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本课件讲解肥料效应函数法，先介绍肥料的产量效应与三类效应曲线，再系统给出单元与多元肥料效应函数的多种数学模式，进而用边际分析划分肥料效应三阶段与技术合理施肥区，最后讨论有限量肥料的经济最佳分配与经济合理施肥量的确定。
第五章肥料效应函数法
配方施肥产前定肥产中调肥营养诊断施肥法（土壤营养诊断，植株营养诊断）地力分区配方法养分平衡法（地力差减法，土壤养分校正系数法）田间试验法（肥料效应函数法，养分丰缺指标法，氮磷钾比例法）
田间多点试验统计配置出每点的肥料效应函数综合分析得出当地综合的肥料效应函数对肥料效应函数进行边际分析，得出推荐施肥量至少20个点不同肥料用量处理(至少5个用量)作物成熟后分小区计产工作流程指导区域施肥
第一节肥料的产量效应一、肥料效应的一般概念肥料效应：作物生长量对肥料用量的反应。肥料效应函数：反映施肥量与产量数量关系的函数式；（一）总产量曲线（Total production curve)表示投入量与总产出量关系的曲线。y=f(x).
报酬固定型报酬递减型报酬递增型
（二）边际产量曲线平均边际产量：指增减单位量肥料所增加（或减少）的总产量。数学式为：精确边际产量：由求得的边际产量既为精确边际产量，即总产量曲线上某一点的斜率。
无法显示该图片。（三）平均增产量（average yield)指某一施肥量时单位肥料的平均增产量。以表示。△y为施肥量x的增产量，△y= y-y0，式中y0为不施肥的产量，y为总产量。
（四）一般生产函数的模型
单元肥料效应函数：直线相关
相交直线式
包伊德（D.A.Boydb)对不同养分及不同作物肥料效应函数的概括：
米采利希方程式原始式
变换式或修正式：ⅰ如果有不同的养分影响产量，则：
米采利希方程的变换形式
ⅳ
②斯皮尔曼方程式
斯皮尔曼方程原始式
斯皮尔曼方程变换式
二次平方式与尼克莱米勒式
对方程求一阶导数，则：dy/dx=b1+2b2x当x=0，则dy/dx=b1因此，b1决定了起始时增施肥料的增产量，一般为正值。
二次式的二阶导数与报酬型
当边际产量dy/dx=0时的施肥量为最高产量施肥量，即dy/dx=b1+2b2x=0最高产量施肥量：x=-b1/2b2
②平方根式考维尔（J.D Colwell）等用平方根多项式反映肥料效应曲线，其数学式为：y=b0+b1x0.5+b2x对其求一阶导数，则dy/dx=1/2b1x-0.5+b2
平方根式的二阶导数
当边际产量dy/dx=0时的施肥量为最高产量施肥量，而dy/dx=1/2b1x-0.5+b2=0则最高产量施肥量：x=1/4(b1/-b2)2
②1.5次方式y=b0+b1x+b2x 1.5对其求一阶导数，则dy/dx=b1+1.5b2x 0.5
1.5次式的二阶导数
当边际产量dy/dx=0时的施肥量为最高产量施肥量，而dy/dx=b1+1.5b2x 0.5=0则最高产量施肥量x=(-b1/1.5b2)2
以上三种形式的多项式的区别主要在于曲线形状不同：
：3.逆多项式①逆线性函数：②逆二次函数：这两种多项式反映的曲线形式介于二次多项式与平方根的多项式形式之间。
4.三次多项式（“S”肥料效应曲线）y=b0+b1x+b2x2+b3x3特点：土壤供肥量很低时，增施单位量肥料的增产量随着施肥量的增加而递增，直至转向点。超过转向点后，增施单位量肥料的增产量随施肥量的增加而递减，产量按渐减率增加，直到最高产量点。超过最高产量后，继续增加施肥量，总产量随施肥量的增加而递减，出现负效应。
三次式的导数分析
转向点后的产量变化
典型肥料效应方程的条件
（二）多元肥料效应函数1.二元多项式（1）二元二次式二元函数的完全展开式y=b0+b11x1+b12x12+b13x13+…+b21x2+b22x22+b23x23+…b31x1x2+b32x1x22+b33x12x2+….
