页数：112页文件大小：1.74 MB来源： 自动控制原理ppt课件
本课件讲解控制系统建模的完整方法体系：先由牛顿定律、克希霍夫定律列写元件微分方程并完成非线性方程的小偏差线性化，再引入零初始条件下的传递函数与六种典型环节，随后系统训练方块图的绘制与等效化简，最后建立状态空间表达式并讨论可控标准型、可观测标准型与对角阵、约当标准型。
第二章 控制系统的数学模型：本章讨论如何为控制系统建立数学模型，依次介绍时域的微分方程、复域的传递函数、图解的方块图以及状态空间模型四类描述方式。
本章要求掌握以下四种数学模型：
建立数学模型应注意的问题：准确性与简化性。
2.2 时域模型——微分方程，本节要点如下。
2.2.1 建立系统或元件微分方程的步骤
注意：列写微分方程式时，输出量及其各阶导数项列写在方程式左端，输入项及其各阶导数项列写在方程式右端，并将输出项的系数化为 1。
2.2.2 典型系统的微分方程——1、机械位移系统：弹簧—质量—阻尼器系统中，外力 f(t) 为输入，系统产生的位移 y(t) 为输出，运动部件质量用 M 表示，B 为阻尼器的阻尼系数，K 为弹簧的弹性系数，要求写出系统在外力 f(t) 作用下的运动方程式。
式中 f1(t) 为阻尼器阻力，f2(t) 为弹簧力，并忽略了弹簧质量。f1(t) 和 f2(t) 为中间变量，消去中间变量并整理，方程两边同时除以 K 即得标准形式。
整理后有：f(t) 的单位为 N=kg·m/s2，t 为 s，M 为 kg，y(t) 为 m，B 为 N·s/m，K 为 N/m。显然 TB 单位为 s，而 TM2 为 s2，称 TB 和 TM 为系统的时间常数。
1/K 为该系统的传递系数，它的意义是：静态时系统的输出与输入之比。
2、R-L-C 电路：ur(t) 为输入电压，uc(t) 为输出电压，输出端开路，要求列出 uc(t) 与 ur(t) 的方程关系式。根据克希霍夫定律可写出原始方程式，再消去中间变量即得到输入输出微分方程。
式中 T1、T2 为电路的两个时间常数，当 t 的单位为秒时它们的单位也为秒，其传递系数为 1。
令 T1=L/R，T2=RC。
相似系统：R-L-C 电路与弹簧—质量—阻尼器系统具有相同结构的微分方程。
3、液位流体过程：如图，Q1 为流入量，Q2 为流出量，h 为液位高度（系统输出），C 为水箱的截面积。消去中间变量 Q2 可得输入输出方程，其中 g 为重力加速度，γ 为液体密度，α 为流体系数，k 为常数（当液体固定时）。
这是一个一阶非线性微分方程。
2.2.3 非线性方程线性化方法：由液位系统得到的方程是非线性的，但如果在某一静态工作点附近（Q20，h0）作小的变化，就可以近似线性化。
当 Q1=Q10、Q2=Q20 为平衡态时，h=h0；当 Q1=Q10+ΔQ1、Q2=Q20+ΔQ2、h=h0+Δh 时，系统近似为线性系统。
这种近似方法称为“小信号理论”或“小偏差理论”，应用的前提条件是：控制系统有一个额定工作状态，称为预定工作点；输出偏离预定工作点的偏差量很小。
具体方法：将非线性函数在预定工作点邻域内进行泰勒展开，忽略二阶以上的展开项。
若非线性函数为 z=f(x, y)，(x0, y0) 处为预定工作点，那么在该点邻域内进行泰勒展开，忽略 Δx、Δy 的二次幂以上的展开项后，展开系数均为常数。
如果 z 为输出、x 与 y 为输入，那么输入和输出的增量关系就是线性关系。
注意：该非线性函数可微或可导才能泰勒展开。
小结
2.3 复域模型——传递函数，本节要点如下。
2.3.1 传递函数的定义：线性定常系统，在零值初始条件下，系统（或元件）输出拉氏变换和输入拉氏变换之比，称为传递函数。
对微分方程两边求拉氏变换且所有初始值为零，令 C(s)=L[c(t)]、R(s)=L[r(t)]，即可求得传递函数。
