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本课件围绕动态性、稳态性、稳定性三条主线展开时域分析：先给出典型输入信号与超调量、峰值时间、调节时间等性能指标，再逐一求解一阶系统与二阶系统在过阻尼、临界阻尼、欠阻尼等五种阻尼情况下的阶跃响应，随后讨论零极点与主导极点的作用，最后系统讲解稳态误差计算与劳斯稳定性判据。
第三章 控制系统时域分析法：本章按三条主线展开——动态性对应典型系统的瞬态响应与性能指标，稳态性对应反馈控制系统的稳态误差，稳定性对应劳斯—霍尔维茨稳定性判据。
本章内容导览：
瞬态响应（动态响应）是指系统的输出从输入信号 r(t) 作用时刻起，到稳定状态为止，随时间变化的过程。
瞬态响应分析方法：
3.1.1 典型输入信号
5、正弦信号：其中 A 为幅值，ω=2π/T 为角频率。
3.1.2 系统性能指标：系统的瞬态性能通常以系统在初始条件为零的情况下，对单位阶跃输入信号的响应特性来衡量。
1、最大超调量 σp：响应曲线偏离稳态值的最大值，常以百分比表示。最大超调量说明系统的相对稳定性。
4、上升时间 tr：反映动态初期的快慢，有两种定义。
一般对有振荡的系统常用“（2）”，对无振荡的系统常用“（1）”。
5、调整时间 ts：响应曲线从零开始到进入误差允许范围内所需时间。误差允许范围通常用稳态值的绝对百分数给出，如稳态值的 95%~105%（或 98%~102%）。
3.1.3 瞬态响应分析——阶跃输入作用下：1、一阶系统的瞬态响应，其开环传递函数中 τ 是开环时间常数，K 为开环放大系数。
该一阶系统的闭环传递函数中 T（T>0）为闭环系统时间常数，并含闭环放大系数。
当 r(t)=1(t) 或 R(s)=1/s 时，输出响应的拉氏变换 C(s) 已知，取 C(s) 的拉氏反变换，可得一阶系统的单位阶跃响应。
1）响应的稳态值：所谓稳态，就是在 t→∞ 时输出响应的值。K 越大，c(∞) 越趋近于 1，但 K 不可能为无穷大，表明系统存在稳态误差。
2）响应的瞬态过程：系统的时间常数为 T。对响应 c(t) 求导数可知其单调下降，即表明在 t=0 时 c(t) 变化率最大；当 t=T 时，c1(t) 曲线到达稳态值。
响应曲线在经过 3T（5% 误差）或 4T（2% 误差）的时间后进入稳态，所以 ts=3T（5% 误差）或 ts=4T（2% 误差）。
3）稳定性：当 T<0 时，系统发散，不稳定。
结论
2、二阶系统的阶跃响应：其中 ζ 称为阻尼比，ωn 称为无阻尼自然振荡频率。当 r(t)=1(t) 或 R(s)=1/s 时，可写出输出响应的拉氏变换。
二阶系统的特征方程为 s2+2ζωns+ωn2=0，根的分布随阻尼比而变：
1）ζ＞1，称为过阻尼情况：此时系统有两个不相等的实数根，对单位阶跃输入下的 C(s) 作拉氏反变换即得响应。
靠近虚轴的极点对系统响应影响更大一些，本页结合例题说明主导极点的判断方法。
2）ζ＝1，称为临界阻尼情况：此时系统有两个相等的实数特征根 s1=s2=−ωn。本页图示根的分布，并给出系统输出的拉氏变换。
取 C(s) 的拉氏反变换，求得临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应。
特征：它既无超调，也无振荡，是一个单调的响应过程，且一般上升速度比过阻尼快，稳态误差也为零。
3）0<ζ<1，称为欠阻尼情况：有一对共轭复数根，式中 ωd 称为有阻尼振荡频率。单位阶跃信号 r(t)=1(t) 时，系统输出的拉氏变换已知，对上式求拉氏反变换则得系统的单位阶跃响应 c(t)。
令相应参数代入后，欠阻尼二阶系统的一对共轭复根在 S 平面上的分布如图所示。
特征：它是一衰减的振荡过程，其振荡频率就是有阻尼振荡频率 ωd，而其幅值则按指数曲线（响应曲线的包络线）衰减，两者均由参数 ζ 和 ωn 决定。