高次项效应占总效应的份额很小，可以忽略。例如西北农林科技大学用冬小麦氮磷肥料试验结果分析各效应系数对总产量贡献大小是：氮磷主效占80.55%，氮磷交互项占2.72%，氮磷高次项占11.36%，合计94.63约为95%。在统计学上认为具有代表性，所以，可以用六项代替多项。
简化二元二次式
二元二次式的边际产量
y=b0+b1x1+b2x12+ b3x2+ b4x22+ b5x1x2
（2）二元平方根多项式y=b0+b1x1 0.5+b2x1+b3x2 0.5+b4x2+b5x1 0.5x2 0.5
三元二次方程式
y=b0+b1x1+b2x12+b3x2+b4x22+b5x3+b6x32+b7x1x2+b8x1x3+b9x2x3∂y/∂x1=b1+2b2x1+b7x2+b8x3∂y/∂x2=b3+2b4x2+b7x1+b9x3∂y/∂x1=b5+2b6x3+b8x1+b9x2
三元平方根多项式
y=b0+b1x1 0.5+b2x1+b3x2 0.5+b4x2+b5x3 0.5+b6x3+b7x1 0.5x2 0.5+b8x1 0.5x3 0.5+b9x2 0.5x3 0.5边际产量：∂y/∂x1=0.5b1 x1-0.5+b2+0.5b7 x1-0.5x20.5+0.5 b8x1-0.5x30. 5∂y/∂x2=0.5b3 x2-0.5+b4+0.5b7 x10.5x2-0.5+0.5 b9x2-0.5x30.5∂y/∂x3=0.5b5 x3-0.5+b2+0.5b8 x10.5x2-0.5+0.5 b9x20.5x3-0. 5
（三）多元肥料效应回归方程式的性质１.多因素效应方式回归系数分析以二元二次为例：y=b0+b1x1+b2x12+ b3x2+ b4x22+ b5x1x2当x2为若干恒定值时，即：x2=x2i(i=1,2,3……)时，上式可改为：y= (b0+b3x2i+ b4x2i2) +( b1+ b5xi) x1+b2x12b0’= b0+b3x2i+ b4x2i2b1’= b1+ b5xib2’= b2则，y= b0’+ b1’ x1+ b2’ x12
当两元素共同作用时，某一元素（如x1）的参数决定于另一元素的值（如x2= x2i）, ①自由项（b0’）是相应元素恒定值的一元二次式；②一次主效应系数（b1’）为第二元素的线性函数，表示函数的曲率程度和方向的二次主效应系数（b2 ’）则与第二元素无关。
2.边际产量多元肥料效应函数中某一肥料的边际产量是其它肥料恒定量时，增施单位该肥料所增加的产量。y=b0+b1x1+b2x12+ b3x2+ b4x22+ b5x1x2∂y/∂x1= b1+2b2x1+b5x2∂y/∂x2= b3+2b4x2+b5x1当∂y/∂x1=∂y/∂x2= 0时，总产量最高。
3.肥料效应曲面概念：三维座标系中，不同肥料配比组合下所获得的产量点所组成的曲面。
y=(b0+b3x2i+b4x2i2)+(b1+b5x2i)X1+b2x12两种养分增产效应决定了效应曲面的特征
效应方程中各效应系数对曲面的影响特点：当两种肥料的产量效应均符合报酬递减率时，效应曲面为一凸面形。当某一养分的增产效应显著时，则该养分的效应曲线将随施肥量的增加而急剧上升，效应曲面也必然沿该养分坐标轴的方向而急剧升高；当交互作用为正效应时，则曲面顶部的斜率较大，当交互作用为负效应时，则曲面顶部的比较平坦。
等产线的特点
等产线方程的导出：yy=b0+b1x1+b2x12+ b3x2+ b4x22+ b5x1x2y 恒定时，b0+b1x1+b2x12+ b3x2+ b4x22+ b5x1x2-y=0
5.边际代替率：概念：当产量不变时两种肥料用量的增减比率，即△x2/△x1 。精确边际代替率：等产线上某一点的斜率。。
边际代替率的表达式：y=f (x1,x2)dy= ∂y/∂x1dx1+∂y/∂x2d x2对等产线来说，dy=0，则：∂y/∂x1dx1+∂y/∂x2d x2=0变换后：
对于肥料效应函数y=b0+b1x1+b2x12+ b3x2+ b4x22+ b5x1x2
两种养分是否可无限代替而保持产量不变？
6.脊线：等产线上斜率等于0(dx1/dx2=0)和∽(dx1/dx2= ∽)各点的连线。
脊线的意义
脊线方程：对于二元二次方程y=b0+b1x1+b2x12+ b3x2+ b4x22+ b5x1x2∂y/∂x1= b1+2b2x1+b5x2∂y/∂x2= b3+2b4x2+b5x1
等斜线：各等产线上斜率相等的各点的连线叫等斜线。若设边际代替率等于某一个恒值k，则对于二元二次肥料效应函数的等斜线方程式为。=k