用 G(s) 表示元件（或系统）的传递函数。若已知输入 R(s) 和 G(s)，那么就可以求出 C(s)。
传递函数主要研究的是输入对输出的关系。
关于零初始条件说明两点
问题：为什么可以讨论零初始条件情况？因为传递函数主要研究输入对输出的关系，且表现形式简单。
当初始条件不为零，怎么办？首先可以把初始状态作为一个恒值输入，再利用线性系统的叠加性处理。
例：重看 R-L-C 电路：对已建立的微分方程两边求拉氏变换，并令初始条件为零，根据传递函数的定义即可得到其传递函数。
实际上，微分方程和传递函数有对应关系，即将 d/dt 用 s 代替，当然一定是在零初始条件下。
例：再重看机械位移系统：已建立的微分方程将 d/dt 用 s 代替，根据传递函数的定义即可求得传递函数。
如果参数选择得合适，这个系统的传递函数与 R-L-C 网络的传递函数一样，称为相似系统。
2.3.2 典型环节的传递函数——1、比例环节：比例环节又称为无惯性环节或放大环节，输出量与输入量成比例，其传递函数为常数 K。
本页图示典型元件在阶跃输入 r(t) 下的输出 c(t) 波形，二者仅相差一个比例系数。
2、惯性环节：如果微分方程为一阶常微分方程，则该环节为惯性环节，传递函数分母为 (Ts+1) 形式。
典型惯性环节有 R-C 电路、水箱水位、温度系统。其中 K 为环节的比例系数，T 为环节的时间常数。
3、积分环节：微分方程仍为一阶常微分方程，但输出为输入的积分，传递函数形如 1/(Ts)，其中 T 为积分时间常数。
若 r(t)=1，那么输出 c(t) 随时间线性增长。
卫星姿态控制系统（对偏航角 θ 的控制）：A、B 为斜对称配置的喷气发动机，推力为 F/2，成对工作，产生的力矩为 T=Fl，转动惯量为 J。
对该系统应用牛顿第二定律，注意到在卫星周围的环境中不存在摩擦，所以有 T'=J/l，系统由两个积分环节组成。
另一个比较熟悉的元件就是积分放大器。用阻抗方法求其传递函数，其中 T=RC。
4、微分环节：若 r(t) 为阶跃输入，则输出反映输入的变化率，称 G(s)=Ts 为理想微分环节。
而通常实际的微分环节传递函数带有惯性因子，当 T1 很小时可近似为理想微分环节。
5、二阶环节：当 0<ζ<1 时，由于系统输出会出现振荡，称为振荡环节，R-L-C 电路是常见的二阶环节。
| 参数 | 含义 |
|---|---|
| ωn | 无阻尼自然振荡频率，ωn=1/T |
| ζ | 阻尼比，0<ζ<1 时系统输出出现振荡 |
6、延滞环节（纯滞后环节）：输出量完全复现输入量，但要延迟一段时间 τ，称为延滞时间（又称死区时间）。
延滞环节典型地出现在管道运输等存在传输距离的过程。
关于传递函数性质
关于传递函数性质（续）
传递函数与系统单位脉冲响应的关系：讨论当初始条件为零、r(t)=δ(t) 时系统的输出 c(t)，此时将 c(t) 称为单位脉冲响应。
此时 R(s)=1，那么 G(s)=C(s)，而 C(s)=L[c(t)]＝G(s)。
结论：一个系统的传递函数就是这个系统单位脉冲响应的拉氏变换，传递函数可以表征系统的动态性能。
2.3.4 传递函数的表示方式和术语：传递函数有两种比较常见的表示方式，其一是零极点形式，通式中 z1,…,zm 为传递函数分子多项式方程的 m 个根，称为传递函数的零点；p1,…,pn 为分母多项式方程的 n 个根，称为传递函数的极点。zi 与 pi 都可以是实数和共轭复数。
其二是时间常数形式，式中 K 为传递系数（或静态放大系数），s=0 表示所有导数项为零。
本页给出零极点形式中的 K 与时间常数形式中 k 之间的关系。
2.4 控制系统方块图，本节要点如下。
1、什么是方块图：方块图是在传递函数的基础之上建立的一种图解模型；用方块代表元件的功能（传递函数），带箭头的线段代表元件的输入输出。
