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本课件为《电工技术》第3章交流电路，先说明正弦交流电的周期、频率、幅值与相位等三要素及有效值，引入复数运算与相量表示法，据此分析电阻、电感、电容单一参数交流电路及串联、并联交流电路，讨论有功功率、无功功率、视在功率与功率因数提高方法，最后讲解电路的串联与并联谐振以及非正弦周期信号电路。
本页为第3章目录页，列出本章各节标题：
正弦交流电的三要素：最大值、角频率、初相位。
正弦交流电的波形随初相位 ψ 的不同而变化：
换算关系：ω = 2πf = 2π/T，T = 1/f。
常见的频率值：
如果热效应相当，Wd = Wa，则 I 是 i 的有效值。
正弦电量的有效值：I = Im/√2，U = Um/√2，E = Em/√2。
已知 i = 100 sin(314t + 30°) A，u = 311 sin(314t − 60°) V。
根据相位差 φ 的取值，两正弦量之间的关系为：
正弦交流电可以用一个固定矢量表示，即相量表示法。
旋转矢量在复平面上的投影即为正弦量的瞬时值。
复数 c = a + jb 的表示方法：
其中模为 c，辐角为 ψ。
复数的运算：加、减、乘、除法。设 A1 = a1 + jb1 = c1∠ψ1，A2 = a2 + jb2 = c2∠ψ2。
由于 e±j90° = 1∠±90° = ±j，因此：
已知 i1 = 20 sin(ωt + 60°) A，i2 = 10 sin(ωt − 45°) A，两者相加的总电流为 i，即 i = i1 + i2。
求：(1) i 的数学表达式；(2) 画出相量图；(3) 说明 i 的最大值是否等于 i1 和 i2 的最大值之和，i 的有效值是否等于 i1 和 i2 的有效值之和。
因为 i1 与 i2 的初相位不同，故最大值和有效值之间不能代数相加，必须按相量（矢量）求和。
已知 u1 和 u2 的有效值分别为 U1 = 100 V、U2 = 60 V，u1 超前于 u2 60°。
求：(1) 总电压 u = u1 + u2 的有效值并画出相量图；(2) 总电压 u 与 u1 及 u2 的相位差。
（1）选 u1 为参考相量，U1 = 100∠0° V，U2 = 60∠−60° V，则 U = U1 + U2。
一、纯电阻电路 1. 电压、电流的关系
2. 功率关系
p ≥ 0，电阻为耗能元件，p 与 u2 和 i2 成比例。
一只电熨斗的额定电压 UN = 220 V，额定功率 PN = 500 W，接到 220 V 工频交流电源上工作。
二、纯电容电路 1. 电压、电流的关系
2. 功率关系
今有一只 47 μF、额定电压为 20 V 的无极性电容器。
(1) 能否接到 20 V 的交流电源上工作；(2) 将两只这样的电容器串联后接于工频 20 V 交流电源上，电路的电流和无功功率是多少；(3) 将两只这样的电容器并联后接于 1 000 Hz 的交流电源上，电路的电流和无功功率是多少。
(3) 并联：C = C1 + C2 = 94 μF
三、纯电感电路 1. 电压、电流的关系
2. 功率关系
结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐）。
有一电感器，电阻可忽略不计，电感 L = 0.2 H，接到 220 V 工频交流电源上工作。
一、R、L、C 串联电路，根据 KVL：U = UR + UL + UC = [R + j(XL − XC)] I
复数阻抗：Z = R + j(XL − XC) = R + jX = √(R2 + X2) ∠arctan(X/R)
0° < φ < 90° 时为感性电路。
已知 U = 12 V，R = 3 Ω，XL = 4 Ω。
求：(1) XC 为何值时（XC ≠ 0），开关 S 闭合前后电流 I 的有效值不变，这时的电流是多少；(2) XC 为何值时，开关 S 闭合前电流 I 最大，这时的电流是多少。
（1）开关闭合前后电流 I 有效值不变，则开关闭合前后电路的阻抗相等。
（2）开关闭合前，XL = XC 时，|Z| 最小，电流最大，故 XC = XL = 4 Ω。
|Z| = R = 3 Ω，I = U/|Z| = 12/3 A = 4 A
二、阻抗串联电路：Z = Z1 + Z2
由 KVL：U = U1 + U2 = Z1I + Z2I = (Z1 + Z2)I = Z I
有一个 R、C 串联的负载，R = 6 Ω，C = 159 μF，由工频交流电源通过一段导线向它供电，测得电流为 1.76 A。已知输电线的电阻 RW = 0.5 Ω，电感 LW = 2 mH。
试求输电线上的电压降、负载的电压、电源的电压，并画出相量图。
XLW = 2πfLW = 0.628 Ω。
Z = ZW + ZL = (0.5 + j0.628 + 6 − j20) Ω = 20.43∠−71.45° Ω
U = Z I = 36∠−71.45° V
相量图中以电流 I 为参考，分别画出 UL、UW 与总电压 U，相位差为 71.45°。
3.5 并联交流电路：Z = Z1 ∥ Z2，其中 Z1 = R1 + jXL，Z2 = R2 − jXC。
由 KCL：I = I1 + I2 = U/Z1 + U/Z2 = (1/Z1 + 1/Z2) U
