第1页：第二章系统的数学模型封面
自动控制原理第二章系统的数学模型
本页以图示为主，公式与曲线详见原课件对应页。
第2页：数学模型与建模方法
第二章系统的数学模型
- 描述系统中各变量关系的数学形式与方法：经典控制理论现代控制理论
- 静态关系：对时间的导数可忽略不计。由输入可确定输出。
- 动态关系：对时间的导数不可忽略，由输入和初始条件共同确定输出。
- 动态系统数学模型的基础是微分方程。
- 建模方法：分析法（理论建模）和实验法（系统辨识）。
- 不同的系统可能有相同的数学模型。
第3页：数学模型的三种形式
数学模型
- 微分方程
- 高阶微分方程、一阶微分方程组；(时域)
- 传递函数
- 输入与输出间频率表达关系。(频域)
- 状态方程
- 状态变量与输入输出变量间的矩阵表达式；(时域)微分方程传递函数状态方程
第4页：微分方程的建立步骤
2.1控制系统微分方程的建立
- 单变量线性定常系统输出在左，输入在右，降阶排列。
- 列写步骤：1）确定输出与输入量。2）列写原始方程组，方程个数比中间变量多1。3）消去中间变量。4）标准化整理。
第5页：电气系统微分方程列写
- 1.电气系统
- 常用关系式：
- 例2-1-1列写微分方程式。
- 解：设回路电流为中间变量。简单的电气系统举例
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第6页：标准微分方程的两种形式
标准微分方程
- 高阶微分方程
- 只包含输入、输出量及其导数项
- 一阶微分方程组
- 每个方程只包含一个变量的一阶导数
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第7页：从时域到频域的转换
2.2传递函数
- 高阶微分方程传递函数2.2.1传递函数的定义s为自变量的复变函数时域：t工程应用求解困难频域：s用拉氏变换简化函数及运算
第8页：高阶微分方程的一般形式
2.2.1传递函数的定义
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第9页：传递函数的定义式
2.2.1传递函数的定义
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第10页：传递函数的定义与例题
- 传递函数的定义：初始条件为零时，输出信号的拉氏变换式与输入信号的拉氏变换式之比。
- 例2-2-1求例2-1-1的传递函数。
- 解：
第11页：关于传递函数的几点说明
2.2.2关于传递函数的几点说明
- 1.传递函数的概念适用于线性定常系统，与输入信号的具体形式和大小无关。谈到传递函数，必须指明输入量和输出量。传递函数的概念主要适用于单输入、单输出的情况。
- 2.传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。
- 3.对于实际的元件和系统，传递函数是复变量s的有理分式。传递函数的有理分式形式：
第12页：零极点表达式与时间常数形式
传递函数的零极点表达式：根据多项式理论：一个n次多项式可以唯一分解成n个一次因式的乘积。传递函数的时间常数形式
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第13页：传递函数的性质与特征方程
- 4.对于实际的物理元件和系统而言，分子多项式的阶次总是小于分母多项式的阶次。这是客观物理世界的基本属性。
- 5.传递函数是系统的复域描述，以复变量s为自变量。微分方程是系统的时域描述，以时间为自变量。
- 6.令系统传递函数分母等于零所得方程称为特征方程，特征方程的根称为特征根。特征根就是传递函数的极点。
第14页：基本环节及其传递函数
2.2.3基本环节及其传递函数
- 从动态方程、传递函数和运动特性的角度看，不宜再分的最小环节称为基本环节。
- 1.放大环节（比例环节）
- 2.惯性环节
- 3.积分环节
第15页：振荡环节与微分环节
- 4.振荡环节
- 5.纯微分环节
- 6.一阶微分环节
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第16页：二阶微分环节与延迟环节
- 7.二阶微分环节
- 8.延迟环节
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第17页：传递函数计算实例
2.2.4传递函数计算实例例2-2-4解：
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第18页：带惯性的微分环节
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第19页：框图的概念和绘制
2.3控制系统的框图和传递函数
- 动态结构图简称框图，它能够非常清楚地表示出输入信号在系统各元件之间的传递过程，又可以方便地求出复杂系统的传递函数。
- 系统的框图包括函数方框、信号流线、相加点、分支点等图形符号。2.3.1框图的概念和绘制
第20页：框图变换的等效原则
2.3.2框图的变换规则
- 对框图进行变换所要遵循的基本原则是等效原则，即对框图的任一部分进行变换时，变换前后该部分的输入量、输出量及其相互之间的数学关系应保持不变。