2、方块图的组成
3、方块图的绘制，建立系统的方块图的步骤如下：
例：还是 R-L-C 电路：ur(t) 为输入电压，uc(t) 为输出电压，输出端开路。写出原始方程式后进行拉氏变换，即可逐环节画出方块图。
将相同信号 I(s)、Uc(s) 连接起来，就完成了方块图的绘制。
在建立了原始方程后，不需要消除中间变量，而是将中间变量根据传递关系，一个一个地串起来，最后完成整个的方块图。
例：考虑如图所示的液位系统（双容系统）。以液位 h2 为输出、流入量 Q1 为输入，求系统方块图。
注意：同一个系统可以有不同的方块图，这些方块图应该是等效的。
画出上图系统的方块图，并和液位系统比较，二者也是相似系统：液位系统的 C 称为液容，R 为液阻。
2.4.2 方块图的化简：方块图的运算和变换就是将复杂的方块图化为一个等效的方框，使方框中的数学表达式为方块图的总传递函数。
1、方块图的基本组成形式可分为三种：
（1）串联方框的等效变换：两个串联的等效传递函数，等于该两个传递函数的乘积。
注意：两个串联的环节存在一个负载效应问题。上述结论可推广到 n 个环节的串联。
（2）并联连接的等效变换：G1(s) 与 G2(s) 两个环节并联连接，其等效传递函数等于该两个传递函数的代数和，即 G(s)=G1(s)±G2(s)。
n 个传递函数并联，其等效传递函数为该 n 个传递函数的代数和。
（3）反馈连接的等效变换：消去 E(s) 和 B(s)，即得到反馈连接的等效传递函数。
注意：综合点处的减号对应于负反馈，加号对应于正反馈。
综合点与引出点的移动（消除交叉回路）——原理：保证移动前后各输入输出关系不变。
（1）综合点前后移：下图表示了综合点前移的等效变换，挪动前后信号关系保持等价；同理可进行综合点后移。
（2）综合点之间的移动：相邻两个综合点前后移动的等效变换中，挪动前与挪动后的总输出信号相同，因此相邻综合点的位置可以互换。
（3）引出点前后移：图中给出了引出点后移的等效变换，挪动后支路上的信号需作相应变换；同理可进行引出点前移。
（4）相邻引出点之间的移动：若干个引出点相邻时，引出点之间相互交换位置，完全不会改变引出信号的性质。
在复杂系统方块图简化过程中，还应记住以下两条原则：
例：求系统的闭环传递函数 GB(s)：首先对局部反馈进行等效，再对串联支路进行等效，最后对主反馈进行等效。
注：化简顺序是从内到外。
例：简化如图所示系统的结构图，并求系统传递函数 GB(s)（即 C(s)/R(s)）。
解：系统中有交叉回路存在，首先要消除交叉回路。将综合点后移，然后交换综合点的位置，将上图化为无交叉结构。
注：没有交叉回路时，化简过程是从内到外。
然后，对图中由 G2、G3、H2 组成的小回路实行串联及反馈变换，进而简化为下一级方块图。
例：求出下面方块图的传递函数 G(s)（即 Uc(s)/Ur(s)）。网络中包含 1/R1、1/C1s、1/R2、1/C2s 等环节，信号有 Ur、U1、Uc、I1、I2。
解：必须先移动综合点与引出点，消除交叉关系；然后化简两个内回路；最后实行反馈变换，即得网络传递函数。
简化方块图求总传递函数的一般步骤
2.4.3 控制系统的传递函数：控制系统会受到两类外作用信号的影响。
一个闭环控制系统的典型方块可用下图表示。
1、系统的开环传递函数：前向通路传递函数与反馈通路传递函数的乘积，称为系统的开环传递函数。
开环传递函数是指闭环系统在开环时的传递函数。
2、r(t) 作用下系统的闭环传递函数：GB(s) 为在输入信号 r(t) 作用下系统的闭环传递函数。令 n(t)=0，方块图简化后即可写出输出的拉氏变换式。
当系统中只有 r(t) 信号作用时，系统的输出由 c(t) 对 r(t) 的闭环传递函数及 r(t) 的形式决定。
