02 第二章 电路的瞬态分析.pptx

第1页：第2章电路的瞬态分析

本页为第2章目录页，列出本章各节标题：

• 2.1 瞬态分析的基本概念
• 2.2 储能元件
• 2.3 换路定律
• 2.4 RC电路的瞬态分析
• 2.5 RL电路的瞬态分析
• 2.6 一阶电路瞬态分析的三要素法

第2页：稳态和瞬态

稳定状态（稳态）

电路的结构和元件的参数一定时，电路的工作状态一定，电压和电流不改变。

换路

电路在接通、断开、改接以及参数和电源发生突变。

第3页：瞬态过程产生的原因

换路后，旧的工作状态被破坏、新的工作状态在建立，电路将从一个稳态变化到另一个稳态，这种变化往往不能瞬间完成，而是有一个瞬态过程。

• 外因：换路是引起瞬态过程的外因；
• 内因：电容中的电场能和电感中的磁场能的不能突变是引起瞬态过程的内因。

第4页：激励和响应

激励

电路从电源（包括信号源）输入的信号统称为激励，激励有时又称输入。

响应

电路在外部激励的作用下，或者在内部储能的作用下产生的电压和电流统称为响应。

第5页：零输入、零状态与全响应

零输入响应

电路在无外部激励的情况下，仅由内部储能元件中所储存的能量引起的响应。

零状态响应

在换路时储能元件未储存能量的情况下，由激励所引起的响应。

全响应

在储能元件已储有能量的情况下，再加上外部激励所引起的响应。

在线性电路中：全响应 = 零输入响应 + 零状态响应

第6页：阶跃响应

阶跃响应

即在直流电源作用下的响应。零状态响应和全响应按激励波形可分为阶跃响应、正弦响应和脉冲响应等。

阶跃激励：u(t) = 0（t < 0 时）；u(t) = U（t > 0 时）。换路前电路与电源断开，换路后电路与电源接通。

第7页：电容元件

电容

用来表征电路中电场能量储存这一物理性质的理想元件，C = q/u。

• q——电荷量，单位为库[仑]（C）；
• u——电压，单位为伏[特]（V）；
• C——电容，单位为法[拉]（F）。

第8页：电容的功率与能量转换

电容的电流：i = C du/dt，瞬时功率 p = ui = Cu du/dt。

• u 的绝对值增大时，du/dt > 0，p > 0，电容从外部输入功率，把电能转换成了电场能；
• u 的绝对值减小时，du/dt < 0，p < 0，电容向外部输出功率，电场能又转换成了电能。

第9页：电容储存的电场能

电容中储存的电场能：W_e = (1/2)CU²，单位为焦[耳]（J）。

由于 p = dW_e/dt，若外部不能向电容提供无穷大的功率，电场能就不可能发生突变。因此，电容的电压 u 不可能发生突变。

第10页：电容的串并联

电容串联

1/C = 1/C₁ + 1/C₂；u₁ = C₂/(C₁ + C₂) × u，u₂ = C₁/(C₁ + C₂) × u。

电容并联

C = C₁ + C₂。

第11页：常用电容实物图

• 陶瓷电容
• 云母电容
• 薄膜电容
• 复合介质电容
• 铝电解电容
• 钽电解电容
• 真空电容

第12页：电感元件

电感

用来表征电路中磁场能量储存这一物理性质的理想元件，L = Ψ/i，线圈的磁链 Ψ = NΦ。

• Ψ——磁链，单位为韦[伯]（Wb）；
• i——电流，单位为安[培]（A）；
• L——电感，单位为亨[利]（H）。

第13页：电感的电压电流关系

由基尔霍夫电压定律：e = −N dΦ/dt = −dΨ/dt。

规定 e 的方向与磁感线的方向符合右手螺旋定则时 e 为正，否则为负，于是 e = −L di/dt，u = −e = L di/dt。

第14页：电感的功率与能量转换

瞬时功率 p = ui = Li di/dt。

• i 的绝对值增大时，di/dt > 0，p > 0，电感从外部输入功率，把电能转换成了磁场能；
• i 的绝对值减小时，di/dt < 0，p < 0，电感向外部输出功率，磁场能又转换成了电能。

