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本课件讲解结构可靠度的基本概念、功能函数与可靠指标，系统推导中心点法与验算点法（JC 法）的计算过程，包括当量正态化与迭代求解，并介绍结构体系可靠度的串并联模型。
第八章 工程结构可靠度计算方法
第8章 工程结构可靠度计算方法
§8.1 可靠度的基本概念
结构可靠性分析是基于事物具有不确定性这样一个基本观点，利用适当的数学模型建立这些不确定性与结构性能之间的联系，是结构可靠性理论所研究的主要问题。
§8.1——工程结构可靠性分析的特点
§8.1——工程结构设计的基本步骤
§8.1——结构设计的基本变量
它们共同构成了结构设计的基本变量，其统计规律构成可靠性理论的基础，这些决定结构静态或动态反应的设计参数定义为结构设计基本随机变量。
§8.1.1 可靠度的定义
§8.1.1——结构应满足的功能要求
其中第1、4项为结构安全性的要求，第2项为结构适用性的要求，第3项为结构耐久性的要求。
§8.1.1——设计使用年限
设计使用年限（design working life）：设计规定的结构或结构构件不需进行大修即可按其预期目的使用的时期，即房屋结构在正常设计、正常施工、正常使用和正常维护下所应达到的使用年限；如达不到这个年限则意味着在设计、施工、使用与维修的某一环节上出现了非正常情况，应查找原因。
| 类别 | 设计使用年限（年） | 示例 |
|---|---|---|
| 1 | 5 | 临时性结构 |
| 2 | 25 | 易于替换的结构构件 |
| 3 | 50 | 普通房屋和构筑物 |
| 4 | 100 | 纪念性建筑和特别重要的建筑结构 |
§8.1.1——设计基准期
规范所采用的设计基准期为50年；设计基准期不等同于建筑结构的设计使用年限。
§8.1.1——耐久性与整体稳定性
§8.1.2 结构的功能函数
§8.1.2——功能函数与极限状态方程
结构的功能函数Z＝g(R，S)＝R－S；极限状态方程Z＝g(R，S)＝R－S＝0。
§8.1.3 可靠指标的概念
§8.1.3——Z的分布
若R～N(μR，σR)，S～N(μS，σS)，且R、S相互独立，则Z＝R－S～N(μz，σz)，其中μz＝μR－μS，σz2＝σR2＋σS2。
§8.1.3——失效概率的计算
结构不能完成预定功能的概率为失效概率，表示为Pf，可由基本变量的联合概率密度函数在失效域上积分求得。
§8.1.3——积分计算的困难
§8.2.1 两个正态分布随机变量的模式
中心点法：只适用于基本变量为正态分布、功能函数为线性的情况。
本页为两个正态分布随机变量模式的示意页，源文件未提取到正文文字，仅有图片，建议对照原课件图片补充图示说明。
§8.2.1——β与Pf的数值关系
可靠指标同样唯一反映结构可靠度，但不需知道各变量的确切分布函数，只需知道其统计参数就可获得可靠性度量。
| 可靠指标β | 失效概率Pf |
|---|---|
| 2.7 | 3.5×10-3 |
| 3.2 | 6.9×10-4 |
| 3.7 | 1.1×10-4 |
| 4.2 | 1.3×10-5 |
§8.2.1——结构可靠指标β
§8.2.1——一次二阶矩法（FOSM）
§8.2.2 两个对数正态分布随机变量模式
假定抗力R和荷载效应S相互独立且均服从对数正态分布，这时结构功能函数可以写成相应形式，可靠指标β由lnR、lnS的统计参数确定。
§8.2.2——统计参数的换算
β是lnR、lnS的统计参数的函数，而实际很难确定，为此应将lnR、lnS换算成R、S的统计参数；由对数正态分布性质可知，当X服从正态分布时有相应的换算关系。
§8.2.2——均值与标准差
对数正态变量的均值和标准差分别可以由R、S的均值与变异系数表达。
§8.2.2——可靠指标的表达
可靠指标可以表达为R、S统计参数的函数，并在变异系数不大时进一步简化表达。
§8.2.3 多个随机变量服从正态分布的情况
§8.2.3——线性化处理
取线性项做线性化处理，可得极限状态方程及功能函数的平均值和方差。
§8.2.3——中心点与失效边界
点M＝(μX1，μX2·····μXn)称为Ω的中心点，它以各基本变量的均值为坐标；极限状态方程Z＝0所对应的曲面将空间分为结构的可靠区和失效区，该曲面称为失效边界，中心点M位于结构的可靠区内。
§8.2.3——线性功能函数
当结构的功能函数为线性函数时，可靠指标简化为相应的表达式。
§8.2 中心点法——特点
§8.2 中心点法——不足
算例
说明：源文本中拉力P的均值与标准差符号误写为μd、σd（与直径符号重复），此处按题意更正为μP、σP，数值未作修改。
算例解答——（1）极限荷载表示的极限状态方程
可靠指标按中心点法由功能函数的平均值与标准差之比求得。
算例解答——（2）应力极限状态方程
采用应力表示的极限状态方程，可得相应结果。
算例结论
计算表明，对于同一问题，当采用不同型式的极限状态方程时，可靠指标值不同，甚至相差较大（如本例），这就是前面所提中心点法的严重不足之处。
§8.3 验算点法