系统的误差为：当 t→∞ 时，稳态误差 e(∞)＝0。
4）ζ＝0，称为无阻尼情况：系统的特征根为一对共轭虚根，即 s1,2=±jωn，此时单位阶跃响应一等幅振荡过程。
特征：其振荡频率就是无阻尼自然振荡频率 ωn，没有稳态，称为临界稳定。
5）ζ<0，系统不稳定：当 ζ>−1 时，系统呈振荡发散；当 ζ≤−1 时，系统呈指数发散。
根据以上分析，可得不同 ζ 值下的二阶系统单位阶跃响应曲线族。由图可见，在特定 ζ 值下，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快地达到稳态值，所以一般系统大多设计成欠阻尼系统。
3、欠阻尼二阶系统的性能指标——1）上升时间 tr（从 0 到 100% c(∞)）：令 c(tr)=1，就可求得。
结论：tr 与有阻尼振荡频率 ωd 成反比，因此 ωd 应当越大越好。ζ 一定时 ωn 必须加大；若 ωn 为固定值，则 ζ 越小，tr 也越小。
2）峰值时间 tp：对 c(t) 求一阶导数并令其为零，可得结论：峰值时间 tp 与有阻尼振荡频率 ωd 成反比；当 ωn 一定，ζ 越小，tp 也越小。
到达第一个峰值时 n=1，由此得到 tp 的计算式。
3）最大超调量 σp：把 t=tp 代入响应表达式，可得到最大百分比超调量。
结论：最大百分比超调量完全由 ζ 决定，ζ 越小超调量越大。当 ζ=0 时，σp%=100%；当 ζ=1 时，σp%=0。
4）调节时间 ts：根据调节时间 ts 的定义，其中 Δ 为误差范围。由于衰减曲线的包络线决定衰减速度，所以上式可写为包络线形式，对上式两边求自然对数即可求得 ts。
取 Δ＝0.02 时、取 Δ＝0.05 时，在 0＜ζ＜0.9 范围内，ts 可分别用简化公式估算。
二阶系统的结论：调节时间 ts 近似与 ζωn 成反比，据此可在给定阻尼比下估算进入误差带所需的时间。
如何选取 ζ 和 ωn 来满足系统设计要求，总结几点如下：
例：已知系统的方块图。要求系统的性能指标为 σp＝20%、tp＝1 秒，试确定系统的 K 值和 A 值，并计算过渡过程的特征量 tr、ts 值。
解：闭环传递函数与具有标准形式的传递函数相比较，首先由给定的 σp 求取相应的阻尼比 ζ，解得 ζ＝0.456。
其次由已知条件 tp＝1 求取无阻尼自然振荡频率 ωn，解得 ωn＝3.53 弧度/秒。
再次由 2ζωn＝1＋KA 解得 K＝12.5 以及相应的 A 值，最后计算得 tr、ts。
3.1.4 线性定常系统重要特性：初始条件为零的线性定常系统，在输入信号 r(t) 的作用下输出为 c(t)，其拉氏变换已知。
重要特性：当系统输入信号为原来输入信号的导数时，系统的输出为原来输出的导数；当系统输入信号为原来输入信号的积分时，系统的输出为原来输出的积分，积分常数由零初始条件决定。
可以利用已求出的阶跃响应求脉冲响应和斜坡响应。以一阶系统为例：阶跃响应已知，脉冲响应为其导数，斜坡响应为其积分，其中 C 为积分常数，由零初始条件解出。
线性时变系统和非线性系统都不具有此特性。
3.2 增加零极点对二阶系统响应的影响：实际的控制系统多数是高于二阶的高阶系统，其传递函数一般可写成零极点形式，式中 q+2l=m，k+2r=n。
不失一般性，若没有重极点，则高阶系统的响应是由惯性环节和振荡环节（二阶系统）的单位阶跃响应构成，各分量的相对大小由系数 Ci、Ai 和 Bi 决定。
所以了解了各分量及其相对大小，就可知高阶系统的瞬态响应。
结论：对于系数很小（影响很小）的分量、远离虚轴衰减很快的分量常常可以忽略，因而高阶系统的性能就可用低阶系统来近似估计。将靠近虚轴衰减慢的极点称为主导极点。
例如以下一个五阶系统，可近似看成以 s1、s2 为主导极点的二阶系统。
例：假设系统的闭环传递函数已知，试分析零点 −2.5 和极点 −6 对系统阶跃响应的影响。
