1的极点对1型以上系统，含在z=1的极点
则G1中没有z=1的极点，所以，稳态误差分析2、单位斜坡输入定义速度误差系数则对0型系统对1型系统，令对2型系统，
则对0型、1型系统稳态误差分析3、抛物线输入则G1中没有z=1的极点，所以，对2型系统，令对3型以上系统，定义加速度误差系数
稳态误差分析抛物线输入r(t)=t2/2斜坡输入r(t)=t阶跃输入r(t)=1(t)系统∞∞1/kp0型∞T/kv01型/ka002型
稳态误差分析例1【例】已知采样系统结构如图，求单位阶跃和单位斜坡输入时的系统误差。T=0.1s【解】果输入为单位阶跃，因为系统为1型，系统故无误差。如果输入为单位斜坡时，或者
瞬态响应离散系统的动态特性，是由外加输入信号作用下的输出曲线来反映的，通常给定输入为单位阶跃。瞬态响应则分析闭环零极点对瞬态响应的定性影响。假定离散系统的闭环脉冲传函为在单位阶跃作用下的输出响应：其中系统响应由两部分组成，第一项为闭环系统输出的稳态分量，第二项为瞬态响应。
若，即闭环极点位于右半z平面的圆周上，则闭环系统瞬态响应为等幅脉冲。若，即闭环极点位于单位圆内，则输出响应呈指数衰减。若，即闭环极点位于单位圆外，则输出响应呈指数增长，发散。瞬态响应下面分析闭环极点对瞬态响应的影响。1、为正实根，则对应的瞬态分量
瞬态响应2、为负实根，则对应的瞬态分量若，即闭环极点位于左半z平面的圆周上，则闭环系统瞬态响应为等幅跳跃输出。若，即闭环极点位于左半z平面的单位圆内，则输出响应呈指数交叉跳跃衰减。若，即闭环极点位于左半z平面的单位圆外，则输出响应呈指数交叉跳跃增长，发散。
若，则对应的瞬态响应为振幅衰减的正弦震荡。若，则对应的瞬态响应为发散的正弦震荡。和也为一对共轭复数，瞬态响应3、和为一对共轭复根，即
长除法求有限输入响应当系统阶次很高时，也可通过长除法求出系统在典型输入信号下的响应采样系统比连续系统更为方便
闭环脉冲传递函数为
对于单位阶跃输入有单位阶跃响应由长除法
有限时间响应(deadbeat)如果闭环脉冲传函的极点全部配置在原点，此时的瞬态响应发生质的变化，有时称为有限时间响应。此时，系统将在有限时间内结束过渡过程，达到稳态。此时的闭环脉冲传递函数为系统的单位脉冲响应为即在单位脉冲作用下，该系统的瞬态响应能在nT内结束，称为n拍可结束过渡过程。
有限时间响应有限时间响应的缺点：
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