03 2-2 一元线性回归模型的参数估计.ppt

第1页：一元线性回归模型的参数估计

§2.2一元线性回归模型的参数估计一、一元线性回归模型的基本假设二、参数的普通最小二乘估计（OLS）三、参数估计的最大或然法(ML)四、最小二乘估计量的性质五、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计

第2页：单方程计量经济学模型分为两大类

• 单方程计量经济学模型分为两大类：线性模型和非线性模型
• 线性模型中，变量之间的关系呈线性关系
• 非线性模型中，变量之间的关系呈非线性关系一元线性回归模型：只有一个解释变量i=1,2,…,nY为被解释变量，X为解释变量，0与1为待估参数，为随机干扰项

第3页：回归分析的主要目的是要通过样本回归函数

回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函数（模型）PRF。估计方法有多种，其种最广泛使用的是普通最小二乘法（ordinary least squares, OLS）。为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。注：实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关。

第4页：线性回归模型的基本假设假设

线性回归模型的基本假设假设1、解释变量X是确定性变量，不是随机变量；假设2、随机误差项具有零均值、同方差和不序列相关性：E(i)=0i=1,2,…,nVar(i)=2i=1,2,…,nCov(i,j)=0 i≠j i,j=1,2,…,n假设3、随机误差项与解释变量X之间不相关：Cov(Xi,i)=0 i=1,2,…,n假设4、服从零均值、同方差、零协方差的正态分布i~N(0,2) i=1,2,…,n

第5页：假设1、2满足

• 如果假设1、2满足，则假设3也满足;
• 如果假设4满足，则假设2也满足。注意：以上假设也称为线性回归模型的经典假设或高斯（Gauss）假设，满足该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型（ClassicalLinear Regression Model, CLRM）。

第6页：假设1、2满足（续）

另外，在进行模型回归时，还有两个暗含的假设：假设5：随着样本容量的无限增加，解释变量X的样本方差趋于一有限常数。即假设6：回归模型是正确设定的假设5旨在排除时间序列数据出现持续上升或下降的变量作为解释变量，因为这类数据不仅使大样本统计推断变得无效，而且往往产生所谓的伪回归问题（spuriousregression problem）。假设6也被称为模型没有设定偏误（specification error）

第7页：参数的普通最小二乘估计

参数的普通最小二乘估计（OLS）给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）给出的判断标准是：二者之差的平方和最小。

第8页：方程组（*）称为正规方程组…

方程组（*）称为正规方程组（normal equations）。

第9页：记上述参数估计量可以写成

记上述参数估计量可以写成：称为OLS估计量的离差形式（deviation form）。由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到的，故称为普通最小二乘估计量（ordinary leastsquares estimators）。

第10页：顺便指出

顺便指出，记则有可得（**）式也称为样本回归函数的离差形式。（**）注意：在计量经济学中，往往以小写字母表示对均值的离差。

第11页：参数估计的最大或然法

参数估计的最大或然法(ML)最大或然法(Maximum Likelihood,简称ML)，也称最大似然法，是不同于最小二乘法的另一种参数估计方法，是从最大或然原理出发发展起来的其它估计方法的基础。基本原理：对于最大或然法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。

第12页：满足基本假设条件下

在满足基本假设条件下，对一元线性回归模型：随机抽取n组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）。那么Yi服从如下的正态分布：于是，Y的概率函数为（i=1,2,…n）假如模型的参数估计量已经求得，为

第13页：因为Yi是相互独立

因为Yi是相互独立的，所以的所有样本观测值的联合概率，也即或然函数(likelihood function)为：将该或然函数极大化，即可求得到模型参数的极大或然估计量。

第14页：或然函数的极大化与或然函数的对数的极大…

由于或然函数的极大化与或然函数的对数的极大化是等价的，所以，取对数或然函数如下：

第15页：解得模型的参数估计量为

解得模型的参数估计量为：可见，在满足一系列基本假设的情况下，模型结构参数的最大或然估计量与普通最小二乘估计量是相同的。

第16页：例2.2.1

例2.2.1：在上述家庭可支配收入-消费支出例中，对于所抽出的一组样本数，参数估计的计算可通过下面的表2.2.1进行。

第17页：例2.2.1（续）

因此，由该样本估计的回归方程为：

第18页：最小二乘估计量的性质当模型参数估计出后

最小二乘估计量的性质当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需考察参数估计量的统计性质。一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方面考察其优劣性：（1）线性性，即它是否是另一随机变量的线性函数；（2）无偏性，即它的均值或期望值是否等于总体的真实值；（3）有效性，即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。

第19页：例2.2.1

（4）渐近无偏性，即样本容量趋于无穷大时，是否它的均值序列趋于总体真值；（5）一致性，即样本容量趋于无穷大时，它是否依概率收敛于总体的真值；（6）渐近有效性，即样本容量趋于无穷大时，是否它在所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。这三个准则也称作估计量的小样本性质。拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量（best liner unbiased estimator, BLUE）。当不满足小样本性质时，需进一步考察估计量的大样本或渐近性质：

第20页：高斯—马尔可夫定理

高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markovtheorem)在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。

第21页：高斯—马尔可夫定理（续）

证：易知故同样地，容易得出

第22页：

第23页：高斯—马尔可夫定理

（2）证明最小方差性其中，ci=ki+di，di为不全为零的常数则容易证明普通最小二乘估计量（ordinary least SquaresEstimators）称为最佳线性无偏估计量（bestlinear unbiased estimator,BLUE）

第24页：最小二乘估计量拥有一个

由于最小二乘估计量拥有一个“好”的估计量所应具备的小样本特性，它自然也拥有大样本特性。

第25页：参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的…

参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计

第26页：

第27页：随机误差项的方差

随机误差项的方差2的估计由于随机项i不可观测，只能从i的估计——残差ei出发，对总体方差进行估计。2又称为总体方差。可以证明，2的最小二乘估计量为它是关于2的无偏估计量。

第28页：最大或然估计法中

在最大或然估计法中，因此，2的最大或然估计量不具无偏性，但却具有一致性。

第29页：