3、n(t) 作用下系统的闭环传递函数：先求出 c(t) 对 n(t) 之间的传递函数。令 r(t)=0，Gn(s) 为在干扰 n(t) 作用下系统的闭环传递函数，并可写出输出的拉氏变换式。
4、系统的总输出：由线性系统的叠加原理，系统的总输出为各外作用引起的输出的总和。
5、闭环系统的误差传递函数：在典型方块图中，代表被控量 c(t) 的测量装置的输出 b(t) 和给定输入 r(t) 之差为系统的误差 e(t)。
E(s) 即图中综合点的输出量的拉氏变换式。
6、闭环系统的特征方程：上面导出的四个传递函数表达式分母是一样的，均为 [1+G1(s)G2(s)H(s)]，这是闭环控制系统各种传递函数的规律性。
令闭环传递函数分母多项式为零称为闭环系统的特征方程，可写成 sn+an−1sn−1+…+a1s+a0=(s+p1)(s+p2)…(s+pn)=0。
−p1, −p2, …, −pn 称为特征方程的根，或称为闭环系统的极点，与控制系统的瞬态响应和系统的稳定性密切相关。
2.5 状态空间模型，本节要点如下。
2.5.1 状态空间模型的相关概念：分析如图所示 RLC 电路，其输入电压为 ur(t)，uc(t) 为输出；电路中的四个物理量 i(t)、uR(t)、uL(t)、uc(t) 满足下列代数关系。
根据其中两式可求解 i(t)、uc(t)：电路有两个储能元件，只有两个独立变量。当选 i(t)、uc(t) 为独立变量时，其余变量可由它们代数表示。
如果已知初始条件 i(0)、uc(0) 以及 ur(t)，那么在 t>0 后的任一时刻的解就完全被确定了。由此得到以下几点：
例：RLC 电路选择 i(t) 和 uc(t) 为状态变量，uc(t) 为系统输出。由原始方程出发，令状态变量满足相应关系，即可把原式化为一阶微分方程组。
7、状态空间表达式（状态空间模型）：状态方程和输出方程合称状态空间表达式。其中 A(t)、B(t)、C(t) 和 D(t) 分别是维数为 n×n、n×p、q×n 和 q×p 的矩阵。
对于具有 q 个输出、p 个输入的 n 阶系统，x 为 n×1 维状态向量，y 为 q×1 维输出向量，u 为 p×1 维输入向量，线性系统状态空间表达式由此完全描述。
通常用 {A(t)、B(t)、C(t)、D(t)} 表示系统。当 A(t)、B(t)、C(t) 和 D(t) 均为常数矩阵时，系统为线性定常系统。
对于单输入单输出线性定常系统，其中 u、y、d 均为标量，b 和 c 均为向量；非线性系统状态方程则为状态变量的非线性函数。
2.5.2 由微分方程建立状态变量表达式：（1）线性微分方程中不含有输入函数导数项的系统。
第一步是选择状态变量，状态变量不同，状态方程不同，但表示的系统是等价的。选取 n 个状态变量如下。
其中系统矩阵可以写为友矩阵形式，即最后一行为微分方程系数的负值，其余部分为单位移位结构。
例：RLC 电路，uc(t) 为系统输出。由原始方程消去中间变量后，绘制出状态变量之间关系的结构图。
选择不同状态变量后可得不同的状态方程。结论：状态变量不唯一，两组状态变量可以互相表示。
（2）线性微分方程中含有输入函数导数项的系统的状态空间表达式：设 n 阶单输入单输出系统由微分方程描述，按照下列公式选择状态变量，式中含 n 个待定常数。
由上式第一个方程可得输出方程，其余可得（n−1）个状态方程。
以一个三阶系统为例：设系统的微分方程为三阶形式，按照上面提到的选择状态变量的方法，可得一组状态变量定义式。
代入原始微分方程，令左边等于右边，通过比较两边同次幂的系数即可确定待定系数。
由待定系数可得对应的状态方程，并写出输出方程。至此完成了含输入导数项系统的状态空间表达式。
推广到 n 阶系统，有相应的状态变量选取公式与系数取值关系。
写成矩阵向量的形式即为标准的状态空间表达式。
