页数：73页文件大小：679.0 KB来源： 农业技术经济学ppt课件
本课件讲授线性规划分析法的完整流程：先说明概念、三要素与特点局限，再按目标函数与约束条件建立模型，依次用图解法与单纯形法求解，最后通过灵敏度分析给出目标系数与资源常数项的允许变动范围及影子价格。
线性规划是经济领域广泛应用的一种经济分析方法。讲授本章目的是使同学掌握线性规划分析法的基本原理，掌握图解法和单纯形解法的程序及运算，并借助电化教学，能够初步应用线性规划法解决最低成本的农业生产资源最优配合方式和最大收益的生产结构问题。
线性规划是指如何最有效或最佳地谋划经济活动。它所研究的问题有两类：一类是一定资源的条件下达到最高产量、最高产值、最大利润；一类是任务量一定，如何统筹安排以最小的消耗完成这项任务，如最低成本、最小投资、最短时间、最短距离等问题。前者是求极大值问题，后者是求极小值问题。总之，线性规划是一定限制条件下求目标函数极值的问题。
《经济大词典》定义线性规划：一种具有确定目标，而实现目标的手段又有一定限制，且目标和手段之间的函数关系是线性的条件下，从所有可供选择的方案中求解出最优方案的数学方法。
特点：
局限性：
模型示例：MinZ＝10x1＋20x2
该模型由约束条件与目标函数两部分构成。
极大值模型的一般形式：MaxZ＝c1x1＋c2x2＋c3x3＋…＋cnxn
本页给出极大值模型的简缩形式，其求和表达式在原课件中以公式图示表现，源文件未提取到具体文字。
极小值模型的一般形式：MinZ＝c1x1＋c2x2＋c3x3＋…＋cnxn
本页给出极小值模型的简缩形式，其求和表达式在原课件中以公式图示表现，源文件未提取到具体文字。
极大值模型的简缩形式也可用向量表示，其中价值系数向量 C＝(c1,c2,……cn)。
[例1]某饲料公司用甲、乙两种原料配制饲料，甲乙两种原料的营养成份及配合饲料中所含各营养成份最低量由表1给出。已知单位甲、乙原料的价格分别为10元和20元，求满足营养需要的饲料最小成本配方。
设配合饲料中用甲x1单位、乙x2单位，则原料成本函数即目标函数为 Z＝10x1＋20x2。考虑三种营养含量限制条件后，模型如下：
[例2]某农户计划用12公顷耕地生产玉米、大豆和地瓜，可投入48个劳动日，资金360元。生产玉米1公顷需6个劳动日、资金36元，可获净收入200元；生产1公顷大豆需6个劳动日、资金24元，可获净收入150元；生产1公顷地瓜需2个劳动日、资金18元，可获净收入1200元，问怎样安排才能使总的净收入最高。
设种玉米、大豆和地瓜的数量分别为x1、x2、x3公顷。
[例3]某农户有耕地20公顷，可采用甲乙两种种植方式。甲种植方式每公顷需投资280元、投工6个，可获收入1000元；乙方式每公顷需投资150元、劳动15个工日，可获收入1200元。该户共有可用资金4200元、240个劳动工日，问如何安排甲乙两种方式的生产可使总收入最大。
解：设甲方式种x1公顷、乙方式种x2公顷，总收入为Z。
若一个线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的某个极点上找到一个最优解，同时仍有可能有其他最优解存在，但它们也只可能存在于可行域的其他极点或是边界上。
如果我们的目的是找出一个最优解而不是全部最优解，这一定理实际上是把寻找的范围从可行域中的无穷多个可行点缩小到有限几个极点上。
（五）最大化问题的图解法：
| 极点 | 坐标(x1,x2) | 目标函数值Z |
|---|---|---|
| A | (0,16) | ZA＝19200 |
| B | (6.7,13.3) | ZB＝22660 |
| C | (9.2,10.8) | ZC＝22160 |
| D | (15,0) | ZD＝15000 |
图中约束线包括 280x1＋150x2＝4200、6x1＋15x2＝240、x1＋x2＝20，目标函数为 Z＝1000x1＋1200x2，比较可知B点目标函数值最大。
（五）最小化问题的图解法。例：MinZ＝10x1＋20x2
| 极点 | 坐标(x1,x2) | 目标函数值Z |
|---|---|---|
| A | (0,15) | ZA＝300 |
| B | (2.5,7.5) | ZB＝175 |
| C | (9,1) | ZC＝110 |
| D | (15,0) | ZD＝150 |