第15页：电感储存的磁场能

电感中储存的磁场能：W_L = (1/2)LI²，单位为焦[耳]（J）。

由于 p = dW_L/dt，若外部不能向电感提供无穷大的功率，磁场能就不可能发生突变。因此，电感的电流 i 不可能发生突变。

第16页：电感的串并联

• 无互感存在的两电感线圈串联时，等效电感为 L = L₁ + L₂；
• 无互感存在的两电感线圈并联时，等效电感为 1/L = 1/L₁ + 1/L₂。

第17页：常用电感实物图

• 磁棒电感线圈
• 双层空心电感线圈
• 工字形电感线圈
• 贴片电感
• 铁心电感线圈
• 磁珠电感
• 多层空心电感线圈

第18页：换路定律

由于电容中的电场能和电感中的磁场能不能突变，所以换路瞬间，电容上的电压和电感中的电流不可能突变。

换路定律：电容电压和电感电流在换路后的初始值应等于换路前的终了值。

• u_C(0₊) = u_C(0₋)；
• i_L(0₊) = i_L(0₋)。

第19页：初始值与稳态值的求法

换路定律仅适用于换路瞬间。求解思路：

• 由换路前的电路，利用换路定律求 u_C 和 i_L 的初始值；
• 由换路后的电路求其他电流和电压的初始值；
• 由换路后的电路求电路达到新稳态时电流和电压的稳态值。

初始值用 u(0) 和 i(0) 表示，稳态值用 u(∞) 和 i(∞) 表示。

第20页：例2.3.1题意与初始值

已知 U_S = 5 V，I_S = 5 A，R = 5 Ω，开关 S 断开前电路已稳定，求开关 S 断开后 R、C、L 的电压和电流的初始值和稳态值。

（1）求初始值：u_C(0) = 0，i_L(0) = U_S/R = 5/5 A = 1 A。

第21页：例2.3.1求其余初始值

根据 u_C(0) 和 i_L(0)，由换路后的电路求得：

• i_R(0) = i_L(0) = 1 A；
• u_R(0) = Ri_R(0) = (5×1) V = 5 V；
• i_C(0) = I_S + i_L(0) = (5 + 1) A = 6 A；
• u_L(0) = U_S − u_R(0) − u_C(0) = (5 − 5 − 0) V = 0 V。

第22页：例2.3.1求稳态值

在稳态直流电路中，C 相当于开路，L 相当于短路，故 i_C(∞) = 0，u_L(∞) = 0。由换路后的电路再求得：

• i_L(∞) = i_R(∞) = i_C(∞) − I_S = (0 − 5) A = −5 A；
• u_R(∞) = Ri_R(∞) = −25 V；
• u_C(∞) = U_S − u_L(∞) − u_R(∞) = 30 V。

第23页：RC零输入响应电路

换路前开关 S 合在 a 端，电路已稳定，u_C(0) = U₀；换路后开关 S 合在 b 端，u_C(∞) = 0。

换路后外部激励为零，在内部储能作用下电容经电阻放电，称为零输入响应。

第24页：RC零输入响应方程与解

根据 KVL，由换路后的电路列出回路方程式 Ri_C + u_C = 0，而 i_C = C du_C/dt，得：

RC du_C/dt + u_C = 0，u_C = A e^−t/RC，代入 t = 0、u_C = U₀ 得 A = U₀。

第25页：RC零输入响应曲线

• u_C = U₀ e^−t/τ；
• i_C = C du_C/dt = −(U₀/R) e^−t/τ = −I₀ e^−t/τ，电流发生突变；
• RC 电路的时间常数 τ = RC。

t = τ 时 u_C = 0.368U₀；t = 3τ 时 u_C = 0.05U₀。工程上通常在 t ≥ 3τ 后即可认为瞬态过程基本结束。

第26页：RC零状态响应电路

换路前开关 S 断开，电容中无储能，u_C(0) = 0；换路后开关 S 闭合，u_C(∞) = U_S。

换路前电容中无储能，换路后 RC 两端输入一阶跃电压，电容开始充电，属于阶跃零状态响应。

第27页：RC零状态响应方程与解

根据 KVL，由换路后的电路列出回路方程式 Ri_C + u_C = U_S，而 i_C = C du_C/dt，得：

RC du_C/dt + u_C = U_S，u_C = A e^−t/RC + U_S，代入 t = 0、u_C = 0 得 A = −U_S。

第28页：RC零状态响应曲线

• u_C = U_S − U_S e^−t/τ = U_S(1 − e^−t/τ)；
• i_C = C du_C/dt = (U_S/R) e^−t/τ = I₀ e^−t/τ，电流发生突变；
• 时间常数 τ = RC。