7.技术合理施肥区
结论：第Ⅱ区为技术合理施肥区。合理配比区的面积越大，肥料调换配比的可能性越大，反之，肥料配比调换的可能性越小。一般情况下，产量水平低时养分之间可代替的范围大，反之，越小，最高产量的点只有一个施肥方案。增产路线：表示不同产量水平下肥料最佳配比方案的等斜线，指出在增施肥料时改变肥料元素配比时的方向，称为增产路线。
第二节肥料效应的边际分析一、单元肥料效应的边际分析（一）肥料产量效应的阶段性以“S”形肥料效应曲线为例分析反映肥料产量效应的3个阶段，其效应函数为：y=b0+b1x+b2x2+b3x3
1、边际产量的变化dy/dx=b1+2b2x+3b3x2此式表明边际产量曲线呈二次抛物形式，始时边际际产量随施肥量的增加而增加。当x=-b2/3b3时，边际产量达到最高，此点即为总产量转向点，超过转向点，边际产量随施肥量的增加而递减，当边际产量减为零时，总产量曲线达到最高，此后边际产量变为负值。
2、总产量的变化特点起始时，随着边际产量的递增，总产量按递增率增加直至转向点，超过转向点后，随着边际产量的递减，总产量按渐减率增加，至最高产量点时为止，因而总产量曲线在转向点前为凹形，在转向点后呈凸形。超过最高产量点后，总产量开始减少。
3、平均增产量的变化起始时随着边际产量的递增，平均增产量也相应地增加，超过转向点后，边际产量开始减少，但仍大于平均增产量，因而平均增产量仍然继续增加，至边际产量等于平均增产量时，则达到平均增产量的最高点。超过平均增产量的最高点后，边际产量小于平均增产量，平均增产量随施肥量的增加而减少。
4.肥料增产效应的3个阶段第一阶段：自起始点至-—平均增产量的最高点，在此阶段，边际产量随施肥量的增加而递增，至转向点达到最大值，超过转向点则开始递减，但仍然大于平均增产量，因而，平均增产量随施肥量的增加而递增，至最高点时为止，此时边际产量等于平均增产量。此阶段单位量肥料的平均增产效应不断提高，到达此阶段的终点达到最大值。此时单位量肥料的平均增产量最高。
第二阶段：从平均增产量的最高点至最高产量点。在此阶段，平均增产量与边际产量均随施肥量的增加而递减，但边际产量的递减率较大，平均增产量大于边际产量，总产量按渐减率增加，至边际产量等于零，即达到最高产量点为止。此时单位面积的施肥利润相对较高。
第三阶段：从最高产量点以后为第三肥料效应阶段，此阶段边际产量为负值，总产量随施肥量的增加而减少，出现负效益。
技术合理施肥区
1.一些相关概念及其计算式以y=b0+b1x+b2x2为例（1）增产值(Q)产品的数量与其价格(Py)之积，即，Q=△Ypy=（b1x+b2x2）py（二）合理施肥的经济界限
(2)边际产值（Q’）增减单位量肥料所引起的总产值的增减额，即边际产量与其价格之积。Q’= dy py/dx=(b1+2b2x2)Py(3)成本（I）肥料用量与其价格（Px）的积，即：I=x.Px(4)边际成本（I’）成本对肥料用量的一阶导数，即：I’=Px
(5)利润（Л）增产值与成本之差，即：Л=Q-I= △Ypy -xPx =（b1x+b2x2）Py-xPx(6)边际利润（Л’）增减单位量肥料所引起的施肥利润的增减额，即：Л’= Q’-I’= dy py/dx-Px
(7)利润率（/I）单位量肥料成本所获得的平均利润，即(8)边际利润率（R）增减单位量成本所引起的利润的增减额，即：施肥利润（Л）对肥料成本（I）的一阶导数d /dI= d(Q-I)/dI= dypy/dxpx-1
边际产值与边际成本的关系
3、经济最佳施肥量计算现以一元二次肥料反应函数y=b0+b1x+b2x2为例由于经济最佳施肥点满足：则:经济最佳施肥量
按经济最佳施肥量进行施肥总利润最高，所以经济最佳施肥量为经济施肥的上限。x=142.35 kg/hm2
（三）最大利润率施肥量的确定1.最大利润率施肥量确定的依据概念：单位投资获得最大施肥利率的施肥量。在不考虑固定成本时，肥料成本是I=xPx ，/I=△y.Py/I-1= △y.Py/x.Px-1利润率
在考虑施肥的固定成本（m)时，肥料成本I=m+xPx
2、最大利润率施肥量的计算方法现以一元一次肥料反应函数为例y=b0+b1x+b2x2则求上式利润率对养分x的一阶导数，并令其等于零即可求得最大利润率施肥量为：从上式可以看出：最大利润率施肥量随固定成本（m）的增加而增加，随肥料的价格的增加而减少，与产品的价格无关。无法显示该图片。
什么条件下按最大利润率施肥量进行施肥？