图中约束线包括 x1＋6x2＝15、3x1＋x2＝15、x1＋x2＝10，比较可知C点目标函数值最小。
单纯形方法是一种较为完善的、步骤化的线性规划问题求解方法。它的原理涉及到较多的数学理论上的推导和证明，这里仅介绍这种方法的具体操作步骤及每一步的经济含义，并结合实例加以说明。
目标函数有的要求最大化、有的要求最小化，约束条件可以是“≤”、“≥”、“＝”，这种多样性给讨论带来不便。为此规定线性规划问题的标准形式为：
MaxZ＝c1x1＋c2x2＋c3x3＋…＋cnxn
标准型的简缩形式可用向量表示，其中 C＝(c1,c2,……cn)，向量Pj是其对应变量xj的系数向量。
本页给出线性规划标准型的矩阵描述，其表达式在原课件中以公式图示表现，源文件未提取到具体文字。
为讨论线性规划问题的解，研究约束方程组的求解问题。假设方程组系数矩阵的秩为m，因m小于n故它有无穷多个解。假设前m个变量的系数列向量是线性独立的，这时线性规划模型可写成相应形式。
设非基变量为0，用高斯消去法可求出一个解，称X为基本解；满足非负条件的基本解称为基本可行解。
[例3]某工厂在计划期内安排生产x1、x2两种产品，这些产品分别需要在A、B、C、D四种不同的设备上加工。按工艺规定，产品x1和产品x2在各设备上加工的台时数见下表。已知各设备在计划期内有效台时数分别是12、8、16和12（一台设备工作一小时称为一台时）。该工厂每生产一件产品x1可得利润2元，每生产一件产品x2可得利润3元，问如何安排生产计划才能得到利润最多？
| 产品 | A设备 | B设备 | C设备 | D设备 |
|---|---|---|---|---|
| 产品x1 | 2 | 1 | 4 | 0 |
| 产品x2 | 2 | 2 | 0 | 4 |
四种设备在计划期内的有效台时数分别为：A设备12、B设备8、C设备16、D设备12。
MaxZ＝2x1＋3x2
引入松弛变量：x3—A设备闲置台时数，x4—B设备闲置台时数，x5—C设备闲置台时数，x6—D设备闲置台时数，将线性规划化为标准型（8.1）。
MaxZ＝2x1＋3x2＋x3＋x4＋x5＋x6
x3、x4、x5、x6的系数列向量p3、p4、p5、p6是线性独立的，这些列向量构成一个基（系数矩阵）。
由标准型可得到：
把上式带入目标函数得到 Z＝0＋2x1＋3x2（8.4）。当非基变量x1＝x2＝0时，便得Z＝0，这时得到一个基本可行解X(0)。
这个基本可行解表示：工厂没有安排生产产品，设备的有效台时数没有被利用，所以构成的利润为0。
从目标函数的表达式可以看到，非基变量x1、x2系数都是正数，若将非基变量换成基变量，目标函数就会增加。所以只要在目标函数表达式中还存在正系数的非基变量，就表示目标函数还有增加的可能，就需要将非基变量换成基变量。一般选择正系数最大的那个非基变量。
现分析（8.4），将x2定为换入变量后，必须从x3、x4、x5、x6中换出一个，并保证其余的都是非负，即x3、x4、x5、x6≥0。当x1＝0，由（8.3）式得到：
当x2＝3时基变量x6＝0，这就决定用x2去替换x6。
为求得以x3、x4、x5、x2为基变量的一个基本可行解，需将（8.5）中的x2位置与x6的位置兑换，得到（8.6）：
用高斯消去法，将（8.6）式中x2的系数列向量变为单位列向量，得到（8.7）：x3＝6－2x1＋1/2x6，x4＝2－x1＋1/2x6，x5＝16－4x1，x2＝3－1/4x6。
再将（8.7）代入（8.1）目标函数得到：Z＝9＋2x1－3/4x6（8.8）。当非基变量x1＝x6＝0时，得到Z＝9，并得到另一个基本可行解。
从目标函数表达式（8.8）中可看到，非基变量x1的系数是正的，说明目标函数值还可以增大，X(1)不一定是最优解。于是确定换入换出变量继续迭代，再得到另一个基本可行解X(2)；再经过一次迭代又得到一个基本可行解，这时目标函数表达式是：Z＝14－1.5x4－0.125x5，目标函数值达到最大，X(3)是线性规划的最优解。
1.1 若从线性规划问题的Pj中能直接观察到存在m个线性独立的单位向量，经过重新安排次序便得到一个可行基。
1.2 “≤”标准化的方法：引入非负的松弛变量，重新对xj及aij编号，经整理则可得到下列方程（8.9）：
显然得到一个单位阵。
我们就将B作为可行基。将（8.9）每个等式进行移项得（8.10）：