工程上只需 t ≥ 3τ，即可认为电路已稳定，充电已基本结束。

第29页：RC全响应电路

换路前开关 S 合在 a 端，电路已稳定，u_C(0) = U₀；换路后开关 S 合在 b 端，u_C(∞) = U_S。

换路时电容已充电、已有储能，换路后输入阶跃电压，属于阶跃全响应。

第30页：RC全响应的分解

根据线性电路的叠加定理：

• u_C = U₀ e^−t/τ + U_S(1 − e^−t/τ) = U_S + (U₀ − U_S) e^−t/τ；
• i_C = −(U₀/R) e^−t/τ + (U_S/R) e^−t/τ = [(U_S − U₀)/R] e^−t/τ。

全响应 = 零输入响应 + 零状态响应。

第31页：RC全响应的两种情形

u_C = U_S + (U₀ − U_S) e^−t/τ

• 当 U₀ > U_S 时，电容放电，u_C 由 U₀ 下降至 U_S；
• 当 U₀ < U_S 时，电容充电，u_C 由 U₀ 上升至 U_S。

第32页：例2.4.1求换路瞬间电流

已知 U₀ = 15 V，U_S = 10 V，R = 10 kΩ，C = 20 μF，开关 S 由 a 端改合到 b 端。

由 i_C = [(U_S − U₀)/R] e^−t/τ，换路瞬间的电容电流为：

i_C = (U_S − U₀)/R = (15 − 10)/10 mA = 0.5 mA

第33页：例2.4.1求放电时间

该电路的时间常数：τ = RC = 10×10³ × 20×10⁻⁶ s = 0.2 s

根据 u_C = U_S + (U₀ − U_S) e^−t/τ，代入 u_C = 12 V：

12 = 10 + (15 − 10) e^−t/0.2，得 t = 0.2×(−ln0.4) s = 0.183 s

第34页：RL零输入响应电路

换路前开关 S 断开，且电路已稳定，i_L(0) = I₀；换路后开关 S 闭合，i_L(∞) = 0。

换路后外部激励为零，在内部储能作用下电感电流将从初始值 I₀ 逐渐衰减到零，为零输入响应。

第35页：RL零输入响应方程与解

根据 KVL，由换路后的电路得 u_L + Ri_L = 0，而 u_L = L di_L/dt，得：

L di_L/dt + Ri_L = 0，即 di_L/dt + (R/L) i_L = 0。

微分方程式解法与电容放电时的微分方程式相同。

第36页：RL零输入响应曲线

• i_L = I₀ e^−t/τ = I₀ e^−Rt/L；
• u_L = L di_L/dt = −RI₀ e^−t/τ = −U₀ e^−t/τ，电压发生突变；
• RL 电路的时间常数 τ = L/R。

工程上，只要 t ≥ 3τ，即可认为衰减已基本结束。

第37页：续流二极管的作用

换路瞬间，电感电压发生突变。如果 L 大、di/dt 大，开关 S 断开时电流的变化率很大，则电感两端产生很高的感应电压。

• 二极管具有单向导电性，不影响电路的正常工作；
• 当开关 S 断开时，为电感线圈提供放电回路，即续流二极管。

第38页：RL零状态响应电路

换路前开关 S 闭合，电路已稳定，i_L(0) = 0；换路后开关 S 断开，i_L(∞) = I_S。

换路时电感中无储能，在外部输入的阶跃电流的作用下，电感电流将从零逐渐增长到稳态值 I_S，属于阶跃零状态响应。

第39页：RL零状态响应方程与解

根据 KVL，由换路后的电路得 u_L/R + i_L = I_S，即 u_L + R i_L = R I_S，而 u_L = L di_L/dt，得：

L di_L/dt + R i_L = R I_S，即 di_L/dt + (R/L) i_L = (R/L) I_S。

微分方程式解法与电容充电时的微分方程式相同。

第40页：RL零状态响应曲线

• i_L = I_S(1 − e^−t/τ) = I_S(1 − e^−Rt/L)；
• u_L = L di_L/dt = RI_S e^−t/τ = U_S e^−t/τ，电压发生突变；
• RL 电路的时间常数 τ = L/R。

工程上，只要 t ≥ 3τ，即可认为瞬态过程基本结束。

第41页：RL全响应电路

如果 RL 电路在换路后 i_L(0) = I₀、i_L(∞) = I_S，换路时已有储能，同时又输入了一个阶跃电流，属于阶跃全响应。

第42页：RL全响应的分解

由 RL 电路的零输入响应和零状态响应求得全响应为：

• i_L = I₀ e^−t/τ + I_S(1 − e^−t/τ) = I_S + (I₀ − I_S) e^−t/τ；
• u_L = −RI₀ e^−t/τ + RI_S e^−t/τ = R(I_S − I₀) e^−t/τ。