注意：bn 为与输出最高阶导数同阶的输入项的系数；当 bn＝0 时，直接传递矩阵为零。
当 bn=0 时，原始微分方程变为不含最高阶输入导数项的形式，状态空间表达式形如标准形式。
还可以按如下规则选择另一组状态变量。
对新选定的状态变量表达式求导数，并代回原始微分方程，即可得到新的关系式。
这样得到 n 个状态方程，并写出输出方程，状态空间表达式中 A 阵为友矩阵的转置，c 向量只有最后一列为 1，其余全为零，这就是可观测标准型。
例：设系统微分方程为三阶形式，用上述两种方法建立状态空间表达式。
解：方法一，n=3，而 b3=0，b2=1，b1=1，b0=3，a2=4，a1=2，a0=1，代入公式即可求得状态方程与输出方程。
方法二：因为 b3=0，所以可以用方法二，可直接根据微分方程的系数写出状态空间表达式。
2.5.3 由传递函数建立状态空间表达式——1、传递函数为有理分式的形式：采用长除法，其系数为 bn，只与直接传递矩阵 d 有关，而 G′(s) 与 d 无关，可以分离考虑，再叠加。
可以将 G′(s) 分解为两部分相串联的形式，z、y 应满足下面的微分方程。选取状态变量后即可得到状态方程与输出方程。
由此得到的状态空间表达式即为串联分解形式下的结果。
对应的状态空间表达式中，A 阵为友矩阵，b 向量最后一行为 1、其他全为零，这就是可控标准型，用 {Ac, bc} 表示。
给出一个传递函数，就可以对应地建立一个可控标准型。
按照微分方程求状态空间表达式的方法二选择状态变量，所不同的是系统状态变量与 y1 有关。
对系统 G(s) 而言，所不同的仅仅是输出方程。由此得到可观测标准型，用 {Ao, co} 表示。
对于 G(s) 描述的系统，可以采用下列方式选择状态变量得到可控标准型，也可以采用下列方式选择状态变量得到可观测标准型。
可控标准型与可观测标准型存在对应关系，构成对偶系统。
任意一个系统都可建立可控标准型和可观测标准型。
例：设传递函数为二阶有理分式，分别建立可控标准型和可观测标准型。
解：b′2=−15，b′1=2，b′0=1，a2=5，a1=6，a0=1，代入即可得到可控标准型。
按对偶关系，由同一组系数即可写出可观测标准型，并与前面求得的可控标准型对照。
2、传递函数为极点形式——a、系统传递函数只有单实极点（没有重极点）：传递函数可以通过部分分式展开成若干个一阶分式之和的形式，分母中的 p1,…,pn 为系统传递函数的 n 个实数极点。
如果按下式选择状态变量，则每个状态变量对应一个一阶分式。
由此得到的状态空间表达式中系统矩阵为对角阵，称为对角阵标准型。
b、系统传递函数存在实数重极点：假设极点 λ1 为三重极点，其它均为单实极点，即 λ4、λ5、…、λn，那么系统传递函数可表示为含重极点分式的形式。
如果按下式选择状态变量，则三重极点对应三个相互关联的状态变量。
重极点对应系统矩阵中的约当块，由此得到的状态空间表达式称为约当标准型。
注意：不是所有系统都可以建立对角阵标准型和约当标准型。
| 极点情况 | 可建立的标准型 |
|---|---|
| 全实数单极点 | 对角阵标准型 |
| 全实数有重极点 | 约当标准型 |
对角阵标准型和约当标准型仅对系统矩阵 A 而言，通常用 Λ 表示对角阵标准型的 A 阵，用 J 表示约当标准型。
2.5.4 由状态空间表达式求传递函数阵：对于状态空间表达式，传递函数阵由 C(sI−A)−1B+D 给出，其中 I 为 n×n 阶单位矩阵。
对于单输入单输出系统，由于 b 为列向量而 c 为行向量，所以传递函数阵实际上就是传递函数。
例：状态空间表达式已知，求传递函数。代入公式即可解得。
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