令 xm+1＝xm+2＝……＝xn＝0，由（8.10）可得 xi＝bi（i＝1,2,……m），得到一个初始基本可行解。
得到初始可行解后，要检验一下是否是最优解，如果是则停止迭代，如果不是则继续迭代。但每次迭代后都要检验是否是最优解，为此需要建立一个判别准则。一般情况下，经过迭代后式变成相应形式（i＝1,2,3,……,m），将上式代入目标函数整理后可得判别式。
本页整理得到检验数σj（j＝m+1,……,n）的表达形式，公式在原课件中以图示表现，源文件未提取到具体文字。
2.2换入变量的确定；2.3换出变量的确定。
本页为单纯形表例1的计算表格，表中迭代数据在原课件中以表格呈现，源文件未提取到具体数值。
源文件未提取到本页单纯形表数值，未还原为真表格，待人工补录。
本页续为单纯形表例1的迭代表格，源文件未提取到表中数值，建议对照原图补充。
源文件未提取到本页单纯形表数值，未还原为真表格，待人工补录。
本页续为单纯形表例1的迭代表格，源文件未提取到表中数值，建议对照原图补充。
源文件未提取到本页单纯形表数值，未还原为真表格，待人工补录。
本页为单纯形表例1的最终结果表格，源文件未提取到表中数值，建议对照原图补充。
源文件未提取到本页单纯形表数值，未还原为真表格，待人工补录。
本页为单纯形表例2的计算表格，表中迭代数据在原课件中以表格呈现，源文件未提取到具体数值。
源文件未提取到本页单纯形表数值，未还原为真表格，待人工补录。
本页续为单纯形表例2的迭代表格，源文件未提取到表中数值，建议对照原图补充。
源文件未提取到本页单纯形表数值，未还原为真表格，待人工补录。
本页为单纯形表例2的最终结果表格，源文件未提取到表中数值，建议对照原图补充。
源文件未提取到本页单纯形表数值，未还原为真表格，待人工补录。
目标函数系数灵敏度分析：最优解不变的条件下允许C的变化范围，最优解不变的前提是σj≤0。
假设玉米价值系数C1发生了变化，其变化量为△1：
故 △1 的允许范围为 －50≤△1≤100。
假设大豆价值系数C2发生了变化，其变化量为△2：
大豆价值系数的可减上限为无穷大，其变化只要不低于下限，最优方案即不变。
假设地瓜价值系数C3发生了变化，其变化量为△3：
故 △3 的允许范围为 －100/3≤△3≤100。
| 活动 | 目标系数当前值 | 可增上限 | 可减上限 | 可变范围 |
|---|---|---|---|---|
| 玉米种植x1 | 200 | 100 | 50 | 150～300 |
| 大豆种植x2 | 150 | 50 | 无穷大 | －∞～200 |
| 地瓜种植x3 | 100 | 100 | 100/3 | 200/3～200 |
当仅有一种目标系数在允许范围内变动时，最优方案不会变动，但最优目标值会随之变化。
由线性规划的原理可知，影子价格不变的条件是最优解的松弛变量矩阵与右边值矩阵的乘积大于等于0。当右边值发生变化时，影子价格是否不变需据此判断。
右边值敏感性分析—耕地：当耕地变化△1时，影子价格不变的条件为：
解得 －4≤△1≤4，因此耕地影子价格不变的耕地数量范围为［8，16］。
右边值敏感性分析—劳动力：当劳动力变化△2时，影子价格不变的条件为：
解得 －24≤△2≤8，因此劳动力影子价格不变的劳动力数量范围为［24，56］。
右边值敏感性分析—资金：当资金变化△3时，影子价格不变的条件为：
因此资金影子价格不变的资金数量范围为［324，＋∞］。
| 资源 | 现有数量 | 影子价格 | 可增上限 | 可减上限 | 可变范围 |
|---|---|---|---|---|---|
| 耕地 | 12 | 50 | 4 | 4 | 8～16 |
| 劳动 | 48 | 25 | 8 | 24 | 24～56 |
| 资金 | 360 | 0 | ＋∞ | 36 | 324～＋∞ |
这一结果给出了资源影子价格（边际产出率）的有效范围。对耕地而言，当投入使用的数量在8—16公顷之间变化时，其边际产出率都是50元，即每增加或减少1公顷耕地，农户将增加或减少50元净收入。
下载地址：{{downurl}}
{{{a}}}
{{#b}}{{{b}}}
{{/b}} {{/title}} {{#nolog}}登陆注册
{{/nolog}} {{#djsx}}点我刷新
{{/djsx}} {{#gocz}} {{/gocz}} {{#ffqr}} {{/ffqr}}