解：系统的传递系数（或静态增益）为 1，系统零极点在 S 平面上的分布如图所示，主导极点为 −3±4j。
结论 1：由于其他零极点离主导极点很近，所以都不能忽略。用 MATLAB 进行计算机仿真结果如图。
三种情况下的仿真结果对比如下。
| 系统 | 最大超调量 σp% | 调节时间 ts（秒） |
|---|---|---|
| A：原三阶系统 | 37% | 1.6 |
| B：忽略极点的系统 | 54.5% | 1.48 |
| C：忽略零点的系统 | 5.5% | 1.3 |
结论 2：闭环极点对系统的影响是使超调量减小，调节时间稍稍增加。结论 3：闭环零点对系统的影响是使超调量加大，响应速度变慢。
结论：闭环极点使超调量减小，调节时间稍稍增加。
结论：闭环零点使超调量加大，且使系统的响应速度变慢。
3.3 反馈控制系统的稳态误差
3.3.1 稳态误差的概念——1、稳态误差定义：对于单位反馈系统，稳态误差可写为误差信号 e(t) 的稳态值。误差的定义 e(t) 为输入与反馈之差，误差信号 e(t) 与输入信号 r(t) 之间的传递函数可由方块图求得。
根据终值定理，稳定系统的稳态误差可由 sE(s) 在 s→0 时的极限求得。
稳态误差与输入信号和系统的结构、参数有关。当输入信号的形式确定后，系统的稳态误差将只取决于系统的结构和参数。
2、控制系统按积分环节数分类：若控制系统的开环传递函数在 s=0 处有 N 重极点，说明系统有 N 个积分环节串联，因此称系统为 N 型系统。
当 N=0，1，2，… 时，则分别称之为 0 型、1 型、2 型…系统。
3.3.2 稳态误差的计算——1、单位阶跃输入：系统参考输入为单位阶跃函数，R(s)=1/s。令 Kp 为位置误差系数，则稳态误差由 1/(1+Kp) 给出。
对于 0 型系统：N＝0，开环放大系数为 K。这种没有积分环节的 0 型系统，阶跃输入的稳态误差为一固定值，K 愈大 ess 愈小，称为有差系统。
对于 1 型系统或 1 型以上系统：N≥1，对阶跃输入而言没有稳态误差。
0 型系统可通过增大 K 值减小稳态误差，或增加型号数消除稳态误差。
2、单位斜坡输入：令 Kv 为速度误差系数，此时稳态误差由 1/Kv 给出。
对于 0 型系统：N＝0，这种没有积分环节的 0 型系统对于等速度输入（斜坡输入）不能紧跟，最后稳态误差为 ∞。
对于 1 型系统：N＝1，开环放大系数为 K。具有单位反馈的 1 型系统，其输出能跟踪等速度输入，但总有一定误差，其稳态误差与 K 成反比。
对于 2 型系统或 2 型以上系统：N≥2，对等速度输入而言没有稳态误差。
对等速度输入，要使系统稳态误差一定或为零，必须 N≥1，也即必须有足够的积分环节数。
3、单位抛物线输入：令 Ka 为加速度误差系数，此时稳态误差由 1/Ka 给出。
对于 0 型或 1 型系统：N＝0，1，对于等加速度输入（抛物线输入）不能紧跟，最后稳态误差为 ∞。
对于 2 型系统：N＝2，开环放大系数为 K。具有单位反馈的 2 型系统，其输出能跟踪等加速度输入，但总有一定误差，其稳态误差与 K 成反比。
对于 3 型系统或 3 型以上系统：N≥3，对等加速度输入而言没有稳态误差。
对等加速度输入，要使系统稳态误差一定或为零，必须 N≥2，也即必须有足够的积分环节数。
小结：应当记住，位置误差、速度误差和加速度误差这些术语意味着稳态时在输出位置上的偏差。
| 输入形式 | 0 型系统 | 1 型系统 | 2 型系统 |
|---|---|---|---|
| 单位阶跃 | 1/(1+Kp) | 0 | 0 |
| 单位斜坡 | ∞ | 1/Kv | 0 |
| 单位抛物线 | ∞ | ∞ | 1/Ka |
例：已知两个系统如图所示，当参考输入为阶跃、斜坡与抛物线的组合时，试分别求出两个系统的稳态误差。
解：系统 a 为 1 型系统，其 Ka=0，不能跟随 r(t) 的 3t2 分量，所以 ess=∞。系统 b 为 2 型系统，其 Ka=K=10/4，所以 ess=6/Ka=2.4。