已知交流电路 U = 220 V，R1 = 20 Ω，R2 = 40 Ω，XL = 157 Ω，XC = 114 Ω，试求电路的总电流。
方法 1：设 U = 220∠0° V，则 I1 = U/Z1，I2 = U/Z2 = 220/(40 + j157) A = 1.36∠−75.7° A，I = I1 + I2 = 0.86 A。
方法 2：先求并联等效阻抗
Z = Z1Z2/(Z1 + Z2) = (20 − j114)(40 + j157)/[(20 − j114) + (40 + j157)] Ω = 275.7∠−39.6° Ω
I = U/Z = 220/255∠39.6° A = 0.86 A
3.6 交流电路的功率
功率三角形：P = S cosφ，Q = S sinφ = P tanφ。
求电路的总有功功率、无功功率和视在功率。已知 U = 220 V，I = 0.86 A，φ = −39.6°。
方法 2：由支路功率求总功率
解法 3：由元件功率求总功率
3.7 电路的功率因数
二、常用电路的功率因数：
| 电路类型 | 功率因数 cosφ |
|---|---|
| 纯电阻电路 | 1 |
| 纯电感电路 | 0 |
| 纯电容电路 | 0 |
| R、L、C 串联电路 | 0 ~ 1 |
| 电动机空载 | 0.2 ~ 0.3 |
| 电动机满载 | 0.7 ~ 0.9 |
| 日光灯 | 0.5 ~ 0.6 |
四、功率因数低的害处
五、造成功率因数低的原因：
六、提高功率因数的办法：并联补偿电容。
在感性负载两端并联补偿电容 C：
3.8 电路中的谐振
一、串联谐振
Z = R + j(XL − XC) = R + jX，当 X = 0 时：Z = R，φ = 0，u 与 i 同相位。
2. 串联谐振的特点
下图为收音机的接收电路。各地电台所发射的无线电电波在天线线圈中分别产生各自频率的微弱感应电动势 e1、e2、e3…
调节可变电容器，使某一频率的信号发生串联谐振，从而使该频率的电台信号在输出端产生较大的输出电压，以起到选择收听该电台广播的目的。今已知 L = 0.25 mH。
谐振频率：f = 1/(2π√(LC))
当 C = 350 pF 时：f = 1/(2π√(0.25×10−3 × 350×10−12)) Hz = 538 kHz
所以可收听的频率范围是 538 ~ 1 592 kHz。
二、并联谐振 1. 谐振条件：电纳为零，即 iX = 0。
3. 并联谐振特点
图示电路中，外加电压含有 800 Hz 和 2 000 Hz 两种频率的信号，现要滤掉 2 000 Hz 的信号，使电阻 R 上只有 800 Hz 的信号。若 L = 12 mH，C 值应是多少？
只要使 2 000 Hz 的信号在 LC 并联电路中产生并联谐振，ZLC → ∞，该信号无法通过，R 上只有 800 Hz 的信号。
3.9 非正弦周期信号电路
u = U0 + U1m sin(ωt + ψ1) + U2m sin(2ωt + ψ2) + … = U0 + ΣUnm sin(nωt + ψn)
有效值：U = √(U02 + U12 + U22 + …)
当作用于电路的电源为非正弦周期信号电源，或者电路中含有直流电源和若干个不同频率的正弦交流电源的线性电路，可以采用叠加定理。
R、L、C 并联电路，已知 i = 1 + 1 sin(ωt − 30°) + 1 sin(2ωt + 30°) A，ω = 1 000 rad/s，R = 10 Ω，C = 10 μF，L = 10 mH。求电路两端的电压 u 和它的有效值。
（1）直流分量单独作用时，由于 L 相当于短路，故 U0 = 0。
（2）基波单独作用时：u1 = 7.43 sin(1 000t + 12°) V，其中 |Z1| = 7.43 Ω，U1m = Z1I1m = 7.43 V。
（3）二次谐波单独作用时：XC2 = 1/(2ωC) = 1/(2 000 × 10 × 10−6) Ω = 50 Ω，XL2 = 2ωL = 2 000 × 10 × 10−3 Ω = 20 Ω。
（4）最后求得：
u = U0 + u1 + u2 = [0 + 7.43 sin(1 000t + 12°) + 9.58 sin(2 000t + 46.7°)] V
U = √(U02 + U12 + U22) = 8.57 V
已知直流理想电流源的 IS = 10 A，交流理想电压源的 uS = 10√2 sin1 000t V，L = 10 mH，C = 200 μF，R1 = R2 = R3 = 10 Ω。
图中分别给出完整电路 (a)、直流通路 (b) 与交流通路 (c)。
（1）直流电源单独作用时，L 相当于短路，C 相当于开路。
（2）交流电源单独作用时，直流理想电流源应开路，则 XL = ωL = 1 000 × 10 × 10−3 = 10 Ω，XC = 1/(ωC) = 1/(1 000 × 200 × 10−6) = 5 Ω。
Z = R2 + R3 + jXL∥(−jXC) = 14.14∠−45° Ω。
第3章 交流电路 结束。本章讲解了正弦交流电的基本概念与相量表示法、单一参数与串并联交流电路、交流电路的功率与功率因数、电路中的谐振以及非正弦周期信号电路。
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