为克服中心点法的不足，哈索弗尔和林德（N.C.Lind）、拉克维茨（R.Rackwitz）和菲斯莱（Fiessler）等人提出验算点法，其特点是：
§8.3——验算点法的改进
这个特定点称为验算点。
§8.3——β的几何意义
可靠指标在几何上就是U空间内从原点M（即中心点）到极限状态超曲面Z＝0的最短距离。在超曲面Z＝0上离原点M最近的点P*(u1*，u2*····，un*)即为验算点，由此可写出通过验算点P*在超曲面Z＝0上的超切平面方程式。
§8.3——三个正态随机变量的情况
此时的可靠指标β是标准化正态空间坐标系中原点到极限状态曲面的最短距离，也就是P*点沿其极限状态曲面的切平面的法线方向至原点的长度，P*为「设计验算点」。
§8.3.1 两个正态分布随机变量
设结构极限状态方程为Z＝g(R，S)＝R－S＝0；在SOR坐标系中，极限状态方程是一条过原点、倾角为45°的直线，对随机变量R和S进行标准化变换。
§8.3.1——坐标变换
原坐标系和新坐标系之间的关系为R＝μR＋R′σR，S＝μS＋S′σS；将其代入极限状态方程R－S＝0，可得新坐标系中的极限状态方程R′σR－S′σS＋μR－μS＝0。
本页为两个正态随机变量验算点的示意页，源文件未提取到正文文字，仅有图片，建议对照原课件图片补充图示说明。
§8.3.1——验算点与方向余弦
本页为两个正态随机变量验算点的示意页，源文件未提取到正文文字，仅有图片，建议对照原课件图片补充图示说明。
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§8.3.2 多个正态分布随机变量
设结构的极限状态方程中各变量服从正态分布且相互独立，它表达为坐标系O-X1，X2，·····，Xn中的一个曲面，这个曲面把n维空间分成安全区和失效区两个区域。
§8.3.2——标准化转换
对随机变量xi（i＝1，2，…n）进行标准化转换，得到标准化正态随机变量，则极限状态方程在坐标系O-X′1，X′2，···，X′n中表达为相应形式。
§8.3.2——β的几何意义
类似于两个正态随机变量的情况，此时的可靠指标β是标准化正态空间坐标系中原点到极限状态曲面的最短距离，也就是P*点沿其极限状态曲面的切平面的法线方向至原点的长度。
§8.3.2——三个变量时的关系
标准正态空间坐标系中原点到极限状态曲面的最短距离即可靠指标β的几何意义，问题转化为如何求得原点到曲面的最短距离。
本页为多变量验算点的示意页，源文件未提取到正文文字，仅有图片，建议对照原课件图片补充图示说明。
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§8.3.2——验算点的条件
因为P*在极限状态曲面上，故可得相应关系式。
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§8.3.2——方向余弦与P*坐标
定义法线OP*对坐标向量的方向余弦，可将方向余弦改写为由功能函数偏导数表达的形式，并给出法线垂足P*的坐标。
§8.3.2——迭代求解
转化成原坐标后，将相关表达式代入极限状态方程则可求得可靠指标β以及验算点坐标；对于非线性极限状态方程，首先假定Xi*＝mxi，然后进行迭代计算。
§8.3.2——可靠指标β的计算步骤
§8.3.3 非正态变量
一般情况下，结构的极限状态中往往含有非正态随机变量，如结构抗力一般服从对数正态分布，活荷载一般服从极值Ⅰ型分布或其他分布。对此一般要把非正态变量当量化为正态分布随机变量，基本原理是首先将非正态变量Xi当量正态化，当量正态化的条件是：
§8.3.3——当量正态条件示意图
本页图示在设计验算点X*处当量正态分布与原分布的函数值与密度值分别相等。
§8.3.3——当量正态化的做法
在X*点处，当量正态分布与原分布的分布函数值相等、概率密度函数值相等，由此可求得当量正态变量的均值与标准差。
§8.3.3——对数正态的当量正态化
由当量正态化条件式可得对数正态变量的当量正态变量的均值与标准差。
§8.3.3——验算点法计算流程
§8.5.1 结构体系可靠度的计算
§8.5.1——（1）串联模型
若结构中任一构件失效，则整个结构也失效，这类结构系统称为串联模型。所有静定结构的失效分析采用串联模型；由脆性构件做成的超静定结构的失效分析也采用串联模型（如桁架杆件）。
§8.5.1——（2）并联模型
若构件中有一个或一个以上的构件失效，剩余的构件或失效的延性构件仍能维持整体结构的功能（如排架柱），则所有超静定结构的失效分析采用并联模型。
§8.5.1——（3）串—并联模型
在延性构件组成的超静定结构中，若结构的最终失效状态不限于一种，则这类结构系统称为串-并联模型（如刚架截面塑性铰元件）。
§8.5.1——结构体系可靠度的上下界
§8.5.1——1.串联系统
对于静定结构，结构体系的可靠度总≤构件的可靠度。
§8.5.1——2.并联系统
§8.5.1——对超静定结构的结论
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