- 推导框图变换原则1 .串联环节的简化3个环节串联结构
第21页：并联环节的简化
- 2.并联环节三个环节并联
- n个环节并联，总的传递函数是n个环节传递函数的代数和。
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第22页：反馈回路的简化
- 3.反馈回路的简化
- 上式中的+号用于负反馈系统，-号用于正反馈系统。为闭环传递函数，为该环节的开环传递函数。
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第23页：相加点和分支点的移动
（1）相加点前移（2）相加点之间的移动（3）分支点后移（4）相邻分支点之间的移动
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第24页：开环与闭环传递函数
- 典型控制系统框图
- 前向通路传函:
- 1）系统的开环传递函数
- 2）输出对参考输入的闭环传递函数2.3.3闭环系统的传递函数
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第25页：扰动输入下的闭环传递函数
- 3）输出对于扰动输入的闭环传递函数
- 4）系统总输出
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第26页：偏差信号的闭环传递函数
- 5）偏差信号对参考输入的闭环传递函数
- 6）偏差信号对扰动输入的闭环传递函数
- 7）系统总偏差
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第27页：框图化简举例
2.3.4框图的化简
- 将框图变换成串联、并联环节和反馈回路，再用等效环节代替。
- 化简框图的关键是解除交叉结构，办法是移动分支点和相加点。
- 例2-3-2求闭环传递函数C(s)/R(s)和E(s)/R(s)。解：
第28页：
第29页：偏差传递函数
偏差传递函数
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第30页：课堂作业：方框图化简
课堂作业：方框图划简，求系统总传递函数C(s)/R(s)：
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第31页：信号流图与梅森增益公式
2.3.5信号流图与梅森增益公式
- 线性方程组中变量间关系的图示方法节点、支路、增益(两变量间的因果关系)
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第32页：信号流图的基本术语
基本术语：节点、输入节点、输出节点、支路；通路：沿支路箭头方向通过各支路的途径；前向通路：输入节点输出节点，通过任意节点不超过一次；回路：闭环；不接触回路；前向通路增益；回路增益。注：由于描述同一系统的方程不同，所以信号流图不是唯一的。
第33页：梅森增益公式的一般形式
- 梅森增益公式的一般形式
- 式中，就是系统的输出信号和输入信号之间的传递函数，Δ称为特征式，
- 式中，——所有各回路的回路传递函数之和；——两两互不接触的回路，其回路传递函数乘积之和；——所有的三个互不接触的回路，其回路传递函数乘积之和；n——系统前向通路个数；——从输入端到输出端的第i条前向通路上各传递函数之积——在中，将与第i条前向通路相接触的回路所在项除去后所余下的部分，称余子式。梅森增益公式
第34页：例1：由信号流图求传递函数
例1：
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第35页：例2：多回路信号流图
例2：l1l2l3l5l4
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第36页：梅森公式的适用范围
梅森公式适用范围：系统输入量系统输出量系统输入量任意变量如需求系统内任两个内部变量Y1到Y2的传递函数，需通过输入变量X转换：则所需传递函数为：
第37页：例3：求M=X/E的传递函数
例3求传递函数M=X/E。(1)先求(2)再求(3)
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第38页：求传递函数例题
例：求传递函数
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第39页：
第40页：
第41页：课堂作业：由信号流图求传递函数
课堂作业：
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第42页：课堂作业：传递函数求解
课堂作业：
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第43页：习题2-8
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第44页：习题2-9
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第45页：结束语
本页为本章课件结束页。