第43页：RL全响应的两种情形

i_L = I_S + (I₀ − I_S) e^−t/τ

• 当 I₀ > I_S 时，i_L 由 I₀ 下降至 I_S；
• 当 I₀ < I_S 时，i_L 由 I₀ 上升至 I_S。

第44页：例2.5.1

已知 i_L1 = 10(1 − e^−t/0.2) A，i_L2 = 10(1 − e^−t/0.1) A。

• τ₁ = 0.2 s，τ₂ = 0.1 s，τ₁ > τ₂，所以 i_L1 增长得慢，i_L2 增长得快；
• 当 t = 0.15 s 时，i_L1 = 10(1 − e^−0.15/0.2) A = 5.28 A；
• i_L2 = 10(1 − e^−0.15/0.1) A = 7.77 A。

第45页：一阶电路的概念

凡是含有一个储能元件或经等效简化后含有一个储能元件的线性电路，在进行瞬态分析时所列出的微分方程式都是一阶微分方程式，这种电路称为一阶电路。

任何形式的一阶电路只要将储能元件从电路中提出，使剩下的电路成为有源二端网络，都可以利用等效电源定理将该电路简化成最简单的一阶电路。

第46页：三要素公式

由于零输入响应和零状态响应可看成全响应在初始值为零或稳态值为零时的特例，因此任何形式的一阶电路的零输入响应、阶跃零状态响应和阶跃全响应可归纳为：

f(t) = f(∞) + [f(0) − f(∞)] e^−t/τ

第47页：三要素的含义

f(t) = f(∞) + [f(0) − f(∞)] e^−t/τ

• f(0)：待求响应的初始值；
• f(∞)：待求响应的稳态值；
• τ：电路的时间常数。

这三者是确定任何一个一阶电路阶跃响应的三要素，称为三要素法。

第48页：时间常数的求法

τ 的求法：用除源等效法将换路后电路中的电源除去，求出从储能元件（C 或 L）两端看进去的等效电阻 R。

• τ = RC；
• τ = L/R。

f(0)、f(∞) 的求法见 2.3 节。

第49页：例2.6.1题意

在图示电路中，换路前开关 S 闭合在 a 端，电路已稳定，换路后将 S 合到 b 端，试求响应 i₁、i₂ 和 i₃。

电路参数：U_S = 48 V，R₀ = 2 Ω，R₁ = 1.6 Ω，R₂ = 6 Ω，R₃ = 4 Ω，C = 25 μF。

第50页：例2.6.1求初始值

（1）初始值：由换路前电路

u_C(0) = R₃/(R₀ + R₁ + R₃) × U_S = 4/(2 + 6 + 4) × 48 V = 16 V

第51页：例2.6.1求各电流初始值

再由换路后电路：

• i₂(0) = u_C(0) / [R₂ + R₁R₃/(R₁ + R₃)] = 16/(1.6 + 6×4/(6+4)) A = 4 A；
• i₁(0) = R₃/(R₁ + R₃) × i₂(0) = 4/(6+4) × 4 A = 1.6 A；
• i₃(0) = R₁/(R₁ + R₃) × i₂(0) = 6/(6+4) × 4 A = 2.4 A。

第52页：例2.6.1求稳态值与时间常数

• （2）稳态值：由于换路后电路无外部激励，i₁(∞) = i₂(∞) = i₃(∞) = 0；
• （3）时间常数：τ = [R₂ + R₁R₃/(R₁ + R₃)] C = (1.6 + 6×4/(6+4)) × 25×10⁻⁶ s = 1×10⁻⁴ s。

由三要素法 f(t) = f(∞) + [f(0) − f(∞)] e^−t/τ 即可写出 i₁、i₂、i₃ 的变化规律。

第53页：例2.6.1求待求响应

（4）求出待求响应：

• i₁ = i₁(∞) + [i₁(0) − i₁(∞)] e^−t/τ = [0 + (1.6 − 0) e^−t/10−4] A = 1.6 e^−104t A；
• i₂ = [0 + (4 − 0) e^−t/10−4] A = 4 e^−104t A；
• i₃ = [0 + (2.4 − 0) e^−t/10−4] A = 2.4 e^−104t A。

第54页：第2章结束

第2章 电路的瞬态分析 结束。本章讲解了瞬态分析的基本概念、储能元件、换路定律、RC 与 RL 电路的瞬态分析以及一阶电路的三要素法。