当资金极其不足时，应将资金投入少数地块，使这些地块达到最大利润率施肥量，剩余的地块不施肥，最大利润率施肥量为经济施肥的下限。
二、多元肥料效应的经济分析(一) 养分经济最佳配比线概念：不同产量水平下施肥利润最佳的养分配比点的连线。
I=x1Px1+x2Px2式中：Px1、Px2分别代表x1、x2的价格；如果I 固定为一定值，则：
-Px1 / Px2养分经济最佳配比线满足：
（二）某一产量水平的经济最佳配比b0+b1x1+b2x12+ b3x2+ b4x22+ b5x1x2-y=0解以上联立方程即可求出经济最佳配比x1、x2
（三）最大施肥利润的养分经济最佳配比单位面积上获得最大施肥利润的养分配比（四）一定产量水平下的最佳配比与最大施肥利润的养分经济最佳配比的关系两者都在经济最佳配比线上，一定产量水平下的经济最佳配比不一定是某一地块施肥的经济最佳配比。(i=1，2，…n)
第三节有限量肥料的经济最佳分配解决的问题：施肥量介于最大利润率施肥量与经济最佳施肥量之间时投资的合理分配问题。
各田块肥料相同y1=4282.6+12.74x1-0.036x12 ①y2=3982.5+18.93x2-0.062x22 ②y3=4368.1+13.17x3-0.040x32 ③y4=4425.2+8.94x4-0.025x42 ④y5=5007.3+14.85x5-0.072x52 ⑤(12.74-0.072x1) ×1.0=(18.93-0.125x2) ×1.0(18.93-0.125x2) ×1.0=(13.17-0.08x3) ×1.0(13.17-0.08x3) ×1.0=(8.94-0.05x4) ×1.0(8.94-0.05x4) ×1.0 =(14.85-0.144x5) ×0.8133.3(x1+x2)+166.6x3+100(x4+x5) =40 000x1=72.23kg·hm2x2=90.90kg·hm2x3=70.35kg·hm2x4=27.60kg·hm2x5=37.65kg·hm2冬小麦磷肥效应试验①②③④和玉米的磷肥试验⑤现有磷肥40000kg，上述效应函数①②的田块面积各133.3hm2，效应函数③的田块面积166.6hm2，效应函数④⑤的面积均为100hm2,磷肥的最佳分配方案？Py1= Py2= Py3= Py4=1.0, Py5=0.8元kg-1
各田块肥料不同的分配算例
同一肥料效应函数、不同肥料效应函数间各养分的边际产值与其肥料价格之比均相等（二）多元肥料效应函数最优利润施肥量的确定
多元函数最优利润施肥量
第三节经济合理施肥量的确定前述表明：经济最佳施肥量时单位面积的施肥利润量大。经济最佳施肥量时R=0，投资的风险较大。
最佳与合理的区别：最佳是理论问题，合理是实践问题，除在理论是尽可能是最佳的方案，在实践上亦应是最稳妥的方案。
一元效应函数的经济合理施肥量
（二）二元肥料效应函数经济合理施肥量的确定其中
经济合理施肥量算例数据：本页列出求解经济合理施肥量所用的产量、肥料与产品价格等参数。
6146122120.6
注：本页源文件仅提取到数字残片「6146122120.6」，原表结构无法还原，参数含义需对照原课件图片人工核对后补充。
Y=364.0+19.103x1-0.135x12+16.197.x2-0.2036x22+0.155x1x2Px1=2.0元/kg，Px2=4.0元/kg，Py=1元/kg1.通过直观观察给出该肥料效应的6条信息。2.作出肥料效应曲面图3.导出等产线方程4.作出等产线图5.导出脊线方程和经济最佳配比线方程，并在图上表示出来。6.在等产线图上标出技术合理施肥区，并解释为什么该区为技术合理施肥区。7. 计算Y=400kg/hm2 时的经济最佳配比，以及经济最佳配比和最高产量施肥量。8.说明经济最佳配比线，最高产量点，一定产量水平下的经济最佳配比点和经济最佳配比点的关系。
1.描述一般单元肥料效应曲线各产量的变化特点？2.单元肥料效应曲线上肥料增产效应的三个阶段如何划分？3.为什么第二阶段为技术合理施肥阶段？3.什么是经济最佳施肥量？单元肥料效应函数经济最佳施肥点确定的理论依据是什么？4.什么是最大利润率施肥量？为什么最大利润率施肥量为经济合理施肥的下限？在肥料投资不能满足所有地块达到最大利润率施肥量时，肥料投资应如何使用？5.什么是经济合理施肥的上限，什么是技术合理施肥的上限，为什么？6.二元肥料效应函数任一产量水平下的养分经济最佳配比应满足的条件是什么？
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