当输入为阶跃、斜坡和抛物线函数的组合时，抛物线函数分量要求系统型号最高，计算稳态误差应按最高阶输入形式计算。
3.3.3 主扰动输入引起的稳态误差：假如主扰动 n(t) 的作用点如图所示。
例：分别计算当 r(t) 和 n(t) 为阶跃输入时的系统稳态误差。
解：系统为 I 型系统，当 r(t)=1(t) 时稳态误差为零；当 n(t)=1(t) 时稳态误差不为零。
若改变积分环节的位置，则当 n(t)=1(t) 时对于扰动的稳态误差等于零。
系统还是 I 型系统，当 r(t)=1(t) 时对于参考输入稳态误差仍然为零。
扰动引起的稳态误差不仅与积分环节有关，而且还与积分环节所在位置有关。
若扰动为阶跃函数 n(t)=1(t)，则由误差表达式可知，要使扰动引起的稳态误差为零，需要满足相应的前向通道条件。
扰动作用点以前的系统前向通道传递系数 G1(0) 越大，由一定扰动引起的稳态误差就越小。
对于要求无差系统，应该使扰动作用点以前的 G1(s) 中包含积分环节，才能保证稳态误差为零。
结论：关于降低或消除稳态误差的问题
3.4 稳定性，本节要点如下。
3.4.1 稳定性的概念：以摆的示意图说明，平衡点“a”为稳定的平衡点，平衡点“d”为不稳定的平衡点，稳定性与初始位置有关。
运动小球在平衡点“a”：当小球的起始偏差不超出区域 d、e 时，为稳定平衡点；当起始偏差超出区域 d、e 时，为不稳定平衡点。平衡点所表征的则是在大偏差范围内的不稳定特性。
稳定性是由系统结构和参数决定的，与外界输入无关。稳定性的定义有很多种，这里介绍两种：
假如单输入单输出系统是由输入输出微分方程式来描述的，系统稳定性可按齐次微分方程式来分析。这时，在任何初始条件下，若齐次解满足趋于零的条件，则称系统是稳定的。
设特征方程有 k 个实根 pi（i＝1，2，…，k），r 对共轭复数根 (σi±jωi)（i=1，2，…r），且 k+2r=n，则齐次方程的解的一般式中系数 Ai、Bi 和 Ci 由初始条件决定。
若所有 pi＜0，σi＜0（即都是负数），则系统最终能恢复至平衡状态，所以是稳定的；或所有 pi＜0，σi＜0，ωi＝0，则系统仍是稳定的，输出按指数曲线衰减。
若 pi 或 σi 中有一个或一个以上是正数，则 t→∞ 时偏差越来越大，系统是不稳定的；只要 pi 中有一个为零，或 σi 中有一个为零（即有一对虚根），则系统输出或者为一常值，或者为等幅振荡，不能恢复原平衡状态，这时称系统处于稳定的临界状态。
线性系统稳定的充分必要条件是：所有的特征根均为负数或具有负的实部，也就是它的所有极点均在 S 平面的左半部分。
3.4.2 劳斯（Routh）稳定性判据——1、系统稳定性的初步鉴别：已知系统的特征方程式，式中所有系数均为实数，并设 an＞0。线性系统稳定的必要条件是所有系数均为正数，如果有负系数或零系数，系统就不稳定。
2、劳斯判据：1877 年提出的代数判据，无需求解特征方程即可判断稳定性。
1）列写劳斯表：按 sn、sn−1、sn−2… 各行依次填入特征方程系数，再逐行计算后续各行元素。
| 行 | 第 1 列 | 第 2 列 | 第 3 列 |
|---|---|---|---|
| sn | an | an−2 | an−4 |
| sn−1 | an−1 | an−3 | an−5 |
| sn−2 | b1 | b2 | b3 |
| sn−3 | c1 | c2 | c3 |
| ⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮ |
| s1 | f1 | — | — |
| s0 | g1 | — | — |
表中各行元素按相邻两行交叉相乘相减的规则计算，直至 bi 项均为零，再计算下一行。
2）考察劳斯表左端第一列各数的符号：依次计算，直到算到 s0 行为止。
线性系统稳定的充分与必要条件是：劳斯行列表左端第一列各数均为正数。若各数均为正数，系统稳定；若有负数，系统不稳定；第一列符号变化的次数，即为右半平面极点的个数。
例：设有下列多项式，用劳斯判据判断系统的稳定性。
| 行 | 第 1 列 | 第 2 列 | 第 3 列 |
|---|---|---|---|
| s4 | 1 | 3 | 5 |
| s3 | 2 | 4 | 0 |
| s2 | 1 | 5 | — |
| s1 | −6 | — | — |
| s0 | 5 | — | — |
第一列符号变化两次，所以系统不稳定，且有两个不稳定根。
为了数学上运算简化，可以将一行中所有各数均乘一个正整数，不影响稳定性判断。
例：设有下列多项式，用劳斯判据判断系统的稳定性。当某行第一列元素为零而其余元素不全为零时，将第一列零元素设为 ε，ε 为非常小的正数。
本例中 s1 行第一列为 (3ε−3)/ε，因为 (3ε−3)/ε<0，所以系统不稳定，且有两个不稳定根。
例：设有下列多项式，用劳斯判据判断系统的不稳定根的个数。
当某行出现全零行时，意味着存在关于原点对称的极点，此时以全零行上一行系数建立辅助多项式 P(s)，求导后以其系数代替全零行继续计算。本例计算结果为：只有一个不稳定根。
前面三个例子就是已知系统、分析其稳定性——系统分析；当一个系统某些参数可调整，根据稳定性的要求确定参数范围——系统设计。
3、稳定裕量的检验：相对稳定性是指在稳定的情况下有多少稳定裕量。特征方程在左半平面的根越靠近虚轴，稳定性越差，稳定裕量越小，相对稳定性越差。
可移动 S 平面的坐标轴，然后再应用劳斯判据：令 s=z−a，即把虚轴左移 a，将上式代入特征式，得以 z 为变量的新的特征方程式，然后再检验新特征方程式有几个根位于新虚轴（垂直线 s=−a）的右边。如果所有根均在新虚轴的左边（新劳斯行列表第一列均为正数），则说系统具有稳定裕量 a。
例：要使系统稳定，试确定 K 的范围。
解：首先写出闭环特征方程，列出劳斯表（s4 行为 1、3、K，s3 行为 3、2、0，s2 行为 7/3、K，s1 行为 (2−9K/7)、0，s0 行为 K）。要使系统稳定，必须第一列所有元素为正。
例：检验特征方程式 2s3+10s2+13s+4=0 是否有根在右半平面，并检验有几个根的实部大于 −1。
解：列劳斯表（s3 行为 2、13，s2 行为 10、4，s1 行为 12.2，s0 行为 4），系统稳定，在右半平面没有根。
根的实部小于 −1 表明根在 s=−1 的左边，进行坐标左移，令 z=s+1，当所有的 Re(z)<0 时即表示 Re(s)<−1；将 s=z−1 代入上面的特征方程继续计算。
以 z 为变量列劳斯表：s3 行为 2、−1，s2 行为 4、−1，s1 行为 −0.5，s0 行为 −1。
第一列出现负号，故系统有一个根的实部大于 −1。
例：已知单位反馈系统的开环传递函数，试选择参数 K 及 T 值以满足下列指标：（1）当 r(t)=t 时，系统的稳态误差 ess≤0.02；（2）当 r(t)=1(t) 时，系统的动态性能指标 σp％≤30%，ts≤0.3s（Δ=5%）。
解：由稳态误差要求得开环放大系数 K≥50，现取 K＝60。
取 σp％＝0.2 解得 ζ＝0.456，此时满足性能指标，最后得到所选参数。
例：欲设计一个三阶闭环控制系统，使得系统对阶跃输入的响应具有欠阻尼特性，且满足下面的设计要求：10％＜超调量＜20％，调整时间≤0.6s（5%）。
求解内容包括：1）确定系统主导极点的配置区域；2）如果系统的主导极点为共轭复极点，确定第三个实极点的最小值；3）如果系统为单位反馈，按调整时间为 0.6s、超调量为 20％确定系统的前向传递函数。
解：
第三章小结
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